Exercice 6 [ ] [Correction] Soit A = (a i,j ) M n (K). Montrer que

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1 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 1 Calcul matriciel Opérations sur les matrices Exercice 1 [ ] [Correction] Pour A M n (K), on note σ(a) la somme des termes de A On pose 1 1 J = (1) 1 1 Vérier JAJ = σ(a)j Exercice 2 [ ] [Correction] Soit a b M = M c d 2 (R) avec 0 d c b a et b + c a + d Pour tout n 2, on note M n an b = n Démontrer que, pour tout n 2, c n d n b n + c n a n + d n Problèmes de commutation Exercice 5 [ ] [Correction] Soient λ 1,, λ n des éléments de K deux à deux distincts et D = diag(λ 1,, λ n ) Déterminer les matrices de M n (K) commutant avec D Exercice 6 [ ] [Correction] Soit A = (a i,j ) M n (K) Montrer que B M n (K), AB = BA λ K, A = λi n Exercice 7 [ ] [Correction] Soient A, B M n (R) où B est nilpotente et commute avec A Montrer que A et A + B sont simultanément inversibles Exercice 8 [ ] [Correction] On suppose que A, B M n (K) commutent et que A est inversible Justier que les matrices A 1 et B commutent Exercice 9 [ ] [Correction] (a) Quelles sont les matrices de M n (K) commutant avec toutes les matrices de M n (K)? (b) Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de GL n (K) Exercice 3 [ ] [Correction] Résoudre l'équation X 2 = A où A = Exercice 10 [ ] [Correction] Soient n N, α 1,, α n des complexes distincts, A = diag(α 1,, α n ) et C(A) = { M M n (C), AM = MA } Montrer que (A k ) 0 k n 1 est une base de C(A) Exercice 4 [ ] [Correction] Soit A GL n (R) vériant Pour k N, calculer A k + A k A + A 1 = I n Exercice 11 [ ] [Correction] Soit n N avec n 2 (a) Montrer que { A Mn (R) M GL n (R), AM = MA } = { λi n λ R }

2 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 2 (b) Soit A M n (R) On suppose que M, N M n (R), A = MN = A = NM Montrer qu'il existe λ R tel que A = λi n Exercice 12 [ ] [Correction] Soit T M n (R) une matrice triangulaire supérieure Montrer que T commute avec sa transposée si, et seulement si, la matrice T est diagonale Exercice 13 [ ] [Correction] Soit n 2 Déterminer les matrices de M n (K) commutant avec toutes les matrices symétriques Exercice 14 [ ] [Correction] Soit n 2 Déterminer les matrices de M n (K) commutant avec toutes les matrices antisymétriques Exercice 15 [ ] [Correction] Soient D = diag(a 1,, a n ) M n (K) et ϕ: M M n (K) DM MD (a) Déterminer noyau et image de l'endomorphisme ϕ (b) Préciser ces espaces quand D est à coecients diagonaux distincts Calcul des puissances d'une matrice carrée Exercice 16 [ ] [Correction] On considère la matrice A = et on pose B = A I Calculer B n pour n N et en déduire l'expression de A n Exercice 17 [ ] [Correction] Calculer A n pour A = de deux manières diérentes Exercice 18 [ ] [Correction] On considère la matrice A = (a) Calculer A 2 3A + 2I En déduire que A est inversible et calculer son inverse (b) Pour n 2, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 3X + 2 (c) En déduire l'expression de la matrice A n Exercice 19 [ ] [Correction] Soit 1 1 A = 0 1 M n(r) (a) Soit k N Majorer les coecients de A k (b) Calculer A 1 (c) Calculer (A 1 ) k pour k N Matrices carrées inversibles Exercice 20 [ ] [Correction] Soit a b A = M c d 2 (K) Observer que A 2 (a + d)a + (ad bc)i = 0 À quelle condition A est-elle inversible? Déterminer alors A 1

3 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 3 Exercice 21 [ ] [Correction] Calculer l'inverse des matrices carrées suivantes : (a) A = (b) B = (c) C = Exercice 26 [ ] [Correction] Soit A M n (K) telle que la matrice I + A soit inversible On pose B = (I A)(I + A) 1 (a) Montrer que B = (I + A) 1 (I A) (b) Montrer que I + B est inversible et exprimer A en fonction de B Exercice 22 [ ] [Correction] Justier que 1 ( 1) A = M n (R) 0 1 est inversible et déterminer A 1 Exercice 27 [ ] [Correction] Soient A, B, C M n (K)(n 2) non nulles vériant ABC = O n Montrer qu'au moins deux des matrices A, B, C ne sont pas inversibles Exercice 23 [ ] [Correction] Soient n N \ {0, 1} et ω = exp 2iπ n On pose A = ( ω (k 1)(l 1)) 1 k,l n M n(c) Calculer AA En déduire que A est inversible et calculer A 1 Exercice 24 [ ] [Correction] Soit (a) Calculer (A + I) 3 A = (b) En déduire que A est inversible Exercice 25 [ ] [Correction] Soit A = (1 δ i,j ) M n (R) (a) Calculer A (b) Montrer que A est inversible et exprimer A 1 Exercice 28 [ ] [Correction] Montrer que la matrice A = est inversible et calculer son inverse Exercice 29 [ ] [Correction] Montrer que les matrices carrées d'ordre n 2 suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss : 1 a (0) (a) A = a (0) 1 1 (1) (b) B = (0) n (c) C = 2 (0) 1

4 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 4 Symétrie matricielle Exercice 30 [ ] [Correction] Déterminer une condition nécessaire et susante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique Exercice 31 [ ] [Correction] Montrer que S n (R) et A n (R) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de M n (R) Exercice 32 [ ] [Correction] Montrer que toute matrice de M n (R) peut s'écrire comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice nilpotente Structures formées par un ensemble de matrices Exercice 33 [ ] [Correction] Soit E l'ensemble des matrices de la forme a b c M(a, b, c) = 0 a b 0 0 a avec a, b, c R Notre objectif est d'établir que l'inverse d'une matrice inversible de E appartient encore à E, sans pour autant calculer cet inverse (a) Montrer que (E, +, ) est un R-espace vectoriel dont on précisera la dimension (b) Montrer que (E, +, ) est un anneau commutatif (c) À quelle condition sur (a, b, c) R 3, la matrice A = M(a, b, c) est-elle inversible dans M 3 (R)? On suppose cette condition vériée En considérant l'application f : E E dénie par f(x) = AX, montrer que A 1 E Exercice 34 [ ] [Correction] (Matrices de permutation) Soit n N \ {0, 1} Pour σ S n, on note P (σ) = (δ i,σ(j) ) 1 i,j n M n (R) appelée matrice de permutation associée à σ (a) Montrer que (σ, σ ) S 2 n, P (σ σ ) = P (σ)p (σ ) (b) En déduire que E = { P (σ) σ Sn } est un sous-groupe de GLn (R) isomorphe à S n (c) Vérier que t ( P (σ) ) = P (σ 1 ) Exercice 35 [ ] [Correction] Soit E l'ensemble des matrices de M 2 (K) de la forme a + b b A = avec (a, b) K 2 b a b (a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 2 (K), en donner une base (b) Montrer que E est un sous-anneau commutatif de M 2 (K) (c) Déterminer les inversibles de E (d) Déterminer les diviseurs de zéro de E c'est-à-dire les matrices A et B E vériant AB = O 2 avec A, B O 2 Exercice 36 [ ] [Correction] On dit qu'une matrice A = (a i,j ) M n (K) est centro-symétrique si (i, j) 1 ; n 2, a n+1 i,n+1 j = a i,j (a) Montrer que le sous-ensemble C de M n (K) formé des matrices centro-symétriques est un sous-espace vectoriel de M n (K) (b) Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de M n (K) est aussi centro-symétrique (c) Soit A centro-symétrique de M n (K) et inversible En considérant l'application X AX de C vers C, montrer que A 1 est centro-symétrique Matrice d'une application linéaires Exercice 37 [ ] [Correction] Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires f suivantes :

5 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 5 (a) (b) f : f : { R 3 R 2 (x, y, z) (x + y, y 2x + z) { R 3 R 3 (x, y, z) (y + z, z + x, x + y) (c) f : (d) f : { R3 [X] R 3 [X] P P (X + 1) Exercice 38 [ ] [Correction] On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de R 3 suivants : Exercice 41 [ ] [Correction] Soient a C et f : C C dénie par f(z) = z + az (a) Former la matrice de l'endomorphisme f du R-espace vectoriel C dans la base { (1, i) R3 [X] R 4 P ( P (1), P (2), P (3), P (4) ) (b) Déterminer image et noyau de f Matrice d'un endomorphisme dans une base bien choisie P = { (x, y, z) R 3 x + 2y z = 0 } et D = Vect(w) où w = (1, 0, 1) On note B = (i, j, k) la base canonique de R 3 On note p la projection vectorielle sur P parallèlement à D, q celle sur D parallèlement à P, et enn, s la symétrie vectorielle par rapport à P et parallèlement à D (a) Former la matrice de p dans B (b) En déduire les matrices, dans B, de q et de s Exercice 39 [ ] [Correction] Soit ϕ l'endomorphisme de R n [X] déni par ϕ(p ) = P (X + 1) (a) Écrire la matrice A de ϕ dans la base canonique B de R n [X] (b) Justier que A est inversible et calculer A 1 Exercice 40 [ ] [Correction] Soit A = (a i,j ) 1 i,j n+1 M n+1 (R) la matrice dont le coecient général est donné par un coecient binomial : j 1 a i,j = i 1 Soit ϕ L(R n [X]) l'endomorphisme représenté par la matrice A dans la base canonique (1, X,, X n ) (a) Exprimer simplement ϕ(p ) pour tout P R n [X] (b) Calculer A m pour tout m N (c) Calculer A 1 Exercice 42 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et f L(E) tel que f 2 0 et f 3 = 0 Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est Exercice 43 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension n N vériant f n = 0 et f n 1 0 (a) Justier qu'il existe un vecteur x E tel que la famille B = ( x, f(x), f 2 (x),, f n 1 (x) ) forme une base de E (b) Déterminer les matrices de f, f 2,, f n 1 dans cette base (c) En déduire que { g L(E) g f = f g } = Vect(Id, f, f 2,, f n 1 ) Exercice 44 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel muni d'une base B = (i, j, k) Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = (a) Calculer A 2 Qu'en déduire sur f?

6 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 6 (b) Déterminer une base de Im f et Ker f (c) Quelle est la matrice de f relativement à une base adaptée à la supplémentarité de Im f et Ker f? Exercice 45 [ ] [Correction] Soit A = On note B = (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de R 3 Soit f l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans B est A (a) Déterminer Ker f et Im f Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans R 3 (b) Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de f dans cette base (c) Décrire f comme composée de transformations vectorielles élémentaires Exercice 46 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension n N et f L(E) tel que f n = 0 et f n 1 0 Montrer qu'il existe une base B de E pour laquelle : Mat B (f) = Exercice 47 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme non nul d'un R-espace vectoriel E de dimension 3 vériant f 3 + f = 0 (a) Soit x E Démontrer que si x = y + z avec y Ker f et z Ker(f 2 + Id) alors y = x + f 2 (x) et z = f 2 (x) (b) Montrer que E = Ker f Ker(f 2 + Id) (c) Prouver dim Ker(f 2 + Id) 1 Montrer que, si x Ker(f 2 + Id) \ {0} alors (x, f(x)) est une famille libre de Ker(f 2 + Id) (d) Que vaut det( Id)? En déduire dim Ker(f 2 + Id) = 2 (e) Déterminer une base de E dans laquelle la matrice de f est Changement de bases Exercice 48 [ ] [Correction] Soit A = On note B = (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de R 3 Soit f l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans B est A On pose ε 1 = (1, 1, 1), ε 2 = (1, 1, 0), ε 3 = (1, 0, 1) et B = (ε 1, ε 2, ε 3 ) (a) Montrer que B constitue une base de R 3 (b) Écrire la matrice de f dans cette base (c) Déterminer une base de Ker f et de Im f Exercice 49 [ ] [Correction] Soit f L(R 3 ) représenté dans la base canonique B par : (a) Soit C = (ε 1, ε 2, ε 3 ) avec ε 1 = (1, 0, 1), ε 2 = ( 1, 1, 0), ε 3 = (1, 1, 1) Montrer que C est une base (b) Déterminer la matrice de f dans C (c) Calculer la matrice de f n dans B pour tout n N Exercice 50 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel muni d'une base B = (e 1, e 2, e 3 ) Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est A =

7 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 7 Soit B = (ε 1, ε 2, ε 3 ) la famille dénie par ε 1 = e 1 + e 2 e 3 ε 2 = e 1 e 3 ε 3 = e 1 e 2 (a) Montrer que B est une base de E et former la matrice D de f dans B (b) Exprimer la matrice de passage P de B à B et calculer P 1 (c) Quelle relation lie les matrices A, D, P et P 1? (d) Calculer A n pour tout n N Exercice 51 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e 1, e 2, e 3 ) une base de E On considère les matrices A = et D = Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A (a) Montrer qu'il existe une base C = (ε 1, ε 2, ε 3 ) de E telle que la matrice de f dans C soit D (b) Déterminer la matrice P de GL 3 (R) telle que A = P DP 1 Calculer P 1 (c) Calculer A n pour tout n N (d) En déduire le terme général des suites (x n ) n N, (y n ) n N et (z n ) n N dénies par : x 0 = 1 x n+1 = 4x n 2(y n + z n ) y 0 = 0 et n N, y n+1 = x n z n z 0 = 0 z n+1 = 3x n 2y n z n Exercice 52 [ ] [Correction] Soient b = (i, j) et B = (I, J) deux bases d'un R-espace vectoriel de dimension 2 et P la matrice de passage de b à B Pour x E, notons v = Mat b x et V = Mat B x (a) Retrouver la relation entre v et V (b) Soient f L(E) et Retrouver la relation entre m et M m = Mat b f et M = Mat B f (c) Par quelle méthode peut-on calculer m n lorsqu'on connaît deux vecteurs propres non colinéaires de f Exercice 53 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 muni d'une base e = (e 1, e 2, e 3 ) Soit f L(E) dont la matrice dans la base e est A = On pose e 1 = e 1 + e 3, e 2 = e 1 + e 2 et e 3 = e 1 + e 2 + e 3 (a) Montrer que la famille e = (e 1, e 2, e 3) forme une base de E et déterminer la matrice B de f dans e (b) Calculer A n Exercice 54 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 muni d'une base B = (e 1, e 2, e 3 ) Soit f L(E) dont la matrice dans la base B est A = On pose ε 1 = e 1 + e 3, ε 2 = e 1 + e 2 et ε 3 = e 1 + e 2 + e 3 (a) Montrer que B = (ε 1, ε 2, ε 3 ) forme une base de E et déterminer la matrice de f dans B (b) Calculer A n Exercice 55 [ ] [Correction] Soit E un K-espace vectoriel muni d'une base B = (e 1, e 2, e 3 ) Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = (a) Montrer qu'il existe une base C = (ε 1, ε 2, ε 3 ) de E dans laquelle la matrice représentative de f est une matrice diagonale D de coecients diagonaux : 1, 2 et 3 (b) Déterminer la matrice de passage P de B à C Calculer P 1 (c) Quelle relation lie les matrices A, D, P et P 1? (d) Calculer A n pour tout n N

8 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 8 Rang d'une matrice Exercice 56 [ ] [Correction] Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de R 3 : (a) (x 1, x 2, x 3 ) avec x 1 = (1, 1, 0), x 2 = (1, 0, 1) et x 3 = (0, 1, 1) (b) (x 1, x 2, x 3 ) avec x 1 = (2, 1, 1), x 2 = (1, 2, 1) et x 3 = (1, 1, 2) (c) (x 1, x 2, x 3 ) avec x 1 = (1, 2, 1), x 2 = (1, 0, 3) et x 3 = (1, 1, 2) Exercice 57 [ ] [Correction] Calculer le rang des applications linéaires suivantes : (a) f : K 3 K 3 dénie par (b) f : K 3 K 3 dénie par (c) f : K 4 K 4 dénie par f(x, y, z) = ( x + y + z, x y + z, x + y z) f(x, y, z) = (x y, y z, z x) f(x, y, z, t) = (x + y t, x + z + 2t, 2x + y z + t, x + 2y + z) Exercice 58 [ ] [Correction] Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres : a b (0) (a) b + c c + a a + b bc ca ab (c) 1 cos θ cos 2θ (0) b (b) cos θ cos 2θ cos 3θ b (0) a cos 2θ cos 3θ cos 4θ Exercice 59 [ ] [Correction] Soient n N et M M n (R) dénie par M = (a) Donner le rang de M et la dimension de son noyau (b) Préciser noyau et image de M (c) Calculer M n Exercice 60 [ ] [Correction] Soit A et B deux matrices carrées d'ordre 3 telles que AB = O 3 Montrer que l'une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à 1 Exercice 61 [ ] [Correction] Soient A M 3,2 (R) et B M 2,3 (R) telles que AB = (a) Déterminer les rangs de A et B (b) Calculer BA en observant (AB) 2 = AB Exercice 62 [ ] [Correction] Soient A M 3,2 (R) et B M 2,3 (R) matrices de rang 2 vériant (AB) 2 = AB Montrer BA = I 2 Exercice 63 [ ] [Correction] Soit G un groupe multiplicatif formé d'éléments de M n (R) Montrer que les éléments de G ont tous le même rang Systèmes d'équations linéaires Exercice 64 [ ] [Correction] Discuter, selon m paramètre réel, la dimension des sous-espaces vectoriels de R 3 suivants : (a) F = { (x, y, z) R { 3 x + my + z = 0 } mx + y + mz = 0 (b) F = { (x, y, z) R x + y + mz = 0} 3 x + my + z = 0 mx + y + z = 0

9 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 9 Exercice 65 [ ] [Correction] On considère, pour m paramètre réel, les sous-espaces vectoriels de R 3 : F = { (x, y, z) R 3 x + my + z = 0 et mx + y mz = 0 } et (a) Déterminer la dimension de F et G G = { (x, y, z) R 3 x my + z = 0 } (b) Discuter, selon la valeur de m, la dimension du sous-espace vectoriel F G Exercice 69 [ ] [Correction] Résoudre le système d'équations suivant d'inconnues complexes : x 1 + x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x n 2 + x n 1 + x n = 0 x n 1 + x n = 0 Exercice 66 [ ] [Correction] Résoudre en fonction du paramètre m C, les systèmes suivants d'inconnues complexes : x y + z = m (a) x + my z = 1 x y z = 1 mx + y + z = 1 (b) x + my + z = m x + y + mz = m 2 mx + y + z + t = 1 (c) x + my + z + t = m x + y + mz + t = m + 1 Exercice 67 [ ] [Correction] Soient a, b C Résoudre le système : ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1 Exercice 68 [ ] [Correction] Résoudre le système d'équations suivant d'inconnues complexes : x 1 + x 2 + x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 2x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 3x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 3x nx n = 1 Exercice 70 [ ] [Correction] Soient a 1,, a n des points du plan complexe Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins un polygone à n sommets z 1,, z n tel que : a i est le milieu de [z i ; z i+1 ] et a n est le milieu de [z n ; z 1 ] Exercice 71 [ ] [Correction] Discuter suivant a et b et résoudre ax + 2by + 2z = 1 2x + aby + 2z = b 2x + 2by + az = 1 Exercice 72 [ ] [Correction] Résoudre, en discutant selon a, b R le système ax + y + z + t = 1 x + ay + z + t = b x + y + az + t = b 2 x + y + z + at = b 3 Matrices équivalentes Exercice 73 [ ] [Correction] (a) Montrer qu'une matrice A M n (K) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente

10 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 10 (b) Soit f : M n (K) K une application vériant : f(o n ) = 0, f(i n ) 0 et pour tout A, B M n (K), f(ab) = f(a)f(b) Montrer que A M n (K) est inversible si, et seulement si, f(a) 0 Exercice 74 [ ] [Correction] Soient A, B M n (K) (a) Justier qu'il existe U, V GL n (K) tels que rg(ua + BV ) = min(n, rg A + rg B) (b) On suppose rg A + rg B n Montrer qu'il existe U, V GL n (K) tels que UA + BV GL n (R) Exercice 75 [ ] [Correction] Soit A M n,p (R) Existe-t-il une matrice M M p,n (R) vériant A = AMA? Matrices de rang 1 Exercice 76 [ ] [Correction] Soit A une matrice carrée de rang 1 Montrer qu'il existe λ K tel que A 2 = λa Exercice 78 [ ] [Correction] Soient (X 1,, X n ) et (Y 1,, Y n ) deux familles libres d'éléments de M n,1 (R) Établir que la famille ( X i t Y j )1 i,j n est une base de M n(r) constituée de matrices de rang 1 Rang d'une matrice par blocs Exercice 79 [ ] [Correction] Soient A, B, C, D M n (K) (a) On note ( A B ) M n,2n (K) la matrice obtenue en accolant les colonnes de B à droite de celles de A Montrer rg ( A B ) = rg A U M n (K), B = AU A (b) On note M C 2n,n (K) la matrice obtenue en accolant les lignes de C en dessous de celles de A Montrer A rg = rg A V M C n (K), C = V A (c) En déduire A B A B A AU rg = rg A U, V M C D n (K), = C D V A V AU Exercice 77 [ ] [Correction] Soit H M n (C) une matrice de rang 1 (a) Montrer qu'il existe des matrices U, V M n,1 (K) telles que H = U t V (b) En déduire H 2 = tr(h)h (c) On suppose tr H 1 Montrer que I n + H est inversible et (I n + H) 1 = I n tr H H (d) Soient A GL n (K) telle que tr(ha 1 ) 1 Montrer que A + H est inversible et (A + H) 1 = A tr(ha 1 ) A 1 HA 1 Exercice 80 [ ] [Correction] Soient A M n (K), B M p (K) et M la matrice A On,p M = M B n+p (K) Établir O p,n rg M = rg A + rg B Exercice 81 [ ] [Correction] Soient B M n,p (K) et C M p (K) Montrer In B rg = n + rg C C O p,n

11 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 11 Exercice 82 [ ] [Correction] Soient A M n (K), B M p (K), C M n,p (K) et On suppose B inversible Établir A C M = M B n+p (K) O p,n Exercice 86 [ ] [Correction] Soit A = Calculer A n pour tout n Z rg M = p A = O n Exercice 83 [ ] [Correction] Soient A GL p (R), B M p,q (R), C M q (R) et A B M = M C p+q (R) O q,p Déterminer le rang de M en fonction de celui de C Calcul par blocs Exercice 84 [ ] [Correction] Soient A M n (K) et On A B = M 2n (K) (a) Montrer que A est inversible si, et seulement si, B l'est (b) Calculer B p pour tout p N Exercice 85 [ ] [Correction] Soient A, B, C, D M n (K) et I n O n A B M = M C D 2n (K) On suppose que les matrices A, D et M sont inversibles Exprimer M 1 Exercice 87 [ ] [Correction] Soit A, B M n (K) (a) Exprimer le rang de A A M = A B (b) Calculer l'inverse de M lorsque cela est possible Trace Exercice 88 [ ] [Correction] Existe-t-il des matrices A, B M n (K) vériant AB BA = I n? Exercice 89 [ ] [Correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension nie et f L(E) de rang 1 Montrer f 2 = tr(f)f À quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur? Exercice 90 [ ] [Correction] Soient A M n (R) et ϕ l'endomorphisme de M n (R) déni par ϕ(m) = MA Exprimer la trace de ϕ en fonction de celle de A

12 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 12 Exercice 91 [ ] [Correction] Soit M une matrice carrée de taille n à coecients dans K sous-corps de C Montrer que si tr M = 0, il existe deux matrices A et B telles que M = AB BA Exercice 92 [ ] [Correction] Soit ϕ une forme linéaire sur M n (K) Montrer qu'il existe A M n (K) tel que pour tout M M n (K), ϕ(m) = tr(am) (c) Trouver un supplémentaire, dans M n,1 (K), stable par tous les éléments de H, de Ker(M I n ) (d) Montrer que M H M H Que dire si cette somme est nulle? tr M qn Exercice 93 [ ] [Correction] On note tr la forme linéaire trace sur E = M n (K) Établir Ker(tr) = Vect {[A, B] A, B E} où l'on note [A, B] = AB BA Exercice 96 [ ] [Correction] (a) Soit G un sous-groupe ni de GL n (R) tel que g G tr g = 0 Montrer que g G g = 0 (b) Soit G un sous-groupe ni de GL n (R), V un sous-espace vectoriel de R n stable par les éléments de G Montrer qu'il existe un supplémentaire de V dans R n stable par tous les éléments de G Exercice 94 [ ] [Correction] (a) Dans un espace de dimension nie, pourquoi le rang d'un projecteur est-il égal à sa trace? (b) Soit A M n (K) vériant A q = I n Montrer dim Ker(A I n ) = 1 q 1 tr(a k ) q Exercice 95 [ ] [Correction] Soient K = R ou C et H une partie non vide et nie de GL n (K) stable par multiplication (a) Soit M H Montrer que k N M k H n'est pas injective En déduire que H est un sous-groupe de GL n (K) Soient q = H et P = 1 M q k=0 M H Exercice 97 [ ] [Correction] Soit f une forme linéaire sur M n (R) vériant A, B M n (R), f(ab) = f(ba) Montrer que f est proportionnelle à la trace Exercice 98 [ ] [Correction] (a) Soit f une forme linéaire sur M n (R) vériant A, B M n (R), f(ab) = f(ba) montrer que f est proportionnelle à la trace (b) Soit g un endomorphisme de l'espace vectoriel M n (R) vériant g(ab) = g(ba) pour toutes A, B M n (R) et g(i n ) = I n Montrer que g conserve la trace (b) Montrer, si M H, que MP = P M = P En déduire P 2 = P

13 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 13 Exercice 99 [ ] [Correction] Soit A M n (R) Calculer la trace de l'endomorphisme f M n (R) donné par f(m) = AM + MA Exercice 100 [ ] [Correction] Pour A et B xées dans M n (R), résoudre dans M n (R) l'équation X = tr(x)a + B Exercice 101 [ ] [Correction] Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie n > 1 Montrer que f L(E) de rang 1 n'est pas forcément un projecteur Montrer que f L(E) de rang 1 et de trace 1 est un projecteur Trouver une base de L(E) constituée de projecteurs (a) Montrer que f n'est pas surjectif (b) Montrer que f n'est pas diagonalisable et que R 3 = Im f Ker f (c) Montrer que, pour tout x E \ Ker f, la famille ( f(x), f 2 (x) ) est une base de Im f et calculer la trace de f Exercice 105 [ ] [Correction] À quelle condition existe-t-il des matrices A, B M n (R) vériant (AB BA) 2 = I n? Application des matrices à l'étude d'applications linéaires Exercice 106 [ ] [Correction] Soient f, g L(R 2 ) tel que f 2 = g 2 = 0 et f g = g f Calculer f g Exercice 102 [ ] [Correction] Soient A 1,, A k M n (R) vériant Montrer A A k = I n et 1 i k, A 2 i = A i 1 i j k, A i A j = O n Exercice 103 [ ] [Correction] Soit E et F deux R-espaces vectoriels de dimension nie, n = dim E, p = dim F Soit f L(E, F ) On note (a) Si f est bijectif, montrer H = {0} H = { g L(F, E), f g f = 0 } (b) Montrer que dim H = np r 2 avec r = rg f (c) On suppose que E = F et on dénit l'application ϕ: g f g f Montrer tr ϕ = (tr f) 2 Exercice 104 [ ] [Correction] Soit f un endomorphisme non nul de R 3 vériant f 3 + f = 0 Exercice 107 [ ] [Correction] Soit ω une racine primitive n-ième de 1 On pose F ω (P ) = 1 n 1 P (ω k )X k n pour tout P C n 1 [X] Montrer que F ω est un automorphisme de C n 1 [X] et exprimer son inverse k=0 Exercice 108 [ ] [Correction] Soit E un espace vectoriel réel de dimension nie n 2 (a) Indiquer des endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de E (b) Soit (e 1,, e n ) une base de E Montrer que pour tout i {2,, n}, la famille (e 1 + e i, e 2,, e n ) est une base de E (c) Déterminer tous les endomorphismes de E dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases de E (d) Quels sont les endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de E?

14 [ édité le 17 août 2017 Enoncés 14 Exercice 109 [ ] [Correction] Soit f un élément non nul de L(R 3 ) vériant f 3 + f = 0 Montrer que R 3 = Ker f Im f et que l'on peut trouver une base dans laquelle f a pour matrice A = Exercice 110 [ ] [Correction] Soient u, v : R n [X] R n [X] dénies par u(p ) = P (X + 1) et v(p ) = P (X 1) (a) Calculer rg(u v) en utilisant sa matrice (b) Retrouver ce résultat d'une autre manière Exercice 111 [ ] [Correction] Quels sont les f L(R n ) telles que f(z n ) = Z n?

15 [ édité le 17 août 2017 Corrections 15 Corrections Exercice 1 : [énoncé] Notons On a A = (a i,j ) M n (K) σ(a) = k=1 l=1 a k,l Par produit B = AJ = (b i,j ) avec b i,j = n l=1 a i,l1 et C = JAJ = JB = (c i,j ) avec c i,j = 1b k,j = a k,l = σ(a) Ainsi C = σ(a)j k=1 k=1 l=1 Exercice 2 : [énoncé] Pour n 1, en exploitant M n+1 = M M n, on a a n+1 = aa n + bc n b n+1 = ab n + bd n c n+1 = ca n + dc n d n+1 = cb n + dd n Par suite a n+1 + d n+1 (b n+1 + c n+1 ) = (a c)(a n b n ) + (b d)(c n d n ) Sachant a c et b d, il sut d'établir a n b n et c n d n pour conclure Dans le cas n = 1, la propriété est vériée Dans le cas n 2, exploitons la relation M n = M n 1 M a n = a n 1 a + b n 1 c b n = a n 1 b + b n 1 d c n = c n 1 a + d n 1 c d n = c n 1 b + d n 1 d On a alors a n b n = a n 1 (a b) + b n 1 (c d) et c n d n = c n 1 (a b) + d n 1 (c d) Puisqu'il est évident que a n 1, b n 1, c n 1, d n 1 0 (cela se montre par récurrence), on obtient sachant a b 0 et c d 0 les inégalités permettant de conclure Notons que l'hypothèse b + c a + d ne nous a pas été utile Exercice 3 : [énoncé] Une matrice X solution commute avec A En étudiant l'équation AX = XA coecients par coecients, on observe que X est de la forme a 0 x 0 b y 0 0 c Pour une telle matrice, l'équation X 2 = A équivaut au système : a 2 = 1 b 2 = 4 c 2 = 16 (a + c)x = 1 (b + c)y = / / /5 Les solutions sont donc 0 2 1/3, 0 2 1/3, 0 2 1, / / , etc Exercice 4 : [énoncé] Posons B k = A k + A k On vérie ( A k + A k)( A + A 1) = A k+1 + A (k+1) + A k 1 + A (k 1) et donc B k = B k+1 + B k 1 Sachant B 0 = 2I n et B 1 = I n, on a par récurrence B k = λ k I n avec (λ k ) la suite récurrente linéaire double déterminée par { λ 0 = 2, λ 1 = 1 λ k+1 = λ k λ k 1 L'équation caractéristique a pour racines j = e iπ/2 et j et le terme λ k s'exprime kπ kπ λ k = α cos + β sin 3 3

16 [ édité le 17 août 2017 Corrections 16 Après résolution connaissant λ 0 = 2 et λ 1 = 1, on obtient kπ λ k = 2 cos 3 Exercice 5 : [énoncé] Soit A = (a i,j ) M n (K) B = AD = (b i,j ) avec b i,j = a i,j λ j et C = DA = (c i,j ) avec c i,j = λ i a i,j On a AD = DA si, et seulement si, Exercice 9 : [énoncé] (a) Soit M M n (K) commutant avec toute matrice de M n (K) Pour i j, on a E i,j M = ME i,j L'égalité des coecients d'indice (i, i) donne m j,i = 0 L'égalité des coecients d'indice (i, j) donne m j,j = m i,i Par suite la matrice M est scalaire La réciproque est immédiate (b) On reprend l'étude ci-dessus en étudiant la commutation de M avec I n + E i,j qui conduit à nouveau à l'égalité E i,j M = ME i,j On obtient la même conclusion 1 i, j n, a i,j λ i = a i,j λ j soit 1 i, j n, a i,j (λ i λ j ) = 0 Les λ 1,, λ n étant deux à deux distincts, AD = DA si, et seulement si, ce qui signier que A est diagonale 1 i j n, a i,j = 0 Exercice 6 : [énoncé] Si A est solution alors AE i,j = E i,j A implique a i,i = a j,j et a i,k = 0 pour k i donc A = λi n La réciproque est immédiate Exercice 10 : [énoncé] En étudiant l'égalité AM = MA, on justie C(A) = D n (C) C(A) est donc un sous-espace vectoriel de dimension n De plus il contient évidemment les éléments A k pour k {0,, n 1} (et, plus généralement, tout polynôme en A) Supposons λ 0 I + λ 1 A + + λ n 1 A n 1 = 0 Le polynôme P = λ 0 + λ 1 X + + λ n 1 X n 1 est annulateur de A, donc les α 1,, α n qui sont valeurs propres de A sont aussi racines de P qui possède alors plus de racines que son degré On peut alors armer P = 0 puis λ 0 = = λ n 1 = 0 La famille (A k ) 0 k n 1 est une famille libre à n éléments de C(A), c'en est donc une base Exercice 7 : [énoncé] Supposons A inversible Puisque A et B commutent, A 1 et B aussi Comme B est nilpotente, A 1 B l'est aussi Or il est classique d'observer que si N est nilpotente, I N est inversible d'inverse I + N + + N p 1 avec p l'ordre de nilpotence de N Ainsi I + A 1 B est inversible et A + B = A(I + A 1 B) aussi Supposons A + B inversible, puisque B est nilpotente et commute avec A + B, A = A + B B est inversible Exercice 8 : [énoncé] Il sut d'écrire A 1 B = A 1 (BA)A 1 = A 1 (AB)A 1 = BA 1 Exercice 11 : [énoncé] (a) L'inclusion est immédiate Inversement, soit A M n (R) commutant avec toute matrice M GL n (R) Soient i, j {1,, n} avec i j Pour M = I n + E i,j, la relation AM = MA donne AE i,j = E i,j A L'identication des coecients d'indices (i, j) et (j, j) donnent respectivement a i,i = a j,j et a j,i = 0 On en déduit que la matrice A est diagonale et que ses coecients diagonaux sont égaux, autrement dit, A est une matrice scalaire

17 [ édité le 17 août 2017 Corrections 17 (b) Soit B GL n (K) On peut écrire et donc On en déduit A = (AB 1 )B A = B(AB 1 ) AB = BA et ainsi la matrice A commute avec toute matrice inversible On peut alors conclure que A est une matrice scalaire La matrice A commute avec la matrice symétrique E i,i ce qui permet d'écrire AE i,i = E i,i A L'égalité des coecients d'indice (i, j) donne a i,j = 0 On en déduit que la matrice A est de la forme λi n avec λ K La réciproque est immédiate Exercice 12 : [énoncé] Par récurrence sur n 1 La propriété est immédiate pour n = 1 Supposons la propriété vraie au rang n 1 Soit T M n+1 (K) triangulaire supérieure commutant avec sa transposée On peut écrire α T = t X S O n,1 avec α K, X M n,1 (K) et S M n (K) triangulaire supérieure L'identication du coecient d'indice (1, 1) dans la relation t T T = T t T donne α 2 = α 2 + t XX On en déduit X = O n,1 et l'égalité t T T = T t T donne alors t SS = S t S Par hypothèse de récurrence, la matrice S est diagonale et par conséquent la matrice T l'est aussi Récurrence établie Exercice 13 : [énoncé] Soit A = (a i,j ) M n (K) une matrice commutant avec toutes les matrices symétriques Soient i < j {1,, n} La matrice A commute avec la matrice symétrique E i,j + E j,i ce qui permet d'écrire A(E i,j + E j,i ) = (E i,j + E j,i )A L'égalité des coecients d'indice (i, j) donne a i,i = a j,j Exercice 14 : [énoncé] Cas n = 2 Les matrices antisymétriques sont colinéaires à la matrice En étudiant la commutation d'une matrice de M 2 (R) avec cette dernière, on obtient que les matrices de M 2 (R) commutant avec les matrices antisymétriques sont de la forme a b b a Cas n 3 Soit A = (a i,j ) M n (K) une matrice commutant avec toutes les matrices antisymétriques Soient i < j {1,, n} et k {1,, n} avec k i, j La matrice A commute avec la matrice antisymétrique E i,j E j,i ce qui permet d'écrire A(E i,j E j,i ) = (E i,j E j,i )A L'égalité des coecients d'indice (i, j) et (k, j) donne a i,i = a j,j et a k,i = 0 On en déduit que la matrice A est de la forme λi n avec λ K La réciproque est immédiate Exercice 15 : [énoncé]

18 [ édité le 17 août 2017 Corrections 18 (a) DE i,j = a i E i,j et E i,j D = a j E i,j donc ϕ(e i,j ) = (a i a j )E i,j Posons I = { (i, j) 1 ; n 2 ai a j } et J = { (i, j) 1 ; n 2 ai = a j } = 1 ; n 2 \ I Pour (i, j) I, E i,j Im ϕ et pour (i, j) J, E i,j Ker ϕ Ainsi Or Vect { E i,j (i, j) I } Im ϕ et Vect { Ei,j (i, j) J } Ker ϕ dim Vect { E i,j (i, j) I } +dim Vect { Ei,j (i, j) J } = n 2 = dim Im ϕ+dim Ker ϕ Exercice 17 : [énoncé] (a) Par récurrence (b) A = I 3 + B avec A n = 1 n n(n 1) n B = Puisque I 3 et B commutent, la formule du binôme donne donc et puis dim Vect { E i,j (i, j) I } = dim Im ϕ dim Vect { E i,j (i, j) J } = dim Ker ϕ Vect { E i,j (i, j) I } = Im ϕ et Vect { E i,j (i, j) J } = Ker ϕ car B k = O 3 pour k 3 Exercice 18 : [énoncé] A n = I + nb + n(n 1) B 2 2 (b) Si D est à coecients diagonaux distincts alors I = { (i, j) 1 ; n 2 i j } et J = { (i, i) i 1 ; n } Par suite Im ϕ est l'espace des matrices de diagonale nulle tandis que Ker ϕ est l'espace des matrices diagonales Exercice 16 : [énoncé] B = 0 0 1, B 2 = et B n = O 3 pour n 3 Comme B et I commutent, la formule du binôme donne et donc A n = (I + B) n = I + nb + A n = 1 n n(n+1) n n(n 1) B 2 2 (a) A 2 3A + 2I = 0 Comme A( 1 2 A + 3 2I) = I, on a A 1 = 1 2 A I = 3/2 1/2 (b) X 2 3X + 2 = (X 1)(X 2) Sachant que le reste de la division euclidienne considérée est de la forme ax + b, en évaluant en 1 et 2, on détermine a et b et on obtient : X n = (X 2 3X + 2)Q(X) + (2 n 1)X n (c) On peut remplacer X par A dans le calcul qui précède et on obtient : A n = (A 2 3A + 2I)Q(A) + (2 n 1)A + (2 2 n )I = (2 n 1)A + (2 2 n )I et donc Exercice 19 : [énoncé] A n 3 2 n = n+1 32 n 3 32 n 2

19 [ édité le 17 août 2017 Corrections 19 (a) Si M k majore les coecients de A k alors nm k majore les coecients de A k+1 On en déduit que les coecients de A k sont majorés par On peut sans doute proposer plus n n k 1 (b) Posons T la matrice de M n (R) dont tous les coecients sont nuls sauf ceux de coecients (i, i + 1) qui valent 1 On remarque On en déduit et puisque T n = O n, on obtient A = I n + T + + T n 1 (I T )A = I n T n A 1 = I T (c) Le calcul des puissances de A 1 est immédiat (A 1 ) k = k k ( 1) j T j j et donc le coecient d'indice (i, j) de (A 1 ) k est k a k i,j = ( 1)j i j i k(k 1) (k j + i + 1) = ( 1) j i (j i)(j i 1) 1 j=0 Cette formule laisse présumer que le coecient d'indice (i, j) de A k est a k j i ( k)( k 1) ( k j + i + 1) k + j i 1 i,j = ( 1) = (j i)(j i 1) 1 j i ce que l'on démontre en raisonnant par récurrence Exercice 20 : [énoncé] La relation A 2 (a + d)a + (ad bc)i = 0 est immédiate Si ad bc 0 alors A est inversible ( et ) A 1 = 1 1 d b ad bc ((a + d)i A) = ad bc c a Si ad bc = 0 alors A 2 (a + d)a = 0 Par l'absurde, si A est inversible, A est régulière donc A = (a + d)i puis A = O Absurde Exercice 21 : [énoncé] (a) Par la méthode du pivot, on opère sur les lignes d'une matrice de blocs A et I n pour transformer A en I n On sait qu'alors le bloc I n sera transformé en A On conclut (b) Par la méthode du pivot On conclut A 1 = B 1 =

20 [ édité le 17 août 2017 Corrections 20 (c) Par la méthode du pivot On conclut C 1 = Exercice 22 : [énoncé] A est inversible car triangulaire supérieure à coecients diagonaux non nuls Soient X, Y M n,1 (R) L'équation Y = AX équivaut à X = A 1 Y or x x 1 (x x n ) = y 1 = y 1 + y 2 + 2y n 2 y n 1 donc x n 1 x n = y n 1 x n = y n n 2 A 1 = x n 2 = y n 2 + y n 1 + 2y n x n 1 = y n 1 + y n x n = y n Exercice 23 : [énoncé] A = (a k,l ) avec a k,l = ω (k 1)(l 1) A = (b k,l ) avec b k,l = a k,l = ω (k 1)(l 1) = ω (k 1)(l 1) AA = (c k,l ) avec c k,l = a k,m b m,l = m=1 Si k = l alors ω k l = 1 et Si k l alors ω k l 1 et n 1 ω (k 1)(m 1) ω (m 1)(l 1) = (ω k l ) m m=1 c k,k = n c k,l = 1 (ωk l ) n 1 ω k l = 0 Ainsi AA = ni n On en déduit que A est inversible et que Exercice 24 : [énoncé] (a) (A + I) 3 = O 3 A 1 = 1 n A m=0 (b) A 3 + 3A 2 + 3A + I = O donc A est inversible et A 1 = (A 2 + 3A + 3I) Exercice 25 : [énoncé] (a) A = J I n avec J 2 = nj donc A 2 = (n 2)J + I n = (n 2)A + (n 1)I n (b) AB = I n pour B = 1 n 1 (A (n 2)I n) donc A est inversible et B = A 1 Exercice 26 : [énoncé] (a) Comme (I + A)(I A) = (I A)(I + A), on a, en multipliant à droite et à gauche par (I + A) 1, la relation (I A)(I + A) 1 = (I + A) 1 (I A)

21 [ édité le 17 août 2017 Corrections 21 (b) On a donc I + B est inversible et puis (I + A)(I + B) = (I + A) + (I A) = 2I (I + B) 1 = 1 (I + A) 2 (I B)(I + B) 1 = 1 (I + A (I A)) = A 2 (c) En eectuant successivement les opérations élémentaires : C n C n C n 1, C n 1 C n 1 C n 2,, C 2 C 2 C 1, puis encore C n C n C n 1, C n 1 C n 1 C n 2,, C 2 C 2 C 1, on obtient : (0) 1 A 1 = (0) 1 Exercice 27 : [énoncé] Supposons A et B inversibles En multipliant à gauche par A 1 et B 1 on obtient C = O n ce qui est exclu En raisonnant de façon analogue, on exclut les autres cas où deux des trois matrices sont inversibles Exercice 30 : [énoncé] Soient A, B M n (K) Sachant t (AB) = t B t A Exercice 28 : [énoncé] On a A 2 = 3I + 2A donc A 1 = 1 (A 2I) 3 on a t (AB) = AB BA = AB Le produit de deux matrices symétriques est une matrice symétrique si, et seulement si, les deux matrices commutent Exercice 29 : [énoncé] (a) En eectuant successivement les opérations élémentaires : C 2 C 2 + ac 1, C 3 C 3 + ac 2,, C n C n + ac n 1 on obtient : 1 a a 2 a n a A 1 = a 2 1 a (b) En eectuant successivement les opérations élémentaires : C n C n C n 1, C n 1 C n 1 C n 2,, C 2 C 2 C 1, on obtient : 1 1 (0) A 1 = 1 (0) 1 Exercice 31 : [énoncé] On peut procéder de manière élémentaire, en observant l'écriture M = 1 ( M + t M ) + 1 M 2 2( t M ) avec 1 2( M + t M ) S n (R) et 1 2( M t M ) A n (R) On peut aussi exploiter que l'application T : M n (R) M n (R) dénie par T (A) = t A est un endomorphisme involutif donc une symétrie vectorielle ce qui assure que les espaces Ker(T Id) = S n (R) et Ker(T + Id) = A n (R) sont supplémentaires Exercice 32 : [énoncé] Les matrices triangulaires supérieures strictes sont nilpotentes Commençons par étudier le cas n = 3 Soit A une matrice de M 3 (R) Introduisons ses coecients : a d e A = g b f h i c

22 [ édité le 17 août 2017 Corrections 22 Soit T une matrice triangulaire supérieure stricte de taille 3 : 0 x y T = 0 0 z La diérence S = A T est a d x e y S = g b f z h i c Cette matrice est symétrique si, et seulement si, g = d x x = d g h = e y soit y = e h u = f z z = f u Pour ces valeurs, on obtient l'écriture A = S + T avec S symétrique et T nilpotente puisque triangulaire supérieure stricte Cette résolution se généralise en taille n : pour A = (a i,j ) M n (R), on peut écrire A = S + T avec S = (s i,j ) matrice symétrique et T = (t i,j ) matrice triangulaire supérieure stricte données par s i,j = { a i,j a j,i Exercice 33 : [énoncé] si i j sinon et t i,j = { 0 si i j a i,j a j,i sinon (a) M(a, b, c) = ai + bj + ck avec I = 0 1 0, J = et K = J 2 = On observe que : E = Vect(I, J, K) Par suite E un sous-espace vectoriel de M 3 (R) De plus la famille (I, J, K) est libre, c'est donc une base de E et par suite dim E = 3 (b) De plus I E, M(a, b, c) M(a, b, c ) = M(a a, b b, c c ) E et M(a, b, c)m(a, b, c ) = (ai + bj + ck)(a I + b J + c K) = aa I + (ab + a b)j + (ac + bb + ca )K E Donc E est un sous-anneau de M 3 (R) De plus M(a, b, c)m(a, b, c ) = M(a, b, c )M(a, b, c), donc E est un anneau commutatif (c) A est inversible si, et seulement si, a 0 (ici A est triangulaire supérieure) f(λx + µy ) = A(λX + µy ) = λax + µay = λf(x) + µf(y ) f est un endomorphisme de E Soit X E, si X Ker f alors AX = O puis A 1 AX = O d'où X = O Par suite Ker f = {0} f est un endomorphisme injectif d'un K-espace vectoriel de dimension nie, c'est donc un automorphisme Par suite il existe B E telle que f(b) = AB = I En multipliant par A 1, on conclut A 1 = B E Exercice 34 : [énoncé] (a) B = (e 1,, e n ) la base canonique de R n Notons f σ l'endomorphisme canoniquement associé à P (σ) Pour tout 1 j n, on a f σ (e j ) = e σ(j) Par suite (f σ f σ )(e j ) = f σ σ (e j ) puis P (σ σ ) = P (σ)p (σ ) (b) I n = P (Id) E P (σ)p (σ ) = P (σ σ ) E et P (σ)p (σ 1 ) = P (σ σ 1 ) = P (Id) = I n donc P (σ) GL n (R) et P (σ) 1 = P (σ 1 ) E On peut alors conclure que E est un sous-groupe de GL n (R) L'application P : S n E qui à σ associe P (σ) est un morphisme de groupe surjectif Soit σ Ker P, on a P (σ) = I n donc 1 j n, σ(j) = j soit σ = Id (c) Exercice 35 : [énoncé] (a) E = Vect(I, J) avec t P (σ) = (δ j,σ(i) ) i,j = (δ σ 1 (j),i) i,j = (δ i,σ 1 (j)) i,j = P (σ 1 ) 1 1 J = 1 1 La famille (I, J) forme une base de E car cette famille est évidemment libre (b) E M 2 (K), I E Soient A = ai + bj E et B = ci + dj E A B = (a c)i + (b d)j E et AB = (ac)i + (ac + bd)j car J 2 = O Ainsi E est un sous-anneau de M 2 (K) De plus AB = BA donc E commutatif

23 [ édité le 17 août 2017 Corrections 23 (c) Avec les notations précédentes AB = I si, et seulement si, { ac = 1 ad + bc = 0 Par suite A est inversible si, et seulement si, a 0 (d) Avec les notations précédentes AB = O 2 si et seulement si { ac = 0 ad + bc = 0 Les diviseurs de zéros sont donc les matrices b b avec b K b b et puisque A et B sont centro-symétriques Ainsi AB C (AB) n+1 i,n+1 j = a i,l b l,j = (AB) i,j (c) L'application ϕ: X C AX est linéaire et c'est évidemment un endomorphisme de C car C est stable par produit Soit X Ker ϕ On a AX = O n donc A 1 (AX) = O n puis X = O n On en déduit que l'endomorphisme ϕ est injectif, or C est un espace vectoriel de dimension nie, donc ϕ est un automorphisme de C Puisque la matrice I n est centro-symétrique, par surjectivité de ϕ, il existe B C vériant AB = I n Or A 1 (AB) = A 1 donc B = A 1 puis A 1 C l=1 Exercice 36 : [énoncé] (a) C M n (K) et O n C Soient λ, µ K et A, B C Pour tout (i, j) 1 ; n 2, (λa + µb) n+1 i,n+1 j = λa n+1 i,n+1 j + µb n+1 i,n+1 j = λa i,j + µb i,j et donc (λa + µb) n+1 i,n+1 j = (λa + µb) i,j On en déduit λa + µb C Ainsi C est un sous-espace vectoriel de M n (K) (b) Soient A, B C Pour tout (i, j) 1 ; n 2, donc (AB) i,j = (AB) n+1 i,n+1 j = a i,k b k,j k=1 a n+1 i,k b k,n+1 j k=1 Par le changement d'indice l = n + 1 k (AB) n+1 i,n+1 j = a n+1 i,n+1 l b n+1 l,n+1 j l=1 Exercice 37 : [énoncé] On note A la représentation matricielle cherchée (a) (b) (c) (d) Exercice 38 : [énoncé] A = A = A = A =

24 [ édité le 17 août 2017 Corrections 24 (a) Pour u = (x, y, z) calculons p(u) = (x, y, z ) Comme p(u) u D, il existe λ K tel que p(u) = u + λw Comme p(u) P on a x + 2y z = 0 ce qui donne et donc Par suite λ = (x + 2y z)/2 p(u) = ( (x 2y + z)/2, y, (x + 2y + z)/2 ) 1/2 1 1/2 Mat B (p) = /2 1 1/2 (b) Comme q = I p et s = 2p I, 1/2 1 1/ Mat B (q) = et MatB (s) = /2 1 1/ Exercice 39 : [énoncé] (a) Les colonnes de A sont formées des coecients de ϕ(x j ) = (X + 1) j = Ainsi A = (a i,j ) 1 i,j n+1 M n+1 (R) avec a i,j = (b) L'endomorphisme ϕ est inversible avec j i=0 j X i i j 1 si i j et a i,j = 0 sinon i 1 ϕ 1 (P ) = P (X 1) On en déduit ϕ 1 (X j ) = (X 1) j d'où A 1 = (( 1) j i a i,j ) 1 i,j n+1 (a) Pour 0 k n, ϕ(x k ) = On en déduit i=0 k X i = i (b) ϕ m (P ) = P (X + m) donc d'où k i=0 ϕ m (X k ) = (X + m) k = (c) ϕ 1 (P ) = P (X 1) donc d'où Exercice 41 : [énoncé] k X i + i i=k+1 ϕ(p ) = P (X + 1) k i=0 k m k i X i = i A m = (m j i a i,j ) 1 i,j n+1 ϕ 1 (X k ) = (X 1) k A 1 = (( 1) j i a i,j ) 1 i,j n+1 (a) Posons x = Re(a) et y = Im(a) f(1) = 1 + x + iy et f(i) = i ai = y + i(1 x) La matrice de f dans la base (1, i) est donc 1 + x y y 1 x k X i = (X + 1) k i }{{} =0 i=0 k m k i X i i (b) Si a 1 alors det f 0 Im f = C et Ker f = {0} Si a = 1 alors det f = 0 et f 0 f est un endomorphisme de rang 1 On a f(e iθ/2 ) = 2e iθ/2 et f(e i(θ+π)/2 ) = 0 donc Im f = Vect { e iθ/2} et Ker f = i Im f Exercice 40 : [énoncé]

25 [ édité le 17 août 2017 Corrections 25 Exercice 42 : [énoncé] Comme f 2 0, il existe x E tel que f 2 (x) 0 Posons Si λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 = 0 alors e 1 = x, e 2 = f(x), e 3 = f 2 (x) λ 1 x + λ 2 f(x) + λ 3 f 2 (x) = 0 En appliquant f 2 à cette relation, on a λ 1 f 2 (x) = 0 car on sait f 3 = 0 Puisque f 2 (x) 0, on a λ 1 = 0 et sans plus de dicultés on montre aussi λ 2 = 0 et λ 3 = 0 La famille B = (e 1, e 2, e 3 ) est libre en dimension 3, c'est donc une base de E La matrice de f dans celle-ci est comme voulue Exercice 43 : [énoncé] (a) Comme f n 1 0, x E, f n 1 (x) 0 Si λ 0 x + λ 1 f(x) + + λ n 1 f n 1 (x) = 0 alors : en composant avec f n 1, on obtient λ 0 f n 1 (x) = 0 d'où λ 0 = 0 en composant successivement avec f n 2,, f, I, on obtient successivement λ 1 = 0,, λ n 2 = 0, λ n 1 = 0 Par suite B = ( x, f(x), f 2 (x),, f n 1 (x) ) est libre et forme donc une base de E (b) On a puis 0 (0) Mat B f = 1 = A (0) (0) Mat B (f 2 ) = A 2 = 0 1,, (0) (0) Mat B (f n 1 ) = A n 1 = (c) Notons C(f) = { g L(E) g f = f g } Il est clair que Vect(I, f, f 2,, f n 1 ) C(f) Inversement, soit g C(f), notons a 0,, a n 1 les composantes de g(x) dans B On a g(x) = a 0 x + a 1 f(x) + + a n 1 f n 1 (x) g(f(x)) = f(g(x)) = a 0 f(x) + + a n 2 f n 1 (x) g(f n 1 (x)) = f n 1 (g(x)) = a 0 f n 1 (x) Par suite a 0 (0) Mat B g = a 1 = a 0I + a 1 A + + a n 1 A n 1 a n 1 a 1 a 0 Donc g = a 0 I + a 1 f + + a n 1 f n 1 Vect(I, f,, f n 1 ) Ainsi C(f) = Vect(I, f, f 2,, f n 1 ) Exercice 44 : [énoncé] (a) doncf est une projection vectorielle A 2 = = A (b) En résolvant les équations f(x) = x et f(x) = 0 on obtient que (u, v) forme une base de Im f et (w) forme une base de Ker f avec u = i + j, v = i + k et w = i + j + k (c) Exercice 45 : [énoncé] Mat (u,v,w) f = (a) Ker f = Vect(u) avec u = (1, 1, 1) Im f = Vect(v, w) avec v = (2, 1, 1), w = ( 1, 2, 1) Comme C = (u, v, w) est libre on peut conclure que Ker f et Im f sont supplémentaires dans R 3

26 [ édité le 17 août 2017 Corrections 26 (b) C est une base adaptée à la supplémentarité de Ker f et Imf Mat C f = (c) f est la composée, commutative, de l'homothétie vectorielle de rapport 3 avec la projection vectorielle sur Im f parallèlement à Ker f Exercice 46 : [énoncé] Soit x / Ker f n 1 Un tel x existe puisque f n 1 0 Considérons la famille B = (f n 1 (x),, f(x), x) Supposons λ n 1 f n 1 (x) + + λ 1 f(x) + λ 0 x = 0 E En y appliquant successivement f n 1,, f, Id on obtient λ 0 = 0,, λ n 2 = 0 puis λ n 1 = 0 car f n 1 (x) 0 E B est une famille libre formée de n = dim E vecteurs, c'est donc une base de E De plus Mat B (f) est de la forme convenable Soit x un vecteur non nul de Ker(f 2 + Id) Supposons λx + µf(x) = 0 (1) En composant avec f on obtient λf(x) + µf 2 (x) = 0 puis λf(x) µx = 0 (2) La combinaison λ (??) µ (??) donne (λ 2 + µ 2 )x = 0 Sachant x 0, on obtient λ 2 + µ 2 = 0 puis λ = µ = 0 car λ et µ sont réels La famille ( x, f(x) ) est donc libre (d) En dimension impaire det( Id) = 1 Si l'endomorphisme f est inversible, la relation f 3 + f = 0 peut être simpliée en f 2 + Id = 0 Ceci donne det(f 2 ) = det( Id) = 1 ce qui est incompatible avec det(f 2 ) = (det f) 2 0 On en déduit que f n'est pas inversible : dim Ker f 1 La conjonction des résultats qui précèdent donne dim Ker f = 1 et dim Ker(f 2 + Id) = 2 (e) Soit y un vecteur non nul de Ker f et x un vecteur non nul de Ker(f 2 + Id) La famille (y) est base de Ker f et la famille ( x, f(x) ) est base de Ker(f 2 + Id) Ces deux espaces étant supplémentaires dans E, la famille ( y, x, f(x) ) est base de E La matrice de f dans celle-ci est de la forme voulue Exercice 47 : [énoncé] (a) Par hypothèse f(y) = 0 et f 2 (z) = z En composant l'identité x = y + z avec f 2, on obtient f 2 (x) = 0 + f 2 (z) = z et il en découle y = x z = x + f 2 (x) (b) Ce qui précède assure l'unicité de la décomposition d'un vecteur x de E et donc le caractère direct de la somme De plus, pour x E, en posant y = x + f 2 (x) et z = f 2 (x), on vérie x = y + z et f(y) = f(x) + f 3 (x) = (f 3 + f)(x) = 0 (f 2 + Id)(z) = f 4 (x) f 2 (x) = (f 3 + f) ( f(x) ) = 0 On peut donc armer que E est la somme directe de Ker f et Ker(f 2 + Id) (c) On a (f 2 + Id) f = 0 donc Im f Ker(f 2 + Id) Or f 0 donc dim Im f 1 puis dim Ker(f 2 + Id) 1 Exercice 48 : [énoncé] (a) On vérie que la famille B est libre, puis c'est une base car formée de trois vecteurs en dimension 3 (b) Par calcul matriciel et donc f(ε 1 ) = ε 1, f(ε 2 ) = 2ε 2, f(ε 3 ) = Mat B f = (c) On observe que ε 3 Ker f et ε 1, ε 2 Im f Le théorème du rang permet de conclure : (ε 3 ) est une base de Ker f et (ε 1, ε 2 ) est une base de Im f Exercice 49 : [énoncé]