Chapitre 2 : Raisonnements mathématiques

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1 Chapitre 2 : Raisonnements mathématiques L'objectif de ce chapitre est de poser les premiers jalons d'un cours de mathématiques. Vous avez déjà rencontré et manipulé une partie des objets et des raisonnements qui seront présentés dans ce cours. Table des matières 1 Les premières briques du raisonnement 2 2 Raisonnements par récurrence Récurrence simple Récurrences généralisées Négation d'une proposition 7 4 Contraposée 9 5 Bilan : méthodes possibles pour mener à bien une démonstration 10 6 Raisonnement par Analyse-Synthèse 11 6 septembre Pierre-Yves Madec - pmadec@hotmail.fr 1

2 1 Les premières briques du raisonnement Dénition (Proposition) Une proposition est une phrase, souvent notée P, qui peut être vraie ou fausse. La phrase "Il fait chaud" est une proposition. "Un plus un est égal à deux" est une autre proposition. On peut aussi écrire = 2 pour aller plus vite... Notation Si la proposition dépend de x, on pourra la noter P(x), si elle dépend de n, on pourra la noter P(n) etc. Par exemple, la proposition " n est divisible par 2" dépend de n et pourra donc légitimement être notée P(n). On utilisera donc le formalisme suivant : P(n) : " n est divisible par 2", qui consiste à précéder la proposition de sa notation avec deux points entre les deux. 1. Soit la proposition P(x) : "e x est supérieur strictement à 1." Cette proposition est vraie si x > 0 et fausse si x 0. Ainsi, P(1) est vraie, P(4, 5) aussi... Mais, P( 1) est fausse Soit la proposition "La suite (u n ) n N est croissante." est une proposition. Est-il légitime de la noter P(n)? 3. Soit P : "Lorsque je joue à pile ou face, j'ai une chance sur 3 de gagner." est une proposition. Est-elle vraie? 4. "Pour tout n N, 3n + 1." n'est pas une proposition. Pourquoi? Dénition (Quanticateurs :, et!) Il en existe trois : 1. " " signie "quel que soit" ou "pour tout", 2. " " signie "il existe (au moins)", 3. "!" signie "il existe un unique". 2

3 " x R, x + x = 2x" se lit "quel que soit le réel x, x + x = 2x. " x R, x 2 6x + 1 = 0" se lit... "!x R, ln(x) = 1" se lit... A présent, considérons deux propositions : 1. x R, y R, x < y. 2. y R, x R, x < y. La première proposition est vraie alors que la second est fausse. Il est donc formellement interdit d'intervertir des quanticateurs dans une proposition sans justication. Propriété 1 Dans une proposition, on peut permuter deux quanticateurs de même natures ( et! sont de même nature)s'ils sont côtes à côtes mais on ne peut pas permuter " " et " ". Démonstration. Admis. Dénition (Conjonctions et Disjonctions) Soit P et Q des propositions. ˆ La conjonction de P et Q est la proposition (P et Q). Elle est vraie si P et Q sont vraies simultanément, fausse sinon. ˆ La disjonction de P et Q est la proposition (P ou Q). Elle est vraie lorsqu'au moins une des deux propositions P ou Q est vraie, fausse sinon (le "ou" est dit inclusif!). Soit n N. On considère les évènements : P : "n 10" et Q : "n est pair". Déterminer (P et Q) et (P ou Q). Dénition (Implications et Equivalences) Soit P et Q deux propositions. ˆ On dit que P implique Q et on note P = Q lorsque, si P est vraie alors Q est vraie. ˆ L'implication Q = P est appelée implication réciproque de P = Q. ˆ On dit que P équivaut à Q (ou que P et Q sont équivalentes), et on note P Q si on a, à la fois, P = Q et Q = P. 3

4 Remarque(s) Lorsque P = Q, on dit que P est une condition susante (CS) de Q et que Q est une condition nécessaire (CN) de P. Cette terminologie peut être mieux comprise en observant les formulations suivantes : ˆ Il sut que P soit vraie pour que Q soit vraie. ˆ Si P est vraie alors Q est nécessairement vraie. Lorsque P et Q sont équivalentes, on dit aussi que : P est vraie si et seulement si Q est vraie. On dit aussi que P est une condition nécessaire et susante (CNS) de Q. 2 Raisonnements par récurrence 2.1 Récurrence simple Le raisonnement par récurrence permet de démontrer une proposition qui dépend d'un entier n N. A l'oral : raconter l'histoire de la graine et de l'arbre : si on dispose d'une graine à l'année 0 et que chaque année, si un arbre existe à l'année n alors il donne naissance à un arbre à l'année n + 1, alors on a (au moins) un arbre chaque année. Illustration : En notant P(n) : "Il y a au moins un arbre à l'année n." P(0) P(1) P(2) P(n) P(n + 1) Théorème 2 (Principe du raisonnement par récurrence) Soit P(n) une proposition dépendant de n N. Initialisation : On vérie que P(0) est vraie. Hérédité : Soit n N (quelconque!). On suppose que P(n) est vraie (HdR) et on montre à l'aide de cette HdR que P(n + 1) est vraie. Conclusion : On peut en conclure que P(n) est vraie pour tout n N. Deux exemples à traiter par récurrence... u 0 = 1, ˆ On considère la suite dénie par : n N, u n+1 = 3u n 2. u n Montrer par récurrence que (u n ) n N est constante égale à 1. 4

5 Correction : Avant toute chose, calculons à la main les premiers termes de la suite. Notons pour tout n entier naturel, P(n) : u n = 1. Initialisation : u 0 = 1 par hypothèse donc P(0) est vraie. Hérédité : soit n N on suppose que P(n) est vraie, i.e. u n = 1 et on montre à l'aide de ceci que P(n + 1) est vraie, i.e. u n+1 = 1. Calculons donc u n+1 u n+1 = 3u n 2 u n = = 1 HdR Conclusion : nous venons de montrer par récurrence que n N, P(n) est vraie, autrement dit : n N, u n = 1. ˆ Montrer par récurrence que n N, 2 n n + 1. Notons P(n) : n N, 2 n n + 1. Initialisation : 2 0 = 1 et = 1 donc P(0) est vraie. Hérédité : Supposons que P(n) est vraie pour un certain n N, i.e. 2 n n + 1 (HdR) et montrons que P(n + 1) est vraie, i.e. 2 n+1 n = n + 2. On a : 2 n+1 = 2 2 n 2(n + 1) 2n + 2 n + 2. HdR Nous venons donc de montrer par récurrence la propriété P(n). Remarque(s) (Important) Si nous choisissons d'eectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer qu'une proposition P(n) est vraie pour tout n 0, alors nous allons toujours appliquer la méthode utilisée dans les deux exemples précédents : 1. on commence par montrer que P(0) est vraie (Initialisation), 2. on montre l'implication : P(n) = P(n + 1) (Hérédité). 5

6 Propriété 3 n N, n(n + 1) n =, n 2 n(n + 1)(2n + 1) =. 6 Démonstration. La démonstration peut se faire par récurrence (cf TD / DM). Victor décide de faire une série dégressive de pompes. Il commence par faire 12 pompes, fait une pause, puis 11 pompes,... jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'une seule pompe à faire. Combien de pompes aura-t-il fait en tout? Réponse : Le nombre de pompes faites par Victor est : = = k k=1 11(11 + 1) = 2 = 11 6 = Récurrences généralisées Il existe plusieurs façons d'utiliser ce principe de récurrence dans des contextes légèrement diérents. Nous en présentons quelques unes ici mais l'essentiel est d'avoir bien compris le principe de la récurrence simple. Théorème 4 (Principe du raisonnement par récurrence généralisé 1) Soit P(n) une proposition dépendant de n N et soit n 0 N. Initialisation : On vérie que P(n 0 ) est vraie. Hérédité : On suppose que P(n) est vraie (hypothèse de récurrence) et on montre que P(n+1) est vraie. Conclusion : On peut en conclure que P(n) est vraie pour tout n n 0. 6

7 Théorème 5 (Principe du raisonnement par récurrence généralisé 2) Soit P(n) une proposition dépendant de n N. Initialisation : On vérie que P(0) et P sont vraies. Hérédité : On suppose que P(n) et P n+1 sont vraies (hypothèse de récurrence) et on montre que P(n+2) est vraie. Conclusion : On peut en conclure que P(n) est vraie pour tout n 0. etc. 3 Négation d'une proposition Dénition La négation de P, notée (non P), est la proposition qui est vraie lorsque P est fausse et qui est fausse lorsque P est vraie. Soit n N et x R. Donner la négation des propositions suivantes : ˆ P : "n 10 " ˆ Q : "f(x) = 3" Lorsque la proposition contient des quanticateurs, cela se complique. Considérons par exemple la proposition suivante : P : "Quel que soit le match de la saison, je marque au moins un but". La négation de cette proposition est clairement : (non P) : "Il existe un match de la saison, je ne marque pas de but". On remarque que "Quel que soit " ( ) s'est transformé en "Il existe" ( ) et qu'on a nié la conclusion. 7

8 Propriété 6 (Négation d'une proposition avec quanticateurs) 1. non ( x, P(x)) ( x, non (P(x)) 2. non ( x, P(x)) ( x, non (P(x)) Démonstration. Admis. Donner la négation des propositions suivantes : ˆ P 1 : x R, x < 3 Réponse : x R, x 3 ˆ P 2 : x R, 3x 2 x Réponse : x R, 3x 2 x + 5 < 0 ˆ P 3 : x N, z R, y R, x + y 2 = z Réponse : x N, z R, y R, x + y 2 z ˆ P 4 : x R, n Z, n x < n + 1 Réponse : x R, n Z, n > x ou x n + 1 Les lois de Morgan permettent d'obtenir la négation de conjonctions et de disjonctions. Propriété 7 (Lois de Morgan = négation d'une conjonction/disjonction) ˆ non(p et Q) ((non P) ou (non Q)) (Loi de Morgan 1) ˆ non(p ou Q) ((non P) et (non Q)) (Loi de Morgan 2) Donner les négations des propositions suivantes. ˆ P 1 : "on est lundi et il fait beau" devient... ˆ P 2 : "x > 1 et x < 10" devient... ˆ P 3 : "n est pair ou n = 3" devient... Terminons ce tour d'horizon des négations par la négation des implications : 8

9 Propriété 8 (Négation d'une implication) non (P = Q) (P et (nonq)) Démonstration. Admis. Donner la négation de : P(x) : x > 3 = x > 1. Réponse : x > 3 et x 1. 4 Contraposée Dénition (Contraposée) L'implication (non Q) = ( non P) est appelée contraposée de P = Q. Propriété 9 (Équivalence d'une proposition et de sa contraposée) Soit P et Q deux propositions, alors P = Q est équivalente à sa contraposée, en d'autres termes : (P = Q) (nonq = nonp). Démonstration. Admis. L'implication suivante est-elle vraie ou fausse x R, (x = x 2 ) (x 0)? 5 Bilan : méthodes possibles pour mener à bien une démonstration Méthode (Comment montrer que P Q?) 9

10 1. Par un raisonnement direct : P Q. On montre que si P est vraie alors Q est vraie. 2. Par un raisonnement par l'absurde : On suppose P et (non Q) et on montre que l'on aboutit à quelque chose d'absurde (i.e. d'impossible). Une fois cela fait, nous venons donc de montrer que (P et (nonq)) est absurde, i.e. faux. Or, d'après la proposition 8, cela revient au même que de montrer que non (P = Q) est fausse. Autrement dit P = Q est vraie! 3. Par la contraposée : on montre que (non Q) (non P). Cela revient au même que de montrer P = Q en vertu de la proposition 9. (Raisonnement par l'absurde) Le raisonnement direct ne nécessite pas d'exemple. Nous avons déjà présenté un exemple de raisonnement utilisant la contraposée. Donnons un exemple de démonstration par l'absurde. Démontrer par l'absurde que 0 n'a pas d'inverse dans R. Réponse : supposons que 0 admet un inverse dans R noté a. Alors a 0 = 1. Or a 0 = 0, donc ceci est absurde. Par conséquent 0 n'admet pas d'inverse dans R. Méthode (Comment montrer que P Q?) Pour démontrer une équivalence, on peut essayer de la démontrer directement par une succession d'équivalences. Cependant il est souvent plus commode de procéder en deux temps en montrant d'abord que P = Q puis que Q = P. Montrer que x, y R, (e x < e y ) (x < y). Montrons cette équivalence par une double implication, soit x, y R ˆ =? : Supposons que e x < e y, alors en composant par la fonction ln, qui est strictement croissante sur R + et qui donc conserve l'ordre, on obtient : ln(e x ) < ln(e y ) donc x < y. ˆ =? Ce sens est trivial car il découle directement de la stricte croissance de la fonction exponentielle sur R. 6 Raisonnement par Analyse-Synthèse Nous étudierons le raisonnement par Analyse-Synthèse sur des exemples. Il n'est pas intéressant de le présenter de manière théorique pour une première approche. 10

11 Fin du chapitre 11