Processus Aléatoires

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1 Processus Aléatoires Luc Deneire Iannis Aliferis École Polytechnique de l Université de Nice Sophia Antipolis Polytech Nice Sophia,,

2 Ce document contient une grande partie des informations données au cours et aux TDs. Cela signifie qu il n est en aucun cas complet (auto-suffisant) ; une grande quantité d information (commentaires, explications, diagrammes, démonstrations etc.) est donnée pendant les séances, oralement ou à l aide du tableau, en plus de documents projetés en cours. Les statistiques, c est comme le bikini : ça donne des idées mais ça cache l essentiel Coluche Processus Aléatoires 2

3 Table des matières 1 Introduction De la variable aléatoire vers le processus aléatoire Bibliographie Processus Stochastiques Définition Grandeurs statistiques Stationnarité Stationnarité (au sens large) bm=propriétés de R_X(tau) Cyclo-stationnarité Mesurer l espérance (un peu de Statistique) Ergodicité Interpétation de l espérance et de la variance Densité spectrale de puissance Densité spectrale de puissance (ssl) Densité spectrale de puissance (csl) Densité spectrale de puissance : propriétés Deux processus stochastiques Filtrage d un processus stochastique Processus gaussien : définition Processus gaussien : propriétés Signal binaire aléatoire Exercices Bruit Définition Bruit thermique : definition Bruit thermique : dsp disponible Bruit blanc Bruit coloré

4 4 Signaux passe-bande (rappels) definition Bruit coloré passe-bande Autocorrélation de p.s. complexes Bruit utile Analyseur dynamique Processus aléatoires à temps discret Processus et modèles aléatoires discrets Moyenne, autocorrélation et stationarité La matrice de corrélation Les innovations Modèles stochastiques (AR, MA, ARMA) Les équations de Yule-Walker Prédiction linéaire avant Estimateur MMSE et principe d orthogonalité Filtre de Wiener Filtre de Wiener non-causal Filtre de Wiener causal Filtre de Wiener FIR Prédiction linéaire Prédiction linéaire avant Prédiction linéaire arrière Relation entre prédiction avant et arrière L algorithme de Levinson-Durbin Interprétations des paramètres K m et m Filtres en treillis La méthode des moindres carrés (LS : Least Squares) Introduction Fenêtrage Principe d orthogonalité pour les moindres carrés Equations normales Interprétation géométrique Propriétés de l estimation des moindres carrés Exercices Une ménagerie de Processus Processus de Bernoulli Définition v.a. binomiale, géométrique v.a. Bernoulli v.a. binomiale v.a. Géométrique Indépendance Temps d attente Temps d arrivée Processus Aléatoires 4

5 6.1.9 Exemple de réalisation Séparation de processus Combinaison de processus bm=binomiale -> Poisson bm=binomiale -> Poisson Processus de Poisson Définition bm=nombre d arrivées en tau Première arrivée Indépendance Temps d attente Temps d arrivée Processus de Bernoulli / Poisson «Incidence aléatoire» Exemples de réalisation Exercices Chaînes de Markov Définition Matrice de transition Trajectoires Classification des états Périodicité Comportement à long terme Chaînes ergodiques Processus de naissance et de mort Exercices Syllabus Ce polycopié couvre le cours de Processus Aléatoires, donné en ELEC3, comprenant la partie cours magistral ainsi que les exercices donnés en travaux dirigés. Outre qu il convient (malheureusement ) de rappeler que la présence aux cours et travaux dirigés est obligatoire, il est utile d indiquer que les matières enseignées dans ces cours demandent un travail régulier qui ne peut pas être compensé par un travail, même sérieux, sur un temps court avant les DS (devoirs surveillés). De manière à aider les étudiants motivés que vous êtes à fournir ce travail régulier, les travaux dirigés devront être impérativement préparés chaque semaine, et cette préparation sera sanctionnée par une note de contrôle continu. D autre part, deux devoirs surveillés seront organisés pour chaque cours. Le contrôle des connaissances sera donc organisé de la manière suivante : Processus Aléatoires 5

6 Processus Aléatoires Contrôle continu D.S. 1 (1 ème cours) Pondération 4 % 6 % Le devoir surveillé consistera en une courte question théorique et trois exercices, il sera à livre ouvert (c est-à-dire une copie de ce polycopié, avec annotations possibles, mais sans les solutions des TDs). Le contrôle continu consistera en la préparation d exercices des travaux dirigés. En début de séance, un exercice sera posé en mini DS, sans documents. Il sera noté immédiatement. Processus Aléatoires 6

7 Chapitre 1 Introduction Un processus aléatoire (ou processus stochastique) peut être vu comme un processus qui est le résultat d un événement aléatoire. Il peut également être vu comme étant une collection de variables aléatoires. 1.1 De la variable aléatoire vers le processus aléatoire Signal déterministe : x(t) = A cos(ωt) Signal stochastique (aléatoire) : n(t) =...? Bruit Bour$e (et produit$ dérivé$... ) Systèmes de communication Information Incertitude Physique classique : Nature déterministe Systèmes complexes : impossible de tout calculer (x i, x i ) Description statistique (p.ex., théorie des gaz) Physique quantique : Nature indéterministe Impossible de mesurer (x, ẋ). Approche probabiliste du monde «Si l on sait exactement ce que l on va faire, à quoi bon le faire?» (Pablo Picasso) Bibliographie Probabilités, Processus de Bernoulli, Poisson, Markov : D. Bertsekas, J. Tsitsiklis, Introduction to Probability, Athena Scientific, Belmont, 22 Signaux aléatoires, bruit, filtrage : S. Haykin, Communication Systems, 3rd edition, John Wiley & Sons, New York, 1994, Ch. 4 7

8 S. Haykin Adaptive Filtering R. Gray Statistical Signal Processing J. Proakis, M. Salehi, Communication Systems Engineering, Prentice Hall, 21, Ch. 3. Processus Aléatoires 8

9 Chapitre 2 Processus Stochastiques e Polytechnique de l UNS tech Nice-Sophia 3e année 2.1 Définition ocessus Stochastiques 6 Associer une fonction à chaque issue d une expérience aléatoire éfinition Associer une fonction à chaque issue d une expérience aléatoire x1 (t) X(ω, t) t ω1 Ω xi (t) = X(ωi, t) une réalisation de X(ω, t) ω2 x2 (t) ωn t xn (t) X(ω, t) " X(t) : P.S. t X(ω, tm ) " X(tm ) : V.A. tm Grandeurs statistiques Observer X(t) aux instants t1, t2,..., tk Obtenir k V.A. : X(t1 ), X(t2 ),..., X(tk ) Densité de probabilité conjointe : px(t1 )X(t2 )...X(tk ) (x1, x2,..., xk ) 9

10 Espérance (statistique du premier ordre) : m X (t 1 ) E {X(t 1 )} = + x p X(t1)(x) dx Autocorrélation (statistique du second ordre) : R X (t 1, t 2 ) R X(t1)X(t 2) = E {X(t 1 )X(t 2 )} = + x 1 x 2 p X(t1)X(t 2)(x 1, x 2 ) dx 1 dx 2 Autocovariance (statistique du second ordre) : C X (t 1, t 2 ) cov[x(t 1 ), X(t 2 )] = E {{X(t 1 ) E {X(t 1 )}}{X(t 2 ) E {X(t 2 )}}} = R X (t 1, t 2 ) m X (t 1 )m X (t 2 ) = + [x 1 m X (t 1 )][x 2 m X (t 2 )] p X(t1)X(t 2)(x 1, x 2 ) dx 1 dx Stationnarité «Est-ce que les propriétés statistiques changent avec le temps?» Observer X(t) aux instants t 1, t 2,..., t k Obtenir k V.A. : X(t 1 ), X(t 2 ),..., X(t k ) Observer X(t) aux instants t 1 + T, t 2 + T,..., t k + T Obtenir k V.A. : X(t 1 + T ), X(t 2 + T ),..., X(t k + T ) X(t) stationnaire au sens strict (sss) : p X(t1)X(t 2)...X(t k )(x 1, x 2,..., x k ) = p X(t1+ T )X(t 2+ T )...X(t k + T )(x 1, x 2,..., x k ) k, T, (t 1, t 2,..., t k ) X(t) stationnaire au sens large (ssl) : k = 1 (sss : p X(t1)(x) = p X(t1+ T )(x) p X (x), T, t 1 ) ssl : m X (t 1 ) = m X k = 2 (sss : p X(t1)X(t 2)(x 1, x 2 ) = p X(t1+ T )X(t 2+ T )(x 1, x 2 ), T, t 1, t 2 ) ssl : R X (t 1, t 2 ) = R X (τ), τ = t 2 t 1 Processus Aléatoires 1

11 École Polytechnique de l UNS 3e année École Polytechnique dede l UNS École Polytechnique l UNSA 3e année 3e année Stationnarité (au sens large) x1 (t) τ τ Stationnarité (au sens large) Stationnarité (au sens large) x1 (t) x2 (t) t τ τ mx (t) = mx t RX (t1, t2 ) = RX (τ ) t x2 (t) mx (t) = mx xn (t) RX (t1, t2 ) = RX (τ ) t t1 t xn (t) t2 t1 + T t2 + T t t1 t2 1 t1 + T t2 + T Propriétés de RX (τ ) X(t) : stationnaire (au sens large) Propriétés de RX (τ1.) RX (τ ) = E {X(t + τ )X(t)} RXsens ( τ )large) = E {X(t τ )X(t)} = RX (τ ) : fonction paire X(t) : stationnaire2.(au RXτ() = E {X(t)X(t)} = E X (t) = σx(t) + mx (t) RX (τ ) = E[X(t )X(t)] Propriétés de R X (τ )= R (τ ) : fonction paire RX ( τ ) = E[X(t τ )X(t)] X X () " 4. RX (τ ) R 2 2 (t) = σ 2 RX () = X(t) E[X(t)X(t)] = E X : stationnaire (au sens large) X(t) + mx (t) RX (τ ) 1.RXR()(τ ) = E[X(t + τ )X(t)] X 2. RX ( τ ) = E[X(t τ )X(t)] =)RX" (τ ) : fonction paire RX (τ fluctuations lentes 2 + mx (t)2 3. RX () = E[X(t)X(t)] = E X 2 (t) = σx(t) fluctuations rapides 4. RX (τ ) RX () τ RX (τ ) fluctuations lentes Temps de décorrélation fluctuations rapides Temps :de décorrélation : τ : RX (τ ) = αrx (), p.ex. : α =.1 τ τ : RX (τ ) = αrx (), p.ex. : α =.1 Temps de décorrélation : Processus Aléatoires τ : RX (τ ) = αrx (), p.ex. : α =

12 École Polytechnique de l UNSA École Polytechnique de l UNS École Polytechnique de l UNS Signal sinusoïdal ; fréquence aléatoire 3e année 3e année 3e année 1. Signal sinusoïdal ; fréquence aléatoire Signal sinusoïdal ; fréquence aléatoire X(t) = a cos(2πf t) ; F v.a. uniforme sur [, W ] (W = 1) mx (t) = a sinc(2w t) a2 {sinc[2w +uniforme τ[, )] )]}W ] X(t) RX (t = τa = t2= at1t) )= cos(2πf t) ; F (2t v.a. 1sur 1 ;X(t) cos(2πf ; F2 v.a. uniforme W sinc[2w ] (W sur = (τ 1)[, Signal non stationnaire m (t) = a sinc(2w t) X m (t) = a sinc(2w t) X 5 1 (W = 1) 2 ; τt1= t1 ) = a2(2t{sinc[2w (2t1 + τ(τ)])]} sinc[2w (τ )]} RX (t 1 ; R τx = (t t21 ) =t2a2 {sinc[2w 1 + τ )] sinc[2w Signal stationnaire non Signal non stationnaire Signal sinusoïdal ; amplitude aléatoire Signal sinusoïdal ; amplitude aléatoire Signal sinusoïdal ; amplitude aléatoire X(t) = A cos(2πf t) ; A v.a. uniforme sur [, 1] (f = 1) mx (t) = 12 cos(2πf t) RX (t1 ; τ = t2 t1 ) = 16 {cos[2πf (2t1 + τ )] + cos(2πf τ )} X(t) t) ; et AR v.a. uniforme sur [, 1] (f = 1) mx (t=+atcos(2πf ) = mx (t) X (t + T ; τ ) = RX (t; τ ) m = 12 cos(2πf t) (au sens large) X (t) cyclo-stationnaire Signal t) ; A sur RX (t 1 ; X(t) τ = t2= A t1 )cos(2πf = 16 {cos[2πf (2tv.a. )] + cos(2πf τ )}[, 1] (f = 1) 1 + τuniforme 1 cos(2πf t) mx (t +mtx) (t) = m= et R (t + T ; τ ) = R (t; τ ) X (t) X X 2 1 Signal {cos[2πf (2t1 + τ )] + cos(2πf τ )} cyclo-stationnaire RX (t1 ; τ = t2 (au t1 )sens = large) mx (t + T ) = mx (t) et RX (t + T ; τ ) = RX (t; τ ) Signal cyclo-stationnaire (au sens large) Processus Aléatoires Processus Stochastiques 9 Processus Stochastiques

13 École École Polytechnique de l UNS de l UNSA Polytechnique Département d Électronique Département d Électronique 3e année 3e année Signal sinusoïdal ; phase aléatoire Signal sinusoïdal ; phase aléatoire = atcos(2πf + Θ) ; Θ v.a. X(t) =X(t) a cos(2πf + Θ) ; Θt v.a. uniforme sur uniforme [, 2π] (a =sur 1, f[, = 2π] 1) (a = 1, f = 1) mx (t) =X (t) = m 2 2 RX (t 1 ;R τx =(t t21 ) =t2a2 cos(2πf ; τt1= t1 ) = τa2) cos(2πf τ ) Signal stationnaire (au sens large) Signal stationnaire (au sens large) Cyclo-stationnarité «Est-ce que les propriétés statistiques changent périodiquement avec le temps?» Observer X(t) aux instants t1, t2,..., tk Obtenir k V.A. : X(t1 ), X(t2 ),..., X(tk ) Cyclo-stationnarité Observer X(t) aux instants t1 + T, t2 + T,..., tk + T que Obtenir k V.A.statistiques : X(t1 +changent T ), X(tpériodiquement T )?» 2 + T ),..., X(t «Est-ce les propriétés aveckle+temps X(t) Observer X(t)cyclo-stationnaire aux instants t1, t2,.. au., tksens strict (css) T : px(t1k)x(t (x1, x),2,.....,. X(t, xk )) = px(t1 +T )X(t2 +T )...X(tk +T ) (x1, x2,..., xk ) 2 )...X(t " Obtenir V.A. : X(tk1)), X(t 2 k k, (t1, t2,..., tk ) Observer X(t) aux instants t1 + T, t2 + T,..., tk + T X(t) cyclo-stationnaire au sens large (csl) T : " Obtenir V.A. :: X(t T ),= X(t., X(t +1T) ) T+T ),.).(x) k = 1k (css px(t (x) px(t, k t 1) 1 csl : mx (t1 au +T mx(css) (t1 ) T : sens strict X(t) cyclo-stationnaire ) = px(t1 )X(t (x1,: xp2x(t,...1,)x(t xk ) 2= px(t (x1, )x(x, 2x)k ), t1, t2 ) k 2= 2 (css = p2x(t 2,.1.,.x )...X(t +T )...X(t 1, x 2 ) )X(t ) (x 1 +T k) k +T ) 1 +T )X(t 2 +T k, (t1,csl t2,.:..r, txk )(t1 + T ; τ ) = RX (t1 ; τ ) X(t) cyclo-stationnaire au sens large (csl) T : k = 1 (css : px(t1 ) (x) = px(t1 +T ) (x), t1 ) Mesurer l espérance (un peu de Statistique) csl : mx (t1 + T ) = mx (t1 ) k = 2 (css : px(tx(t) (x1, x2 ) = px(t (x1x(t, x2 ),) t1, t2 ) 1 )X(t2 )à l instant )X(t2 +Tv.a. ) Figer t 1; +T obtenir csl : RX (t1 + T ; τ ) = RX (t1 ; τ ) Comment mesurer E {X(t )}? Observer n réalisations à t : échantillon de taille n La population génère de v.a. Xi (t ) : indépendantes, même distribution, µx(t ), σx(t ) n X Moyenne de l échantillon : X (t ) = n1 Xi (t ) i=1 E X (t ) = µx(t ) Processus Aléatoires Processus Stochastiques

14 σ 2 X(t) = 1 n σ2 X(t ) X(t ) : estimateur convergent de E {X(t )} Moyenne d ensemble (n ) = Espérance 2.4 Ergodicité «Est-ce que les moyennes statistiques sont égales aux moyennes temporelles?» Équiv. : «Est-ce qu une seule réalisation x(t) caractérise complètement le processus stochastique X(t)?» Ergodicité au sens strict : Condition nécessaire : X(t) stationnaire au sens strict <...> lim T 1 T +T/2 T/2... dt ess = E {...} Ergodicité au sens large : Condition nécessaire : X(t) stationnaire au sens large 1. <x(t)> = lim T 1 T +T/2 T/2 esl = E {X(t)} = m X x(t) dt 2. Γ X (τ) = <x(t + τ)x(t)> = lim T 1 T esl = E {X(t + τ)x(t)} = R X (τ) X(t) : p.s. stationnaire au sens large +T/2 +T/2 T/2 x(t + τ)x(t) dt +T/2 Définir : µ x (T ) = 1 T x(t) dt, γ x (T ; τ) = 1 x(t + τ)x(t) dt T/2 T T/2 variables aléatoires { (dépendent de T et de la réalisation choisie) } +T/2 + +T/2 E {µ x (T )} = 1 T E x(t) dt x(t)p X(t) (x) dt dx = 1 T T/2 +T/2 T/2 E {γ x (T ; τ)} =... = R X (τ) Ergodicité au sens large : <x(t)> = lim T 1 T Γ X (τ) = lim T 1 T = 1 T E {X(t)} dt = 1 T +T/2 T/2 +T/2 T/2 T/2 +T/2 T/2 m X dt = m X x(t) dt = lim µ x(t ) esl = m X T x(t + τ)x(t) dt = lim γ x(t ; τ) esl = R X (τ) T Égalité au sens : lim T E {µ x (T )} = m X et lim T var[µ x (T )] = Interpétation de l espérance et de la variance Signal x(t) ergodique au sens large Processus Aléatoires 14

15 E {X(t)} ssl esl = m X = <x(t)> = composante continue (DC) E {X(t)} 2 = P dc E { X(t) 2} = R X () esl = Γ x () = <x(t) 2 > = P tot (DC+AC) σx(t) 2 = var[x(t)] = E { (X(t) E {X(t)}) 2} = E { X(t) 2} E {X(t)} 2 esl = <x(t) 2 > <x(t)> 2 = <(x(t) <x(t)>) 2 > = P ac (AC) σ X(t) = Pac : valeur efficace (rms) E { X(t) 2} = E {X(t)} 2 + σ 2 X(t) P tot = P dc + P ac 2.5 Densité spectrale de puissance Densité spectrale de puissance (ssl) X(t) stationnaire au sens large Définir : Puissance de X(t) : S X (f) = F [R X (τ)] = R X (τ) = F 1 [S X (f)] = + + E { X(t) 2} = R X (t, t) = R X () = R X (τ) e j 2πfτ dτ S X (f)e + j 2πfτ df + S X (f) : densité spectrale de puissance (en Watt/Hz) Densité spectrale de puissance (csl) S X (f) df X(t) cyclo-stationnaire au sens large m X (t + T ) = m X (t) R X (t + T ; τ) = R X (t; τ) : périodique en t, série de Fourier : R X (t; τ) = + n= RX(τ) n } {{ } c n e + j 2π(n/T)t c n = RX(τ) n = 1 +T/2 R X (t; τ) e j 2π(n/T)t dt T T /2 +T/2 «Composante continue» c = RX (τ) = 1 T R X (t; τ) dt R X (τ) T /2 S X (f) = F [ RX (τ) ] : d.s.p. moyenne sur une période Processus Aléatoires 15

16 Utiliser S X (f) à la place de S X (f, t) = F [R X (t; τ)] Si T v.a.c. uniforme [, T ] : X(t + T ) stationnaire au sens large Attention : csl ssl seulement si on ajoute une phase aléatoire (absence de synchronisation ; voir An Introduction to Cyclostationary Noise) Densité spectrale de puissance : propriétés S X (f), f S X () = + R X (τ) dτ S X ( f) = S X (f), si X(t) réel On note X (f, T ) la T.F. d une réalisation tronquée : X (f, T ) = T/2 T/2 x(t) exp( j 2πft) dt Signal tronqué : X (f, T ) 2 densité spectrale d énergie 1 T X (f, T ) 2 : périodogramme (dimensions de d.s.p.) estimation spectrale X (f, T ) : v.a. (dépend de la réalisation choisie) Si X(t) ergodique au sens large, 1 S X (f) = lim T T E { X (f, T ) 2} 1 = lim T T E T/2 T/2 En pratique : E {...} = moyennage Deux processus stochastiques 2 x(t) exp( j 2πft) dt X(t), Y (t) stationnaires conjointement, au sens large : 1. X(t) et Y (t) stationnaires au sens large 2. R XY (t, t + τ) = E {X(t)Y (t + τ)} = R XY (τ) Propriétés : R XY (τ) = R Y X ( τ) Densité spectrale croisée de puissance («spectre croisé») S XY (f) = F [R XY (τ)] = R XY (τ) = F 1 [S XY (f)] = S XY (f) = S Y X ( f) = S Y X (f) + + R XY (τ) e j 2πfτ dτ S XY (f)e + j 2πfτ df Processus Aléatoires 16

17 2.6 Filtrage d un processus stochastique Filtre linéaire, invariable dans le temps Réponse impulsionnelle h(t), fonction de transfert H(f) Entrée x(t), sortie y(t) (réalisations) y(t) = + h(λ)x(t λ) dλ X(t) stationnaire au sens large { + } m Y (t) = E {Y (t)} = E h(λ)x(t λ) dλ = + = m X h(λ) dλ = H()m X = m Y R Y (t, t + τ) =... = R Y (τ) Y (t) stationnaire au sens large S Y (f) = H(f) 2 S X (f) + h(λ)e {X(t λ)} dλ S Y X (f) = H(f)S X (f) 2.7 Processus gaussien : définition Observer X(t) aux instants t 1, t 2,..., t k Obtenir k v.a. : X(t 1 ), X(t 2 ),..., X(t k ) X(t) p.s. gaussien si les v.a. X(t 1 ), X(t 2 ),..., X(t k ) sont conjointement gaussiennes, k Densité de probabilité conjointe : p X(t1)X(t 2)...X(t k )(x 1, x 2,..., x k ) 1 = exp { [ 1 (2π) k/2 det(c) 1/2 2 (x mx ) T C 1 (x m X ) ]} x = (x 1 x 2... x k ) T m X = (m X(t1) m X(t2)... m X(tk )) T = (m X (t 1 ) m X (t 2 )... m X (t k )) T C i,j = cov[x(t i ), X(t j )] = E { (X(t i ) m X(ti))(X(t j ) m } X(tj)) = E {X(t i )X(t j )} m X(ti)m X(tj) = R X (t i, t j ) m X (t i )m X (t j ) Processus gaussien : propriétés X(t) est caractérisé uniquement par m X (t) et R X (t, t + τ) Stationnarité au sens large stationnarité au sens strict X(t i ), X(t j ) : Non-corrélation indépendance (Rappel : X, Y non corrélées si cov[x, Y ] = E {XY } E {X} E {Y } = ; si E {X} = ou E {Y } =, décorrélation : E {XY } = R XY = ) Filtrage linéaire de X(t) nouveau processus gaussien Processus Aléatoires 17

18 École Polytechnique de l UNSA École Polytechnique de l UNS 3ee année 3 année Signal binaire aléatoire Signal binaire aléatoire x(t) +A t A td Tb + X(t) = k= Ak p(t ktb Td ) + à temps discret, p (a = +A) = p (a = A) =.5 Ak : p.s. discret X Ak k Ak k E[A ] = X(t) = Ak p(t ktb Td ) k v.a. Am, Ank= indépendantes RA (m, n) = E[Am An ] = A2 δ(m n) p(t) = 1, t Tb Ak : p.s. discret à temps discret, pak (ak = +A) = pak (ak Tb : constante E = [, Tb ] k } uniforme Td :{A v.a.c., = A) =.5 v.a. Am, An indépendantes RA (m, n) = E {Am An } = A2 δ(m n) 27 p(t) = 1, t Tb Tb : constante Td : v.a.c., uniforme [, Tb ] ( τ 2, τ < Tb A 1 Tb RX (τ ) =, ailleurs SX (f ) = A2 Tb sinc2 (Tb f ) P (f ) 2 où P (f ) = F[p(t)] SX (f ) = Tb 2.8 Exercices Exercice 2.1 Fréquence aléatoire On définit le processus stochastique X(t) = a cos(2πf t) où F est une variable aléatoire, uniformément répartie sur [, W ], et a une constante réelle. 1. Tracer plusieurs réalisations x(t). 2. Calculer la moyenne statistique mx (t). 3. Calculer la fonction d autocorrélation statistique RX (t1, t2 ). 4. Examiner la stationnarité de X(t). Exercice 2.2 Amplitude aléatoire On définit le processus stochastique X(t) = A cos(2πf t) où A est une variable aléatoire, uniformément répartie sur [, 1], et f une constante réelle. Processus Stochastiques Mêmes questions que pour l exercice Déterminer la densité de probabilité du premier ordre px (x; t), px(t) (x). Processus Aléatoires 18

19 Exercice 2.3 Phase aléatoire On définit le processus stochastique X(t) = a cos(2πft+θ) où Θ est une variable aléatoire, uniformément répartie sur [, 2π[, et a, f sont des constantes réelles. Mêmes questions que pour l exercic 2. Exercice 2.4 Exponentielles aléatoires On définit le processus stochastique X(t) = e At, constitué d une famille d exponentielles dépendant de la variable aléatoire A, de densité de probabilité p A(a) uniforme sur [, 1]. Mêmes questions que pour l exercice 2. Exercice 2.5 Deux gaussiennes On définit le processus stochastique X(t) = A + Bt, formé à partir de deux v.a. A et B gaussiennes, centrées et indépendantes. Mêmes questions que pour l exercice 2. Exercice 2.6 Estimation Soit A(t) un processus stochastique stationnaire au second ordre et centré. On se propose de prédire, à partir d une observation jusqu au temps t, la valeur du processus stochastique à un instant ultérieur t + T. On appelle Â(t + T ) cet estimateur ] et on définit l erreur de prédiction : ɛ = E [[A(t + T ) Â(t + T )]2. 1. Pour Â(t + T ) = λa(t), trouver la valeur λ qui minimise l erreur de prédiction. 2. Calculer alors cette erreur. 3. On appelle ρ le coefficient de corrélation entre les v.a. A(t ) et A(t + T ). Exprimer ɛ en fonction de la variance et de ρ. 4. Dans quel cas l erreur est-elle la plus grande? Exercice 2.7 Temps discret On considère un processus stochastique à temps discret X(k). Pour k fixé, X(k) est une variable aléatoire de moyenne m et de variance σ 2. Pour k 1 différent de k 2 les v.a. X(k 1) et X(k 2) sont indépendantes (et donc décorrélées). Calculer la fonction d autocorrélation de X(k) et sa DSP. Exercice 2.8 Séquence binaire aléatoire Processus Aléatoires 19

20 On considère le processus stochastique X(t) dont une réalisation est présentée à la Figure 1. Il s agit d une séquence aléatoire de symboles binaires : Le 1 et le sont représentés par une impulsion d amplitude +A et A, respectivement, de durée T (une constante). Les impulsions ne sont pas synchronisées : le délai T d du début de la première impulsion après l instant t = est une variable aléatoire, uniformément répartie entre et T. Les symboles et 1 sont équiprobables et indépendants. Calculer : 1. La fonction de probabilité p X(t) (x). 2. La moyenne statistique E {X(t)}. 3. La fonction d autocorrélation de X(t). 4. La densité spectrale de puissance S X(f) de X(t). 5. La densité spectrale d énergie d une impulsion d amplitude A et de durée égale à T. x a t b 1 2 Fig. 1 Exercice 2.9 Délai aléatoire Processus Aléatoires 2

21 On considère le processus stochastique X(t) dont une réalisation est présentée à la Figure 2. Il s agit d un signal numérique périodique non synchronisé : le délai t d de la première période après l instant t = est une variable aléatoire, uniformément répartie entre et T. Calculer : 1. La fonction de probabilité p X(t) (x). 2. La moyenne et l autocorrélation statistiques. 3. La moyenne et l autocorrélation temporelles. 4. La densité spectrale de puissance de X(t). Conclusion sur la stationnarité et l ergodicité du processus X(t). x a 1 2 t Fig. 2 Processus Aléatoires 21

22 Processus Aléatoires 22

23 École Polytechnique de l UNS 3e année Signal binaire aléatoire x(t) +A t A RX (τ ) = A2 " 1 τ Tb # Chapitre 3 td Tb, τ < Tb, ailleurs SX (f ) = A2 Tb sinc2 (Tb f ) SX (f ) = P (f ) 2 Tb où P (f ) = F[p(t)] Bruit Bruit Définition Définition Signal indésirable Signal indésirable Contrôle incomplet Contrôle incomplet Externe ou interne au système Externe ou interne au système Additif multiplicatif Additifouou multiplicatif Y (t) Y (t)= = s(t)+n s(t)+n (t)(t) Bruit thermique : definition Inhérent à tout composant électronique Dû au mouvement aléatoire des électrons libres dans les conducteurs 18 R : Processus Stochastiques Tension aux bornes d une résistance Moyenne nulle Variance σv2 = 2(πKT )2 R/3h (V 2 ) K : constante de Boltzmann, J/K h : constante de Planck, J s T : température, K dsp SV (f ) = 2Rh f / [exp(h f /KT ) 1] (V2 /Hz) h f Approximation pour f << KT /h : SV (f ) 2RKT 1 2KT (V2 /Hz) 23

24 École Polytechnique de l UNSA 3e année Température standard : T = 29K, KT /h = 1 THz Bruit thermique : dsp disponible Modèle équivalent (Thévenin) d une résistance R : Rth = R, considérée sans bruit «Source de tension» : dsp SV (f ) 2RKT (V2 /Hz) Densité spectrale de puissance disponible (charge adaptée) : Sa (f ) = SV (f ) KT = 4R 2 (W/Hz) dsp disponible : ne dépend pas de R École Polytechnique de l UNS Bruit blanc 3e année Processus stochastique avec dsp constante : Bruit blanc SX (f ) Processus stochastique avec dsp constante : = η 2 η : dsp des fréquences positives SX (f ) = η Température équivalente : Te = η/k 2 η : dsp des fréquences positives Fonction d autocorrélation : Température équivalente : Te = η/k Fonction d autocorrélation : Z + η 2πf τ η η RX (τr)x=(τ ) = + ηee jj2πf τ dfdf = = δ(τ )2 δ(τ ) RX (τ ) SX (f ) η 2 η 2 f τ Bruit blanc gaussien centré : rien de plus aléatoire Bruit blanc gaussien centré : rien de plus aléatoire le bruit blanc est irréalisable (puissance moyenne infinie ) si on l observe à l oscillo, il est toujours différent (RX = ) mais pour chaque base de temps il a la même allure (contient toutes les frequences) 2. Blanc se réfère à la dsp Gaussien à la densité de probabilité 3. Si un bruit blanc est gaussien à moyenne nulle, alors les v.a. qu on obtient à τ 6= sont décorrélées, c.a.d. indépendantes. Le bruit blanc gaussien centre est la «chose» la plus aléatoire qui existe... Commentaires 1. le bruit blanc est irréalisable (puissance moyenne infinie ) si on l observe à l oscillo, il est toujours différent (RX = ) mais pour chaque base de temps il a la même allure (contient toutes les frequences) 2. Blanc se réfère à la dsp Bruit blanc filtré (fonction de transfert H(f )) Gaussien à la densité de probabilité 2 2 S3.Y (f ) H(f H(f ) η/2 Si un = bruit blanc) estsgaussien nulle, alors les v.a. qu on obtient à τ = sont décorrélées, X (f ) à=moyenne c.a.d. indépendantes. Le bruit blanc gaussien centre est la «chose» la plus aléatoire qui existe Bruit coloré Processus Aléatoires note 1 of slide 33 24

25 R Y (τ) = η 2 F 1 H(f) 2 Bande passante équivalente bruit, B N : E { Y 2} = R Y () = η 2 + H(f) 2 df = η + H(f) 2 df ηb N H(f) 2 max Exemple : bruit blanc à l entrée d un filtre passe-bas idéal H(f) = 1, B f +B S Y (f) = η/2, B f +B R Y (τ) = η 2 2Bsinc(2Bτ) E { Y 2} = + H(f) max = 1 B N = E{Y 2 } η H(f) = B 2 max S Y (f) df = ηb Processus Aléatoires 25

26 Processus Aléatoires 26

27 Chapitre 4 Signaux passe-bande (rappels) 4.1 definition y(t) Y (f) : signal réel, déterministe (passe-bande) Y (f), f [f c B, f c + B] (autour de ±f c ) y + (t) Y + (f) : signal analytique (passe-bande, f > ) f < Y + (f) = Y (f) f = Y + (f), f [f c B, f c + B] 2Y (f) f > y(t) = Re{y + (t)} ỹ(t) Ỹ (f) : enveloppe complexe (bande de base) Ỹ (f) = Y + (f + f c ), f [ B, +B] y(t) = Re{y + (t)} = Re{ỹ(t) exp( j 2πf c t)} ỹ(t) = y I (t) + j y Q (t) y(t) = y I (t) cos(2πf c t) y Q (t) sin(2πf c t) ỹ(t) = a(t) exp( j φ(t)) y(t) = a(t) cos(2πf c t + φ(t)) y I (t), y Q (t), a(t), φ(t) : signaux réels, en bande de base [ B, +B] Bruit coloré passe-bande Bruit blanc à l entrée d un filtre sélectif Obtenir une expression N(t) =... pour le p.s. à la sortie S N (f) = η 2 H(f) 2, f [f c B, f c + B] (autour de ±f c ) Représentation canonique : N(t) = Re{Ñ(t) exp( j 2πf ct)} = N I (t) cos(2πf c t) N Q (t) sin(2πf c t) Propriétés : N I (t), N Q (t) conjointement stationnaires au sens large N I (t), N Q (t) de moyenne nulle et de même variance que N(t) 27

28 { S N (f f c ) + S N (f + f c ) B f B S NI (f) = S NQ (f) = ailleurs Si N(t) gaussien : N I (t), N Q (t) conjointement gaussiens Si N(t) gaussien centré et S N (f) symétrique autour de ±f c : N I (t), N Q (t) indépendants Bruit blanc gaussien centré à l entrée d un filtre sélectif Représentation canonique : N(t) = N I (t) cos(2πf c t) N Q (t) sin(2πf c t) Transformation en amplitude / phase (Statistiques Appliquees, TD 4.3) N I (t), N Q (t) indépendants : N(t) = R(t) cos[2πf c t + Φ(t)] R(t) = NI 2(t) + N Q 2 (t) Φ(t) = arctan[n Q (t)/n I (t)] N I (t) = R(t) cos(φ(t)), N Q (t) = R(t) sin(φ(t)) Φ(t) : uniformément répartie entre [, 2π[ R(t) : distribution de Rayleigh { ( ) r σ exp r2 p R (r) = 2 2σ r 2 r < 4.2 Autocorrélation de p.s. complexes X(t) : p.s. passe-bande, X(t) enveloppe complexe X(t) = Re{ X(t) [ exp( j 2πf c )} = 1 2 X(t) exp( j 2πfc t) + X (t) exp( j 2πf c )] R X (t 1, t 2 ) = E {X(t { 1 )X(t 2 )} = 1 4 E X(t1 ) X(t } 2 ) exp( j 2πf c (t 1 + t 2 )) { E X (t 1 ) X } (t 2 ) exp( j 2πf c (t 1 + t 2 )) { E X(t1 ) X } (t 2 ) exp( j 2πf c (t 1 t 2 )) { E X (t 1 ) X(t } 2 ) exp( j 2πf c (t 1 t 2 )) { R X (t 1, t 2 ) = 1 2 {E Re X(t1 ) X(t } } 2 ) exp( j 2πf c (t 1 + t 2 )) { {E Re X(t1 ) X } } (t 2 ) exp( j 2πf c (t 1 t 2 )) { E X(t1 ) X(t } 2 ) = (sans démonstration) { R X (t 1, t 2 ) = 1 2 {E Re X(t1 ) X } } (t 2 ) exp( j 2πf c (t 1 t 2 )) { R X(t 1, t 2 ) E X(t1 ) X } (t 2 ) R X (t 1, t 2 ) = 1 2 Re {R X(t 1, t 2 ) exp( j 2πf c (t 1 t 2 ))} Si X(t) ssl, R X(t 1, t 2 ) = R X(τ) Processus Aléatoires 28

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