Abdelkader Boudriga

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1 Chapitre 3 : La mesure du risque de taux d'intérêt Section. La définition et la nature du risque de taux d'intérêt Le risque de taux d intérêt est le risque de perte due à une variation imprévue des taux d intérêt. Toute entreprise ou institution financière qui prête, qui est endettée, ou encore qui prévoit de s endetter ou de placer des liquidités sur un marché de taux, est exposée au risque de taux. Ce risque est de nature différente selon la situation considérée.. Le risque en capital : Le risque de taux en capital est le risque de dévalorisation d un patrimoine à la suite d une variation de taux. Le risque en revenu : Le risque de taux en revenu est le risque d une diminution de revenu liée aux fluctuations des taux. Abdelkader Boudriga 2006

2 Section 2. Les facteurs de sensibilité aux taux d intérêt Obligations TC 9%, Maturité 5 et 25 ans % 3% 5% 7% 9% % 3% 5% 7% 9% 9%5 9%25 Abdelkader Boudriga

3 Maturité 25 ans, Coupons 0%, 6% et 9% % 3% 5% 7% 9% % 3% 5% 7% 9% 9%25 6%25 0%25 Abdelkader Boudriga

4 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 Variation de prix vs variation de taux 9%25 6%25 0-3,0% -2,0% -,0% 0,0%,0% 2,0% 3,0% Abdelkader Boudriga

5 Les principaux outils utilisés pour évaluer le risque de taux sont des mesures du risque de taux en capital. Une première estimation de l impact d une variation de taux sur la valeur d un actif à taux fixe consiste à calculer la dérivée première de la fonction de prix par rapport au taux de rendement actuariel. Cette dérivée, ou delta, donne la variation du prix de l actif en unités monétaires qui découle d une variation infinitésimale du taux d actualisation. Cette mesure en valeur absolue ne permet pas de comparer le risque d investissements ou d endettements de montants différents. Pour cela, il est plus approprié de calculer la sensibilité, c est-à-dire la variation de prix relative pour une variation infinitésimale du taux actuariel. Abdelkader Boudriga

6 L expression de la sensibilité est : S P y P Proposition : Le prix d une obligation et le taux de rendement à l échéance ont une relation inverse. Proposition 2: Pour un grand changement de taux, le % de variation à la hausse du prix est plus grand que le changement à la baisse : asymétrie de la relation risque rendement. Remarque: Pour des petits changements des taux, on peut dire que la variation du prix pour une obligation donnée est la même, que le changement de Abdelkader Boudriga

7 taux soit positif ou négatif. Ce n est pas le cas pour des grands changement de taux. Proposition 3: Pour un taux de coupon et un rendement initial donné, plus la maturité est grande, plus la volatilité du prix sera grande. Proposition 4: La sensibilité du prix par rapport aux taux augmente à un taux décroissant en fonction de la maturité Exemple: si on augmente 5 fois la maturité, la sensibilité du prix aura une variation inférieure à 5 fois Proposition 5: Pour une maturité et un rendement initial donnés, plus le taux de coupon est bas, plus la volatilité du prix est grande. Abdelkader Boudriga

8 L utilisation de la relation risque-rendement Si on anticipe une hausse des taux (donc une baisse des prix), pour avoir le minimum d effet indésirable (et surtout minimiser la variabilité du prix de notre obligation) on doit choisir des obligations: de courte maturité avec des taux coupons élevés Si on anticipe une baisse des taux (donc une hausse des prix), pour maximiser les gains suites à ces variations, on doit choisir des obligations: de longue maturité avec des taux coupons faibles Abdelkader Boudriga

9 Section 3. La duration Les gestionnaires de fonds obligataires, les arbitragistes et les traders doivent avoir une mesure de la sensibilité du prix de l obligation par rapport aux changements dans les taux pour établir des stratégies de couverture et de trading. Les trois mesures les plus employées sont : La valeur monétaire d un point de base La valeur en rendement d un changement de prix La duration Abdelkader Boudriga

10 . La duration : définition La duration se définit comme la durée de vie moyenne des flux d un actif à taux fixe, ces flux étant pondérés par leurs poids relatifs dans la valeur de marché de cet actif. Le détail du calcul montre que la duration est, en fait, l élasticité du prix par rapport au facteur d actualisation. D ( t ) T m w t t w t PV(CFt ) PV(Obl.) CF t /( + P y) t q t w t Abdelkader Boudriga

11 N N 2 2 N N 2 2 T t t T t t m y) ( C... y) ( C y) ( C y) ( C N... y) ( C 2 y) ( C PV(Obl.) ) PV(C t w t D Abdelkader Boudriga 2006

12 Année Flux Flux actualisé Pondération FA pondéré 80 72,73 0,083 0, ,2 0,075 0, , 0,069 0, ,64 0,062 0, ,67 0,057 0, ,6 0,05 0, ,05 0,047 0, ,32 0,043 0, ,93 0,039 0, ,39 0,475 4,75 877, 7,04 Abdelkader Boudriga

13 2. Duration et sensibilité La duration modifiée est définie par, D D * m m + y Δ P D * y P m Δ Elle est obtenue en dérivant le prix par rapport au taux de rendement Abdelkader Boudriga

14 * m * m m N t t t N t t t D y P P P D P y D y P y) ( C t y y P y) ( C P On a aussi, ( ) y S D m + Et, D * m S Abdelkader Boudriga

15 Exemple : Soit les deux obligations suivantes : Une obligation d échéance égale à 2 ans, servant un coupon de 8% et ayant une duration égale à.8853 Une obligation zéro coupon de maturité et duration égale à.8853 Sachant que le taux de rendement sur le marché obligataire est passé de 0% à 0.%, on vous demande de calculer la variation relative des cours de ces deux obligations, Prix initial Nouveau prix Variation % Obligation à coupons 965, , Zero coupon Abdelkader Boudriga

16 Les Obligations à durations identiques sont identiquement sensibles aux variations des taux d intérêt. Exemple 2 : Considérons une obligation échéant dans 3 ans et servant annuellement un coupon de 0%. Cette obligation est négociée sur le marché au prix de 07.87, offrant ainsi un rendement de 7%. Abdelkader Boudriga

17 PV(CF ) 0 (.07) 9.35 PV(CF 2 ) 0 (.07) PV(CF 3 ) 0 (.07) Prix de l'obligation La duration de cette obligation est donnée par, Duration (D m ) * * * Abdelkader Boudriga

18 La duration modifiée est donnée par, D * m Si le rendement de marché passe à 7.%, quel sera le nouveau prix? La variation en pourcentage de cette obligation est donnée par, Δ P 00 D * y 00 P m Δ La variation en termes monétaires est, Abdelkader Boudriga

19 ΔP.2566 P $ $.2768 Nouveau prix prévisionnel : Le prix réel (utilisant la formule d évaluation): Une très bonne approximation 3. Duration et caractéristiques d'un actif à taux fixe P: La durée d une obligation est toujours plus petite que sa maturité P2: Plus la maturité est grande, plus la durée est grande. Abdelkader Boudriga

20 P3: La durée D un zéro-coupon est égale à sa maturité P4: La durée d une obligation décroît avec le TRE P5: Plus la durée est grande, plus la sensibilité du prix aux variations du taux d intérêt sera élevée. 4. Duration d'un portefeuille et duration du patrimoine de l'entreprise En outre, elle présente la propriété suivante : la duration d un portefeuille est la moyenne pondérée en valeur de marché des durations des titres qui le composent. Par conséquent, le risque de taux en capital supporté par une entreprise est la différence entre la moyenne pondérée des durations de ses actifs et la moyenne pondérée des durations de ses passifs. Cette propriété, dont est dépourvue la Abdelkader Boudriga

21 sensibilité, explique en grande partie pourquoi la duration est devenue une mesure du risque de taux privilégiée, au détriment de la sensibilité. D W D + p p a a a R W R + a W W b b D R b b 5. Utilisation de la duration Une variation de taux d intérêt affecte le rendement de la détention d une obligation sous deux angles : L effet prix : Impact de la variation du taux sur la valeur actualisée du capital de l obligation L effet revenu : Impact de la variation du taux sur le réinvestissement des coupons Abdelkader Boudriga

22 Ces deux effets sont contradictoires Si l horizon de placement est égal à la durée, ces deux effets s annulent : on est immunisé contre une variation des taux. Si l horizon de placement est supérieur à la durée, effet revenu > effet prix : Bon si on anticipe une hausse des taux. Si l horizon de placement est inférieur à la durée, effet prix > effet revenu : Bon si on anticipe une baisse des taux. D H<D Effet Revenu < Effet Prix H > D Effet Revenu > Effet Prix Abdelkader Boudriga

23 Section 4. Une mesure de risque de taux complémentaire : la convexité La duration comporte cependant certaines limites. Tout d abord, elle est un indicateur de variation de valeur potentielle liée à une variation infinitésimale du facteur d actualisation. En cas de variation importante, cet indicateur perd en efficacité. Ensuite, elle indique que les variations de taux ont un impact symétrique à la hausse ou à la baisse, ce qui n est pas le cas du fait de la convexité de la fonction de prix d un actif à taux fixe. La mesure du risque de taux peut donc être améliorée par la prise en compte de la convexité du prix par rapport au taux d actualisation. La convexité d un titre, notion développée par Klotz Abdelkader Boudriga

24 (985), est la dérivée seconde de son prix par rapport au taux de rendement actuariel, en valeur relative de son prix. Elle est toujours positive. De deux titres de duration identique, le moins risqué est celui ayant la convexité la plus élevée. Prix A B 5% 0% Rendement Abdelkader Boudriga

25 La convexité : définition La convexité est par définition le rapport entre la dérivée seconde du prix par rapport au rendement et le prix Elle donne une mesure du taux de changement de la durée pour chaque dollar La convexité : calcul et utilisation 2 2 P y ( + y) Convexité 2 P N t 2 2 CFt ( + y) P y t (t 2 + t) Abdelkader Boudriga

26 Propriétés de la convexité La convexité et le TRE ont une relation inversée Pour un TRE et une maturité donnés, plus le coupon est petit, plus la convexité est grande. Estimation du changement de prix à l aide de la durée et de la convexité : Δ P ( ) D Δy 00 + Convexité ( Δy) 00 P * 00 2 m 2 Exemple Considérons une obligation ayant les caractéristiques suivantes : Maturité 20 ans Abdelkader Boudriga

27 Coupon : 9% Prix : Rendement : 6% Coupons semestriels Dm D * m (0.06 / 2) La convexité de cette obligation est Si les taux de rendement passent de 6% à 8%, le changement en % du prix de l obligation est donné par, approximation utilisant la duration : Abdelkader Boudriga

28 approximation utilisant la convexité : (.02) le changement de prix prévu : % Changement de prix réel : 8.40% Si par contre les taux de rendements baissent de 6% à 4%, le changement en % du prix est donné par, approximation utilisant la duration : approximation utilisant la convexité : (.02) le changement de prix prévu : % Notons que les variation de prix ne sont pas symétriques Abdelkader Boudriga

29 Importance de la convexité pour les investisseurs Prix B 0% A 5% Rendement Abdelkader Boudriga

30 L obligation B est plus convexe, et la variation de son prix est plus favorable dans les deux cas (variation positive et négative du TRE) Cet effet positif de la convexité doit être pris en compte par les investisseurs lors de la détermination des prix des obligations Ils vont payer une prime de convexité pour une obligation (ils vont donc avoir un TRE plus petit) Mais cette prime n est payée que si on anticipe des variations importantes des taux, autrement, la convexité n a pas de valeur pour un investisseur. Abdelkader Boudriga

31 Duration et Convexité : utilisation La couverture contre des variations adverses du prix On veut protéger la valeur de l obligation que l on détient Si les taux d intérêts montent, on risque de subir des pertes Donc on va prendre une position courte (short position) sur un autre instrument afin de nous protéger. La duration du portefeuille globale doit être nulle afin d être totalement immunisé Abdelkader Boudriga

32 Immunisation du bilan Stratégie typique de l industrie bancaire Une banque a des actifs et des passifs qui sont très sensibles aux variation des taux d intérêt Actifs : Position longue (prêts bancaires). Si montée des taux, effet négatif Si baisse des taux, effet positif Passifs : Position Short (dépôts). Si montée des taux, effet positif Si baisse des taux, effet négatif Abdelkader Boudriga

33 Si une variation des taux implique que l effet sur les actifs est compensé par l effet sur le passif, alors le capital de la banque est inchangé : elle est immunisée. Mais si les effets ne se compensent pas Problème!! DURATION GAP Abdelkader Boudriga

34 Immunisation du bilan, exemple Bilan de la banque : Actifs (taux de coupon) Valeur marchande Passifs (taux de coupon) Valeur marchande Prêt (2%) 000 Dépôts (6%) 950 (valeur au pair, maturité moyenne de 5 ans) (valeur au pair 950, maturité moyenne an) Capital 50 Total 000 Total 000 Duration modifiée des actifs : 3,746 ans Duration modifiée des passifs : 0,968 ans Abdelkader Boudriga

35 Exemple (suite) La duration modifiée des actifs est supérieure à celle des passifs. Ainsi, la banque est mal positionnée si les taux montent Quantifions cette exposition, c est le Duration Gap: P * * P A D P P A Duration Gap D Ici, la duration Gap est donc de 2,826 3,746-0,968(950/00) Interprétation : Si les taux d intérêts montent de 00 points de base, le capital de la banque diminuera donc de 28,26 millions Abdelkader Boudriga

36 Comment éliminer le duration Gap? Deux solutions: Réduire la durée des actifs Augmenter la durée du passif L immunisation de portefeuille En faisant en sorte que l horizon de placement soit égal à la durée de l obligation, l effet prix et l effet revenu du portefeuille s annulent et il est parfaitement immunisé contre une montée parallèle des taux d intérêt. Abdelkader Boudriga

37 Immunisation de portefeuille : Illustration On a un portefeuille obligataire versant un coupon annuel de 5%, un taux de rendement à l échéance de 2% et une maturité de 5 ans. Prix de départ du portefeuille, 8,5. La duration de ce portefeuille est de 3,9 ans. Que se passe-t-il si le taux : Montent de 2% Restent stable Baissent de 2% Abdelkader Boudriga

38 Immunisation de portefeuille : H3ans Tx en hausse Taux stable Tx en baisse Variation Variation H 3 ans 4% 2% 0% 2% à 4% 2% à 0% Val fin des C 55,94 506,6 496,50 9,78-9,66 Val revente 06,46 050,70 086,78-34,24 36,08 Val fin tot 532,40 556,86 583,28-24,46 26,42 Rdt total (532,40 (556,86 (583,28 /08,5)/3 /08,5)/3 /08,5)/3,4% 2% 2,63% Abdelkader Boudriga

39 Immunisation de portefeuille : H4ans Taux en hausse Taux stable Taux en baisse Variation Variation H 4 ans 4% 2% 0% 2% à 4% 2% à 0% Val fin des 738,7 76,90 696,5 2,27-20,75 C Val revente 008,77 026,79 045,45-8,02 8,66 Val fin tot 746,94 556,86 74,60 3, Rdt total (746,94/ 08,5)/4 (556,86/ 08,5)/4 (74,60/ 08,5)/4 2,05% 2%,97% Abdelkader Boudriga

40 Immunisation de portefeuille : H5 ans Taux en Taux stable Taux en Variation Variation hausse baisse H 5 ans 4% 2% 0% 2% à 4% 2% à 0% Val fin des C 99,52 952,93 95,76 2,27-20,75 Val revente Val fin tot 99,52 952,93 95,76 3, Rdt total (99,52/ 08,5)/5 (952,93/ 08,5)/5 (95,76/ 08,5)/5 Val fin des C 2,44% 2%,57% Abdelkader Boudriga

41 Immunisation de portefeuille, conclusion Quand HD (tableau 2), le taux de rendement de la stratégie est bloqué Le portefeuille est immunisé. Quand H<D (tableau ), la stratégie est profitable en cas de baisse des taux, on va chercher l effet prix. Quand H>D (tableau 2), la stratégie est profitable en cas de montée des taux, on va chercher l effet revenu. Abdelkader Boudriga