Analyse de variance à un facteur Tests d hypothèses Analyse de variance à deux facteurs. Analyse de la variance ANOVA

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1 Analyse de la variance ANOVA

2 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 1 Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 2 3

3 Exemple. Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 21 candidats, 3 examinateurs (resp. 6,8 et 7 étudiants) Examinateur A B C Notes 10,11,11 8,11,11,13 10,13,14,14 12,13,15 14,15,16,16 15,16,16 Effectif Moyenne

4 Exemple. Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 21 candidats, 3 examinateurs (resp. 6,8 et 7 étudiants) Examinateur A B C Notes 10,11,11 8,11,11,13 10,13,14,14 12,13,15 14,15,16,16 15,16,16 Effectif Moyenne effet d examinateur?

5 Exemple. Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 21 candidats, 3 examinateurs (resp. 6,8 et 7 étudiants) Examinateur A B C Notes 10,11,11 8,11,11,13 10,13,14,14 12,13,15 14,15,16,16 15,16,16 Effectif Moyenne effet d examinateur? ANOVA : pour étudier l effet des variables qualitatives sur une variable quantitative

6 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 1 Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 2 3

7 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres facteur (variable qualitative) : prend un nombre fini de valeurs, une valeur = une classe.

8 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres facteur (variable qualitative) : prend un nombre fini de valeurs, une valeur = une classe. Exemple : facteur examinateur

9 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres facteur (variable qualitative) : prend un nombre fini de valeurs, une valeur = une classe. Exemple : facteur examinateur niveau (ou population) : les différentes valeurs prises par un facteur.

10 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres facteur (variable qualitative) : prend un nombre fini de valeurs, une valeur = une classe. Exemple : facteur examinateur niveau (ou population) : les différentes valeurs prises par un facteur. Ex : niveaux A, B, C

11 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres facteur (variable qualitative) : prend un nombre fini de valeurs, une valeur = une classe. Exemple : facteur examinateur niveau (ou population) : les différentes valeurs prises par un facteur. Ex : niveaux A, B, C test de l effet d un facteur : tester si les moyennes des populations sont égales.

12 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres facteur (variable qualitative) : prend un nombre fini de valeurs, une valeur = une classe. Exemple : facteur examinateur niveau (ou population) : les différentes valeurs prises par un facteur. Ex : niveaux A, B, C test de l effet d un facteur : tester si les moyennes des populations sont égales. La variable étudiée : Y, à valeurs numériques

13 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres facteur (variable qualitative) : prend un nombre fini de valeurs, une valeur = une classe. Exemple : facteur examinateur niveau (ou population) : les différentes valeurs prises par un facteur. Ex : niveaux A, B, C test de l effet d un facteur : tester si les moyennes des populations sont égales. La variable étudiée : Y, à valeurs numériques (note).

14 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 1 Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 2 3

15 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Un seul facteur F k niveaux k échantillons de tailles respectives n 1,..., n k

16 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Un seul facteur F k niveaux k échantillons de tailles respectives n 1,..., n k Effectif total k n = i=1 n i

17 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Un seul facteur F k niveaux k échantillons de tailles respectives n 1,..., n k Effectif total k n = i=1 À chaque expérience, on mesure la valeur de la variable Y. n i

18 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Un seul facteur F k niveaux k échantillons de tailles respectives n 1,..., n k Effectif total k n = i=1 À chaque expérience, on mesure la valeur de la variable Y. Niveau (population) Nb. obs. Valeurs de Y 1 n 1 y 11, y 12,..., y 1n1 2 n 2 y 21, y 22,..., y 2n2 n i..... k n k y k1, y k2,..., y knk

19 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Sommes et moyennes empiriques

20 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Sommes et moyennes empiriques Pour le niveau i : n i Y i = j=1 Y i = 1 n i Y i = 1 n i Y ij n i j=1 Y ij

21 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Sommes et moyennes empiriques Pour le niveau i : n i Y i = Globalement et j=1 Y i = 1 n i Y i = 1 n i Y = k Y i = i=1 Y = 1 n Y = 1 n Y ij n i j=1 k n i i=1 j=1 k Y i = 1 n i=1 Y ij Y ij k n i i=1 j=1 Y ij

22 Hypothèse : Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres les k échantillons sont indépendants et de loi Normale.

23 Hypothèse : Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres les k échantillons sont indépendants et de loi Normale. Les y ij sont des réalisations de la v.a. Y ij N (m i, σ 2 )

24 Hypothèse : Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres les k échantillons sont indépendants et de loi Normale. Les y ij sont des réalisations de la v.a. Y ij N (m i, σ 2 ) et Y ij, Y i j indépendantes pour i i ou j j.

25 Hypothèse : Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres les k échantillons sont indépendants et de loi Normale. Les y ij sont des réalisations de la v.a. Y ij N (m i, σ 2 ) et Y ij, Y i j indépendantes pour i i ou j j. Autrement dit, pour chaque i, (y ij ) j ni,..., y ini standard. est un échantillon

26 Hypothèse : Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres les k échantillons sont indépendants et de loi Normale. Les y ij sont des réalisations de la v.a. Y ij N (m i, σ 2 ) et Y ij, Y i j indépendantes pour i i ou j j. Autrement dit, pour chaque i, (y ij ) j ni,..., y ini standard. est un échantillon L écart-type (théorique) est le même pour tous les niveaux.

27 Hypothèse : Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres les k échantillons sont indépendants et de loi Normale. Les y ij sont des réalisations de la v.a. Y ij N (m i, σ 2 ) et Y ij, Y i j indépendantes pour i i ou j j. Autrement dit, pour chaque i, (y ij ) j ni,..., y ini standard. est un échantillon L écart-type (théorique) est le même pour tous les niveaux. La moyenne (théorique) peut varier avec le niveau.

28 Hypothèse : Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres les k échantillons sont indépendants et de loi Normale. Les y ij sont des réalisations de la v.a. Y ij N (m i, σ 2 ) et Y ij, Y i j indépendantes pour i i ou j j. Autrement dit, pour chaque i, (y ij ) j ni,..., y ini standard. est un échantillon L écart-type (théorique) est le même pour tous les niveaux. La moyenne (théorique) peut varier avec le niveau. On veut savoir si les moyennes m i sont toutes égales ou non.

29 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 1 Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 2 3

30 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Y ij N (m i, σ 2 ) Y ij = m i + ε ij i = 1,..., k j = 1,..., n i

31 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Y ij N (m i, σ 2 ) Y ij = m i + ε ij i = 1,..., k j = 1,..., n i = µ + α i + ε ij avec ε ij N (0, σ 2 ). Avec - µ = «effet moyen» ; - α i = effet du niveau i du facteur F.

32 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Y ij N (m i, σ 2 ) Y ij = m i + ε ij i = 1,..., k j = 1,..., n i = µ + α i + ε ij avec ε ij N (0, σ 2 ). Avec - µ = «effet moyen» ; - α i = effet du niveau i du facteur F. Contrainte : k i=1 n iα i = 0

33 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Y ij N (m i, σ 2 ) Y ij = m i + ε ij i = 1,..., k j = 1,..., n i = µ + α i + ε ij avec ε ij N (0, σ 2 ). Avec - µ = «effet moyen» ; - α i = effet du niveau i du facteur F. Contrainte : k i=1 n iα i = 0 On veut tester si les α i sont tous nuls.

34 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Vectoriellement, le modèle s écrit Y 11 Y 12. Y 1n1 Y 21 Y 22. Y 2n2. Y k1. Y knk = m 1 m 2.. m k + ε 11 ε 12. ε 1n1 ε 21 ε 22. ε 2n2. ε k1. ε knk

35 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Y = X β + ε

36 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Y = X β + ε Donc, l analyse de variance est un modèle linéaire.

37 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 1 Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 2 3

38 (m i ) Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Il faut trouver ainsi les valeurs des m i qui minimisent la fonction : T ((m i )) = k n i ε 2 ij = i=1 j=1 k n i (Y ij m i ) 2 i=1 j=1

39 (m i ) Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Il faut trouver ainsi les valeurs des m i qui minimisent la fonction : T ((m i )) = k n i ε 2 ij = i=1 j=1 k n i (Y ij m i ) 2 i=1 j=1 On obtient que : ˆm i = Ȳ i.

40 (m i ) Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres Il faut trouver ainsi les valeurs des m i qui minimisent la fonction : T ((m i )) = k n i ε 2 ij = i=1 j=1 k n i (Y ij m i ) 2 i=1 j=1 On obtient que : ˆm i = Ȳ i. Sous l hypothèse de normalité et d indépendance des échantillons, Ȳ i est un estimateur sans biais de m i et ) ˆm i = Ȳ i N (m i, σ2 n i

41 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres µ, α i ε ij = ε + ( ε i ε ) + (ε ij ε i ) k n i ε 2 ij = i=1 j=1 k n i k n i k n i ε 2 + (ε i ε ) 2 + (ε ij ε i ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1

42 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres µ, α i ε ij = ε + ( ε i ε ) + (ε ij ε i ) k n i ε 2 ij = i=1 j=1 k n i k n i k n i ε 2 + (ε i ε ) 2 + (ε ij ε i ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 On a ε ij = Y ij µ α i, ε i = Y i n i µ n i α i, ε i = Y i µ α i k k ε = Y n i µ n i α i, ε = Y nµ, ε = Y µ i=1 i=1

43 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres µ, α i k n i ε 2 ij = i=1 j=1 k n i k n i k n i (Y µ) 2 + (Y i Y α i ) 2 + (Y ij Y i ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1

44 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres µ, α i k n i ε 2 ij = i=1 j=1 k n i k n i k n i (Y µ) 2 + (Y i Y α i ) 2 + (Y ij Y i ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 Le membre de droite est minimisé pour : ˆµ = Y, ˆα i = Y i Y

45 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres µ, α i k n i ε 2 ij = i=1 j=1 k n i k n i k n i (Y µ) 2 + (Y i Y α i ) 2 + (Y ij Y i ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 Le membre de droite est minimisé pour : ˆµ = Y, ˆα i = Y i Y On a bien k i=1 n i ˆα i = 0

46 Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres µ, α i k n i ε 2 ij = i=1 j=1 k n i k n i k n i (Y µ) 2 + (Y i Y α i ) 2 + (Y ij Y i ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 Le membre de droite est minimisé pour : ˆµ = Y, ˆα i = Y i Y On a bien k i=1 n i ˆα i = 0 : k n i ˆα i = i=1 k k n i Y i n i Y = i=1 i=1 k Y i ny = 0 i=1

47 σ 2 Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres L estimateur de σ 2 est : S 2 n = 1 n k k n i (Y ij Ȳ i ) 2 i=1 j=1

48 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes 1 Analyse de variance à un facteur 2 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes 3

49 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Niveaux 1 seul niveau ou k niveaux?

50 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Niveaux 1 seul niveau ou k niveaux? H 0 : m 1 = m 2 =... = m k = m contre

51 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Niveaux 1 seul niveau ou k niveaux? H 0 : m 1 = m 2 =... = m k = m contre H 1 : i, j {1,..., k} tels que m i m j.

52 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Niveaux 1 seul niveau ou k niveaux? H 0 : m 1 = m 2 =... = m k = m contre H 1 : i, j {1,..., k} tels que m i m j. Ou : H 0 : α 1 = α 2 =... = α k = 0 contre

53 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Niveaux 1 seul niveau ou k niveaux? H 0 : m 1 = m 2 =... = m k = m contre H 1 : i, j {1,..., k} tels que m i m j. Ou : H 0 : α 1 = α 2 =... = α k = 0 contre H 1 : i {1,..., k} tel que α i 0

54 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Niveaux 1 seul niveau ou k niveaux? H 0 : m 1 = m 2 =... = m k = m contre H 1 : i, j {1,..., k} tels que m i m j. Ou : H 0 : α 1 = α 2 =... = α k = 0 contre H 1 : i {1,..., k} tel que α i 0 Sous H 0, le modèle a la forme : M reduit : Y ij = µ + ε ij

55 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes L estimation pour µ est ˆµ = Ȳ et la prévision de Y ij est Ŷ ij = ˆµ. Alors, le résidu, sous H 0 est : Y ij Ȳ. La variabilité totale est : k n i (Y ij Y ) 2 i=1 j=1 On peut écrire : Y ij Y = (Y ij Y i ) + (Y i Y )

56 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes L estimation pour µ est ˆµ = Ȳ et la prévision de Y ij est Ŷ ij = ˆµ. Alors, le résidu, sous H 0 est : Y ij Ȳ. La variabilité totale est : k n i (Y ij Y ) 2 i=1 j=1 On peut écrire : Y ij Y = (Y ij Y i ) + (Y i Y ) et on obtient : k n i (Y ij Y ) 2 = i=1 j=1 k n i k n i (Y ij Y i ) 2 + (Y i Y ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 (variabilité totale=variabilité résiduelle + variabilité due au modèle) : ST=SR+SM.

57 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Tableau d analyse de variance Source de variation ddl S.C. Carré moyen Régression k 1 SM SM/(k 1) Résiduelle n k SR SR/(n k) Totale n 1 ST

58 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes 1 Analyse de variance à un facteur 2 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes 3

59 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Pour tester l hypothèse H 0 on utilise la statistique : Z = SM/(k 1) SR/(n k) F (k 1, n k) (sous H 0) Pour un risque α fixé, la zone d acceptation est : ZA H0,α = [0 ; f k 1,n k;1 α ]

60 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Exemple : Notes 21 candidats, 3 examinateurs (resp. 6,8 et 7 étudiants) Examinateur A B C Notes 10,11,11 8,11,11,13 10,13,14,14 12,13,15 14,15,16,16 15,16,16 Effectif Moyenne

61 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Y ij = m i + ε ij i = 1, 2, 3, j = 1,..., n i, n 1 = 6 n 2 = 8 n 3 = 7

62 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Y ij = m i + ε ij i = 1, 2, 3, j = 1,..., n i, n 1 = 6 n 2 = 8 n 3 = 7 ou encore Y ij = µ + α i + ε ij, i = 1, 2, 3, j = 1,..., n i, n 1 = 6 n 2 = 8 n 3 = 7

63 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Y ij = m i + ε ij i = 1, 2, 3, j = 1,..., n i, n 1 = 6 n 2 = 8 n 3 = 7 ou encore Y ij = µ + α i + ε ij, i = 1, 2, 3, j = 1,..., n i, n 1 = 6 n 2 = 8 n 3 = 7 Les estimations des paramètres : ˆµ = ȳ = 13.05, ˆα 1 = ȳ 1 ȳ = = 1.05, ˆα 2 = ȳ 2 ȳ = = 0.05, ˆα 3 = ȳ 3 ȳ = = 0.95.

64 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Y ij = m i + ε ij i = 1, 2, 3, j = 1,..., n i, n 1 = 6 n 2 = 8 n 3 = 7 ou encore Y ij = µ + α i + ε ij, i = 1, 2, 3, j = 1,..., n i, n 1 = 6 n 2 = 8 n 3 = 7 Les estimations des paramètres : ˆµ = ȳ = 13.05, ˆα 1 = ȳ 1 ȳ = = 1.05, ˆα 2 = ȳ 2 ȳ = = 0.05, ˆα 3 = ȳ 3 ȳ = = H 0 : pas d effet examinateur sur la notation

65 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Y ij = m i + ε ij i = 1, 2, 3, j = 1,..., n i, n 1 = 6 n 2 = 8 n 3 = 7 ou encore Y ij = µ + α i + ε ij, i = 1, 2, 3, j = 1,..., n i, n 1 = 6 n 2 = 8 n 3 = 7 Les estimations des paramètres : ˆµ = ȳ = 13.05, ˆα 1 = ȳ 1 ȳ = = 1.05, ˆα 2 = ȳ 2 ȳ = = 0.05, ˆα 3 = ȳ 3 ȳ = = H 0 : pas d effet examinateur sur la notation H 0 : m 1 = m 2 = m 3 = m contre H 1 : i j tel que m i m j H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = 0 contre H 1 : i j tel que α i 0

66 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes On obtient : SM=12.95, SR=98

67 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes On obtient : SM=12.95, SR=98 donc z = (SM/(3 1))/(SR/(21 3)) = 1.19.

68 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes On obtient : SM=12.95, SR=98 donc z = (SM/(3 1))/(SR/(21 3)) = La zone d acceptation est ZA H0 ;1 α = [0 ; f 2,18;0.95 ] = [0 ; 3.55].

69 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes On obtient : SM=12.95, SR=98 donc z = (SM/(3 1))/(SR/(21 3)) = La zone d acceptation est ZA H0 ;1 α = [0 ; f 2,18;0.95 ] = [0 ; 3.55]. Donc, H 0 est acceptée : les examinateurs ont le même système de notation.

70 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes 1 Analyse de variance à un facteur 2 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes 3

71 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Le rejet de l hypothèse d égalité des moyennes ne signifie pas que tous les m i sont différents entre eux. On cherche souvent à tester l égalité entre deux moyennes : H 0 : m h = m j contre H 1 : m h m j pour h j. On utilise la statistique de test : Z = Ȳ h Ȳ j SR 1 n k n + 1 h n j t n k (t n k : loi de Student à n k degrés de liberté.)

72 Tableau d analyse de variance Test d égalité des k effets Comparaison de moyennes Le rejet de l hypothèse d égalité des moyennes ne signifie pas que tous les m i sont différents entre eux. On cherche souvent à tester l égalité entre deux moyennes : H 0 : m h = m j contre H 1 : m h m j pour h j. On utilise la statistique de test : Z = Ȳ h Ȳ j SR 1 n k n + 1 h n j t n k (t n k : loi de Student à n k degrés de liberté.) La zone d acceptation ZA H0,1 α = [ t n k;1 α/2 ; t n k;1 α/2 ].

73 1 Analyse de variance à un facteur 2 3 Estimation des paramètres Tableau d analyse de variance Test d hypothèse Test d un facteur.

74 On a vu comment comparer les populations d un même facteur. Supposons maintenant qu un expérimentateur souhaite comparer l influence de trois régimes alimentaires et de deux exploitations sur la production laitière. Les résultats expérimentaux sont dans le tableau suivant. Expl R.alim A B C Total Moyenne Total Moyenne

75 1 Analyse de variance à un facteur 2 3 Estimation des paramètres Tableau d analyse de variance Test d hypothèse Test d un facteur.

76 Deux facteurs (variables) F1 et F2. p niveaux pour F1, q niveaux pour F2 Pour chaque couple (i, j) de niveaux, on a r( 1) observations de la variable dépendante Y.

77 Deux facteurs (variables) F1 et F2. p niveaux pour F1, q niveaux pour F2 Pour chaque couple (i, j) de niveaux, on a r( 1) observations de la variable dépendante Y. F1 / F i... p 1 y 111,..., y 11r... y i11,..., y i1r... y p11,..., y p1r j y 1j1,..., y 1jr... y ij1,..., y ijr... y pj1,..., y pjr q y 1q1,..., y 1jq... y iq1,..., y iqr... y pq1,..., y pqr Dans la cellule (i, j) : les valeurs (observations) y ijk : i : niveau (population) du facteur F 1, j : niveau de F 2 k : la k-ième répétition pour un couple (i, j).

78 Notations : y ij = r k=1 y ijk ȳ ij = 1 r y ij y i = q r j=1 k=1 y ijk ȳ i = 1 qr y y j = p r i=1 k=1 y ijk ȳ j = 1 pr y j y = p q r i=1 j=1 k=1 y ijk ȳ = 1 pqr y

79 Notations : y ij = r k=1 y ijk ȳ ij = 1 r y ij y i = q r j=1 k=1 y ijk ȳ i = 1 qr y y j = p r i=1 k=1 y ijk ȳ j = 1 pr y j y = p q r i=1 j=1 k=1 y ijk ȳ = 1 pqr y Les observations y ijk sont des réalisations de la v.a. Y ijk sur laquelle on fait les hypothèses : { Yijk N (m ij, σ 2 ) k = 1,..., r Y ijk, Y i j k indépendantes

80 En ce qui concerne le nombre r de répétitions on a 2 situations : r > 1 r = 1. Il n y a pas de répétition et on va noter Y ij par Y ij. Alors, les modèles statistiques considérés seront fonction de ces 2 situations.

81 En ce qui concerne le nombre r de répétitions on a 2 situations : r > 1 r = 1. Il n y a pas de répétition et on va noter Y ij par Y ij. Alors, les modèles statistiques considérés seront fonction de ces 2 situations. Même nombre de répétitions de l expérience pour chaque couple de facteurs.

82 Les problèmes étudiés sont les mêmes que pour un seul facteur : écrire un modèle statistique de Y fonction des facteurs ;

83 Les problèmes étudiés sont les mêmes que pour un seul facteur : écrire un modèle statistique de Y fonction des facteurs ; estimer les effets des niveaux des deux facteurs ;

84 Les problèmes étudiés sont les mêmes que pour un seul facteur : écrire un modèle statistique de Y fonction des facteurs ; estimer les effets des niveaux des deux facteurs ; test d hypothèse

85 1 Analyse de variance à un facteur 2 3 Estimation des paramètres Tableau d analyse de variance Test d hypothèse Test d un facteur.

86 Le modèle le plus simple est d additionner les effets du facteur F 1 avec les effets du facteur F 2 : m ij = µ + α i + β j

87 Le modèle le plus simple est d additionner les effets du facteur F 1 avec les effets du facteur F 2 : m ij = µ + α i + β j où : - µ est l effet moyen - α i est l effet dû au niveau i du facteur F 1 ; - β j est l effet dû au niveau j du facteur F 2 ;

88 Le modèle le plus simple est d additionner les effets du facteur F 1 avec les effets du facteur F 2 : m ij = µ + α i + β j où : - µ est l effet moyen - α i est l effet dû au niveau i du facteur F 1 ; - β j est l effet dû au niveau j du facteur F 2 ; Puisque Y ij N (m ij, σ 2 ) on peut considérer un modèle : Y ij = µ + α i + β j + ε ij Avec comme contraintes p α i = 0 i=1 q β j = 0 j=1

89 Il faut trouver les valeurs de m ij (ou de µ, α i, β j ) qui minimisent la fonction : T ((m ij ) ij ) = p q ε 2 ij = p q (Y ij m ij ) 2 = p q (Y ij µ α i β j ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 On utilise la même technique que pour l analyse de variance à un facteur, et on obtient : ˆα i = Y i Y ˆβ i = Y j Y ˆµ = Y La valeur prédite pour Y ij est : Ŷ ij = ˆµ + ˆα i + ˆβ j = Y i + Y j Y

90 Exemple. Analyse de variance à un facteur F1 : le régime alimentaire, prend 3 valeurs (A, B, C), donc p = 3. F2 : l exploitation, prend 2 valeurs (1 et 2), donc q = 2.

91 Exemple. Analyse de variance à un facteur F1 : le régime alimentaire, prend 3 valeurs (A, B, C), donc p = 3. F2 : l exploitation, prend 2 valeurs (1 et 2), donc q = 2. Modèle statistique : Y ij = µ + α i + β j i = 1, 2, 3 j = 1, 2 où : α i est l effet de l exploitation n i sur Y, β 1 est l effet du régime A sur la production laitière...

92 Estimations Analyse de variance à un facteur ˆµ = ȳ = 20,

93 Estimations Analyse de variance à un facteur ˆµ = ȳ = 20, ˆα 1 = ȳ 1 ȳ = = 10, ˆα 2 = 20, ˆα 3 = 10,

94 Estimations Analyse de variance à un facteur ˆµ = ȳ = 20, ˆα 1 = ȳ 1 ȳ = = 10, ˆα 2 = 20, ˆα 3 = 10, ˆβ 1 = ȳ 1 ȳ = = 5, ˆβ 2 = 5.

95 Estimations Analyse de variance à un facteur ˆµ = ȳ = 20, ˆα 1 = ȳ 1 ȳ = = 10, ˆα 2 = 20, ˆα 3 = 10, ˆβ 1 = ȳ 1 ȳ = = 5, ˆβ 2 = 5. La prévision de Y 11 (exploitation 1 et régime alimentaire A) : Ŷ 11 = ˆµ + ˆα 1 + ˆβ 1 = = 5.

96 Tableau d analyse de variance En partant de l identité : Y ij Y = (Y ij Y i Y j + Y ) + (Y i Y ) + (Y j Y )

97 Tableau d analyse de variance En partant de l identité : Y ij Y = (Y ij Y i Y j + Y ) + (Y i Y ) + (Y j Y ) On obtient : (Y ij Y ) 2 = (Y ij Y i Y j +Y ) 2 +q i,j i,j ou encore ST = SR + S F 1 + S F 2. p (Y i Y ) 2 +p i=1 q (Y j Y ) j=1

98 Tableau d analyse de variance En partant de l identité : Y ij Y = (Y ij Y i Y j + Y ) + (Y i Y ) + (Y j Y ) On obtient : (Y ij Y ) 2 = (Y ij Y i Y j +Y ) 2 +q i,j i,j ou encore ST = SR + S F 1 + S F 2. p (Y i Y ) 2 +p Source de variation ddl S.C. Carré moyen F1 p 1 S F 1 S F 1 /(p 1) F2 q 1 S F 2 S F 2 /(q 1) Résidu (p 1)(q 1) SR SR/(p 1)(q 1) Totale pq 1 ST i=1 q (Y j Y ) j=1

99 Tests Analyse de variance à un facteur Deux types d hypothèse : si le modèle significatif

100 Tests Analyse de variance à un facteur Deux types d hypothèse : si le modèle significatif ou effet de chaque facteur.

101 Tests Analyse de variance à un facteur Deux types d hypothèse : si le modèle significatif ou effet de chaque facteur. Modèle significatif? Le modèle n est pas significatif si aucun des deux facteurs n influence Y :

102 Tests Analyse de variance à un facteur Deux types d hypothèse : si le modèle significatif ou effet de chaque facteur. Modèle significatif? Le modèle n est pas significatif si aucun des deux facteurs n influence Y : H 0 : α 1 = = α p = β 1 = = β q = 0 contre : H 1 : i {1,..., p} ou j {1,..., q} t.q. α i 0 ou β i 0.

103 Tests Analyse de variance à un facteur Deux types d hypothèse : si le modèle significatif ou effet de chaque facteur. Modèle significatif? Le modèle n est pas significatif si aucun des deux facteurs n influence Y : H 0 : α 1 = = α p = β 1 = = β q = 0 contre : H 1 : i {1,..., p} ou j {1,..., q} t.q. α i 0 ou β i 0. Le modèle réduit est : Y ij = µ + ε ij.

104 Tests Analyse de variance à un facteur Deux types d hypothèse : si le modèle significatif ou effet de chaque facteur. Modèle significatif? Le modèle n est pas significatif si aucun des deux facteurs n influence Y : H 0 : α 1 = = α p = β 1 = = β q = 0 contre : H 1 : i {1,..., p} ou j {1,..., q} t.q. α i 0 ou β i 0. Le modèle réduit est : Y ij = µ + ε ij. Statistique de test : Z = (S F 1 + S F 2 )/(p + q 2) SR/(p 1)(q 1) F (p+q 2, (p 1)(q 1)) sous H 0

105 Test d un facteur Analyse de variance à un facteur Supposons que l on veut tester l effet de F1. H 0 : F1 n influe pas Y sachant que F2 est dans le modèle. H 0 : α 1 = = α p = 0 contre H 1 : i {1,..., p} t.q. α i 0. Le modèle réduit est : Y ij = µ + β j + ε ij.

106 Test d un facteur Analyse de variance à un facteur Supposons que l on veut tester l effet de F1. H 0 : F1 n influe pas Y sachant que F2 est dans le modèle. H 0 : α 1 = = α p = 0 contre H 1 : i {1,..., p} t.q. α i 0. Le modèle réduit est : Y ij = µ + β j + ε ij.(modèle à un facteur)

107 Test d un facteur Analyse de variance à un facteur Supposons que l on veut tester l effet de F1. H 0 : F1 n influe pas Y sachant que F2 est dans le modèle. H 0 : α 1 = = α p = 0 contre H 1 : i {1,..., p} t.q. α i 0. Le modèle réduit est : Y ij = µ + β j + ε ij.(modèle à un facteur) H 0 : la moyenne m ij ne dépend pas de i.

108 Test d un facteur Analyse de variance à un facteur Supposons que l on veut tester l effet de F1. H 0 : F1 n influe pas Y sachant que F2 est dans le modèle. H 0 : α 1 = = α p = 0 contre H 1 : i {1,..., p} t.q. α i 0. Le modèle réduit est : Y ij = µ + β j + ε ij.(modèle à un facteur) H 0 : la moyenne m ij ne dépend pas de i. Statistique de test : Z = (S F 1)/(p 1) SR/(p 1)(q 1) F (p 1, (p 1)(q 1)) sous H 0

109 Exemple. Analyse de variance à un facteur Le tableau d analyse de variance est : Source de variation ddl S.C. Carré moyen F F Résidu Totale

110 Exemple. Analyse de variance à un facteur Le tableau d analyse de variance est : Source de variation ddl S.C. Carré moyen F F Résidu Totale Significativité du modèle : H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = β 1 = β 2 = 0 : Z =

111 Exemple. Analyse de variance à un facteur Le tableau d analyse de variance est : Source de variation ddl S.C. Carré moyen F F Résidu Totale Significativité du modèle : H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = β 1 = β 2 = 0 : Z = (S F 1 + S F 2 )/( ) SR/2 F (3, 2) sous H 0

112 Exemple. Analyse de variance à un facteur Le tableau d analyse de variance est : Source de variation ddl S.C. Carré moyen F F Résidu Totale Significativité du modèle : H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = β 1 = β 2 = 0 : Z = (S F 1 + S F 2 )/( ) SR/2 F (3, 2) sous H 0 ZA = [0 ; f 3,2:0.95 ] = [0 ; 19.2],

113 Exemple. Analyse de variance à un facteur Le tableau d analyse de variance est : Source de variation ddl S.C. Carré moyen F F Résidu Totale Significativité du modèle : H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = β 1 = β 2 = 0 : Z = (S F 1 + S F 2 )/( ) SR/2 F (3, 2) sous H 0 ZA = [0 ; f 3,2:0.95 ] = [0 ; 19.2], z obs = 1350/3 14 = 32.1 ZA.

114 Exemple. Analyse de variance à un facteur Le tableau d analyse de variance est : Source de variation ddl S.C. Carré moyen F F Résidu Totale Significativité du modèle : H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = β 1 = β 2 = 0 : Z = (S F 1 + S F 2 )/( ) SR/2 F (3, 2) sous H 0 ZA = [0 ; f 3,2:0.95 ] = [0 ; 19.2], z obs = 1350/3 14 = 32.1 ZA. Donc H 0 est rejetée et le modèle est significatif.

115 Régime alimentaire influent? H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = 0 sachant que l exploitation est dans le modèle.

116 Régime alimentaire influent? H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = 0 sachant que l exploitation est dans le modèle. H 1 : i {1, 2, 3} t.q. α i 0.

117 Régime alimentaire influent? H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = 0 sachant que l exploitation est dans le modèle. H 1 : i {1, 2, 3} t.q. α i 0. Sous H 0 : Y ij = µ + β j + ε ij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2.

118 Régime alimentaire influent? H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = 0 sachant que l exploitation est dans le modèle. H 1 : i {1, 2, 3} t.q. α i 0. Sous H 0 : Y ij = µ + β j + ε ij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2. La statistique de test Z = S F 1/2 SR/2 suit la loi F (2, 2) sous H 0.

119 Régime alimentaire influent? H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = 0 sachant que l exploitation est dans le modèle. H 1 : i {1, 2, 3} t.q. α i 0. Sous H 0 : Y ij = µ + β j + ε ij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2. La statistique de test Z = S F 1/2 SR/2 suit la loi F (2, 2) sous H 0. ZA = [0 ; f 2,2:0.95 ] = [0 ; 19.0],

120 Régime alimentaire influent? H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = 0 sachant que l exploitation est dans le modèle. H 1 : i {1, 2, 3} t.q. α i 0. Sous H 0 : Y ij = µ + β j + ε ij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2. La statistique de test Z = S F 1/2 SR/2 suit la loi F (2, 2) sous H 0. ZA = [0 ; f 2,2:0.95 ] = [0 ; 19.0], z = = ZA.

121 Régime alimentaire influent? H 0 : α 1 = α 2 = α 3 = 0 sachant que l exploitation est dans le modèle. H 1 : i {1, 2, 3} t.q. α i 0. Sous H 0 : Y ij = µ + β j + ε ij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2. La statistique de test Z = S F 1/2 SR/2 suit la loi F (2, 2) sous H 0. ZA = [0 ; f 2,2:0.95 ] = [0 ; 19.0], z = = ZA. Donc H 0 est rejetée, le régime alimentaire est un facteur influent pour la production laitière.

122 1 Analyse de variance à un facteur 2 3 Estimation des paramètres Tableau d analyse de variance Test d hypothèse Test d un facteur.

123 Par exemple, si on utilise deux engrais simultanément, on espère que l action des engrais se complète et que les plantes se développent mieux du fait de cette concomitance.

124 Par exemple, si on utilise deux engrais simultanément, on espère que l action des engrais se complète et que les plantes se développent mieux du fait de cette concomitance. On peut ainsi mesurer l influence de divers dosages de chacun des engrais.

125 Par exemple, si on utilise deux engrais simultanément, on espère que l action des engrais se complète et que les plantes se développent mieux du fait de cette concomitance. On peut ainsi mesurer l influence de divers dosages de chacun des engrais. L interaction peut être bénéfique (synergie) ou néfaste (antagonisme).

126 Par exemple, si on utilise deux engrais simultanément, on espère que l action des engrais se complète et que les plantes se développent mieux du fait de cette concomitance. On peut ainsi mesurer l influence de divers dosages de chacun des engrais. L interaction peut être bénéfique (synergie) ou néfaste (antagonisme). p valeurs pour le facteur F 1, q pour le facteur F 2, r observations pour chaque couple de facteur.

127 Le modèle est Y ijk = m ij + γ ij + ɛ ijk que l on écrit :Y ijk = µ + α i + β j + γ ij + ɛ ijk Les ɛ ijk sont des v.a. Normales, centrées et de même écart-type σ.

128 Le modèle est Y ijk = m ij + γ ij + ɛ ijk que l on écrit :Y ijk = µ + α i + β j + γ ij + ɛ ijk Les ɛ ijk sont des v.a. Normales, centrées et de même écart-type σ. Contraintes : α i = 0 i β j = 0 j γ ij = 0 ij

129 Le modèle est Y ijk = m ij + γ ij + ɛ ijk que l on écrit :Y ijk = µ + α i + β j + γ ij + ɛ ijk Les ɛ ijk sont des v.a. Normales, centrées et de même écart-type σ. Contraintes : α i = 0 i β j = 0 j γ ij = 0 ij Lien entre (m ij ) et (α i ), (β j ), (γ ij ) α i = m i. m.., β j = m.j m.., γ ij = m ij m i. m.j + m..

130 Les hypothèses à tester peuvent être H O : α 1 = α 2 = = α p = 0 ou m 1. = m 2. = = m p. ou H O : β 1 = β 2 = = β p = 0 ou m.1 = m.2 = = m.p

131 Les hypothèses à tester peuvent être ou H O : α 1 = α 2 = = α p = 0 ou m 1. = m 2. = = m p. H O : β 1 = β 2 = = β p = 0 ou m.1 = m.2 = = m.p ou l absence d interactions : H 0 : γ 11 = γ 12 = = γ pq = 0

132 On calcule les sommes des carrés des écarts S F 1 = qr i (y i ȳ ) 2 (p 1) ddl S F 2 = pr j (y j ȳ ) 2 (q 1) ddl S F 12 = ST S F 1 S F 2 SR (p 1)(q 1) ddl SR = ijk (y ijk ȳ ij ) 2 pq(r 1) ddl ST = ijk (y ijk ȳ ) 2 (rpq 1) ddl

133 Tableau d analyse de la variance Sources ddl Sommes Carrés moyens 1er facteur p 1 S F 1 S F 1 /(p 1) 2ème facteur q 1 S F 2 SM F 2 /(q 1) Interaction (p 1)(q 1) S F 12 S F 12 /((p 1)(q 1)) Résidus pq(r 1) SR SR/(pq(r 1)) Totaux pqr 1 ST

134 On commence par tester l interaction

135 On commence par tester l interaction : sous H 0, f F 12 = S F 12/((p 1)(q 1)) SR/(pq(r 1)) suit la loi de Fisher ((p 1)(q 1), pq(r 1)).

136 On commence par tester l interaction : sous H 0, f F 12 = S F 12/((p 1)(q 1)) SR/(pq(r 1)) suit la loi de Fisher ((p 1)(q 1), pq(r 1)). On rejette H 0 lorsque f F 12 dépasse le fractile d ordre 1 α de cette loi. Si on accepte H 0 (pas d interaction), on teste l influence de F 1 puis de F 2 :

137 En l absence d interaction, sous H 0 (respectivement H 0 ) f F 1 = S F 1/(p 1) SR/pq(r 1) et f F 2 = S F 2/(q 1) SR/pq(r 1) suivent des lois de Fisher à (p 1, pq(r 1)) (respectivement (q 1, pq(r 1))) degrés de liberté. On rejette l hypothèse H 0 (ou H 0 ) si la valeur f observée est supérieure au fractile d ordre 1 α de la loi en question.

138 1 Analyse de variance à un facteur 2 3 Estimation des paramètres Tableau d analyse de variance Test d hypothèse Test d un facteur.

139 Exemples Analyse de variance à un facteur On sélectionne plusieurs régions (1er facteur), puis, à l intérieur de chacune des régions, plusieurs exploitations agricoles (2ème facteur), et on mesure la quantité de lait produite annuellement par r vaches dans chacune des exploitations : y ijk.

140 Exemples Analyse de variance à un facteur On sélectionne plusieurs régions (1er facteur), puis, à l intérieur de chacune des régions, plusieurs exploitations agricoles (2ème facteur), et on mesure la quantité de lait produite annuellement par r vaches dans chacune des exploitations : y ijk.

141 Exemples Analyse de variance à un facteur On sélectionne plusieurs régions (1er facteur), puis, à l intérieur de chacune des régions, plusieurs exploitations agricoles (2ème facteur), et on mesure la quantité de lait produite annuellement par r vaches dans chacune des exploitations : y ijk. : aucune raison d avoir un lien entre les exploitations n 1 de chacun des régions. y i : moyenne des exploitations de la région i

142 Exemples Analyse de variance à un facteur On sélectionne plusieurs régions (1er facteur), puis, à l intérieur de chacune des régions, plusieurs exploitations agricoles (2ème facteur), et on mesure la quantité de lait produite annuellement par r vaches dans chacune des exploitations : y ijk. : aucune raison d avoir un lien entre les exploitations n 1 de chacun des régions. y i : moyenne des exploitations de la région i : intéressant. y j : moyenne des j-ièmes exploitations de chaque région

143 Exemples Analyse de variance à un facteur On sélectionne plusieurs régions (1er facteur), puis, à l intérieur de chacune des régions, plusieurs exploitations agricoles (2ème facteur), et on mesure la quantité de lait produite annuellement par r vaches dans chacune des exploitations : y ijk. : aucune raison d avoir un lien entre les exploitations n 1 de chacun des régions. y i : moyenne des exploitations de la région i : intéressant. y j : moyenne des j-ièmes exploitations de chaque région : non pertinent.

144 Modèle : Y ijk = µ + α i + β j i + ɛ ijk

145 Modèle : Y ijk = µ + α i + β j i + ɛ ijk µ : production moyenne α i : apport de la région i β i j : apport de l exploitation j dans la région i

146 Modèle : Y ijk = µ + α i + β j i + ɛ ijk µ : production moyenne α i : apport de la région i β i j : apport de l exploitation j dans la région i ɛ ijk : vaiid Normale centrée et de variance σ 2.

147 Décomposition de la variance y ijk y = (y i y ) + (y ij y i ) + (y ijk y ij ) ST = ijk (Y ijk Y ) 2 = ijk [ (Yi Y ) 2 + (Y ij Y i ) 2 + (Y ijk Y ij ) 2] = qr i (Y i Y ) 2 + r jk (Y ij Y i ) 2 + ijk (Y ijk Y ij ) 2 = SM a + SM b a + SR

148 Tableau d analyse de la variance Sources ddl Sommes Carrés moyens 1er facteur p 1 SM a SM a /(p 1) 2ème facteur p(q 1) SM b a SM b a /(p(q 1)) Résidus pq(r 1) SR SR/(pq(r 1)) Totaux pqr 1 ST

149 On peut tester Si le 1er facteur a une influence : H 0 : a 1 =... = a p = 0 On calcule (SM a /(p 1))/(SM b a /p(q 1)) et on le compare à F 1 α;p 1;p(q 1) Si le 2ème facteur une influence à l intérieur du 1er H 0 : β j i = 0, pour tous i et j. On calcule SM b a /(p(q 1))/(SR/(pq(r 1))) et on le compare à F 1 α;p(q 1),pq(r 1)

150 Exemple : Rendement fourrager dans 2 types de prairies, 3 prairies pour chacun des 2 types, 5 parcelles dans chacune des 3 2 prairies. n Type 1 Type 2 Pr. 1 Pr. 2 Pr. 3 Pr. 1 Pr. 2 Pr

151 Exemple : Rendement fourrager dans 2 types de prairies, 3 prairies pour chacun des 2 types, 5 parcelles dans chacune des 3 2 prairies. n Type 1 Type 2 Pr. 1 Pr. 2 Pr. 3 Pr. 1 Pr. 2 Pr On calcule les moyennes pour chacune des prairies : 2.536, 2.108, et 3.578, 2.488, La moyenne globale est égale à On a SM a = 3.427, SM b a = 5.541, SR = ST SM a SM b a = 5.742

152 On obtient le tableau d analyse de la variance Sources ddl Sommes Carrés moyens Type p 1 = 1 SM a = SM a /(p 1) = Prairie p(q 1) = 4 SM b a = SM b a /(p(q 1)) = Résidus pq(r 1) = 24 SR = SR/(pq(r 1)) = Totaux pqr 1 = 29 ST =

153 On peut tester : Si le 1er facteur a une influence : SM a /(p 1) SM b a /(p(q 1)) = = 2.474

154 On peut tester : Si le 1er facteur a une influence : SM a /(p 1) SM b a /(p(q 1)) = = à comparer avec F 0.95;1;4 = 7.71 : non significatif

155 On peut tester : Si le 1er facteur a une influence : SM a /(p 1) SM b a /(p(q 1)) = = à comparer avec F 0.95;1;4 = 7.71 : non significatif Si le 2ème facteur a une influence à l intérieur du 1er : SM b a /(p(q 1) SR/(pq(r 1)) = = 5.79

156 On peut tester : Si le 1er facteur a une influence : SM a /(p 1) SM b a /(p(q 1)) = = à comparer avec F 0.95;1;4 = 7.71 : non significatif Si le 2ème facteur a une influence à l intérieur du 1er : SM b a /(p(q 1) SR/(pq(r 1)) = = 5.79 à comparer avec F 0.95;4;24 = 2.8 : significatif

157 On peut tester : Si le 1er facteur a une influence : SM a /(p 1) SM b a /(p(q 1)) = = à comparer avec F 0.95;1;4 = 7.71 : non significatif Si le 2ème facteur a une influence à l intérieur du 1er : SM b a /(p(q 1) SR/(pq(r 1)) = = 5.79 à comparer avec F 0.95;4;24 = 2.8 : significatif Cela signifie que le type de prairie n a pas d influence significative sur le rendement fourrager,

158 On peut tester : Si le 1er facteur a une influence : SM a /(p 1) SM b a /(p(q 1)) = = à comparer avec F 0.95;1;4 = 7.71 : non significatif Si le 2ème facteur a une influence à l intérieur du 1er : SM b a /(p(q 1) SR/(pq(r 1)) = = 5.79 à comparer avec F 0.95;4;24 = 2.8 : significatif Cela signifie que le type de prairie n a pas d influence significative sur le rendement fourrager,mais que les prairies ne sont pas homogènes à l intérieur d un type donné.

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