TOPOLOGIE - QUIZ 1 (A B) = ( A) ( A A B B

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1 TOPOLOGIE - QUIZ 1 Question 1. Vrai ou faux? Motiver la réponse. (a) (A B) (A B ) = (A B ) (A B). (b) (c) (A B) (A B ) = (A B ) (A B); (A B) = ( A) ( B). A A B B A A B B Question 2. Dire si la fonction f definie par x x 2 est injective ou surjective dans les cas suivants. Motiver les réponses negatives. (a) f : R R; (b) f : R + R; (c) f : R R + ; (d) f : N N.

2 TOPOLOGIE - SÉRIE 2 Exercice 1 (Caractérisation des ouverts). Soit (X, T ) un espace topologique et soit A un sous-ensemble de X. Démontrer que A T si et seulement si pour tout x A il existe U T tel que x U A. Le sens direct est évident, il suffit de prendre U = A pour tout x X. Supposons en revanche que pour tout x A, il existe un ouvert U x tel que x U x A. Alors x A U x = M qui est donc ouvert comme réunion d ouverts. Exercice 2 (Topologies sur R). Montrer que la collection T fin := {U R R \ U est fini} { } est une topologie sur R, ce qui l on appelle la topologie du complément fini. Montrer que les collections suivantes sont des bases de topologie sur R. (a) B K := {]a, b[ a < b R} {]a, b[ \ K a < b R}, où K := { 1 n n N >0}. L on note T K la topologie determinée par B K. (b) B limsup := {]a, b] a < b R}. La topologie T limsup determinée par B limsup est appellée topologie de la limite supérieure. (c) B sup := {], a[ a R}. La topologie T sup determinée par B sup est appellée topologie supérieure. On va montrer que T fin est bien une topologie. L ensemble vide est un element de T fin, et R l est aussi, lorsque son complement est fini. En supposant que {U i } i I est une collection d ouverts (non vides) de T fin, pour n importe quel j I on a que R \ ( U i ) = \ U i ) R \ U j, i I i I(R ce qui est fini. Donc i I U i T fin. En supposant que {U i } i I est une collection finie d ouverts (non vides) de T fin, on a que R \ ( U i ) = \ U i ), i I i I(R ce qui est une réunion finie d ensembles finis, et alors finie aussi. Donc i I U i T fin. (a) On va montrer que B K est bien une base de topologie. L ensemble des intervalles de la forme ]a, b[, où a < b R est suffisant pour recouvrir R. Quand l intersection U V entre deux ouverts U, V B K n est pas vide, elle est toujours un element de B K. (b) On va montrer que B limsup est bien une base de topologie. Date: 1 er octobre 2014

3 Pour tout x R, on a que x ]x 1, x] B limsup T limsup. Quand l intersection U V entre deux ouverts U, V B limsup n est pas vide, elle est toujours un element de B limsup. (c) On va montrer que B sup est bien une base de topologie. Pour tout x R, on a que x ], x + 1] B sup T sup. Quand l intersection U V entre deux ouverts U, V B sup n est pas vide, elle est toujours un element de B sup. Exercice 3. Verifier que la collection suivante T n est pas une topologie sur R. T := {R, } {]q, [} q Q. Montrons que la condition T 2 n est pas vérifiée. Soit x R \ Z. Par densité de Q dans R, on sait qu il existe une suite décroissante (a n ) n=0 Q telle que lim n a n = x. Soit A n =]a n, [. Par définition de T, A n T. Montrons alors que ]a n, [ = ] inf (a n), [. n N n=0 Soit y ] inf n N (a n ), [. Alors, inf n N (a n ) < y < et donc il existe, par la définition de l infimum un k N tel que a k < y. Ainsi, y ]a k, [ et pour finir x n=0 ]a n, [. Dans l autre sens, soit y n=0 ]a n, [, il existe k N tel que y ]a k, [. C est pourquoi, a k < x <. Comme la suite (a n ) n=0 a été choisie décroissante et par définition de l infimum, on sait que inf n N (a n ) < a k < y <. D où, y ] inf n N (a n ), [. On obtient donc que n=0 ]a n, [=] inf n N (a n ), [. Or, par définition de notre suite inf (a n) = lim n a n = x. n N Donc, ]a n, [ = ]x, [. n=0 Or, ]x, [/ T, car x R \ Q. D où T n est pas une topologie. Exercice 4 (Topologies determinés par une famille de topologies). Soit A un ensemble quelconque. (a) Si {T α } α A est une famille de topologies sur X, démontrer que α A T α est une topologie sur X. Est-ce que α A T α est une topologie sur X? (b) Soit {T α } α A une famille de topologies sur X. Démontrer que il existe une unique topologie la plus grossière sur X, qui contient toutes les collections T α ; il existe une unique topologie la plus fine, contenue dans toutes les T α. (c) Si X = {a, b, c}, soient T 1 = {, X, {a}, {a, b}} et T 2 = {, X, {a}, {b, c}}. Trouver la topologie la plus grossière qui contient T 1 et T 2, et la topologie la plus fine contenue dans T 1 et T 2. (a) Montrons que l intersection de topologies est toujours une topologie., X T α pour tout α A, ainsi, X α A T α.

4 U α A T α = U T α pour tout α A. Ainsi, U U U T α α A = U U U α A {U i } n i=1 α A T α = {U i } n i=1 T α pour tout α A. Ainsi, T α. n n U i T α α A = U i T α. i=1 i=1 α A La réunion d une famille de topologie n est pas nécessairement une topologie. Par exemple, T = T limsup T liminf (où T liminf est la topologie de la limite inferieure, définie d une facon symétrique par rapport à la topologie de la limite superieure) n est pas une topologie car ] 1, 0], [0, 1[ T mais ] 1, 0] [0, 1[= {0} / T. (b) On cherche la topologie la plus grossière contenant α A T α. Cette topologie est celle engendrée par la sous-base α A T α. C est bien l unique plus grossière contenant les autres topologies par définition de la topologie engendrée par une sous-base. α A T α est une topologie par (a) et est contenue dans toutes les T α. C est l unique topologie la plus fine avec cette propriété. En effet, si T est une topologie contenue dans toutes les T α, alors T α A T α. (c) En utilisant les preuves de (b), on trouve que la topologie la plus grossière contenant T 1 et T 2 est {, X, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}} et la topologie la plus fine contenue dans T 1 et T 2 est {, X, {a}}. Exercice 5 ( ). On définit une topologie sur Z (appelé la topologie des entiers uniformément espacés) comme suit: U Z est ouvert : U est une réunion d ensembles de la forme az + b (où a, b Z, a 0 et où az + b = {ax + b x Z}). Montrer que (a) c est vraiment une topologie sur Z; (b) les az + b avec a, b Z sont fermés (i.e. leurs compléments sont ouverts) et ouverts (clopen en anglais); (c) Z \ {±1} = p prime (pz + 0) et donc, en notant qu un ensemble non vide et fini U Z n est pas ouvert, qu il y a une infinité des nombres premiers. (a) Il s agit de vérifier que l ensemble des az + b forme une base de topologie. Puisque Z = 1Z + 0, tout entier appartient à un ouvert de base. De plus, si x (az + b a Z + b ), alors x aa Z + x (az + b) (a Z + b ). (b) Si le reste dans la division de b par a est r, alors az + b = Z \ i=0,...,a 1 i r az + i, ce qui montre que az + b est fermé.

5 (c) L égalité d ensembles provient du fait que tout entier différent de 1, 1 est divisible par un nombre premier. Supposons par l absurde qu il existe seulement un nombre fini de nombres premiers. Alors Z \ { 1, 1} est une union finie de fermés, donc un fermé, ce qui implique que { 1, 1} est un ouvert non vide. Il suffit donc de montrer que tout ouvert non vide est infini pour obtenir une contradiction. Or tout ouvert non vide contient un ensemble de la forme az + b, qui est en bijection avec Z et donc infini.