1 Modèle de Solow avec Progrès Technique [3 points]

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Emma Lemelin
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1 UNIVERSITE de PARIS DAUPHINE Département MIDO - DEMI2E 1 Année Macroéconomie-Examen de TD Reponable du cour : Martine Carre-Tallon Durée : 1h "Aucun document autorié" 1 Modèle de Solow avec Progrè Technique [3 point] On e itue dan une économie dan laquelle la population croit au taux n, l'ecience du facteur travail croit au taux g et on note δ le taux de dépréciation du tock de capital. Cette économie et dotée d'une technologie décrite par la fonction de production Cobb- Dougla uivante : Y t = 0.5 t E t t ) Déterminer le rendement d'échelle de cette fonction de production. [0.5 point] 2. Déterminer la nature du progrè technique décrit dan cette économie. [0.5 point] 3. Exprimer l'état tationnaire de cette économie en unité de travail ecace. Un grand oin devra être apporté à la démontration [2 point] 2 e fait tylié de aldor [5 point] A l'aide de la fonction de production décrite dan l'exercice précédent, démontrer le ix fait tylié de aldor lorque le modèle de Solow prend en compte la croiance démographique et le progrè technique. 1. e revenu par tête augmente de façon continue. [0.5 point] 2. e capital par tête augmente de façon continue. [0.5 point] 3. e taux de rendement du capital et contant ur longue période. [1 point] 4. e rapport et contant. [1 point] 5. e part du travail et du capital dan le revenu national ont contante. [1 point] 6. e taux de croiance de la productivité du travail dièrent entre le pay. [1 point] 3 Quetion ur le progrè technique [2 point] 1. Quel ont le eet du progrè technique ur l'emploi? [2 point] 1

2 II- Correction Modèle de Solow avec Progrè technique 1. e rendement d'échelle ont contant comme le prouve la démontration uivante : F t, E t t ) = t ) 0.5 E t t ) 0.5 F λ t, λe t t ) = λ t ) 0.5 λe t t ) 0.5 F λ t, λe t t ) = λ t ) 0.5 E t t ) 0.5 F λ t, λe t t ) = λf t, E t t ) 2. Il 'agit d'un progrè technique neutre au en de Harrod. Ce progrè technique conduit à améliorer l'ecience du travail. E t t repreente le travail ecace. Ce progrè technique permet pour une quantité de capital donnée de produire la même quantité de bien avec de moin en moin de travail. 'eet de ce progrè technique dépend de la combinaion productive d'un pay. 'eet de E t era d'autant plu important dan une économie intenive en facteur travail. Certain facteur peuvent augmenter la valeur de E, comme la anté, l'éducation ou le connaiance. 3. Soit une fonction de production à rendement d'échelle contant, avec progrè technique neutre au en de Harrod. F t, E t t ) = 0.5 E) 0.5 Nou avon qu'à l'état tationnaire = 0, nou pouvon donc décompoer de la manière uivante : = ln kt+1 ln k t = ln ) t+1 E t+1 t+1 ln ) t = [ln t+1 ln t ] [ln t+1 ln t ] [ln E t+1 ln E t ] = [ln t+1 ln t+1 ln E t+1 ] [ln t ln t ln E t ] On peut donc réecrire = g g g E = k k = E E D'aprè la loi d'accumulaton du capital, on ait que le tock de capital varie en fonction de l'invetiement et de la dépréciation du capital, on peut donc = I δ k = I δ n g k k = I δ n g E E E E k = ĩ ) k A l'équilibre ur le marché de Bien et Service on a : { Y = C + I Y = S + I Ou encore I = S. On ait également que l'épargne nationale correpond à une proportion du revenu national Y, avec la propenion à épargner. On a donc S = Y. On peut donc réecrire la dynamique d'accumulation du capital tel que : 2

3 k = f k) ) k Comme à l'état tationnaire la variation de tock de capital et nulle δ k = 0 et f k ) = ) k. A partir de là, il et poible de connaître le capital par travailleur ecace et le revenu par travailleur ecace de l'état tationnaire : k = Fait tylié de aldor ) = ỹ = k 0.5 ) ỹ = 1. A l'état tationnaire, la variation du tock de capital par travailleur ecace et nulle, donc la croiance du revenu par unité de travail ecace et nulle aui et on a gỹ = 0 On ait que Y = Y t+1 Y t Y Y t = g Y, ce qui peut 'écrire Y t+1 Y t = 1 + g Y. Ceci correpond à g Y = ln Yt+1 ) ln Y t ). ) 2 'écriture du revenu en forme intenive et de la forme y = Y on a donc : g y = ln Yt+1 ) ln Y t ) [ln t+1 ) ln t )] = g Y g g y = g Y g = n + g) n = g On retrouve bien le premier fait tylié de aldor. 2. De la même manière, on ait qu'à l'état tationnaire, la variation du tock de capital et nulle, donc la croiance du capital par travailleur ecace et nulle également. On a = 0. On ait également que : { = g g g E g = + g + g E = 0 + n + g = n + g Ceci implique qu'à l'état tationnaire, le capital en niveau croit au taux n + g. Par conéquent, comme en forme intenive k =, le capital par tête croit au taux : On retrouve le deuxième fait de aldor. g k = g g = n + g n = g 3

4 3. D'aprè le théorème d'euler on ait que F, E) = P m. + P m., avec P m = Ft,Ett) = 0.5 P m = F t,ett) t = 0.5) ) 0.5 t t ) 0.5 Et On ait également que dan une économie concurrentielle, le facteur de production ont rémunéré à leur productivité marginale. Autrement dit, P m = r et P m = w. Ce réultat et important parce qu'il implique que lorque le rendement d'échelle ont contant, la rémunération de facteur de production épuie la production. D'aprè cette dénition on ait que : ) t E t. t = r ) te t. t = r t r = 0.5 F t,) Ceci implique que la part de la rémunération du capital dan le revenu national et contante au cour du temp. A partir de cette équation, nou pouvon calculer le taux de croiance du rendement du capital r : g r = g Y g = n+g) n+g) = 0. On retrouve bien le troiième fait tylié de aldor 4. A l'état tationnaire, Y et croient tou deux au taux n+g), car g Y = g y +g = n + g et g = g k + g = n + g d'aprè la quetion 1 et 2. donc leur rapport et toujour égal à 1, donc contant. 5. En reprenant la dénition du théorème d'euler on peut écrire ) t = r ) t Et = w Et en tranformant ce équation on obtient : { r = 0.5 F t,) w F t,) = étant contant, le capital et le travail e partagent dan un rapport contant le revenu. On retrouve bien le 5 ème fait tylié de aldor. 6. Si l'on uppoe que l'économie et concurrentielle et que le marché du travail ont parfait, alor le travail et rémunéré à a productivité marginale, P m = w. D'aprè la quetion précédente on ait que w = Y 0.5). On peut donc en déduire le taux de croiance de w, tel que g w = g Y g = n + g n = g. On voit alor que le taux de croiance de productivité dièrent entre le pay en fonction du progrè technique préent dan chaque pay. ) 0.5 Ou encore, on ait que 0.5 t Et = w alor en log linéariant on a g w = + g Et = 0 + g = g 4

5 Quetion ur le progrè technique a théorie du déverement a été préentée par Alfred Sauvy dan la machine et le chômage. Selon cette théorie, le progrè technique, lorqu'il et introduit dan un ecteur d'activité ou une branche détruit de emploi dan ce ecteur, on parle de ubtitution entre capital et travail : le machine remplacent le homme. C'et l'eet direct, qui et négatif. A partir de année 1970, on oberve une augmentation de inégalité de alaire en défaveur de travailleur non qualié aux Etat-Uni, et une augmentation du taux de chômage de travailleur non qualié en Europe. 'amélioration de NTIC, de l'utiliation de ordinateur au ein de entreprie a provoqué l'augmentation de la demande de travailleur qualié, complémentaire aux nouvelle technologie. e progrè technique et alor dit biaié ver le travailleur qualié et devient ource d'inégalité. e progrè technique peut avoir deux eet : Une augmentation de la qualication parce que le nouvelle machine et le nouvelle méthode de production demandent de nouvelle compétence aux alarié Peut être ource d'excluion pour ceux qui ont perdu leur emploi du fait de l'introduction du progrè technique dan un ecteur donné. Néanmoin, la plupart de économite penent que le progrè technique et générateur d'emploi. D'abord parce qu'il faut de la main d'œuvre pour entretenir ce machine, mai aui parce que i le progrè technique et générateur de nouveaux produit, et donc de nouveaux marché, la demande de travailleur peut augmenter. 5

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