CHAPITRE 9 Équations (synthèse) et inéquations. Systèmes. Problèmes.

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1 CHAPITRE 9 Équations (synthèse) et inéquations. Systèmes. Problèmes. (Voir : 4 ème, chapitres 11 et 14 ; 3 ème, chapitres 1 et.) I) Ordre et multiplication Propriété : a, b et c désignent des nombres relatifs. Lorsque c est strictement négatif. (c < 0) Si a b alors ac bc et a c b c. Si a b alors ac bc et a c b c. Les nombres ac et bc sont rangés dans l ordre inverse à celui de a et b. a = ; b =,8 et c = 3. <,8 mais ( 3) >,8 ( 3) ( l ordre est inversé!) Si x 6 alors x 6. II) Inéquation du premier degré à une inconnue A) Définitions L expression suivante est appelée une inéquation. 3 x 8 x+ 9 1er membre ème membre Résoudre cette inéquation, c est trouver toutes les valeurs que l on peut donner à x pour que l inégalité soit vraie. Ces valeurs numériques sont appelées les solutions de l inéquation. B) Exemples Pour x =, on a : 3x = 3 ( ) = 6 = 11 et 8x + 9 = 8 ( ) + 9 = = 7 or 11 < 7 donc x = vérifie l inégalité 3x 8x + 9. On dit que le nombre est une solution de l inéquation 3x 8x ( 10) = 3 et 8 ( 10) + 9 = 89 or 3 > 89 donc 10 n est pas solution de cette inéquation. C) Propriétés Une inéquation a les mêmes solutions que toutes celles obtenues en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres, sans changer le sens de l inégalité. Une inéquation a les mêmes solutions que toutes celles obtenues en multipliant (ou divisant) les deux membres par un même nombre strictement positif, sans changer le sens de l inégalité easymaths.free.fr Page 1 sur 6

2 Une inéquation a les mêmes solutions que toutes celles obtenues en multipliant (ou divisant) les deux membres par un même nombre strictement négatif, après avoir changé le sens de l inégalité. D) Résolution 3x 8x + 9 On transpose 8x, sans changer le sens et on réduit : x 9 On transpose, sans changer le sens et on réduit : x 14 On transpose et on change le sens : x 14 On réduit : 14 x L inéquation 3x 8x + 9 admet comme solutions, les nombres supérieurs ou 14 égaux à. E) Représentation graphique des solutions On peut représenter les solutions sur une droite graduée. solutions 0-14/ Le crochet est orienté du côté des solutions pour indiquer que 14/ est solution. F) Cas particuliers Attention! Il existe des inéquations qui n ont pas de solution (0x < b, b < 0). Il existe des inéquations qui ont une infinité de solutions (0x < b, b > 0). III) Équation du premier degré à deux inconnues Définitions : L expression suivante est appelée une équation du 1 er degré à inconnues x et y. x 3y = 4 Les solutions de cette équation sont les couples de valeurs de x et de y pour lesquelles l égalité x 3y = 4 est vraie. Exemples : Pour x = 7 et y = 6, on a : x 3y = = = 4 donc x = 7 et y = 6 est une solution de l équation x 3y = 4. On dit que le couple ( 7 ; 6 ) est solution de l équation. = + = donc ( ; 1) 3 ( 1) n est pas solution de cette équation easymaths.free.fr Page sur 6

3 Remarque : Dans un couple de nombres, l ordre est important. ;1 n est pas solution de x 3y = 4! ( ) IV) Système de deux équations à deux inconnues A) Définition Définitions : x 3y = 4 ( S) est un système de deux équations du 1 er degré à deux x+ y = inconnues x et y. Résoudre ce système, c est trouver, s il existe, le couple ( x ; y) qui vérifie simultanément les deux égalités. Ce couple de nombres est appelé solution du système. Remarque : L accolade remplace le mot «et». Le couple ( 1 ; ) est solution du système (S). Pour x = 1 et y = les deux égalités sont vérifiées simultanément. En effet, 1 3 = 6= 4 et 1+ = 1+ 4=. B) Méthodes de résolution Principe : On élimine (provisoirement) une des deux inconnues pour se ramener à des équations du 1 er degré à une inconnue. 1. Méthode par substitution On exprime, dans l une des deux équations, une inconnue en fonction de l autre. (Parmi les quatre possibilités, on choisit celle qui facilite le plus les calculs.) On remplace (ou substitue) dans l autre équation l inconnue choisie, par cette expression. On se ramène ainsi à la résolution d une équation à une seule inconnue. On détermine cette inconnue puis l autre. On numérote les équations du système. x 3y = 4 (1) (S) x+ y = () Dans l équation () par exemple, on exprime x en fonction de y : x = y Dans l équation restante (1), on substitue x par son expression en fonction de y : ( y) 3y = 4 On détermine y : easymaths.free.fr Page 3 sur 6

4 On détermine x : 10 4y 3y = y = = 7y 14 = 7y 14 y = = 7 x = x = 1 La solution du système (S) est le couple ( 1; ). Vérification : 1 3 = 6= 4 1+ = 1+ 4=. Méthode par combinaison (linéaire) On multiplie les deux membres de l une ou des deux équations par des nombres convenablement choisis de telle manière que l une des inconnues disparaisse par addition (ou soustraction) membre à membre des deux équations. On se ramène ainsi à la résolution d une équation à une seule inconnue. On détermine une inconnue puis l autre. On multiplie les deux membres de l équation (1) par et les deux membres de l équation () par 3 : x 3y = 4 x+ y = 3 ce qui conduit à, 4x 6y = 8 3x+ 6y = 1 On ajoute membre à membre les deux équations : ( 4x 6y) + ( 3x+ 6y) = 8+ 1 On détermine x : 4x+ 3x 6y+ 6y = 7 7x = 7 x = 1 On détermine y : 1+ y = y = 1 y = 4 y = Le système (S) admet pour unique solution le couple ( 1; ) easymaths.free.fr Page 4 sur 6

5 3. Méthode par interprétation graphique Le plan est muni d un repère (O, I, J). Propriété : La solution du système y = ax + b y = ax ' + b' lorsqu elle existe, est le couple des coordonnées du point d intersection des droites d équations : y = ax + b et y = a x + b. On considère le système d équations suivant : x 3y = 4 (S) x+ y = Méthode de résolution par interprétation graphique : On associe une droite à chacune des équations du système. Le couple des coordonnées du point d intersection de ces deux droites, s il existe, constituent alors la solution du système. On exprime y en fonction de x, à l aide de chacune des équations : y = 3 x et y = 1 x + Dans un repère, on trace les droites (d) et (d ) représentant les fonctions affines : x 3 x et x 1,x +, Tableaux de valeurs : y 1 = x x 4 x 1 3 et y 0 4 y 3 1 y S 1 y = 3 x 3 1O x Les droites (d) et (d ) sont sécantes en S. La solution (1 ; ) du système correspond aux coordonnées du point S commun à (d) et (d ). Remarque : Cette interprétation graphique de la solution du système, qui est souvent approximative, permet cependant de contrôler les résultats obtenus par le calcul easymaths.free.fr Page sur 6

6 V) Application à la résolution de problèmes Principe de la méthode : Choix de l inconnue (ou des deux inconnues) Mise en équation(s) ou inéquation du problème Résolution de l équation (ou du système) ou de l inéquation Interprétation (et vérification) du résultat easymaths.free.fr Page 6 sur 6