Echantillonnage de Shannon

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Rachel Bourget
il y a 6 ans
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1 Echantillonnage de Shannon Option SLE, Cours Signal-Automatique Cours ; AGD; 28/11/05 1

2 Signaux, Systèmes à temps continus : Rappel (1) et (2) : Résolution dans le domaine temporel (3) et (4) : Résolution dans un domaine transformé (3) Description du régime transitoire et permanent (4) Description du régime permanent uniquement F x(t) x(t) L x(t) X L (s) X F (ω) Système Linéaire Invariant en Temps (1) Équation différentielle (2) Réponse impulsionnelle h(t) (3) Transformée de Laplace H L (s) (4) Transformée de Fourier H F (w) y(t) y(t) y(t)= x(t) * h(t) y(t)= L -1 {X L (s) H L (s)} y(t)= F -1 {X F (ω) H F (ω)} 2

3 Temps continus Temps discret : Pour les systèmes (Rappel) Transformée de Laplace (temps continu) Système causal, signaux transitoires + ( st) X( s) = x( t)exp dt 0 Transformée de z (temps discret) Systèmes discrets en temps, signaux discrets transitoires + k ( z) = x[ k]. X ( z) = + z x[ k]. k z k= X k=0 Unilatérale, causal Passage? z=exp(st e ) Bilatérale, causal, anticausal 3

4 Temps continus Temps discret : Et pour les signaux? Temps continus Signaux périodiques : Série de Fourier Signaux non périodiques : Transformée de Fourier + extension aux distributions : Transformée de Fourier pour les signaux périodiques et non-périodiques F{ δ(t-t 0 )}=exp(-jωt 0 ) F{exp(jω 0 t)}= δ(ω-ω 0 ) X( ω) + + ( ω ) = x( t) exp j t dt + ( ) = ( ) 2 1 exp jωt dω δ t π exp( jωt) dt= δ( ω) 4

5 Représentation en Fréquence : 4 modèles Cas 1 : Signaux continus périodiques Série de Fourier (SF) Cas 2 : Signaux continus non périodiques Transformée de Fourier (TF) Cas 3 : Signaux discrets non périodiques Transformée de Fourier des signaux discrets (TFSD) Cas 4 : Signaux discrets périodiques (durée finie) Transformée de Fourier discrète (TFD) Lien avec la TZ 5

6 Cas 2 Cas 3 : Discrétisation en temps Échantillonneur idéal dans le domaine temporel x(t) Numérisation y(t) k y( t) = x( t) ( t) = = x( k. Te ) ( t k. T e + δ e T k= ) Te (t) -T e 0 T e 2T e t x(t) y[k] -T e 0 T e 2T e t 6

7 Discrétisation en temps Périodisation en fréquence Échantillonneur idéal dans le domaine fréquentiel x(t) Numérisation y(t) X(f) n Y( f) = 1 = + X( f T e n= n T e ) Théorème de Shannon F e /2 > F max 0 Y(f) F max f Fréquence réduite : λ=f/f e = ω/ω e -F e /2 0 F e /2 F e f 7

8 Numérisation : Condition de Shannon Pas de repliement spectral si : F e > 2 F max Conséquence : signal d entrée à spectre borné Filtre «Passe-Bas» anti repliement F c < F e /2, F c : fréquence de coupure Mise en œuvre : Filtre Anti-repliement C. A. N Traitement Numérique C. N.A. Filtre de restitution 8

9 X( ω) Transformée de Fourier des + Signaux Discrets ( ω ) = x( t) exp j t dt k=+ k=+ = [] δ( t k. T ) x( t) x( k. Te ) δ( t k. Te ) = x k e k= Discrétisation en temps k= Périodique de période 1 Série de Fourier + k= ( jλk) X( λ) = x[ k]exp 2π x + 1/2 [] k = )exp( 2 ) 1/2 X( λ πjλk dλ C est la TFSD 9

10 Transformée de Fourier des Signaux Discrets x(t) TF X(f) t 0 F max f x[k] TFSD Discret en Temps Continue et Périodique en Fréquence -T e 0 T e 2T e t X(λ) -1-1/2 0 1/ λ

11 Reconstruction : Interpolateur idéal x(t) Numérisation y(t) Reconstitution Passe bas idéal z(t) - h(t)=sinc(πt/t e ) TF -1 H(f) T e -T 0 e 2T e T e t -F e /2 0 F e /2 f k=+ z( t) = y( t) h( t) = x( k. Te ) h( t k. Te k= ) 11

12 Reconstruction : Interpolateur idéla Reconstitution exacte si sommation de - à + k=+ z( t) = y( t) h( t) = x( k. Te ) h( t k. Te k= ) x(-t e ) x(0) x(t e ) z(t)=x(t) -T e 0 T 2T e t e 12

13 Lien avec la Transformée en Z Signal discret en temps : x[k] Changement de variable : z=exp(2πjλ) λ=1/2 λ=-1/2 Im(z) λ 0 λ=0 Re(z) λ=1 X + k= X Z( z) = x[ k]. z k + ( λ) = x[ k]exp 2 λ k= X(λ) ( πjλk) θ 0 =2πλ /2 0 1/ λ

14 Illustration de l effet de l échantillonnage : Passage s z 3ω e 2ω e ω e ω e 2ω e ω s=σ+jω θ 0 =2πλ 0 λ=1/2 σ Changement de variable : z=exp(2πjλ)= exp(st e ) Im(z) λ 0 λ=0 Re(z) λ=1 3ω e La moitié gauche de chaque bande de largeur ω e dans le plan des s est appliquée dans le plan des z à l intérieur du cercle unité 14

15 Échantillonnage en temps, Approximation Par échantillonnage, l équation différentielle caractérisant le système linéaire se transforme en équations aux différences. Cette équation est exacte pour caractériser des systèmes discrets linéaires Cette équation devient approximative pour l utilisation par voie numérique de systèmes analogiques linéaires équations de passage s z Équation d Euler : Equivalence de la dérivée Equation binomiale : Equivalence de l intégration 15

16 Comportement décrit en analogique Approximation numérique Approximation de la dérivée au premier ordre : Equation d Euler x (t) (x[k]-x[k-1])/t e On pose : y[k] =(x[k]-x[k-1])/t e Alors : Y(z) =[X(z)-z -1 X(z)]/T e D où : G(z) = Y(z)/X(z) = (1-z -1 )/T e Comme dans le domaine analogique, la dérivée temporelle correspond au produite de la transformée de Laplace par s, dans le domaine des s, alors : s= (1-z -1 )/T e, ou z= 1/(1-sT e ) 16

17 Illustration de l approximation de la dérivée au premier ordre ω s=σ+jω σ 1+ jωt z= 1+ ω Changement de variable : z=1/(1-jωt e ) ; e = + 2 T e + ω Te ω, z 0 ω jωte + ω 2T 2 e Im(z) ω=ω 0 λ 0 =ω 0.T e /2π Re(z) ω=0 Bonne approximation : fréquence d échantillonnage élevée, bien au delà de la limite de Shannon Sur échantillonnage 17

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