I. QUELQUES ELEMENTS DE LOGIQUE

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1 I. QUELQUES ELEMENTS DE LOGIQUE A. Propositions et connecteurs Une proposition est une phrase grammaticalement correcte, ayant un sens, ni interrogative, ni exclamative qui peut être soit vraie, soit fausse (pas les deux à la fois! logique du tiers exclu) notée A, B, C, 1. Propositions logiquement équivalentes Deux propositions sont logiquement équivalentes si elles sont simultanément vraies et simultanément fausses. donc quand elles ont la même table de vérité On note A B Un connecteur est un élément de liaison entre propositions : non, et, ou, ou, si alors..,si et seulement si.. Négation à toute proposition A on peut faire correspondre (axiome) une nouvelle proposition : négation de A notée : non A ou A ou encore A. non A est vraie si A est fausse, sinon elle est fausse. Table de vérité : Propriété : non( non A) A A A V F F V en effet A A A V F V F V F 3. Conjonction logique : «et» la conjonction et placée entre deux propositions A, B définit une nouvelle proposition notée ( A et B ) appelée conjonction logique des propositions A, B. (A et B) est vraie si A et B sont simultanément vraies, et fausse dans tous les autres cas. Autre notation : ( A B ) Table de vérité : A B A et B V V V V F F F V F F F F Propriétés : 1 ( A et A) A (idempotence) ( A et non A) est une antilogie c.à.d. une proposition «toujours» fausse. 3 ( A et B) ( B et A) (commutativité) 4 [( A et C) et B] [ A et ( C et B)] (associativité) jm schadeck 1

2 A 1 A A et A A A A et A 3 V V V V F F F F F F V F 4 A B C (A et B) (A et B) et C (B et C) A et (B et C) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F A B A et B B et A V V V V V F F F F V F F F F F F 4. Disjonction inclusive : «ou» la conjonction ou placée entre deux propositions A, B définit une nouvelle proposition notée ( A ou B ) appelée disjonction inclusive de A, B. ( A ou B ) est fausse si A et B sont simultanément fausses, vraie dans tous les autres cas. Autre notation : ( A B ) Table de vérité: A B A ou B V V V V F V F V V F F F Propriétés : 1 ( A ou A) A (idempotence) ( A ou non A) est une tautologie c.à.d. une proposition «toujours» vraie. (principe du tiers exclus) 3 ( A ou B) ( B ou A) (commutativité) 4 [( A ou C) ou B] [ A ou ( C ou B)] (associativité) s : en exercice 5. Disjonction exclusive : «ou» (moins utilisée) la conjonction ou placée entre deux propositions A, B définit une nouvelle proposition notée ( A ou B ) appelée disjonction exclusive de A, B. ( A ou B ) est vraie si une seule des propositions A et B est vraie, fausse dans les autres cas. Autre notation : ( AwB ) Table de vérité: A B A ou B V V F V F V F V V F F F Propriétés : 1 ( A ou A ) est une antilogie ( A ou non A) est une tautologie 3 ( A ou B) ( B ou A) (commutativité) 4 [( A ou C) ou B] [ A ou ( C ou B)] (associativité) jm schadeck

3 s : en exercice 6. Implication : «si alors» étant donné deux propositions A et B, la nouvelle proposition [(non A ) ou B ] notée ( A B ) est appelée implication. ( A B ) est fausse si A est vraie et B fausse, vraie dans tous les autres cas. Table de vérité: Propriétés : 1 ( A A) est une tautologie [( A B) et ( B C)] ( A C) est une tautologie (transitivité) 3 ( A B) ( non B non A) (contraposition) mais ( A B) ( B A) s : en exercice A B A B V V V V F F F V V F F V 7. Double implication : «si et seulement si» étant donné deux propositions A et B, la nouvelle proposition [( A B ) et ( B A ) ] notée ( A B ) est appelée double implication. Table de vérité: A B A B V V V V F F F V F F F V Propriété : si A B, ( A B ) est une tautologie. : en exercice 8. Les relations les plus utiles entres connecteurs 1 Théorèmes de Morgan [ non( A et B)] [( non A) ou ( non B)] soit A et B A ou B [ non( A ou B)] [( non A) et ( non B)] soit A ou B A et B : exercice en regardant les tables de vérité jm schadeck 3

4 Distributivité de la conjonction sur la disjonction inclusive et elle même [ A et ( B ou C)] [( A et B) ou ( A et C)] [ A et ( B et C)] [( A et B) et ( A et C)] 3 Distributivité de la disjonction inclusive sur la conjonction et elle même [ A ou ( B et C)] [( A ou B) et ( A ou C)] [ A ou ( B ou C)] [( A ou B) ou ( A ou C)] s : en exercice 4 Mais aucune distributivité du ou exclusif! B. Quelques méthodes de déduction «Une proposition C se déduit de n propositions H1,..., H n» signifie que chaque fois que H1,..., Hn sont vraies simultanément, C est vraie. On note : ( H1 et... et Hn) C. En d autres termes : «C se déduit de n propositions H1,..., H n» signifie que l implication [ ( H1 et... et Hn) C ] est une tautologie. il suffit donc de vérifier que si ( H1 et... et H n ) est vraie, nécessairement C est vraie. Remarques ( H et... et H ) C est une proposition qui peut être vraie ou fausse 1 n ( H1 et... et Hn) C est une proposition qui est vraie! ( ce qui interdit : ( H1 et... et H n ) vraie et C fausse) Dans la pratique Dans un raisonnement, on écrit des propositions vraies, ou supposées vraies (sinon, on ne les écrit pas) on écrira donc par la suite, comme à l'habitude : ( H1 et... et Hn) C la véracité de l implication étant implicite 1 Règle de simplification ( H et H ) H 1 1 ( H et H ) H est une tautologie : 1 1 H 1 H H1 et H ( H1 et H) H1 V V V V V F F V F V F V F F F V exemple un «triangle isocèle et rectangle» est «un triangle isocèle» jm schadeck 4

5 Règle d implication [ H et ( H H )] H 1 1 la table de vérité de [ H1 et ( H1 H)] H est celle d une tautologie : exercice exemple «la somme des chiffres de 7515 est 18, qui est divisible par 9» et «en base dix, si la somme des chiffres d un nombre est divisible par 9, alors ce nombre est divisible par 9» alors 7515 est divisible par 9 3 Règle du syllogisme [( H1 H) et ( H H3)] ( H1 H3) la table de vérité de [( H1 H) et ( H H3)] ( H1 H3) est celle d une tautologie : exercice 4 Règle de disjonction des cas [( A B) et ( non A B)] B la table de vérité de [( A B) et ( non A B)] B est celle d une tautologie : exercice exemple «n, n n est pair» en effet si n est pair, n k, et n n 4k k (k k 1) si n est impair, n k 1, et n n 4k 4k 1 k 1 (k 3k ) 5 Règle de contraposition ( A B) ( non B non A) remarquons que : et donc ( non B non A) ( A B) et enfin ( A B) ( non B non A) ( A B) ( non B non A), ou la table de vérité de( A B) ( non B non A) est celle d une tautologie : exercice exemple «f est dérivable sur I f est continue sur I» alors «f est non continue sur I f est non dérivable sur I» jm schadeck 5

6 6 Raisonnement par l absurde. Pour montrer que A est vrai, on suppose (non A) vraie et on montre que cela entraîne une contradiction avec une autre hypothèse. Exemple «d1 // d et d1 // d 3 d // d 3» en effet, si d et d3 sont sécantes, elles se coupent en un seul point A, et par ce point passent donc deux parallèles distinctes à d 1, ce qui contredit l axiome d Euclide. Elles ne sont donc pas sécantes, elles sont parallèles. 7 Méthode du contre exemple pour montrer que ( A B ) est fausse, il suffit d exhiber un cas pour lequel A est vraie, et B fausse. exemple «n, n n est divisible par 4» or pour n 4, n n, donc la proposition est fausse, et sa négation,«n tel que n n n est pas divisible par 4», est vraie. II. ENSEMBLES et sous-ensembles 1. Ensembles et éléments Ce sont deux notions primitives, donc pas de définition. Les objets qui constituent un ensemble sont appelés éléments. et une série d axiomes décline les propriétés fondamentales des objets appelés ensembles et éléments dont l'exposé dépasserait le cadre de ce court. Un ensemble est défini en extension (on cite tous ses éléments) ou en compréhension (on donne une propriété caractéristique des éléments de l ensemble). 0; 1; ; 3; 4; 5 n / 0 n 6. Exemples :. Quantificateurs L ensemble vide noté est l ensemble qui ne contient aucun élément x E :" pour tout élément de E" x E : "il existe (au moins) un élément de E"! x E : "il existe un seul élément de E" x E,P( x ) x E,P( x ) x E,P( x ) x E,P( x ) la négation de est vrai est est faux la négation de est vrai est est faux! x E,P( x ) x E,P( x ) ou x etx E,x x,p( x )etp( x ) s la négation de est vrai est est faux sont vrai jm schadeck 6

7 3. Parties d un ensemble et opérations sur les ensembles. «A est une partie de E» ou «A est un sous-ensemble de E», ou encore «A est inclus dans E» se note A E : et on a A E x A, x A x E A B A B et B A L ensemble des parties de E est l ensemble P(E). a. Intersection A B est définie par x A B x A et x B et A et B sont disjoints si A B propriétés 1 A B B A (commutativité) ( A B) C A( BC ) (associativité) 3 A A A, A E A et A b. Réunion A B est définie par x A B x A ou x B propriétés 1 A B B A (commutativité) ( A B) C A( BC ) (associativité) 3 A A A, A E E et A A de plus elles sont distributives l une pour l autre et elles mêmes. A( BC) ( A B) ( AC ) et A( BC) ( A B) ( AC ) A( BC) ( A B) ( A C) et A( BC) ( A B) ( A C) c. Complémentaire de A dans E E E A ou A est défini par x A x E et x A et on a A A. lois de Morgan A B A B et A B A B exercice d. Différence A B est définie par x AB x A et x B propriétés 1 A A A A mais la différence n'est pas commutative la différence n'est pas associative jm schadeck 7

8 e. Différence symétrique A B est définie par x AB x A B et x A B ( x A ou x B ) A B ( A B ) ( B A) (d où son appellation) propriétés 1 AB B A (commutativité) ( AB) C A( B C) (associativité) 3 A A, AE A et A A f. Recouvrement et partition un recouvrement de E est une famille de parties de E dont la réunion est l ensemble E. une partition de E est une famille de parties non vides de E disjointes à et dont la réunion est L ensemble E. propriété tout élément de E appartient à l une de ces parties et une seule. A une partition de E i 1 I 1 tel que x E x A i J x A i I si p I tel que x Ap et q I tel que x Aq alors Ap Aq donc Ap Aq et p q 4. Produit cartésien (cf coordonnées) i Le produit cartésien de ensembles A et B, noté AB est l ensemble des couples a;b d éléments respectivement de A et de B. A B a;b / a A et b B ( a; b) ( c; d) ( a c et b d ) exercice AB C ABAC id pour 5. Graphe un graphe est un sous ensemble du produit cartésien de deux ensembles. On appelle graphe fonctionnel de E vers F tout graphe de E vers F tel que x E,! y F / ( x; y) III. RELATIONS BINAIRES c'est la notion très générale et fondamentale Définition1 Une relation binaire R de E vers F est définie par un sous-ensemble de E F, qui est le graphe de la relation, On note : xry ( x; y ),x est l antécédent, y est l image ou RE,F, jm schadeck 8

9 1. Fonctions Une fonction est une relation binaire (dite fonctionnelle ) telle que tout élément de l ensemble de départ E a au plus une image dans l ensemble d arrivée F. on note y = f(x). on écrit souvent f E F x y ou E F x f ( x ) Une application est une fonction telle que tout élément de l ensemble de départ E a au moins une image dans l ensemble d arrivée F. E,F, est alors un graphe fonctionnel. a. Injection Définition Une application de E dans F est injective si deux antécédents distincts ont deux images distinctes i.e. si toute image est l'image d'un seul élément, i.e. si tout élément de l ensemble d arrivée F a au plus un antécédent dans L ensemble de départ E : d'où la caractérisation f injective ( x; x') EE, x x' f ( x ) f ( x') ou par contraposition f injective ( x; x') EE, f ( x ) f ( x') x x' (la plus utilisée) b. Surjection Définition 3 Une application de E dans F est surjective si tout élément de l ensemble d arrivée F a au moins un antécédent dans l ensemble de départ E : f surjective y F, x E / f ( x ) y c. Bijection Définition 4 Une application de E dans F est bijective si tout élément de l ensemble d arrivée F a exactement un antécédent dans l ensemble de départ E: f bijective y F,! x E / f ( x ) y elle est à la fois injective et surjective jm schadeck 9

10 . Relations dans un ensemble Si l ensemble de départ et l ensemble d arrivée sont identiques, et si on ne s'intéresse pas à l'aspect fonctionnel, on dit alors «relation dans un ensemble» on distingue quatre propriétés : a. Réflexivité Définition 5 une relation est réflexive dans E si tout élément de E est en relation avec lui-même R est réflexive dans E x E, xrx b. Symétrie Définition 6 une relation est symétrique dans E si chaque fois que x est en relation avec y, alors y est en relation avec x R est symétrique dans E ( x; y ) E, xry yrx c. Antisymétrie Définition 7 une relation est antisymétrique dans E si chaque fois que : x est en relation avec y et y est en relation avec x alors x = y R est antisymétrique dans E ( x; y ) E, xry et yrx x y d. Transitivité Définition 8 une relation est transitive dans E si chaque fois que : x est en relation avec y et y est en relation avec z alors x est en relation avec z. 3 R est transitive dans E ( x;y;z) E, x Ry et yrz xrz et donc en général R ne peux pas définir une fonction. Ceci permet de définir les trois types suivants de relations dans un ensemble : A. Relation d équivalence Définition 9 une relation d équivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive jm schadeck 10

11 Définition 10 pour une relation d équivalence R dans E, la classe d équivalence de x est l ensemble des éléments de E en Cl( x ) x y E / yrx relation avec x. propriétés (1) xr y x y () si R est une relation d équivalence dans E, l ensemble des classes d équivalence est une partition de E : Une classe n est jamais vide. ( x x ) Deux classes distinctes sont disjointes Leur réunion est E Preuves : en exercices Définition 11 L ensemble dont les éléments sont toutes les classes est appelé l ensemble quotient de E par R : noté E/R B. Relation d ordre Définition 1 une relation d ordre est une relation réflexive, antisymétrique et transitive une relation qui est à la fois une relation d'ordre et une relation d'équivalence est la relation d'égalité (qui définit la fonction identité qui est une bijection de E dans lui même) Tout ensemble dans lequel est définie une relation d ordre est un ensemble ordonné. On dit que L ordre est total si deux éléments sont toujours comparables (ex : dans les ensembles de nombres). L ordre est partiel si deux éléments ne sont pas toujours comparables(ex : dans l'ensemble des sous ensembles d'un ensemble ). Ordre strict Une relation d'ordre induit la relation définie par a b a b et a b est appelée un ordre strict, bien qu'elle ne soit pas un ordre On définit aussi un ordre strict comme suit : Définition 5' une relation est antiréflexive dans E si aucun élément de E n'est en relation avec luimême R est antiréflexive dans E x E, x E,xRx jm schadeck 11

12 Définition 1' une relation d ordre est une relation antiréflexive et transitive elle est alors de fait antisymétrique puisque x Ry et yrx est impossible! L'existence d'une relation d'ordre permet de définir toutes les notions suivantes : Soit E; un ensemble ordonné et A E, A non vide, a. Majorant et minorant Définition 13 Un élément M de E est un majorant de A a A, a M. Un élément m de E est un minorant de A a A, m a. b. Maximum et minimum Définition 14 Si M est un majorant de A et si M A,alors c est l élément maximum, ou maximum de A Si m est un minorant de A et si m A,alors c est l élément minimum, ou minimum de A Proposition a. si le maximum existe, il est unique b. si le maximum existe, il est unique a. supposons M1 E et M E tels que (1) a A, a M1 et M1 A (1) a A, M M1 et () a A, M1 M et par transitivité, M M1 b. idem pour le minimum (l'écrire à titre d'exercice) c. Borne sup. et borne inf et () a A, a M et M A Définition 15 on appelle borne supérieure de A, sup A,s'il existe, le plus petit de ses majorants. on appelle borne inférieure de A, inf A, s'il existe, le plus grand de ses minorants. en d'autres termes, la borne supérieure est le minimum de l ensemble des majorants de A, elle est donc unique si elle existe jm schadeck 1

13 la borne inférieure est le maximum de l ensemble des minorants de A, elle est donc unique si elle existe cas particulier: Si le maximum de A existe, c est aussi la borne supérieure de A M E tel que a A, a M et M A alors c'est un majorant de A et si ce n'est pas le plus petit, alors M E tel que a A, a M et M M mais a A, a M M M par transitivité M M Si le minimum de A existe, c est aussi la borne inférieure de A même raisonnement (l'écrire à titre d'exercice) évidemment, l inverse est faux! Caractérisations de sup. et inf dans l'ensemble des réels Théorème 1 A une partie de,, M est la borne supérieure de A x A x M, > 0, x A tel que x M (l'accolade signifie le mot "et") M est la borne supérieure de A a A, a M d'autre part, supposons que 0 x A tel que x M, alors M est un majorant de A et comme M >, si M, M n'est pas le plus petit majorant de A donc, > 0, x A tel que x M, ( c'est la négation de, 0 tel que x A tel que x M ) Inversement x A, x M, > 0, x A tel que x M x A, x M M est un majorant de A si M n'est pas le plus petit des majorants, M et M M, on pose = M M 0, > 0, x A tel que x M x A tel que x M M M donc x A tel que x M, ce qui est absurde, donc M est le plus petit des majorants c'est à dire la borne sup Théorème A une partie de,, m est la borne inférieure de A x A x m > 0, x A tel que x < m même raisonnement (l'écrire à titre d'exercice) Théorème 3 (admis) toute partie non vide majorée (minorée) de ( ; ) a une borne supérieure (inférieure) jm schadeck 13

14 d. élément maximal et élément minimal c'est une notion qui n'a d'intérêt que si l'ordre est partiel, Définition 16 Un élément M de A est maximal s il n admet pas de majorant dans A autre que lui même : a A, M a M a. Un élément m de A est minimal s il n admet pas de minorant dans A autre que lui même : a A, a m a m. remarque : si l ordre est total les notions d élément maximal et de maximum sont les mêmes. Si l ordre est partiel, il peut y avoir plusieurs éléments maximaux, qui ne sont donc pas ordonnés. (le cas favorable pour l'économiste est quand il y en a un seul) Exemple : 0;1 ordonné par "x divise y" : les éléments maximaux sont les nombres premiers. 3. relation de pré-ordre Définition 17 une relation de pré-ordre est une relation réflexive et transitive un ordre est un pré-ordre s il s agit d un pré-ordre qui n'est pas un ordre, donc non antisymétrique, les notions de majorant, maximum, etc n existent pas! on peut cependant obtenir une relation d ordre, mais pas dans le même ensemble il faudra «quotienter» l ensemble initial par une relation d équivalence, et dans ce nouvel ensemble, nous disposerons d'un ordre et à nouveau des notions de majorant, maximum, etc Mais ce n est plus le même ensemble! On procède ainsi : Si est un pré-ordre sur E, permet de construire une relation d équivalence R: (x; y) E,xRy (x y et y x) Les classes d équivalence pour R sont aussi nommée classes d indifférence pour. L ensemble de ces classes forment un ensemble : l ensemble quotient de E par Et dans cet ensemble on a une relation d ordre, induite par qui est définie par : R noté E / R. x E / R et y E / R x y x x et y y / x y (sera détaillé en classe) Ainsi, E n'est pas ordonné par, mais E / R l'est par la relation induite. jm schadeck 14