Mécanique des fluides : fiches de synthèse

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1 Université de Rennes 1 UFR Sciences et Propriétés de la Matière Yann Gueguen, Dr, Maître de Conférence, Département Mécanique et Verres Institut de Physique de Rennes UMR CNRS-UR B : Bât. 10B, Campus de Beaulieu Rennes Cedex, : t : k : yann.gueguen@univ-rennes1.fr Mécanique des fluides : fiches de synthèse Licence 3, mention mécanique et sciences pour l ingénieur ENS Rennes Rennes, le 6 novembre 2016

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3 Sommaire I Élements de base 5 II Ecoulement libre 9 III Ecoulement en conduite 11 IV Théorème des quantités de mouvement ou théorème d Euler 17 V Concepts de base en aéro/hydrodynamisme 19 VI Tension de surface et capillarité 23 VII Formulaires 27 Glossaire 29

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5 CHAPITRE I Élements de base Ces formules et équations s appliquent à tout type d écoulement. Vitesse et accélération La mécanique des fluides utilisent le point de vue d Euler, qui est un point de vue "champ de vitesse". Soit v(x,y,z,t) le champ de vitesse au sein du système considéré. L accélération ne se déduit pas de : a v t L accélération eulérienne se note Γ et peut s écrire de différentes manières, toutes équivalentes. De manière brute, elle s écrit : (I.1) v Γ = x v x + v y,z,t y v y + v x,z,t z v z + v x,y,t t = D v x,y,z Dt Qu on peut aussi écrire : (I.2) v ( ) Γ = t + grad( v). v Si l écoulement est irrotationnel ( rot v = 0), on préfère utiliser la formulation suivante : ( ) v Γ = t + grad v 2 ( ) + rot v v 2 Car on peut éliminer le terme en rotationnel. On peut également utiliser cette forme : (I.3) (I.4) Γ = v t + ( v. grad) v Si l écoulement est stationnaire : v t = 0. pour toutes ces équations. (I.5)

6 6 Chapitre I. Élements de base Divergence d un écoulement Quelque soit l écoulement et les propriétés du fluide considéré, le champ de vitesse vérifie toujours : div (ρ v) + ρ t = 0 Ce qui, pour un fluide incompressible, se réduit à : div ( v) = 0 (I.6) (I.7) Débit Le débit est la quantité de fluide qui traverse un section droite durant un intervalle de temps défini. On peut exprimer cette quantité de fluide soit en terme de masse, soit en terme de volume. Débit volumique : q V = v. n.ds S (I.8) en m 3.s 1. Débit massique : q m = ρ q V (I.9) Puissance d un écoulement La puissance total d un écoulement sur S vaut : W S = (p + 1 S 2 ρ v2 ) v ds en W (I.10) On note p la pression motrice, telle que p = p + ρ g z, si g = g e z. Force de surface Pour un fluide parfait ou statique, les forces de surfaces ne sont que des forces normales, dues à la pression : F S = S p n ds = V grad p dv (I.11) Pour un fluide réelle, les forces de surface se déduisent du tenseur des contraintes dans le fluide, tout comme on l a vu pour un solide. Poussée d Archimède Soit un corps de masse volumique ρ c, de volume V c, immergé dans un fluide de masse volumique ρ f (supposés homogène autour du coprs). La force qu exerce le fluide sur ce corps est donnée par F fluide corps = ρ f V c g (I.12)

7 7 C est la poussée d Archimède. On note que ρ f V c est la masse de fluide que le corps déplace (remplace), et que la force s oppose à g. Un corps immergé est soumis à une force verticale ascendante égale au poids de liquide déplacé par ce corps.

8 8 Chapitre I. Élements de base

9 CHAPITRE II Ecoulement libre Ces équations s appliquent pour tout type d écoulement, mais préférentiellement pour les écoulements avec une surface libre, en milieu semi-infini ou infini. La seule force volumique prise en compte est le poids. Equation la plus générale Cette équation s applique à un fluide visqueux newtonien et compressible, vérifiant l hypothèse de Stokes. ρ Γ = 4η 3 ) grad(div v) η rot( rot( v) grad(p) + ρ g (II.1) ou, dans la forme plus standard : ρ Γ = grad(p) [ ] + ρ g + η v grad(div v) (II.2) Fluide réel incompressible Pour un fluide réel incompressible, div v = 0, d où : ρ Γ = grad(p) + ρ g + η v (II.3) Fluide parfait incompressible Pour un fluide parfait η = 0 : ρ Γ = grad(p) + ρ g (II.4) Fluide statique Pour un fluide statique Γ = 0 :

10 10 Chapitre II. Ecoulement "libre" grad(p) + ρ g = 0 (II.5) Force volumique La seule force volumique prise en compte dans ces équations est le poids. Si d autres forces volumiques doivent être prise en compte, il suffit de remplacer/rajouter un terme à ρ g.

11 CHAPITRE III Ecoulement en conduite Les équations qui suivent ne s appliquent pas que pour des écoulements dans des conduites, mais c est leur application principale en ce qui nous concerne. Elles ne sont valides que si : Si on ne considère que le poids en force volumique, Si le fluide est incompressible, Si g = g e z. Equation de Bernoulli généralisée On considère un fluide newtonien s écoulant dans une conduite de géométrie quelconque. On a, entre deux points A et B avec N 1 singularités séparant N portions régulières de longueur L i (L = i L i la distance totale séparant A de B) : p A + ραv2 A moy 2 = p B + ραv2 B moy 2 ( ) ( ) N L i + λ i ρ v2 N 1 i moy + κ i ρ v2 i inc D i=1 i 2 2 i=1 (III.1) En l absence de pompes et de turbines dans l écoulement. Figure III.1 Points A et B séparés de 2 portions régulières avec une singularité.

12 12 Chapitre III. Ecoulement en conduite ( ) Ni=1 L λ i i D i ρ v2 i moy 2 est le terme de perte de charge régulière. ) ( N 1 i=1 κ i ρ v2 i inc 2 est le terme de perte de charge singulière. λ est le coeff. de perte de charge régulière. κ est le coeff. de perte de charge singulière. Fluide statique On a v moy = 0. Fluide parfait On a : λ = 0, κ = 0, α = 1. Ecoulement laminaire, fluide réel Si le fluide est visqueux et R e < 2000 : λ = 64/R e, κ 0 (les abaques donnent κ). α = 2 si l écoulement est de Poiseuille. Ecoulement turbulent, fluide réel Si le fluide est visqueux et R e > 3000 : λ Diagramme de Moody, κ 0, α 1 Si le fluide est visqueux et 2000 < R e < 3000 : il faut voir expérimentalement s il y a turbulence ou pas. Nombre de Reynolds Le nombre de Reynolds est un critère de passage de régime laminaire à turbulent : R e = ρ v D η (III.2) R e : nombre de Reynolds, ρ : masse volumique du fluide,[m].[l] 3 v : norme de la vitesse [L].[T ] 1, D : longueur caractéristique de l écoulement (par exemple le diamètre d une conduite) [L], η : viscosité du fluide [M].[L] 1.[T ] 1 (Pa.s = N.m 2.s = kg.m.s 2.m 2.s). R e < 2000 Ecoulement laminaire (III.3) R e > 3000 Ecoulement turbulent (III.4) Si la conduite est circulaire, D est le diamètre. Si la conduite n est pas circulaire, on utilise un diamètre équivalent, qu on appelle le "diamètre hydraulique" (D H ) :

13 13 D H = 4 S P (III.5) Où S est la section de la conduite, et P son périmètre : R e = ρ v D H η (III.6) Ecoulement de Poiseuille Dans une conduite de fluide circulaire où l écoulement, laminaire, est selon z, le champ de vitesse est donné par v = v z (r,z) e z où : [ ( ) ] r 2 v z (r,z) = v 0 (z) 1 R Avec z qui est bien l altitude, et qui rentre dans v 0 (z) : (III.7) que g soit colinéaire e z ou pas. v 0 (z) = 1 dp R 2 2η dz 2 (III.8) Théorème des variations transversales La pression motrice dans la section droite d un écoulement droit, est constante. Conservation du débit volumique Si l écoulement est permanent, la conservation du débit entraîne pour un fluide réel : q V = v moy. n S = cste (III.9) Vitesse moyenne Pour un fluide parfait : v moy = v pour un écoulement droit, mais pour un fluide réel, v n est pas constant sur une section. La définition de la vitesse moyenne est : v moy = q V S (III.10) Valeur du coefficient de Coriolis, α Pour un écoulement de type Poiseuille (donc laminaire), on a : ( ) ] r 2 v(r) = v 0 [1 R (III.11) Le coefficient de Coriolis vaut : α = 2π R 0 0 v(r)3 rdrdθ vmoy 3 S (III.12)

14 14 Chapitre III. Ecoulement en conduite Et donc : α = 2 (III.13) Pour un écoulement turbulent, on montre expérimentalement que 1, 04 < α < 1, 15. On fait souvent l approximation α 1. Pompes et turbines Une pompe, d une puissance hydraulique fournit de la puissance à l écoulement : sa puissance hydraulique P h. L énergie volumique X p fournie par la pompe est le rapport entre sa puissance et son débit : Or, par définition : X p = P h q V (III.14) P h = q V p Où p est la différence absolue de pression entre l entrée et la sortie de la pompe. (III.15) X p = p (III.16) Une turbine, d une puissance hydraulique prélève de la puissance à l écoulement : sa puissance hydraulique P h. L énergie volumique X t prélevée par la turbine est le rapport entre sa puissance et son débit : Donc : X t = P h q V (III.17) X t = p (III.18) Où p est la différence absolue de pression entre l entrée et la sortie de la turbine. Soit une conduite d entrée e, de sortie s, dans laquelle sont placées une pompe et une turbine. La relation de Bernoulli s écrit : p s + ρα v2 s 2 = p e + ρα v2 e 2 p reguliere p singuliere + X p X t (III.19) La pompe fournie un gain de charge, la turbine ajoute une perte de charge. Coefficient de pertes de charge régulière Pour un écoulement laminaire : λ = 64 R e (III.20) Pour un écoulement turbulent, λ est donné par des abaques. Il dépend de la rugosité de la conduite, notée ɛ ou plus exactement de la rugosité relative ɛ/d. On utilise le diagramme de Moody pour déterminer λ. Sur le diagramme de Moody, on a un "friction factor" : c est le coefficient de perte de charge régulière λ.

15 Figure III.2 Diagramme de Moody 15

16 16 Chapitre III. Ecoulement en conduite

17 CHAPITRE IV Théorème des quantités de mouvement ou théorème d Euler Théorème des quantités de mouvement Soit un volume de fluide V fermé par S. Fext = V (ρ v) dv + ρ v ( v. n) ds t S Remarque : il n y a ici ni hypothèse sur la compressibilité, ni sur la viscosité du fluide. Ecoulement stationnaire Dans le cas d un écoulement stationnaire, ni v, ni ρ ne dépendent du temps, donc : (IV.1) On en déduit : (ρ v) t Fext = S = 0 (IV.2) ρ v ( v. n) ds (IV.3)

18 18 Chapitre IV. Théorème des quantités de mouvement ou théorème d Euler

19 CHAPITRE V Concepts de base en aéro/hydrodynamisme Profil d aile Figure V.1 Profil d aile bidimensionnel α est l angle d incidence entre la corde et v. A l avant de l aile, le bord d attaque, à l arrière, le bord de fuite. Résultante aérodynamique F : résultante aérodynamique, C : centre de poussé. C est le point d application de F, c est à dire le point où le moment de F est nul. F T : composante de F tangente à la corde. F N : composante de F normale à la corde. F z : composante de F normale à v : c est la portance. F x : composante de F colinéaire à v : c est la trainée.

20 20 Chapitre V. Concepts de base en aéro/hydrodynamisme Figure V.2 Résultante aérodynamique Moment aérodynamique C ne coïncide pas nécessairement avec le centre d inertie du profil. Il en résulte un moment aérodynamique : Maéro. Si : M aéro fait augmenter α, il est cabreur ; M aéro fait diminuer α, il est piqueur. Coefficients aérodynamiques Coefficient de portance : C z = F z 1 2 ρ v 2 S (V.1) S est la surface projetée de l aile (envergure longueur de corde). ρ : masse volumique du fluide loin de l aile. Coefficient de traînée : Coefficient de moment aérodynamique : C x = F x 1 2 ρ v 2 S (V.2) L : longueur de la corde. C M = M aéro 1 2 ρ v 2 S L (V.3) Ces coefficients sont adimensionnels.

21 21 finesse aérodynamique : f = C z C x (V.4) Nombre de Reynolds Le nombre de Reynolds de l écoulement autour d une aile vaut : L : la longueur de la corde. R e = ρ v η L (V.5) Similitude d écoulement Deux écoulements à nombre de Reynolds égaux sont dits similaire si les géométries sont équivalentes. Conséquence : si on souhaite réaliser un modèle réduit d un avion, à l échelle 1/10 par exemple. L mr = L/10 (V.6) L mr la longueur de corde du modèle réduit, et L la longueur de corde de l avion réel. L écoulement sera similaire si on trouve un fluide, ou un couple fluide/vitesse, tel que : Si on travaille avec les mêmes vitesses, on vérifie : ρ v η L = ρ v mr mr L mr (V.7) η mr ρ mr η mr = ρ η L L mr (V.8)

22 22 Chapitre V. Concepts de base en aéro/hydrodynamisme

23 CHAPITRE VI Tension de surface et capillarité Pression de Laplace (ou "Laplace-Young") Soit un liquide 1 et un liquide 2 non-miscible, séparés d une surface S. Soit n la normale à cette surface en un point M. ds la surface élémentaire entourant M. Figure VI.1 Pression de Laplace Cas d une sphère Le liquide 2 forme une sphère de rayon R. Le travail des forces de pression est donc, pour un déplacement dr e r : p interne p externe = p 2 p 1 = 2γ 1/2 R γ 1/2 est la tension superficielle entre les liquides 1 et 2 en N.m 1. (VI.1) Dans tous les cas 2γ 1/2 R > 0, donc la pression est toujours plus forte a sein de la sphère/goutte.

24 24 Chapitre VI. Tension de surface et capillarité Généralisation On note C la courbure d une...courbe. Pour un cercle de rayon R, la courbure vaut : C = 1 R (VI.2) On généralise pour une surface (voir Figure VI.2) : Figure VI.2 Courbure locale d une surface C = 1 R R 2 (VI.3) Et donc, on généralise la différence de pression entre deux fluides : p interne p externe = 2γ 1/2 C (VI.4) Cette différence de pression est appelée "pression de Laplace". Mouillage et angle de mouillage On note θ l angle de mouillage. Figure VI.3 Fluide mouillant et non-mouillant

25 25 0 < θ < 90 fluide mouillant (VI.5) 90 < θ < 180 fluide non-mouillant (VI.6) Loi de Jurin Considérons un fluide dans un tube cylindrique fin (un "capillaire"), de rayon R. La surface de liquide en contact avec l air forme un ménisque, de rayon r. Figure VI.4 Ménisque dans un capillaire p liquide = p air 2γ air liquide cosθ R (VI.7) Remontée de fluide : loi de Jurin Soit un capillaire de rayon R immergé dans un fluide. On a (Figure VI.5) h = z B z A = 2γ air liquide cosθ ρ g R (VI.8) Equation de Washburn La loi de Jurin nous donne la hauteur à laquelle le fluide monte dans le capillaire, l équation de Washburn donne la vitesse à laquelle le fluide monte jusqu à cette hauteur. Soit z l altitude du fluide dans le capillaire, au-dessus du point A, à l instant t. ρ d dt ( z dz ) 2γ cosθ = ρ g z + 8 dt R R 2 η z dz dt (VI.9)

26 26 Chapitre VI. Tension de surface et capillarité Figure VI.5 Remontée de fluide

27 Glossaire 27 Glossaire V Volume (dv l élément de volume). -page(s). 5, 17 η Viscosité dynamique. -page(s). 7, 11 γ Tension superficielle ou glissement, selon le contexte. -page(s). 7 R e Nombre de Reynolds. -page(s). 11 ρ Masse volumique. -page(s). 7, 11, 17 f S Force surfacique élémentaire (par unité de surface). -page(s). 7 f V Force volumique élémentaire (par unité de volume). -page(s). 6, 9 g Accélération de la pesanteur. -page(s). 10, 12 n Vecteur unitaire, normale à une surface. - page(s). 9, 25 v Vecteur vitesse (v i ses composantes selon e i ). -page(s). 6, 9, 17