Ondes planes dans les solides

Transcription

1 Ondes planes dans les solides par Vincent Laude Institut FEMTO-ST, département MNS équipe MINANO «Micro-Instrumentation, NANosciences et Ondes» 3 avenue de l Observatoire F-5044 Besançon vincent.laude@femto-st.fr Toile:

2 Rappels sur les problèmes aux valeurs propres Soit une matrice carrée M ij de dimension n n, à valeurs réelles ou complexes. Une équation aux valeurs propres λ et aux vecteurs propres u i est de la forme M ij u j =λu i () Les valeurs propres sont racines du polynôme caractéristique : M ij λδ ij =0. Il y a exactement n valeurs propres λ (k) et au plus n vecteurs propres u i (k) (a priori complexes). Les vecteurs propres sont non nuls et normalisables (u i (k) u i (k) =) ; on les range dans une matrice X ik =u i (k) de sorte que () devient M ij X jk =X ij Λ jk avec Λ jk =λ (k) δ jk () Si X est inversible, alors M=XΛX. Si M est réelle symétrique, les valeurs propres sont réelles et les vecteurs propres orthogonaux : X =X T. En pratique, il existe des algorithmes très performants pour déterminer valeurs et vecteurs propres.

3 Solide anisotrope non piézoélectrique. Equation de Christoffel On néglige la pesanteur dans la relation fondamentale de la dynamique, ρ u i = T ij t u. Avec la loi de Hooke, T x ij =c l ijkl, on a l équation d onde aniso- j x k trope : ρ u i t =c ijkl u l x j x k (3) Pour les ondes planes harmoniques de la forme u i (t,r)=û i exp(iω(t sn.r)), on obtient l équation de Christoffel ρû i =s c ijkl n j n k û l (4) La lenteur s(n)=k(n)/ω (en s/m) est une fonction de la direction repérée par le vecteur unitaire n. Une quantité du type c/ρ est homogène à une vitesse. En introduisant le tenseur symétrique de Christoffel, Γ il =c ijkl n j n k, on obtient le problème aux valeurs propres : Attention : Γ il dépend de la direction n. ρû i =s Γ il û l (5) 3

4 . Cas isotrope Dans le cas isotrope, les propriétés des ondes sont invariantes avec la direction de propagation. Prenons par exemple x pour direction de propagation : Γ= c c 44 0 avec c44 = c c (6) 0 0 c 44 La matrice est diagonale ; elle possède une valeur propre simple et une valeur propre double. L onde de vitesse V L = c /ρ est une onde de polarisation longitudinale, puisque de vecteur propre û=(,0,0) T. Les ondes de vitesse V S = c 44 /ρ sont de polarisation transverse : deux vecteurs propres sont û=(0,,0) T et û=(0,0,) T. Puisque c >0, V S <V L /. La vitesse longitudinale est toujours plus grande que la vitesse transverse. Les propriétés précédentes sont vraies pour toute solution de l équation d onde (pour le voir, considérer le spectre d ondes planes). 4

5 .3 Exemples pour un cristal cubique En considérant la forme du tenseur élastique des cristaux cubiques : Γ= c n +c 44 (n +n 3 ) (c +c 44 )n n (c +c 44 )n n 3. c n +c 44 (n +n 3 ) (c +c 44 )n n 3.. c n 3 +c 44 (n +n ) Propagation suivant [,0,0] Γ est diagonale, avec une valeur propre simple, c, et une valeur propre double, c 44. Il existe une onde longitudinale de vitesse c /ρ et deux ondes transversales (de cisaillement ou shear) de vitesse c 44 /ρ. Propagation suivant [,,0] On obtient 3 valeurs propres distinctes : c 44, (c c ) et (c +c )+c 44. Il existe une onde purement transversale polarisée suivant x 3, de vitesse c 44 /ρ ; une onde quasi-transversale de vitesse (c c )/ρ ; une onde quasi-longitudinale de vitesse (c 44 +c +c )/ρ. 5

6 .4 Lenteur, vitesse de phase et vitesse d énergie Pour les ondes planes harmoniques : La densité d énergie cinétique est e c = ρω û i û i. La densité d énergie potentielle est e p = c ijkl S ij S kl = ω s Γ il û i û l. Avec l équation de Cristoffel, on voit que e p =e c : les énergies cinétique et potentielle sont égales pour les ondes planes. La densité d énergie totale est donc : e=e c +e p =ρω û i û i. Le vecteur de Poynting est P i = T ij u j t = c ijkl u k x l u j t =sω c ijkl û j û k n l La vitesse d énergie est par définition V i e =P i /e Une relation importante liant vitesse de phase et vitesse d énergie est V i e n i =v. On peut montrer l égalité de la vitesse d énergie et de la vitesse de groupe spatiale. 6

7 3 Surfaces caractéristiques 3. Surface des lenteurs Par définition, la surface des lenteurs est le lieu du vecteur s=sn en fonction de n (c est une représentation spatiale de la relation de dispersion k(ω, n) /ω). La vitesse d énergie (ou vitesse de groupe spatiale) est normale à cette surface. Il existe toujours trois surfaces des lenteurs : une quasi-l et deux quasi-s. Elles sont symétriques par rapport à l origine. n V e s n O n 7

8 3. Surface d onde Par définition, la surface d onde est le lieu du vecteur vitesse d énergie V e en fonction de n. C est la surface atteinte au bout d un temps unitaire par l onde issue d un point source à la fréquence ω (notion liée à la fonction de Green) ; c est aussi une surface équiphase. n est normal à la surface d onde ; les plans d onde lui sont tangents. plans d onde V e n V e O V e 8

9 3.3 Exemple : silicium (Si, cubique m3m).5 QL QS S QL QS S s (0-4 s/m) V e (m/s) s (0-4 s/m) V e (m/s) 9

10 3.4 Exemple : rutile (TiO, tétragonal 4/mmm).5 QL QS S QL QS S s (0-4 s/m) V e (m/s) s (0-4 s/m) V e (m/s) 0

11 3.5 Exemple : corindon, saphir, rubis (Al O 3, trigonal 3 m).5 QL QS QS QL QS QS s 3 (0-4 s/m) V e 3 (m/s) s (0-4 s/m) V e (m/s)

12 3.6 Atténuation Les pertes acoustiques dans les solides sont dues à la conduction thermique, à l interaction avec les phonons, aux diffusions sur les défauts, etc. Elles sont grossièrement proportionnelles à ω. Les pertes sont plus grandes dans les métaux que dans les isolants ; dans les polycristaux que dans les monocristaux.

13 4 Solide anisotrope piézoélectrique 4. Constantes durcies pour les ondes planes harmoniques L équation fondamentale de la dynamique et l équation de poisson avec les équation constitutives iωstˆijn j = ρω û i et Dˆjn j =0 (7) Tˆij= iωs(c ijkl n k û l +e kij n k φˆ) et Dˆj= iωs(e jkl n k û l ε jk n k φˆ) (8) mènent à ρû i =s (Γ il û l +γ i φˆ) et γ l û l =εφˆ avec γ i =e kij n j n k et ε=ε jk n j n k (9) d où en éliminant le potentiel l équation de Christoffel avec constantes durcies ρû i =s Γ ilû l avec Γ il=γ il + γ iγ l ε ce qui fournit un moyen commode d obtenir la partie acoustique des ondes planes harmoniques dans un milieu piézoélectrique. (0) 3

14 4. Couplage électromécanique Considérons par exemple la propagation selon [00] (axe x ) dans le niobate de lithium (LiNbO 3, trigonal 3m) Γ= c c c 4 avec c66 = c c.. c 44 Il y a une onde transverse de vitesse c 66 /ρ et une onde QS et une onde QL de vitesses données par ρv =Γ +Γ 33 ± (Γ Γ 33 ) +4Γ 3. D autre part, on trouve γ =0;γ =e ;γ 3 =e 5 ;ε=ε donc Γ =Γ ;Γ =Γ +γ /ε;γ 3=Γ 3 +γ γ 3 /ε;γ 33=Γ 33 +γ 3 /ε. La piézoélectricité conduit à une variation des vitesses QS et QL. On prend pour définition du couplage électromécanique le quotient sans dimension K = v v () 4

15 4.3 ZnO (hexagonal 6mm) 4 3 QL QL (sans piezo) S QS QS (sans piezo) s 3 (0-4 s/m) s (0-4 s/m) 5

16 4.4 Quartz (trigonal 3) 3 QL QS QS s 3 (0-4 s/m) s (0-4 s/m) 6

17 4.5 LiNbO 3 (trigonal 3m) 3 QL QL (sans piezo) S QS QS (sans piezo) s 3 (0-4 s/m) s (0-4 s/m) 7

18 5 Réflexion et réfraction 5. Propriétés générales La polarisation des ondes dans un milieu fluide idéal n a qu une composante longitudinale acoustique. La polarisation des ondes dans un solide élastique comporte 3 composantes acoustiques, majoritairement longitudinale et majoritairement transversales (shear). La polarisation des ondes dans les milieux piézoélectriques comporte 4 composantes, provenant des 3 degrés de liberté acoustiques (u i ) et du degré de liberté électrique (φ). Il y a polarisation majoritairement longitudinale, majoritairement transversales et majoritairement électrostatique. Une polarisation pure incidente donne naissance à 4 ondes réfléchies et à 4 ondes transmises dans un milieu piézoélectrique ( et dans un fluide ; 3 et 3 dans un solide élastique). La fréquence et la projection du vecteur d onde sur l interface se conservent. 8

19 5. Exemple : interface silicium - silice 9

20 5.3 Déplacements et contraintes généralisés On définit les contraintes généralisées par T ij =T ij pour i =,, 3 et T 4j =D j pour i=4. De même, on définit les déplacements généralisés par ū i =u i pour i=,,3 et ū 4 =φ. On peut ainsi écrire les relations constitutives sous la forme T ij=c ijkl ū l x k avec c ijkl =c ijkl,c ijk4 =+e kij,c 4jkl =e jkl,c 4jk4 = ε jk () et l équation fondamentale de la dynamique et l équation de Poisson T ij ū j =ρ ij x j t avec ρ =ρ (3) On est ainsi ramené à des équations pseudo-mécaniques semblables à celles des milieux élastiques. En particulier, l équation de Christoffel piézoélectrique peut être écrite ρ ij ū j =s (c ijkl n j n k )ū l, qui se présente sous la forme d un problème aux valeurs propres généralisé (du type Ax=λBx). 0

21 5.4 Equation aux valeurs propres Soit un problème de réflexion-transmission sur une interface plane normale à x. Les lenteurs s et s 3 se conservent. Mais quelles sont les valeurs possibles de s? On peut mettre les équations () et (3) sous la forme ( c il s c i3l s 3 δ il c ijkl s j s k +ρ il 0 3 j,k= ) ( ūl τ l )=s ( c il 0 c il s +c i3l s 3 δ il avec τ ij =T ij /( iω). Il s agit d un problème aux valeurs propres généralisé, de la forme )( ūl τ l ) (4) Ah=s Bh (5) dans lequel les matrices A et B dépendent de s et s 3 (et des constantes du milieu). Le vecteur h a 8 composantes, les 4 ū l et les 4 τ l. Il y a 8 valeurs propres, correspondant aux 8 valeurs possibles pour s. Ces valeurs propres appartiennent par paires à chacune des 4 surfaces des lenteurs (le cas échéant à leurs branches imaginaires). Ces paires sont soit réelles de signes opposés, soit complexes conjuguées. Les 8 vecteurs propres sont appelés modes partiels. Il y a 4 modes partiels réfléchis et 4 modes partiels transmis.

22 5.5 Exemple : modes du rutile real part imaginary part 4 3 S, refl. S, trans. QS, refl. QS, trans. QL, refl. QL, trans. 4 3 S, refl. S, trans. QS, refl. QS, trans. QL, refl. QL, trans. QE, refl. QE, trans. s 3 (0-4 s/m) 0 s 3 (0-4 s/m) s (0-4 s/m) s (0-4 s/m)

23 5.6 Exemple : modes du LiNbO 3 real part imaginary part 4 3 S, refl. S, trans. QS, refl. QS, trans. QL, refl. QL, trans. 4 3 S, refl. S, trans. QS, refl. QS, trans. QL, refl. QL, trans. QE, refl. QE, trans. s 3 (0-4 s/m) 0 s 3 (0-4 s/m) s (0-4 s/m) s (0-4 s/m) 3

24 5.7 Méthode de solution numérique. On résout le problème aux valeurs propres (5) dans chacun des milieux et, ce qui donne pour chacun les 8 valeurs propres (s () r et s () r ) et 8 vecteurs propres ou polarisations (h () r et h () r ).. La solution générale dans chaque milieu est une superposition des 8 modes partiels, soit 8 h(t,x) = r= ( a r h ou) ( r exp(iω(t s ou) r x s x s 3 x 3 )) (6) 3. On partage les modes partiels dans le milieu en 4 MP incidents (leurs amplitudes sont connues) et 4 MP réfléchis. On partage les modes partiels dans le milieu en 4 MP transmis et 4 MP incidents (leurs amplitudes sont nulles). 4. Les 8 composantes de h sont continues à l interface, ce qui donne 8 équations linéaires pour 8 inconnues (les MP réfléchis et transmis). Le problème est donc entièrement déterminé. 4

25 5.8 Exemple : interface silicium - silice, et réciproquement Onde incidente purement transverse (S) 5

26 5.9 Exemple : interface duralumin - eau, et réciproquement Onde incidente L dans le duralumin Coefficient de réflexion r LL dans l eau 6