Outil d analyse fonctionnelle

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1 Outil d analyse fonctionnelle David Renard 1 novembre 2016 ÉCOLE POLYTECHNIQUE David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

2 Révisions ÉCOLE POLYTECHNIQUE David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

3 Revoyons rapidement les notions et résultats importants de ce cours. Résultats abstraits utilisés : 1. Théorème de Lax-Milgram (forme bilinéaire coercive). 2. Théorème Spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts sur un espace de Hilbert. 3. Formule de Green. En particulier, il faut connaître les définitions d une forme bilinéaire coercive (pour 1.) et d un opérateur compact A : H H sur un espace de Hilbert (pour 2.). Les espaces de Sobolev : ce sont les espaces de Hilbert dans lesquels nous travaillons pour montrer l existence et l unicité des solutions des systèmes d équations aux dérivées partielles que nous considérons. La notion nouvelle utilisée pour définir les espaces de Sobolev est celle de dérivée au sens faible. (voir aussi la notion importante dans les applications de divergence au sens faible). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

4 Principaux espaces de Sobolev utilisés : H 1 (), H0 1(), H2 (), H0 2 (), etc. Résultats sur les espaces de Sobolev qu il faut absolument connaître. Pour chaque énoncé, regardez bien dans le livre les hypothèses sur l ouvert : borné? régulier? 1. Critère d existence d une dérivée au sens faible pour u L 2 (). C > 0, φ Cc (), u φ dx x i C φ L 2 (). 2. Critère d existence d une divergence au sens faible pour σ L 2 () N. C > 0, φ Cc (), σ(x) φ(x) dx C φ L 2 (). 3. H 1 () est un espace de Hilbert pour le produit scalaire u, v H 1 () = ( u v + uv) dx. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

5 4. (Théorème de densité) : C c () est dense dans H 1 (). 5. (Inégalité de Poincaré) : C > 0, u H0 1 (), u L 2 () C u L 2 (). Lorsque l inégalité de Poincaré a lieu, on peut poser pour tout v H0 1(), v H 1 0 () = v(x) 2 dx, et les normes v H 1 0 () et v H 1 () sont équivalentes sur H 1 0 (). 6. (Théorème de trace) : u γ 0 (u) = u est une application continue de H 1 () dans L 2 ( ) : C > 0, v H 1 (), v L 2 ( ) C H 1 (). 7. L image de H 1 () par l application trace est un sous-espace dense dans L 2 ( ). 8. (Caractérisation de H 1 0 ()) : H1 0 () est le sous-espace des fonctions de H1 () qui s annulent sur. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

6 8. (Formule de Green) : u, v H 1 (), u v dx = x i v u dx + uv n i ds. x i 9. (Formule de Green pour la divergence) : Si u H 1 () et σ = u admet une divergence au sens faible, u v u dx = u v dx + n v ds. 10. (Théorème de Rellich) : l injection de H 1 () dans L 2 () est compacte. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

7 Valeurs propres d un problème elliptique. Un autre résultat fondamental du cours est le théorème sur les valeurs propres d un problème elliptique. Rappelons les hypothèses : V et H sont deux espaces de Hilbert et l on suppose que { V H avec injection compacte (1) V est dense dans H. a est une forme bilinéaire symétrique coercive sur V. Théorème Il existe une base hilbertienne (u k ) k 1 de H (en particulier, (u k ) k 1 est orthonormale pour le produit scalaire de H), et il existe une suite croissante (λ k ) k 1 de réels positifs qui tend vers l infini tels que pour tout k, u k V et a(u k, v) = λ k u k, v H v V. De plus, (u k / λ k ) k 1 est une base hilbertienne de V pour le produit scalaire a(, ). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

8 On peut immédiatement appliquer ceci au Laplacien avec conditions aux limites de Dirichlet, ce qui nous donne le résultat suivant. Théorème Soit un ouvert borné régulier de R N. Il existe une suite croissante (λ k ) k 1 de réels positifs qui tend vers l infini, et il existe une base hilbertienne de L 2 () (u k ) k 1, telle que chaque u k appartient à H 1 0 () et vérifie { u k = λ k u k u k = 0 p.p. dans p.p. sur. (2) David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

9 Approche variationnelle Les résultats rappelés servent à établir la pertinence de l approche variationnelle pour établir l existence et l unicité de la solution de certains systèmes d équations aux dérivées partielles avec conditions aux limites. Rappelons qu il s agit d une approche en trois étapes : Première étape : établir une formulation variationnelle. Commençons par le cas des problèmes de type elliptique (Laplacien par exemple). On procède comme suit : on multiplie l équation aux dérivées partielles par une fonction test. On intègre sur le domaine. On réalise une intégration par partie (formule de Green) pour se ramener à une formulation variationnelle du type : trouver u dans un certain espace de Hilbert V tel que ( v V ), a(u, v) = L(v). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

10 On choisit ensuite l espace V pour que toutes les intégrales que l on a écrites aient un sens, (en pratique, V se trouve dans la liste réduite d espace de Sobolev introduits pendant ce cours et n est pas trop difficile à déterminer). Il n y a pas besoin de justifier l intégration par partie, ce n est que pour revenir au problème de départ, quand la fera dans l autre sens, qu il faudra le faire Deuxième étape : On applique le théorème de Lax-Milgram pour établir l existence et l unicité de la formulation varitionnelle. Il faut bien vérifier toute les hypothèses du théorème de Lax-Milgram. Pour vérifier la coercivité de a, il faut souvent utiliser l inégalité de Poincaré ou d autre inégalité du même type. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

11 Troisième étape : On montre que la solution de la formulation variationnelle obtenue à la deuxième étape est bien solution de notre système de départ, au moins dans un sens faible. On effectue les intégrations par parties à l envers, ce qui demande souvent une justification pour laquelle on utilise par exemple le critère d existence de divergence au sens faible. On conclut par un résultat d orthogonalité dans L 2 : si pour une fonction ψ L 2 () et pour toute fonction v dans un sous-espace dense de L 2 (), on a ψv = 0, alors ψ est nulle presque partout. On utilise aussi parfois un résultat analogue sur le bord, par exemple la densité de γ 0 (H 1 ()) dans L 2 ( ). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

12 Pour des problèmes d évolution de type parabolique ou elliptique, la méthode est en gros la même, mais on utilise en plus le théorème sur les valeurs propres. La formulation variationnelle pour un problème parabolique par exemple est de la forme : trouver u fonction de t [0, T ] à valeurs dans un espace de Hilbert V telle que pour tout v V, d dt [ u(t), v H] + a (u(t), v) = f (t), v H, (3) u(t = 0) = u 0. où a est une forme bilinéaire continue symétrique sur V, H est un autre espace de Hilbert contenant V, u 0 H et f L 2 (]0, T [, H). Dans la deuxième étape, on établit l existence et l unicité de u grâce au théorème suivant. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

13 Théorème Soient V et H deux espaces de Hilbert tels que V H avec injection compacte et V est dense dans H. Soit a(u, v) une forme bilinéaire symétrique continue et coercive dans V. Soient un temps final T > 0, une donnée initiale u 0 H, et un terme source f L 2 (]0, T [; H). Alors le problème d dt u(t), v H + a (u(t), v) = f (t), v H v V, 0 < t < T, u(t = 0) = u 0, (où l équation de (4) a lieu au sens faible dans ]0, T [) a une unique solution u L 2 (]0, T [; V ) C ([0, T ]; H). De plus, il existe une constante C > 0 (qui ne dépend que de ) telle que u L 2 (]0,T [;V ) + u C ([0,T ];H) C ( u 0 H + f L 2 (]0,T [;H)). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17 (4)

14 La solution u(t) est obtenue en décomposant pour chaque t [0, T ] la u(t) H dans la base hilbertienne (u k ) k de vecteurs propres de a u(t) = k α k (t) u k et en résolvant une équation différentielle du premier ordre très simple pour les coefficients α(t). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

15 Continuité de la solution par rapport au données. Il est important de montrer que l on a affaire à des problèmes bien posés au sens de Hadamard, c est-à-dire qu en plus de l existence et de l unicité de la solution, celle-ci doit dépendre continûment des données du problèmes. En effet, c est le seul moyen de garantir que l on pourra obtenir des approximations numériques des solutions. On obtient ceci généralement sous la forme d inégalités d énergie, qui nous disent que la norme de la solution u (dans l espace de Sobolev V dans lequel on a travaillé) est controlée par la norme des données. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

16 Quelques autres résultats vus au passage et à connaître 1. Sous les hypothèses du théorème de Lax-Milgram, en supposant de plus la forme bilinéaire a symétrique, la solution u du problème variationnel est aussi l unique minimum de l énergie J(v) = 1 a(v, v) L(v), 2 c est-à-dire que J(u) = min v V J(v). 2. Principe du min-max ou de Courant-Fisher pour les valeurs propres. 3. Théorème de Krein-Rutman. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17

17 Voici les parties du livre Analyse numérique et optimisation de Grégoire Allaire abordées : Chapitre I, sections I1, I2, I3, I5.1 Chapitre III, en entier Chapitre IV, sections IV1, IV2, IV3, IV4 Chapitre V, sections V1, V2 Chapitre VII, sections VII1, VII2, VII3.1, VII3 Chapitre VIII, sections VIII1, VIII2, VIII3, VIII4, VIII5, VIII6 Voilà, c est tout (et c est déjà pas mal). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 1 novembre / 17