Chapitre 3 : Déterminant

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1 Chapitre 3 : Déterminant I. Définition Le déterminant est un nombre,, que l on associe à une matrice carrée (c'est-à-dire ) de la manière suivante : i. Si =1, alors le déterminant est égal à l unique coefficient de la matrice. ii. Si = alors : det= Où est le déterminant de la matrice de taille 1 obtenue à partir de en lui ôtant sa è ligne et sa è colonne. Définition : est appelée mineure d indices de. La définition permet de passer d un déterminant de taille à déterminants de taille 1. Si est grand, le nombre de déterminant qui apparaitront lorsqu on itère la formule jusqu au rang 1 est «très grand» (de l ordre de grandeur de! ). Cette formule de récurrence s appelle aussi développement par rapport à la è ligne du déterminant. Notation : Si =, on note det sont déterminant ou encore. Attention : Pour les matrices de taille 1 =, on écrit det ou mais ici les barres sont celles du déterminant et de la valeur absolue. II. Cas particuliers : = et = 1. = = det= = == = MATHS2 chap3 Page 1

2 2. = = h det= = h = + h h = h +h = h ++h =++h h =++h h h III. Propriétés du déterminant Si est une matrice diagonale, son déterminant est égal au produit des éléments diagonaux. Conséquence : det =1 Soit, alors det =det Le déterminant d une matrice triangulaire (inférieure ou supérieure) est égal au produit des éléments diagonaux. Soit, soit. Soit. det= det det=det det On n a pas, de manière générale, det+=det+det MATHS2 chap3 Page 2

3 Soit une matrice inversible. Alors : Soit. est inversible si et seulement si det 0 det= 1 det IV. Comatrice et applications au calcul d inverse On a vu dans la définition du paragraphe I. qu à chaque coefficient d une matrice, on peut associer un déterminent appelé mineur. On a autant de mineurs que de coefficients dans la matrice, on peut écrire tous ces mineurs dans une matrice. On va plutôt écrire dans une matrice les mineurs précédés d un signe. Définition : Soit. On appelle comatrice associée à la matrice telle que = 1 Ces mineurs précédés d un signe sont appelés également cofacteurs, et la comatrice est également appelée matrice des cofacteurs. Soit telle que det 0. Alors : = 1 det 2 ème méthode de calcul d inverse En pratique, cette propriété est intéressante pour =2 ou =3. Cas particulier : =2 = On suppose det=+ 0 = = = = = = = MATHS2 chap3 Page 3

4 Si = est inversible, alors : = 1 V. Techniques de calcul Rappel : On sait calculer directement Les déterminants de matrices triangulaires (quelle que soit la taille de la matrice). Les déterminants de matrices de taille 2 et 3 Objectif : être amené le plus rapidement possible à un déterminant de ces types. développement par rapport à 1 ligne ou 2 colonne Soit. Le développement par rapport à la è ligne est : det= Le développement par rapport à la è colonne est : det= La relation de récurrence de la définition se généralise en fait à n importe quelle ligne et n importe quelle colonne. On développe généralement par rapport à une ligne ou une colonne contenant un ou plusieurs 0. Dans ce cas, on n a pas besoin de calculer le mineur correspondant. Le déterminant ne change pas si on ajoute à une ligne un multiple d une autre. Le déterminant ne change pas si on ajoute à une colonne un multiple d une autre. On ne peut jamais faire interagir une ligne et une colonne. Propriétés : i. Le déterminant change de signe si on échange 2 de ses lignes/colonnes. ii. Si tous les coefficients d une ligne/colonne sont multiples d un même scalaire, alors on peut les factoriser. iii. Si un scalaire est un facteur de tous les coefficients, on retrouve la propriété : det= det (on le factorise fois) Intérêt : On peut passer du déterminant de départ à un déterminant de matrice triangulaire. MATHS2 chap3 Page 4

5 En pratique, on n utilise généralement pas une seule des 2 techniques, mais à la fois l une et l autre pour dans une ligne/colonne faire apparaître le plus possible de 0 puis développer par rapport à celle-ci. Propriétés : Si un déterminant contient une ligne/colonne entièrement nulle, alors le déterminant est nul. Si un déterminant contient 2 lignes/colonnes identiques, le déterminant est nul. VI. Formule de Cramer On considère un système linéaire de équations à inconnues = où et,. Le système = admet une solution si et seulement si det 0 et alors cette solution est unique. Si det=0, alors le système n a aucune solution ou en admet une infinité. Ici, on se restreint à la situation où il n y a qu une unique solution : det 0. Notation : On a noté la matrice du système (que l on suppose inversible) et on a noté le second membre du système. Notons la matrice obtenue à partir de en remplaçant sa è colonne par. formules de Cramer On a alors ces notations, et en supposant det 0 que la solution = du système = est donnée par : = det det Cette méthode est intéressante pour =2 ou =3 et en théorie. MATHS2 chap3 Page 5