FICHE DE RÉVISION DU BAC

Transcription

1 Introduction Programme selon les sections : - Vecteurs, translations, coordonnées : toutes sections - Colinéarité, coplanarité : S Pré-requis : Coordonnées de points Plan du cours 1. Vecteurs et translations 2. Coordonnées de vecteurs 3. Colinéarité 4. Coplanarité 1. Vecteurs et translations Définition : A. Translation La translation qui transforme un point A en un point B est la translation de vecteur. Un vecteur, par définition, est ce qui caractérise une translation. Une translation est un déplacement rectiligne sans rotation. L image d un point C par la translation de vecteur est le point D tel que ABDC est un parallélogramme. Attention : il s agit du parallélogramme ABDC et non ABCD. 1

2 Caractérisation d un vecteur : Un vecteur se caractérise par : - sa direction - son sens - sa longueur B. Vecteurs égaux, opposés, colinéaires Vecteurs égaux : Deux vecteurs égaux sont deux vecteurs qui ont même direction, même sens et même longueur. Parallélogramme : ABDC est un parallélogramme si et seulement si D est l image de C par la translation de vecteur si et seulement si les vecteurs et sont égaux. Vecteurs opposés : Deux vecteurs opposés sont deux vecteurs qui ont même direction, même longueur et sens opposés. Parallélogramme : ABDC est un parallélogramme si et seulement si Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs colinéaires sont deux vecteurs qui ont même direction. C. Produit d un réel et d un vecteur Soient un réel et un vecteur. Le vecteur est le vecteur qui a même direction que, et pour longueur fois la longueur de. Remarques : 2

3 - Si et sont de même sens. - Si et sont de sens opposés. - et sont colinéaires. Définition : D. Somme de vecteurs Le vecteur est le vecteur qui caractérise la translation composée de la translation de vecteur et de la translation de vecteur. Parallélogramme : ABDC est un parallélogramme si et seulement si E. Relation de Chasles Si M, N et P sont trois points, alignés ou non, on a : 3

4 On peut, de ce fait, faire «apparaître» un point dans un vecteur et l exprimer alors comme une somme de vecteurs : quel que soit le point N, quel que soit le vecteur, on peut toujours écrire 2. Coordonnées de vecteurs A. Dans le plan On se place dans le plan muni d un repère orthonormé. Coordonnées : Les coordonnées d un vecteur sont : Norme : La norme d un vecteur est sa longueur. On la note. Somme de vecteurs : Soient un vecteur et un vecteur. On a : Produit d un réel et d un vecteur : Soient un réel k et un vecteur. On a : B. Dans l espace On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. 4

5 Coordonnées : Les coordonnées d un vecteur sont : Norme : La norme d un vecteur est sa longueur. On la note. Somme de vecteurs : Soient un vecteur et un vecteur. On a : Produit d un réel et d un vecteur : Soient un réel k et un vecteur. On a : Les règles précédentes (translation, somme de vecteurs, relation de Chasles, etc) sont également valables dans l espace. 3. Colinéarité A. Dans le plan On se place dans le plan muni d un repère orthonormé. 5

6 Coordonnées et normes : Si deux vecteurs et sont colinéaires, alors il existe un réel k tel que. On alors : On a alors : ( désigne la valeur absolue de k : si et si ) Vecteur directeur : On appelle vecteur directeur de la droite tout vecteur tel que A et B appartiennent à. Propriétés : - Soient vecteur directeur de la droite et vecteur directeur de la droite. et sont colinéaires si et seulement si et sont parallèles. - Soient un vecteur directeur de la droite, et un vecteur du plan. est un vecteur directeur de si et seulement si et sont colinéaires. - Soient A, B et C trois points du plan. A, B et C sont alignés si et seulement si et sont colinéaires. Décomposition en somme de vecteurs non colinéaires : Soient deux vecteurs et non colinéaires. Soit un vecteur du plan. Il existe une unique manière de décomposer sous la forme : Base du plan : où x et y sont des réels. Si et sont deux vecteurs non colinéaires alors ils forment une base du plan notée. est alors une décomposition du vecteur dans la base. Dans cette base, ses coordonnées sont x (abscisse) et y (ordonnée). Ex : Dans la base, a pour abscisse 1 et pour ordonnée 2. 6

7 Remarque : Les coordonnées d un point M dans le plan muni d un repère orthonormé sont les coordonnées du vecteur dans la base. Un repère du plan est caractérisé par un point (l origine du repère) et une base du plan. B. Dans l espace On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. Coordonnées : Si deux vecteurs et sont colinéaires, alors il existe un réel k tel que : On a alors : Vecteur directeur : On appelle vecteur directeur de la droite tout vecteur tel que A et B appartiennent à. Propriétés : - Soient vecteur directeur de la droite et vecteur directeur de la droite. et sont colinéaires si et seulement si et sont parallèles. 7

8 - Soient un vecteur directeur de la droite, et un vecteur de l espace. est un vecteur directeur de si et seulement si et sont colinéaires. - Soient A, B et C trois points de l espace. A, B et C sont alignés si et seulement si et sont colinéaires. 4. Coplanarité On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. Définition : A. Vecteurs coplanaires On dit que des points sont coplanaires s ils appartiennent à un même plan. Trois vecteurs, et sont coplanaires s il existe quatre points A, B, C et D coplanaires tels que, et. Deux vecteurs sont forcément coplanaires. B. Décomposition en somme de vecteurs non coplanaires Soient, et trois vecteurs non coplanaires. Soit un vecteur de l espace. Il existe une unique manière de décomposer sous la forme : Propriété : où x, y et z sont des réels. Si, alors, et sont coplanaires. C. Base de l espace Si, et sont trois vecteurs non coplanaires alors ils forment une base de l espace notée. 8

9 est alors une décomposition du vecteur dans la base. Dans cette base, ses coordonnées sont x (abscisse), y (ordonnée) et z (côte). Ex : Dans la base, a pour coordonnées. Remarque : Les coordonnées d un point M dans l espace muni d un repère orthonormé sont les coordonnées du vecteur dans la base. Un repère de l espace est caractérisé par un point (l origine du repère) et une base de l espace. 9