x 8 = 0 3x - 6 = 2x + 2 3x² 6 = 2x² + 2

Transcription

1 Partie numérique : 16 points Exercice n 1 (4 points) : Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Aucune justification n'est demandée. Écrire le numéro de la réponse exacte, dans le tableau donné sur la feuille annexe. Réponse N 1 Réponse N 2 Réponse N (x 2 ) est égal à 4x x -2-4x Une forme factorisée de 16a² 25 est (4a 5)² (4a - 5)(4a + 5) (16a - 5)(16a + 5) Pour x = -2, l expression 5 x² + 2x - 3 est égale à L expression développée de (5x - 2)² est : 25x² x² + 20x x² x Le triple d un nombre diminué de six est égal au double de ce nombre augmenté de deux. Quelle équation correspond à ce problème : x 8 = 0 3x - 6 = 2x + 2 3x² 6 = 2x² + 2 Les solutions de l équation 2x (5x 3) = 0 sont 2 et 0,6-2 et 0,6 0 et 0,6 L écriture scientifique de est La partie en gras représente les solutions de l inéquation 5x + 3 2x + 9 0,15 1, , Exercice n 2 (5 points) : 1. Un confiseur reçoit une commande de caramels d un montant de 120,40. Pour fidéliser son client, il décide d accorder une remise de 20%. Calculer le montant de la facture après remise. 120,40 120,40 20 = 120,40 24,08 = 96, Le montant de la facture après remise est de 96,32 2. Quelques jours plus tard, le confiseur répartit 301 caramels et 172 chocolats dans des sachets identiques. a. Calculer le nombre maximal de sachets réalisables. Pour calculer le nombre maximal de sachets, on calcule le PGCD avec l algorithme d Euclide : 301 = = = 43 3 Le dernier reste non nul est 43, donc le PGCD de 301 et 172 est 43. Il peut donc réaliser 43 sachets identiques. b. Calculer le nombre de caramels et le nombre de chocolats contenus dans un sachet. 301 : 43 = : 43 = 4 Un sachet sera donc composé de 7 caramels et de 4 chocolats. Exercice n 3 (7 points) : Pour une enquête de collégiens, Clara et Amélie ont posé la question suivant aux élèves de 3èmeA et 3èmeB : «Combien de SMS as-tu envoyé pendant ces dernières 24 heures?» Ce tableau indique les résultats de cette enquête : Nombre de SMS total Effectif

2 1 Calculer le nombre moyen de SMS envoyés par un élève = = 2,76 Le nombre moyen de SMS envoyés par un élève est donc de 2,76. 2 Calculer l étendue de cette série. 6 0 = 6, l étendue est donc de 6 SMS 3 Compléter le tableau en annexe. Voir tableau. 4 Calculer le nombre médian de SMS envoyés par un élève. Que signifie ce nombre? 50 0,5 = 25. Donc le nombre médian se situe entre la 25 ème et le 26 ème valeur, ce qui correspond ici à 3 SMS. Cela signifie qu il autant d élèves qui envoient moins de 3 SMS que d élèves qui envoient plus de 3 SMS. 5 Calculer la valeur du premier quartile Q1.Que signifie ce nombre? 50 0,25 = 12,5 Donc la valeur du premier quartile se situe à la 13 ème valeur, ce qui correspond à 2 SMS Cela signifie qu au moins 25% des élèves envoient un nombre inférieur ou égal à 2 SMS. 6 Calculer la valeur du troisième quartile Q3.Que signifie ce nombre? 50 0,75 = 37,5 Donc la valeur du troisième quartile se situe à la 38 ème valeur, ce qui correspond à 4 SMS Cela signifie qu au moins 75% des élèves envoient un nombre inférieur ou égal à 4 SMS. Partie géométrie : 8 points Exercice n 1 (4 points) : La figure ci-dessous n est pas réalisée en grandeur réelle. BVT est un triangle rectangle en V tel que B BV = 7,2 cm et VT = 9,6 cm. Les points B,T,N sont alignés, ainsi que les points V,T,E. 1) Calculer la longueur du segment [BT]. Comme BVT est un triangle rectangle en V, le théorème de Pythagore indique que : BT² = BV² + VT² BT² = 7,2² + 9,6² BT² = 51, ,16 BT² = 144 BT = 144 = 12 Le segment [BT] mesure donc 12 cm. 7,2 cm V 9,6 cm T N E 2) Pour cette question, on donne TE = 3,4 cm et TN = 4,25 cm. a) Démontrer que les droites (BV) et (EN) sont parallèles. Calculons BT VT et TN TE : BT TN = 12 4,25 VT TE = 9,6 On remarque que 12 3,4 = 40,8 et que 9,6 4,25 = 40,8 3,4 Comme les produits en croix sont égaux alors BT TN = VT TE Les points B,T,N et V,T,E sont alignés dans le même ordre donc la réciproque du théorème de Thalès permet d affirmer que les droites (BV) et (EN) sont parallèles. b) En déduire la longueur du segment [EN]. D après la question c) le théorème de Thalès permet d écrire que BT TN = VT TE = BV NE 12 4,25 = 9,6 3,4 = 7,2 3,4 7,2 Donc NE = = 2,55 Donc le segment [EN] mesure 2,55 cm. NE 9,6

3 Exercice n 2 (4 points) : Toutes les questions sont indépendantes : Soit ABC un triangle tel que AB = 7,5 cm, AC = 4,5 cm et BC = 6 cm. 1) Faire un dessin que l on complétera au fur et à mesure. C F A E B 2) Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. Calculons AB² et AC²+BC² AB² = 7,5² = 56,25 AC²+BC² = 4,5² + 6² = 20, = 56,25 Comme AB² = AC²+BC², la réciproque du théorème de Thalès prouve que le triangle ABC est rectangle en C. 3) a) Placer le point E du segment [AB] tel que BE = 5 cm. Tracer le cercle de diamètre [BE] et placer le point F situé à l intersection de ce cercle et du côté [BC]. b) Montrer que le triangle BEF est rectangle. Le point F appartient au cercle de diamètre [EB] donc BEF est un triangle rectangle. Problème : 12 points Programme de calcul n 1 Choisir un nombre Soustraire 2 Calculer le carré du résultat. Programme de calcul n 2 Choisir un nombre Soustraire 3 Multiplier le résultat par le nombre de départ Prendre l opposé du résultat obtenu. Ajouter 4. Partie I : 1. Dans cette question, toute trace de recherche ou d initiative même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. a) Effectuer chaque programme de calcul en choisissant 4 comme nombre de départ. Indiquer les calculs effectués sur la copie et donner les résultats obtenus. Programme 1 : Programme 2 : 4 2 = = 1 2² = = = 0

4 b) Quels sont les nombres choisis au départ si le résultat obtenu, avec le programme de calcul n 1, est 36? Il faut choisir 8 ou 4 car (8 2)² = 36 et ( 4 2)² = Soit x le nombre choisi au départ. a) Comment s écrit alors le nombre obtenu après avoir appliqué le programme de calcul n 1 au nombre x? On notera ce résultat f(x). f(x) = (x 2)² b) Démontrer que f(x) = x² 4x + 4. En développant (x 2)² = x² 2 x 2 + 2² = x² 4x + 4 c) Comment s écrit le nombre obtenu après avoir appliqué le programme de calcul n 2 au nombre x? On notera ce résultat g(x). g(x) = x(x 3) + 4 d) Démontrer que g(x) = -x² + 3x + 4 En développant x(x 3) + 4 = x² + 3x + 4 Partie II : 1. La représentation graphique de la fonction f est donnée sur le graphique de l annexe. Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique et en laissant apparents les traits de construction : a) Quelle est l image de 3 par la fonction f? Indiquer votre réponse sur la copie. f(3) = 1 b) Quelle est l image de 1 par la fonction f? Indiquer votre réponse sur la copie. f(-1) = 9 c) Quels sont les antécédents de 8 par la fonction f? Indiquer votre réponse sur la copie. -0,8 et 4,8 ont pour image 8 par f. 2. a) Calculer l image du nombre 2 par la fonction g. Indiquer le calcul effectué. g(2) = - 2² = 6 b) Reproduire et compléter le tableau de valeurs de la fonction g. On donnera des valeurs arrondies au centième quand cela est nécessaire. x -1-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 g(x) c) Tracer la représentation graphique de la fonction g, sur le même graphique que celui de la fonction f. 3. Trouver graphiquement pour quelles valeurs les deux programmes de calcul donnent le même résultat et donner ces résultats. Les points d intersections des deux courbes donnent les réponses possibles : Pour le nombre de départ 0, les deux programmes donnent 4 Pour le nombre de départ 3,5, les deux programmes donnent 2,25 Partie III : On considère l expression A = (x² 4x + 4) (-x² + 3x + 4) 1. Expliquer pourquoi déterminer les nombres pour lesquels les deux programmes de calcul donnent le même résultat revient à résoudre l équation A = 0.

5 Si les deux programmes donnent le même résultat cela signifie que f(x) = g(x) donc cela revient à dire que f(x) g(x) = 0, donc A = Démontrer que A = 2x² 7x. A = (x² 4x + 4) (-x² + 3x + 4) A = x² 4x x² 3x 4 A = 2x² 7x 3. Factoriser l expression trouvée à la question précédente. A = 2x² 7x A =x(2x 7) 4. Résoudre l équation x(2x 7) = 0. Soit x = 0 soit (2x 7) = 0 Les solutions de cette équation sont donc 0 et En déduire les valeurs exactes pour lesquelles les deux programmes de calcul donnent le même résultat. Donner les valeurs exactes de ces résultats. Les valeurs exactes sont donc 0 et 3,5 f(0) = g(0) = 4 f(3,5) = g(3,5) = 2,25

6 Annexe ARENDRE AVEC LA COPIE DE REDACTION N du ca ndidat :.. Annexe 1 : Exercice 1 Question1 Question2 Question3 Question4 Question5 Question6 Question7 Question8 Réponse Annexe 2 : Exercice 3 Nombre de SMS total Effectif Fréquences en % Effectifs cumulés croissants Annexe 3 : Problème Le repère orthonormé, ci-dessous, a pour unité 1cm. La courbe tracée est la représentation graphique de la fonction f.