AP : Calcul littéral 1S1

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1 AP : Calcul littéral 1S1 Objectif : Soutien et approfondissement en calcul littéral Capacités abordées : - Développer, factoriser - Equations à résoudre ( 1) - Equations-produits - Equations-quotients - Inéquations ( 1) - Inéquations-produits : tableau de signe - Inéquations-quotient : Tableau de signe Imprimer : - Fiches méthodes : Tout sauf Equations et Développer - Faire 6 dossiers (pour 6 groupes de 3) Consignes : - Annoncer les objectifs - Créer des groupes de 3 personnes (à partir du sondage fait au préalable) en fonction des thèmes choisis - Faire les exercices proposés (demander conseil au professeur) en suivant les exemples méthodiques - Correction via le professeur ou les autres élèves ou Xcas - Aide : Prof ou fiche méthode ou Xcas ou les autres élèves. - Les ** sont à faire en priorité

2 AP1 : SOUTIEN ET APPROFONDISSEMENT EN CALCUL ALGEBRIQUE NOMS Effectif : 35 Aaron Arnaud Abderrazak Alaoui Ines Développer Factoriser Equations et inéquations Signe d une fonction affine Inéquations-produits (tableau de signe) Fractions rationnelles et équationsquotients Inéquations- Quotients (tableau de signe) Allard Clémentine Angibot Malo Anselmet Simon Bel Laura Benard Anthony Beral Emma Bernard Pierre Boina Chaïlas Boisard Dune Boyer Cyril Brial Achille Buche Nathan Clapier Carole Cuzzubbo Axel Daurin Sayma Vialas Fanny Destremx Elisa Dierx Théo Axel Gérard Gaudel Théophile Gunnoo Selvin Habri Ornella Hermile Mahe Hoarau Xavier Issabhay Imraan Karolia Ziyad Karsenty Yoan Kherchiche Sofia Lai Leung Kwong Lucas Latchoumane Edouard Levu-Soussan Bastien Roche Clarisse Volcey Eliot Winum Ulysse

3 DEVELOPPER ET FACTORISER Exercice 1 Facile Développer et réduire les expressions suivantes : A = (3x 5)² B = (3-) C = ( 9)( + 9) + ( 3)(4 + 7x) D = (8y 3)(2 7y) (9x + 6)² Exercice 2 Facile 1) Factoriser les expressions suivantes : A = 15t + 5 B = 8x xy C = 7x² + 1 2) Factoriser à l aide des identités remarquables : A = 49x² - 16 B = ( + 1)² - 49 C = x² +10x + 25 Exercice 3 Niveau 2 nde ** Factoriser les expressions suivantes : A = (3x +1)² - ( 4)² B = ( + 1)( 4) + ( + 2)(3x 7) C = (8x 1)(x - 1) + (1 - x)(3x+4) D = 4 x² 1 9 (3 2 x)( 7) (plus dur) D = a² - a E = (3x + 1)( 4) 4( 4) F = (7x + 3)(-2) (7x + 3)² D = ²

4 EQUATIONS ET INEQUATIONS Exercice 1 : Equation du type «ax+b=cx+d» ou s y ramenant : FACILE x y a. 17 = 22 + b. -2a -3 = a 4 2 d. 3 4 y e. 7(x +3) = -5 (4+x) f = 0 g. 8-1 = 0 Exercice 2 : Equations-produits «basiques» FACILE a. (4-)(-3x +7) = 0 b. (2-3a)(-2a + 1) = 0 Exercice 3 : Equation se ramenant à une équation-produit par factorisation FACILE* 1. On considère l équation : ² - = 0 a. Factoriser le membre de gauche de l équation. b. En déduire les solutions de cette équation 2. On considère l équation : ( 1)² + (-1)(3x + 4) = 0 a. Factoriser le membre de gauche de l équation. b. En déduire les solutions de cette équation 3. On considère l équation : 16 ( 3)² = 0 a. Factoriser le membre de gauche de l équation avec une identité remarquable b. En déduire les solutions de cette équation NIVEAU 2 nde :** 4. Résoudre l équation : ² (x 1)(x + 5) =0 5. Résoudre l équation : ( + 1)(x 5) - ² - 1=0 Exercice 4 : Equation du type «x² = a» ou s y ramenant FACILE a. x² - 4 = 0 b. 3x² -15 = 0 Exercice 5 : Inéquations basiques FACILE Résoudre les inéquations suivantes : a. 8 7x < 4- b x 7x 5 > 0 d Exercice 6 : Signe d une fonction affine : Niveau 2 nde ** 1. Déterminer le signe des fonctions affines suivantes : 4 x 5 f ( x) 3; g( x) 7 4 x; h( x) x 5; i( x) Résoudre les inéquations : f ( x) 0; g( x) 0; h( x) 0; i( x) 0

5 INEQUATIONS-PRODUITS Exercice 1 : Les basiques** 1. Déterminer le tableau de signe de l expression : A( x) ( x 1)(2 x 5) 2. Résoudre l inéquation : (3)(5 x7) 0 3. On considère la fonction f définie sur IR par f ( x) (7 8 x)( 3x 1). Résoudre l inéquation f( x) 0 4. On considère la fonction g définie sur IR par Résoudre l inéquation gx ( ) 0 5. Résoudre l inéquation : x(3x1) 0 x 1 x gx ( ) ( )(5 ) ( x 1)² 6. Tableau de signe de B( x) (3x 1)² ; C( x) 7 Exercice 2 : Inéquation se ramenant à une inéquation-produit par factorisation** Commencer par factoriser l expression Dresser le tableau de signe et conclure Distributivité simple 1. Tableau de signe de : Ax ( ) 3 x² 9x 2. Résoudre 0 avec B( x) (3x 1)² ( 4)(3x 1) 3. Résoudre Cx ( ) 0 avec C( x) ( 3)² (35 x)( x 7) 4. Résoudre Dx ( ) 0 avec D( x) x(3x 4) (6x 8)( x 7) Identités remarquables 1. Tableau de signe de : x² 6x 9 ; x² Résoudre les inéquations : 25 x² 0; 7 x² 0 ; ( x 2)² 16 ; (3x 5)² Tableau de signe de : A( x) (3x 1)² ( 1)² «Mélange» 1. Tableau de signe de : x² 13( x 1) 2. Résoudre Ax ( ) 0 avec A( x) ( x 4)( 1) x² Résoudre 0 avec B( x) 3 x( 1) 16 x² 8x 1 Exercice 3 : Résolution d inéquation du type f ( x) k; f ( x) g( x) Transposer tous les termes dans un même membre («se ramener à 0») Factoriser l expression obtenue Dresser le tableau de signe et conclure 1. Résoudre l inéquation f( x) 3 où f ( x) x² 7 2. Résoudre l inéquation x² 3. Résoudre l inéquation f( x) 9 avec f ( x) ( 4)² 4. Résoudre l inéquation f ( x) g( x) avec f ( x) ( x 5)² et g( x) ( 3)²

6 Expressions «rationnelles» et Equations-Quotients Exercice 1 : Ensemble de définition** Déterminer l ensemble de définition des fonctions suivantes : 1 7x 3 a. f( x) b. f( x) x 1 e. l( x) 7x 1 3x f. gx ( ) x1 x1 Ax ( ) existe 0 x 1 4 f( x) d. ux ( ) 5 5 x 3 1 x4 g. hx ( ) 3( x4) x4 Pour cherche l ensemble de définition d une fonction qui s écrit sous la forme donc les valeurs «interdites», c est-à-dire les valeurs «x» telle que 0. (c est-à-dire les valeurs qui annulent le dénominateur) Ax ( ), on cherche Exercice 2 : Transformer des expressions rationnelles On utilise les règles d additions et de soustractions sur les fractions (mise au même dénominateur) Ecrire les expressions suivantes sous la forme d un quotient : 3x 3 1 7x 7 x a. f( x) b. f( x) gx ( ) 5 5 x1 4( x1) 2 2( 5) 43x d. hx ( ) 2 2 x 3 g. h( x) x 3 j. 1 5 jx ( ) k. x 3 e. f( x) 7 x 5 3 h. g( x) x 1 ( x 7) 7 jx ( ) 3 4 x x 3 3 f. lx ( ) 1 x 3 (dur) x i. gx ( ) 5 ( 3) Exercice 3 : Résoudre des équations du type : Ax ( ) Ax ( ) 0 0 Bx ( ) 0 Ax ( ) 0 (équation-quotient) - Dans un premier temps, on détermine «les valeurs interdites» en résolvant l équation 0 - Puis on résoud l équation Ax ( ) 0 LES BASIQUES** 3 3x 6 a. 0 b. x x 5 d. 7x 0 x 7 e. 2 x 1 0 x

7 Comment interpréter ces solutions dans le «cadre» des fonctions, de manière graphique? Equations se ramenant à une équation-quotient : On transpose tous les termes dans un même membre («se ramener à 0») On met au même dénominateur et on factorise si nécessaire (le but étant de se ramener à un quotient cf. cas précédent) On utilise alors la règle précédente. Type «Ax ( ) k» : A savoir-faire** x 1 a. 2 b. 2 x x 3 80 x 3 d. 4 3 x e. 3 x 5 2 7x 4 3 f. 5 4 x 2 g Comment interpréter ces solutions dans le «cadre» des fonctions, de manière graphique? Type «A( x) N( x)» (plus dur) B( x) D( x) a. b. 3 3 x3 x x d. e.

8 INEQUATIONS-QUOTIENTS LES BASIQUES** Résoudre les inéquations suivantes : 1 3x 6 a. 0 b. x x 0 5 d. 7x 4 0 Comment interpréter ces solutions dans le «cadre» des fonctions, de manière graphique? Inéquations se ramenant à une inéquation-quotient : On transpose tous les termes dans un même membre («se ramener à 0») On met au même dénominateur et on factorise si nécessaire (le but étant de se ramener à un quotient cf. cas précédent) On fait alors un tableau de signe et on conclut en faisant attention aux contraintes (valeurs interdites) Type «Ax ( ) k» : A savoir-faire** Résoudre les inéquations suivantes : 1 1 b. 2 b. 1 x 4 7x x 3 d. 2 3 x e. 3x 50 7x 4 f. 2 x 2 Comment interpréter ces solutions dans le «cadre» des fonctions, de manière graphique? Type «A( x) N( x)» (plus dur) B( x) D( x) b. 2 x 1 4 x b. x3 x3 x5 x1