Session 2012 Exercice 1 10 points A. Probabilités conditionnelles. B. Loi binomiale. C. Approximation d une loi binomiale par une loi normale.

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1 Session 0 Exercice 0 points Un garagiste a acheté 70 % de son stock de pneus à un premier fournisseur et 30 % à un deuxième fournisseur. Il observe que : 5 % des pneus provenant du premier fournisseur ont un défaut, 0 % des pneus provenant du deuxième fournisseur ont un défaut. On prélève au hasard un pneu dans le stock. Tous les pneus ont la même probabilité d être prélevés. On considère les événements suivants : F : «le pneu provient du premier fournisseur» ; G : «le pneu provient du deuxième fournisseur» ; : «le pneu a un défaut».. éduire des informations figurant dans l énoncé les probabilités P (F ), P (G), P F () et P G ().. a. Calculer les valeurs exactes des probabilités P (F ) et P (G ). b. éduire de ce qui précède que P () = 0, Calculer la probabilité que le pneu provienne du deuxième fournisseur sachant que le pneu choisi a un défaut. Arrondir à 0 4. Le garagiste choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus. On rappelle que la probabilité pour qu un pneu pris au hasard ait un défaut est 0,065. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de dix pneus, associe le nombre de pneus de ce prélèvement qui présentent un défaut.. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.. Calculer la probabilité qu aucun pneu de ce prélèvement n ait un défaut. Arrondir à Calculer la probabilité qu au plus deux des pneus choisis présentent un défaut. Arrondir à 0 4. En janvier le garagiste décide de lancer une campagne promotionnelle sur les pneus. Pour cela, il envoie un courrier à 400 personnes prélevées au hasard dans sa banque de données de clients potentiels. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 400 personnes. La probabilité pour qu une personne, ayant reçu le courrier, vienne changer les pneus de son automobile chez ce garagiste est égale à 0,. On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 400 personnes (auxquelles le garagiste a envoyé un courrier) associe le nombre de personnes venues changer les pneus de son automobile chez ce garagiste. On admet que Y suit la loi binomiale de paramètres 400 et 0,. On décide d approcher la loi de la variable aléatoire Y par la loi normale de paramètres m = 80 et = 8. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres 80 et 8.. Justifier les valeurs de m et.. Calculer P (Z 9,5). 3. Calculer la probabilité que cette campagne promotionnelle ait amené au moins 00 clients c est à dire calculer P (Z 99,5).

2 Exercice 0 points Le tableau suivant donne la consommation de tabac en grammes par personne de 5 ans ou plus et par jour. Année Rang année Consommation de tabac (en grammes) 4,67 4,65 4,59 4,47 4,47 4,3 3,77 3,5 3, 3, 3,03,95,98 Source : Insee ; institut Gustave Roussy ans le plan muni d un repère orthogonal on a représenté en annexe le nuage de points associé à la série statistique (x i ; y i ) pour i entier variant de 0 à.. éterminer à l aide d une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (x i ; y i ). Arrondir à a. éterminer, à l aide d une calculatrice, une équation de la droite de régression de y en x, par la méthode des moindres carrés, sous la forme y = a x + b où a et b sont à arrondir à 0 4. b. Tracer la droite sur la figure de l annexe à rendre avec la copie. Soit la fonction f définie sur [0 ; ] par f (x) = 4,64 0,04 x,4 e e x , C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal et f ' sa fonction dérivée.. a. émontrer que f ' (x) = 0,04, pour tout x de [0 ; ]. ( e ) b. Étudier le signe de f ' (x) lorsque x varie dans [0 ; ] et établir le tableau de variation de f.. a. Compléter le tableau de l annexe à rendre avec la copie dans lequel les valeurs sont à arrondir à 0. b. Construire la courbe C sur la figure de la partie A. 3. Laquelle de la droite et la courbe C semble le mieux ajuster le nuage de points? Justifier.. Soit F la fonction définie sur [0,] par F (x) = 4,65 x 0,0 0,7 ln (e ). émontrer que F est une primitive de la fonction f sur [0 ; ]. 7. a. émontrer que la valeur moyenne de f sur [0 ; ] est : V m = 4, ln e b. onner la valeur approchée, arrondie à 0 de V m. 3. On admet que f (x) représente la consommation de tabac, par jour, en grammes d une personne de 5 ans ou plus. onner une interprétation du résultat obtenu à la question précédente. 5 Annexe 4 3 B.. a x f (x) 4,36

3 CORRECTION Exercice 0 points. Un garagiste a acheté 70 % de son stock de pneus à un premier fournisseur donc P (F ) = 0,70 et 30 % à un deuxième fournisseur donc P (G ) = 0,30. 5 % des pneus provenant du premier fournisseur ont un défaut, donc P F () = 0,05 0 % des pneus provenant du deuxième fournisseur ont un défaut, donc P G () = 0,0 0,05 0,7 F 0,95 0,3 G 0,0 0,90. a. P (F ) = P (F) P F () = 0,70 0,05 = 0,035 P (G ) = P (G) P G () = 0,30 0,0 = 0,030 b. P () = P (F ) + P (G ) = 0, ,030 = 0, P ( G ) 0,030 P (G) = 0,465. P ( ) 0,065. On a une succession de 0 expériences aléatoires identiques et indépendantes, chacune d elles a deux issues : réussite : le pneu a un défaut (p = 0,065) échec ; le pneu n a pas de défaut (q = p = 0,935) donc la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de dix pneus, associe le nombre de pneus de ce prélèvement qui présentent un défaut, suit une loi binomiale de paramètres (0 ; 0,065).. P (X = 0) = 0, P (X ) = P (X = 0) + P (X = ) + P (X = ) 0, Y suit la loi binomiale de paramètres 400 et 0, donc d espérance 400 0, = 80 et d écart-type 400 0, 0,8 = 8, cette loi est approchée par une loi normale de même espérance et de même écart-type donc m = 80 et = 8. X 80. Soit T =, T suit une loi normale centrée réduite. 8 9, 5 80 P (Z 9,5) = P T = P (T,56) = 0, , P (Z 99,5) = P T = P (T,44) = P (t,44) = 0,997 = 0,

4 Exercice 0 points. Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (x i ; y i ), arrondi à 0 3, est 0,946. a. Une équation de la droite de régression de y en x, par la méthode des moindres carrés, est y = 0,805 x + 4,8707 b. Pour tracer la droite, il suffit d en connaître deux points : si x = 0 alors y = 4,8707 ; si x = 0 alors y = 3,0657 donc approximativement les points A (0 ; 4,9) et B (0 ; 3,). a. Formules utilisées : ( e u ) = u e u donc (e ) e u ' x v = u ' v u v ' u( x),4 e u '( x), 4 e avec : v v( x) e v '( x) e donc,4 e e x a pour dérivée :,4 e ( e ) e, 4 e,4 e ( e e ), 4 e f ' (x) = 0,04 ( e ) ( e ) ( e ) ( e ), pour tout x de [0 ; ]. soit ( e ) b. f (x) = 0,04 ( e ) La fonction exponentielle est strictement positive sur R, donc pour tout x de [0 ; ], ( e ) 0,04 ( e ) > 0, (somme de termes positifs) donc f (x) < 0 x 0 f (x) f f (0) f () avec f (0) 4,65 et f (),96 > 0 donc. a. x f (x) 4,65 4,60 4,53 4,36 3,80 3,5 3,08 3,0,96

5 b Série statistique roite de régression Courbe de f 3. La courbe C ajuste le mieux le nuage de points, c est elle qui est la plus proche des points du nuage. Formules utilisées : ( e u ) = u e u donc (e ) e : (x ) = ( ln u) = u ' u donc la dérivée de ln (e ) est donc F (x) = 4,65 x 0,0 0,7 F (x) = 4,65 0,04 x,4 e e x e e x e e x = f (x) donc F est une primitive de la fonction f sur [0 ; ].. a. La valeur moyenne de f sur [0 ; ] est : V m = f ( x) d x = 0 [F() F(0)] 0 F() = 4,65 0,0 0,7 ln (e ) = 54,07 0,7 ln (e ) F(0) = 4,65 0 0,0 0 0,7 ln (e ) = 0,7 ln ( ) = 0,7 ln (60 00) F() F(0) = 54,07 0,7 ln (e ) + 0,7 ln (60 00) = 54,07 + 0,7 [ln (60 00) ln (e )]. En utilisant que ln a ln b = ln a b alors F() F(0) = 54,07 + 0,7 ln e V m = 54,07 + 0,7 ln e V m = 4, ln e b. V m 3,8 3. V m représente la consommation moyenne de tabac, par jour, en grammes d une personne de 5 ans ou plus pendant la période 997 à 009.

6 Exercice 0 points. P (F ) = 0,7 P (G) = 0,3 P F () = 0,05 P G () = 0,0. a. P (F ) = 0,035 P (G ) = 0,03 b. P () = 0, ,03 p (G) = 0,065 = 0,465,5. X suit une loi binomiale de paramètres 0 et 0,065. p(x = 0) = 06,5 3. p(x ) = 06. m = 80 et = 8. P (Z 9,5) = 0, P (Z 99,5) = 0,0074 Exercice 0 points. r = 0,946. a. y = 0,805 x + 4,8707 b. Tracer la droite. a. f ' (x) = 0,04 ( e ) b. f ' (x) < 0 ; f strictement décroissante sur [ 0 ; ]. a. x f (x) 4,65 4,60 4,53 4,36 3,80 3,08 3,0,96 b. Construire la courbe C 3. Laquelle de la droite et la courbe C semble le mieux ajuster le nuage de points? Justifier.. F (x) = 4,65 x 0,0 0,7 ln (e ) et F est une primitive de la fonction f sur [0 ; ].. a. 7 V m = 4, ln e b. V m = 3,8 3. V m représente la consommation moyenne de tabac, par jour, en grammes d une personne de 5 ans ou plus pendant la période 997 à 009.

7 Exercice 0 points,5,5 Exercice 0 points