Filtres numériques IIR

Transcription

1 Filtres numériques IIR Guy Gauthier École de technologie supérieure 14 février 2013

2 Outline 1 Filtres IIR 2 Transformation bilinéaire 3 Filtres de Butterworth 4 Filtres de Chebyschev 5 Filtres de Bessel

3 Les filtres à réponse impulsionnelle infinie (IIR) Si on désire considérer la réponse impulsionnelle complète tout en ayant un filtre ne nécessitant pas de faire une somme infinie, il faut utiliser un filtre représenté par une fonction de transfert dont le dénominateur possède au moins un pôle différent de 0. Ainsi la fonction de transfert d un filtre IIR peut ressembler à : H(z) = a 0 + a 1 z 1 + a 2 z a N z N 1 + b 1 z 1 + b 2 z b M z M (1)

4 Les filtres IIR Équation récurrente Le filtre IIR est donc représenté par l équation récurrente suivante : y[n] = N M (a k x[n k]) (b k y[n k]) (2) k=0 k=1 Si on développe chaque somme, on peut écrire : y[n] =a 0 x[n] + a 1 x[n 1] a N x[n N] b 1 y[n 1] b 2 y[n 2]... b M y[n M] (3) dont la fonction de transfert apparait en page précédente.

5 Les filtres IIR Fonction de transfert En posant M = N, H(z) devient : H(z) = a 0 + a 1 z 1 + a 2 z a N z N 1 + b 1 z 1 + b 2 z b N z N (4) En multipliant le numérateur et le dénominateur par z N, on peut écrire : H(z) = a 0z N + a 1 z N 1 + a 2 z N a N z N + b 1 z N 1 + b 2 z N b N (5) Un filtre IIR peut être instable, ce qui implique qu il est important d analyser la position des N pôles d un filtre avant de l implanter.

6 Un filtre IIR qui génère une onde sinusoïdale!!! Le placement des N pôles à l intérieur du cercle unitaire est important pour la stabilité. Si un seul pôle ne respecte pas cette condition, alors le filtre ne sera pas utilisable. Par exemple, le filtre suivant est en fait un générateur sinusoïdal de fréquence f : H(z) = z sin(2πft e ) z 2 2z cos(2πft e ) + 1 (6) avec T e = 1/f e la période d échantillonnage.

7 Un filtre IIR qui génère une onde sinusoïdale!!! Ainsi, pour générer une onde sinusoïdale de 10 Hertz sur un système échantillonné à 200 Hertz : H(z) = H(z) = L équation récurrente est : z sin(2π10/200) z 2 2z cos(2π10/200) z z z + 1 y[n] = x[n] y[n 1] y[n 2]; Si on arrondit les coefficients, on a de bonnes chances d avoir un filtre instable si cela fait en sorte que l un des deux pôles (ou les deux) sortent du cercle unitaire.

8 La forme directe I La forme directe I est représentée par cette figure : et cette équation récurrente : y[n] =a 0 x[n] + a 1 x[n 1] a N x[n N] b 1 y[n 1] b 2 y[n 2]... b N y[n N]

9 La forme directe I Implanter un filtre IIR avec la forme directe I implique : Avoir N + 1 données x[ ] stockées en mémoire ; Avoir N données y[ ] stockées en mémoire ; Avoir N + 1 coefficients a stockés en mémoire ; Avoir N coefficients b stockés en mémoire ;

10 La forme directe II La forme directe II est représentée par cette figure :

11 La forme directe II d où cela vient? On peut écrire la fonction de transfert de la façon suivante : H(z) = N(z) D(z) avec N(z) et D(z) les fonctions de transfert du numérateur et du dénominateur respectivement. Introduisons une variable intermédiaire U(z) définie comme suit : U(z) = X(z) D(z) La sortie Y (z) peut être écrite en fonction de U(z) : Y (z) = H(z)X(z) = N(z)X(z) D(z) = N(z)U(z)

12 La forme directe II d où cela vient? Avec la définition du numérateur N(z) de H(z) : Y (z) = N(z)U(z) = U(z) (a 0 + a 1 z a N z N) Et avec celle du dénominateur D(z) : X(z) = D(z)U(z) = U(z) (1 + b 1 z b N z N)

13 La forme directe II d où cela vient? La transformée en Z inverse de X(z) est : x[n] = u[n] + b 1 u[n 1] b N u[n N] (7) En isolant u[n] on trouve : u[n] = x[n] b 1 u[n 1]... b N u[n N] (8) La transformée en Z inverse de Y (z) est : y[n] = a 0 u[n] + a 1 u[n 1] a N u[n N] (9)

14 La forme directe II Implanter un filtre IIR avec la forme directe II implique : Avoir N + 1 données u[ ] stockées en mémoire ; Avoir N + 1 coefficients a stockés en mémoire ; Avoir N coefficients b stockés en mémoire ; On économise donc 25 % de mémoire par rapport à la forme directe I.

15 Filtres IIR branchés en cascade En connectant deux filtres IIR de forme directe II de deuxième ordre en en cascade ce qui nous donne un filtre de quatrième ordre Ainsi : H(z) = CH 1 (z)h 2 (z)... H r (z) (10)

16 Filtres IIR branchés en cascade Équation générale de H(z) (avec étages de forme forme directe II de 2e ordre) : H(z) = C N/2 i=1 avec N l ordre du filtre H(z). Exemple : Pour un système du 4ième ordre (N = 4) : H(z) = C a i,0 + a i,1 z 1 + a i,2 z b i,1 z 1 + b i,2 z 2 (11) ( a0,0 + a 0,1 z 1 + a 0,2 z 2 ) ( a1,0 + a 1,1 z 1 + a 1,2 z 2 ) 1 + b 0,1 z 1 + b 0,2 z b 1,1 z 1 + b 1,2 z 2

17 Filtres IIR branchés en parallèle L équation est : H(z) = C + H 1 (z) + H 2 (z) H r (z) (12)

18 Filtres IIR branchés en parallèle Équation générale de H(z) (avec étages de forme forme directe II de 2e ordre) : N/2 a i,0 + a i,1 z 1 + a i,2 z 2 H(z) = C b i=1 i,1 z 1 + b i,2 z 2 (13) avec N l ordre du filtre H(z). Exemple : Pour un système du 4ième ordre (si les dénominateurs ne se simplifient pas) : H(z) = C + a 0,0 + a 0,1 z 1 + a 0,2 z b 0,1 z 1 + b 0,2 z 2 + a 1,0 + a 1,1 z 1 + a 1,2 z b 1,1 z 1 + b 1,2 z 2

19 IIR de forme échelle tous pôles (all pole lattice form) C est identique à la structure échelle du FIR. Il est en fait l inverse du filtre à structure échelle FIR.

20 IIR de forme échelle pôles et zéros (pole and zero lattice form) Les coefficients c i, inexistants dans la forme tous pôles, sont calculés de la façon suivante : c i = a i N r=i+1 c r b r,r i (14) et cela permet de prendre en compte les zéros de la fonctions de transfert H(z).

21 IIR à forme échelle Dans la forme tous pôles la fonction de transfert H(z) ne comporte que des pôles. Dans la forme pôles et zéros la fonction de transfert H(z) ne comporte des pôles et des zéros. Le calcul des gains k i se fait exactement comme avec la forme échelle du filtre FIR, à partir du dénominateur de H(z). Le filtre est stable si k i < 1, pour tous les étages de 1 à N.

22 Exemple Soit le filtre : H(z) = z 1 2z 2 + z z z 2 0.1z 3 que l on veut mettre sous forme échelle IIR (forme pôles et zéros). Les valeurs du numérateur mènent à : a 0 = 1, a 1 = 1.5, a 2 = 2, a 3 = 1. Le dénominateur mène à : Y 3 (z) = 1 0.5z z 2 0.1z 3 ce qui donne : b 3,0 = 1, b 3,1 = 0.5, b 3,2 = 0.2, b 3,3 = 0.1.

23 Exemple On commence avec la dernière section r = 3 : k 3 = b 3,3 = 0.1. Puis, en considérant r = 3 et i = 0 : b 2,0 = b 3,0 k 3 b 3,3 1 k 2 3 = 1 Puis, en considérant r = 3 et i = 1 : b 2,1 = b 3,1 k 3 b 3,2 1 k 2 3 = 0.5 ( ) 1 ( 0.1) 2 = Puis, en considérant r = 3 et i = 2 : b 2,2 = b 3,2 k 3 b 3,1 1 k 2 3 = 0.2 ( ) 1 ( 0.1) 2 =

24 Exemple On passe à la section précédente r = 2 : k 2 = b 2,2 = Puis, en considérant r = 2 et i = 0 : b 1,0 = b 2,0 k 2 b 2,2 1 k 2 2 = 1 Puis, en considérant r = 2 et i = 1 : b 1,1 = b 2,1 k 2 b 2,1 1 k 2 2 = ( ) 1 (0.1515) 2 = Ce qui donne k 1 = b 1,1 =

25 Exemple Reste à calculer les coefficients c i. Avec i = 3 : c 3 = a 3 = 1 car la somme de i = 4 à 3 donne 0. Avec i = 2 : c 2 = a 2 c 2 b 3,1 = 2 (1 0.5) = 1.5 Avec i = 1 : c 1 = a 1 (c 2 b 2,1 + c 3 b 2,2 ) = Avec i = 0 : c 1 = a 0 (c 1 b 1,1 + c 2 b 2,2 + c 3 b 3,3 ) =

26 Outline 1 Filtres IIR 2 Transformation bilinéaire 3 Filtres de Butterworth 4 Filtres de Chebyschev 5 Filtres de Bessel

27 Transformation bilinéaire Utile pour reproduire dans le domaine discret un bon filtre connu dans le domaine continu par sa fonction de transfert dans le domaine de Laplace. C est la méthode la plus populaire. Il faut faire un "mapping" du plan S au plan Z.

28 Transformation bilinéaire D où ça vient? Prenons la fonction de transfert (dans le domaine continu) suivante : G(s) = α (15) s + β L équation différentielle suivante correspond à cette fonction de transfert : dy(t) = αy(t) + βx(t) (16) dt Dans le domaine discret, l évolution de la sortie y(nt S ) est représenté par : y(nt S ) = nts dy(τ) dτ + y((n 1)T S ) (17) (n 1)T S dt

29 Transformation bilinéaire D où ça vient? Avec une approximation trapézoïdale : y(nt S ) T S 2 ( dy(nts ) dt + dy(nt ) S) + y((n 1)T S ) (18) dt y(nt S ) T S 2 ( αy(nt S) + βx(nt S ) αy((n 1)T S ) +βx((n 1)T S )) + y((n 1)T S ) (19)

30 Transformation bilinéaire D où ça vient? En simplifiant : ( 1 + αt S 2 ) ( y[n] 1 αt S 2 βt S 2 avec x[n] := x(nt S ) et y[n] := y(nt S ). ) y[n 1] = (x[n] + x[n 1]) (20) Reste à faire la transformée en Z de cette équation, ce qui mène à : G(z) = Y (z) X(z) = β ( ) (21) 2 1 z 1 T S + α 1+z 1

31 Transformation bilinéaire D où ça vient? En comparant G(s) et G(z) : G(s) = α s + β G(z) = Y (z) X(z) = β 2 T S ( 1 z 1 1+z 1 ) + α On se rend compte que le passage de s à z peut se faire en remplaçant s par : s = 2 ( ) 1 z 1 T S 1 + z 1 (22)

32 Transformation bilinéaire Propriété intéressante Pour simplifier l analyse on utilise directement : s = 1 z z 1 = z 1 z + 1 (23) Puisque s = σ + jω et z = re jω, on peut écrire : σ + jω = rejω 1 re jω + 1 r 2 1 = 1 + r 2 + 2r cos(ω) + j 2r sin(ω) 1 + r 2 + 2r cos(ω) (24) On constate que si on est sur le cercle unitaire (r = 1), alors σ = 0 et : Ω = sin(ω) = tan(ω/2) (25) 1 + cos(ω)

33 Transformation bilinéaire Propriété intéressante Que l on peut aussi écrire comme suit : ω = 2 arctan(ω) (26) Il y a donc une correspondance directe entre l axe imaginaire dans le plan S et le cercle unitaire dans le plan Z. Lorsque ω = 0 (et r = 1) alors Ω = 0. Le point (1,0) en Z corresponds à l origine du plan complexe en S. Lorsque ω = π on obtient Ω =. Donc parcourir le demi cercle unitaire dans le sens trigonométrique dans le plan Z correspond à un déplacement vers le haut selon l axe imaginaire en S.

34 Transformation bilinéaire Design d un filtre Supposons que je désire concevoir un filtre passe haut numérique de premier ordre à partir d une fonction de transfert dans le domaine continu. La fréquence de coupure désirée est de 10 Hz et la fréquence d échantillonnage est de 100 Hz. ÉTAPE 1 : Calculer la fréquence de coupure normalisée du filtre comme suit : ω c = 2π f c f S Dans notre cas : 10 Hz ω c = 2π 100 Hz = π/5

35 Transformation bilinéaire Design d un filtre Puisque Ω = tan(ω/2), alors Ω c = tan(ω c /2) tan(π/10) = ÉTAPE 2 : Concevoir le filtre demandé dans le domaine continu. Dans notre cas : H(s) = s/ω c s/ω c + 1 que l on peut écrire : H(s) = s/ s/ = s s

36 Transformation bilinéaire Design d un filtre ETAPE 3 : Appliquer la transformation bilinéaire (en remplaçant s par (1 z 1 )/(1 + z 1 ) : H(z) = 1 z z 1 Pour pouvoir faire l implémentation, il faut que le coefficient du dénominateur associé à z 0 soit égal à 1. Ainsi : z 1 H(z) = z 1 L équation à implanter est : y[n] = y[n 1] (x[n] x[n 1]) (27)

37 Outline 1 Filtres IIR 2 Transformation bilinéaire 3 Filtres de Butterworth 4 Filtres de Chebyschev 5 Filtres de Bessel

38 Filtre de Butterworth Le filtre de Butterworth est un filtre qui possède un gain très constant dans sa bande passante.

39 Filtre de Butterworth Avant de présenter le filtre de Butterworth, il est nécessaire de présenter les polynômes de Butterworth. Un polynôme de Butterworth du N-ième ordre est obtenu à partir des pôles (racines) générés par les relations suivantes : { e p k = jkπ/n pour N impair e j(2k+1)π/(2n) (28) pour N pair avec k = 1,.... On ne conserve que les coefficients ayant une partie réelle négative. Puis en calculant : N P N (s) = (s p k ) (29) i=1 on obtient le polynôme P N (s) du N-ième ordre.

40 Filtre de Butterworth Ainsi, pour un polynôme du 1er ordre (N = 1) : p k = e jkπ Comme il n y a qu un pôle, p 1 = e jπ = 1. Donc le polynôme est : P 1 (s) = s p 1 = s + 1 Ainsi, pour un polynôme du 2-ième ordre (N = 2) : p k = e j(2k+1)π/4 Le premier pôle est p 1 = e j3π/4 = 2( 1/2 + j(1/2)) et le second pôle est p 2 = e j5π/4 = 2( 1/2 j(1/2)). Donc le polynôme est : P 2 (s) = (s p 1 )(s p 2 ) = s 2 + 2s + 1

41 Filtre de Butterworth Il est à noter que quelque soit N, tous les pôles sont localisés sur la moitié gauche d un cercle unitaire dans le plan S. Les pôles sont donc tous stables. Il est aussi à noter que nous assumons que la fréquence ω a été normalisée.

42 Filtre de Butterworth - Passe bas Un filtre passe bas de Butterworth de N-ième ordre est représenté par : H(s) = 1 P N (s) (30) Ainsi, un filtre passe bas de 2-ième ordre sera représenté par : H(s) = 1 P 2 (s) = 1 s 2 + 2s + 1

43 Filtre de Butterworth - Passe bas Dont la réponse en fréquence est :

44 Filtre de Butterworth - Passe haut Un filtre passe haut de Butterworth de N-ième ordre est représenté par : 1 H(s) = P N (1/s) Un filtre passe haut de 2-ième ordre sera représenté par : (31) H(s) = 1 P 2 (1/s) = 1 1/s 2 + 2(1/s) + 1 = s 2 s 2 + 2s + 1

45 Filtre de Butterworth - Passe bande Un filtre passe bande de Butterworth de N-ième ordre va exiger un peu plus de travail pour réussir à l obtenir. Soit f 1 et f 2 les fréquences de coupures (basse et haute respectivement). On peut calculer une fréquence centrale f o avec f o = f 1 f 2. On peut aussi obtenir la bande passante B p avec B p = (f 2 f 1 )/f o. On aurait pu remplacer les f par des ω puisque ω = 2πf. Un filtre passe bande de 2-ième ordre sera représenté par : avec S = (1/B p )(s + 1/s). H(s) = 1 P 2 (S)

46 Filtre de Butterworth - Passe bande Ce qui mène à : H(s) = B 2 ps 2 s 4 + 2B p s 3 + (2 + B 2 p)s 2 + 2B p s + 1 La variable s = s /ω o, car on est normalisé en fréquence par rapport à ω o.

47 Filtre de Butterworth - Exemple numérique Supposons que l on désire faire un filtre passe bande de Butterworth de 4-ième ordre ayant les spécification suivantes : f 1 = 10 Hz, f 2 = 20 Hz et f S = 100 Hz. La fréquence f o est : f o = f 1 f 2 = = En s inspirant de la transformation bilinéaire on calcule : ω c = 2πf o /f S = π 2/5. Puis Ω c = tan(ω c /2) =

48 Filtre de Butterworth - Exemple numérique L équation de Butterworth du 4-ième ordre exige de calculer les pôles suivants : p k = e j(2k+1)π/8 ce qui donne p 1 = j0.9239, p 2 = j0.9239, p 3 = j et p 4 = j Donc : P 4 (S) = s s s s + 1.0

49 Filtre de Butterworth - Exemple numérique La bande passante est : B p = (f 2 f 1 )/f o = 1/ 2. On remplace : S = ( 2 s + 1 ) s Donc : avec H(s) = 0.25s4 D(s) D(s) =s s s s s s s s Notez que s = p/ω c = p/1.2310, car la fréquence est normalisée.

50 Filtre de Butterworth - Exemple numérique Donc l équation à transformer sera : avec H(p) = p4 D(p) D(p) =p p p p p p p p

51 Filtre de Butterworth - Exemple numérique Il faut passer du coté numérique. On fait la transformation bilinéaire de l équation du filtre : avec H(z) = N(z) z z z z N(z) = z z z z

52 Propriété intéressante du filtre de Butterworth La réponse en fréquence d un filtre de Butterworth (fréquence normalisée) dans le domaine continu est : T N (ω) = ω 2N (32) Cette équation correspond au cas "filtre passe bas". On peut obtenir des équations similaires pour les autres types de filtres de Butterworth.

53 Outline 1 Filtres IIR 2 Transformation bilinéaire 3 Filtres de Butterworth 4 Filtres de Chebyschev 5 Filtres de Bessel

54 Filtre de Chebyschev Le filtre de Chebyschev est un filtre où l on accepte une certaine ondulation de la réponse en fréquence. Si cette ondulation est dans la bande passante, on désigne ce filtre : filtre de Chebyshev de type I. Si cette ondulation est dans la bande coupée, on désigne ce filtre : filtre de Chebyshev de type II.

55 Filtre de Chebyschev de type I Un filtre de Chebyschev aura une réponse en fréquence ressemblant à : T N (x) = ɛ 2 P 2 N (x) (33) Les polynômes de Chebyschev sont définis par l équation suivante : P n (x) = 2xP n 1 (x) P n 2 (x) (34) avec P 0 = 1 et P 1 = x. Pour n = 2 on a : Pour n = 3 : P 2 (x) = 2xP 1 (x) P 0 (x) = 2x 2 1 P 3 (x) = 2xP 2 (x) P 1 (x) = 2x(2x 2 1) x = 4x 3 3x

56 Filtre de Chebyschev de type I Pour concevoir un filtre de Chebyschev, il faut suivre les étapes suivantes : ÉTAPE 1 : Calculer la valeur ɛ en résolvant l équation suivante : δ db = 20 log 10 ( 1 + ɛ 2 ) (35) avec δ db l amplitude de l ondulation permise là ou le filtre laisse passer le signal. ÉTAPE 2 : Calculer les N valeurs θ k avec : avec k = 1, 2,..., N. θ k = π(2k 1) 2N (36)

57 Filtre de Chebyschev ÉTAPE 3 : Calculer les N pôles du filtre : ( ( )) 1 1 p k = sinh N arcsinh sin(θ k ) ɛ ( ( )) j cosh N arcsinh cos(θ k ) ɛ (37) ÉTAPE 4 : Construire le filtre avec : H N (z) = 1 2 N 1 ɛ N k=1 1 s p k (38)

58 Filtre de Chebyschev de type I - Exemple Bâtir un filtre passe bas normalisé du 4ième ordre (N = 4), ayant une ondulation en basse fréquence inférieure à 1 db. ÉTAPE 1 : On trouve la solution ɛ de cette équation : ce qui mène à ɛ = δ db = 1 = 20 log 10 ( 1 + ɛ 2 ) ÉTAPE 2 : On calcule les 4 valeurs de θ k : θ k = π(2k 1) 8 ce qui mène à θ 1 = π/8, θ 2 = 3π/8, θ 3 = 5π/8 et θ 4 = 7π/8.

59 Filtre de Chebyschev - Exemple ÉTAPE 3 : Les 4 pôles sont : ( ( )) 1 1 p k = sinh 4 arcsinh sin(θ k ) ( ( )) j cosh 4 arcsinh cos(θ k ) = sin(θ k ) + j cos(θ k ) ce qui mène à p 1 = j0.9834, p 2 = j0.4073, p 3 = j et p 4 = j

60 Filtre de Chebyschev - Exemple ÉTAPE 4 : La fonction de transfert est : Ce qui donne : H 4 (s) = H 4 (s) = k=1 1 s p k s s s s qui est le filtre de 4ième ordre recherché.

61 Filtre de Chebyschev - Exemple Si on désire en faire un filtre numérique ayant une fréquence de coupure de 10 Hz (sur un système échantillonné à 100 Hz), on doit calculer : puis : ω c = 2π f c 10 Hz = 2π F S 100 Hz = π/5 Ω c = tan(ω c /2) = tan(π/10) = En remplaçant s par s/0.3249, on obtient : H 4 (s) = s s s s

62 Filtre de Chebyschev - Exemple Et finalement, avec la transformation bilinéaire : H 4 (z) = N(z) z z z z avec N(z) = z z z z L équation récurrente à implanter est : y[n] =3.054y[n 1] 3.829y[n 2] y[n 3] y[n 4] x[n] x[n 1] x[n 2] x[n 3] x[n 4]

63 Filtre de Chebyschev de type II Pour concevoir un filtre de Chebyschev de type II, il faut suivre les étapes suivantes : ÉTAPE 1 : Calculer la valeur ɛ en résolvant l équation suivante : 1 ɛ = γ 1 (39) avec γ l atténuation de la bande de fréquence qui doit être coupée (en db). ÉTAPE 2 : Calculer les N valeurs θ k avec : avec k = 1, 2,..., N. θ k = π(2k 1) 2N (40)

64 Filtre de Chebyschev de type II ÉTAPE 3 : Calculer les N pôles du filtre : ( ( )) = sinh p k N arcsinh sin(θ k ) ɛ ( ( )) j cosh N arcsinh cos(θ k ) ɛ ÉTAPE 4 : Calculer les N zéros du filtre : ( ) 1 π 2k 1 = j cos 2 N p k (41) (42)

65 Filtre de Chebyschev de type II ÉTAPE 5 Construire le filtre avec : H N (z) = ɛ N k=1 s p k s p k (43)

66 Outline 1 Filtres IIR 2 Transformation bilinéaire 3 Filtres de Butterworth 4 Filtres de Chebyschev 5 Filtres de Bessel

67 Filtre de Bessel Le filtre de Bessel possède la propriété d offrir un délai constant sur sa bande passante. Ce qui minimise la distorsion d un signal complexe. Il est basé sur les polynômes de Bessel : P n = n (a k s k ) (44) k=0 Les coefficients a k sont calculés comme suit : a k = (2n k)! 2 n k k!(n k)! (45) pour k = 0, 1,..., n.

68 Filtre de Bessel La fonction de transfert du filtre passe bas de Bessel est : H N (s) = P N(0) P N (s) (46) Exemple (N = 4) : a k = (8 k)! 2 4 k k!(4 k)! pour a 0 = 105, a 1 = 105, a 2 = 45, a 3 = 10, a 4 = 1. H 4 (s) = 105 s s s s + 105

69 Filtre de Bessel Réponse en fréquence : Délai en fonction de la fréquence :