Rappels de Statistique

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1 L2 S2 Eco-Gestion Université de Bordeaux Rappels de Statistique Cette fiche rappelle et commente les résultats essentiels du cours de statistique de L2 S2. Chaque rappel est suivi d une courte application destinée à mettre en évidence l aspect pratique des résultats énoncés. Propriétés de la loi normale R1 la loi normale est stable par transformation affine X N (µ,σ 2 ) et α, β R ; alors αx +β N (αµ+β,α 2 σ 2 ). Justification. Egon and Porée (2004), p.146. Exemple. Si X N (4,3) alors 2X +1 N (2 4+1 = 9,2 2 3 = 12). Application. Les salaires belges (en ke) sont distribués selon une loi normale de moyenne 4 et de variance 3 ; si on augmente les salaires de 1000 euros après les avoir doublés, ils restent distribués selon une loi normale mais de moyenne est 9 et de variance 12. R2 la loi normale est stable par centrage et réduction X N (µ,σ 2 ) ; alors (X µ)/σ N (0,1). Justification. Appliquer R1 avec : α = 1/σ et β = µ/σ. Exemple. Si X N (5,9) alors (X 5)/3 N (0,1). Application. La taille (en mm) d une coccinelle est distribuée selon une loi normale de moyenne 5 et de variance 9 ; la proportion de coccinelles mesurant au plus 8 mm est égale à la probabilité pour une variable normale centrée réduite d être inférieure à 1. R3 la combinaison linéaire de variables gaussiennes indépendantes est une variable gaussienne a X 1 N (µ 1,σ1 2), X 2 N (µ 2,σ2 2) sont indépendantes et α 1, α 2 R ; alors α 1 X 1 +α 2 X 2 est distribuée selon la loi normale de moyenne α 1 µ 1 +α 2 µ 2 et de variance α 2 1 σ2 1 +α2 2 σ2 2. Justification. Voir Apple (2013) p.266 pour le cas : α 1 = α 2 = 1. De R1 on tire α i X i N (α i µ i,α 2 i σ2 i ) (i = 1,2), puis le résultat annoncé par somme des variables gaussiennes indépendantes α 1 X 1 et α 2 X 2. Exemple. Si X 1 N (7,9) et X 2 N (5,4) sont indépendantes alors 2X 1 + 3X 2 est distribuée selon la loi normale de moyenne : = 29 et de variance : = 72. Application. On confectionne des filets contenant deux pommes et trois poires. La masse (en g) des pommes est distribuée selon N (7,9) et celle des poires selon N (5,4). La masse des filets est alors distribuée selon N (29,72) en admettant que les masses d une pomme et d une poire choisies au hasard sont indépendantes. Attention. Si X 1 N (7,9) et X 2 N (5,4) sont indépendantes alors 2X 1 3X 2 est distribuée selon la loi normale de moyenne : = 1 et de variance : ( 3) 2 4 = 72. R4 la somme de variables gaussiennes indépendantes et identiquement distribuées (iid) est gaussienne X 1,...,X n N (µ,σ 2 ) ; alors n i=1 X i N (nµ,nσ 2 ). iid Justification. Appliquer successivement R3 à X 1 + +X k et X k+1 pour k allant de 1 à n 1 en prenant 1 comme coefficients de la combinaison linéaire. Exemple. Si X 1,...,X 9 iid N (5,4) alors 9 i=1 X i N (9 5 = 45,9 4 = 36). Application. On confectionne des barquettes contenant neuf abricots. Or la masse (en g) d un abricot est distribuée selon N (5, 4). La masse d une barquette est alors distribuée selon N (45, 36) en supposant indépendantes les masses de neuf abricots choisis au hasard. R5 symétrie de la fonction de répartition de N (0,1). φ désigne la fonction de répartition de la loi N (0,1) : α R,φ(α) = P(N (0,1) α). Alors pour tout α : A. Lourme, Faculté d économie, gestion & AES, Université de Bordeaux a on dit qu une variable est gaussienne lorsqu elle est distribuée selon une loi normale 1

2 i. φ( α) = 1 φ(α), ii. φ(α) φ( α) = 2φ(α) 1. Justification. i. se déduit de la parité de la densité de N (0,1) et ii. découle de i. Exemple. i. φ( 0,8) = 1 φ(0,8) 0,21 ii. φ(0.8) φ( 0.8) = 2φ(0.8) 1 0,58 : Une variable normale centrée réduite est inférieure à 0,8 dans 21% des cas d après i (on dit aussi que 0,8 est le quantile d ordre 0,21 de la loi N (0,1)) ; elle est comprise entre 0,8 et 0,8 dans 58% cas d après ii. R6 a < b sont deux réels et X N (µ,σ 2 ) ; alors : i. P(X b) = P(X < b) = φ((b µ)/σ) ii. P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) = φ((b µ)/σ) φ((a µ)/σ) Justification. Puisque X est absolûment continue les inégalités strictes peuvent être transformées en inégalités larges (et réciproquement) sans que cela change le calcul des probabilités. Par ailleurs : i. P(X b) = P((X µ)/σ (b µ)/σ) = R2 φ((b µ)/σ). ii. P(a < X b) = P(X b) P(X a) = R6 i. φ((b µ)/σ) φ((a µ)/σ). Exemple. Si X N (5,4) alors P(4 X 7) = φ((7 5)/2) φ((4 5)/2) = φ(1) φ( 1/2) = φ(1) 1+ φ(1/2) 0,84 1+0,69 = 0,53. Application. Mon coucou annonce l heure du thé à cinq heure en moyenne, avec une variance de 4 h 2 ; si son déclenchement suit une loi normale, j ai 53% de chances de boire le thé entre 4 h et 7 h. Inégalités R7 inégalité de Bienaymé-Tchebychev X est une variable aléatoire réelle de moyenne µ et de variance finie σ 2 ; alors pour tout ǫ > 0 : P( X µ ǫ) σ 2 /ǫ 2. Justification. Apple (2013) p.157. Exemple. Une variable aléatoire X de variance 100 s écarte de sa moyenne 180 de 20 unités au moins, une fois sur quatre au plus en moyenne : P( X ) 100/20 2 = 1/4. Application. Les italiens mesurent 180 cm en moyenne et la variance de leurs tailles est 100 cm 2 ; il y a donc au plus une chance sur quatre pour qu un italien choisi au hasard mesure plus de 200 cm ou moins de 160 cm. Remarque. L inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne fait aucune hypothèse paramétrique sur la loi de X. Approximations R8 approximation d une loi binômiale par une loi normale La loi binomiale B(n,p) peut être approchée par la loi normale N (np,np(1 p)) lorsque np 15 et n(1 p) 15. a et b étant deux entiers, P(a B(n,p) b) P(a 1/2 N (np,np(1 p)) b+1/2) si on applique une correction de continuité b et P(a B(n,p) b) P(a N (np,np(1 p)) b) sinon. Justification. Apple (2013) pp Exemple. La loi binomiale B(50;0,4) peut être approchée par la loi normale N (50 0,4 = 20,50 0,4 (1 0,4) = 12. Ainsi, X B(50;0,4) est comprise entre 10 et 24 avec (presque) la même probabilité que Y N (20;12) est comprise entre 9,5 et 24,5 : P(10 X 24) P(9,5 Y 24,5) = φ((24,5 20)/ 12) φ((9,5 20)/ 12) 0,9. b on appliquera la correction de continuité lorsque a et b sont proches l un de l autre et petits devant n 2

3 Application. Si 40% des français ont la grippe, il y a neuf chances sur dix qu un groupe de cinquante étudiants comporte entre dix et vingt-quatre malades. R9 approximation d une loi binomiale par une loi de Poisson La loi binomiale B(n, p) peut être approchée par la loi de Poisson P(np) lorsque p 0, 1 et n 30. Pour un entier a quelconque, P(B(n,p) = a) P(P(np) = a) Justification. Apple (2013), p.448. Exemple. La loi binomiale B(40; 0, 1) peut être approchée par la loi de Poisson P(4). Ainsi, X B(40; 0, 1) vaut au plus deux 5 avec (presque) la même probabilité que Y P(4) : P(X 5) P(Y 5) = 5 k=0 e 4 4 k /k! 0,79. Application. 10% des trèfles de mon jardin ont quatre feuilles ; si je cueille quarante trèfles, il y 79% de chances que j obtienne au plus cinq porte-bonheur. R10 approximation de la loi de Poisson par une loi de Normale La loi de Poisson P(λ) peut être approchée par la loi normale N (λ,λ) lorsque λ 15. a et b étant deux entiers, P(a P(λ) b) P(a 1/2 N (λ,λ) b + 1/2) si on applique une correction de continuité et P(a P(λ) b) P(a N (λ,λ) b) sinon. Justification. Apple (2013) pp Exemple. La loi de Poisson P(16) peut être approchée par la loi normale N (16,16). Ainsi, X P(16) est comprise entre 10 et 20 avec (presque) la même probabilité que Y N (16,16) est comprise entre 9,5 et 20,5 : P(10 X 20) P(9,5 Y 20,5) = φ((20,5 16)/ 16) φ((9,5 16)/ 16) 0,82. Application. En admettant que le nombre d appels reçu par un standard en une heure est distribué selon une loi de Poisson de moyenne 16 (λ = 16), il y a 82% de chances que l on recoive d ici une heure entre dix et vingt appels. Echantillonnage R11 distribution d échantillonnage d une moyenne empirique X 1,...,X n est un échantillon aléatoire d une loi de probabilité appelée la loi mère, de moyenne µ et de variance finie σ 2 ; alors la moyenne d échantillon X = ( n i=1 X i)/n est approximativement b distribuée selon une loi normale de moyenne µ et de variance σ 2 /n. Justification. R11 est une conséquence du théorème central limit (TCL) démontré dans Apple (2013), p.439 selon lequel ( X µ)/(σ/ n) converge en loi vers N (0,1). Remarque 1. Aucune hypothèse n est faite quant à la nature de la loi mère, c est à dire la loi dont est issu l échantillon. Ainsi, R11 est valable que l échantillon soit issu de n importe quelle loi discrète ou continue. Remarque 2. Si la loi mère est N (µ,σ 2 ) alors N (µ,σ 2 /n) est la loi exacte (et pas seulement une loi approchée) de X ; ce résultat peut être démontré en combinant R1 et R4. Exemple. Si X 1,...,X 36 est un échantillon aléatoire ( d une loi de Poisson de paramètre 12, chaque variable X i 36 ) a pour moyenne µ = 12, pour variance σ 2 = 12 et i=1 X i /36 N (12,12/ 36 = 2). approx Application. Le nombre d appels reçus en une heure sur n importe lequel des trente-six téléphones d un centre de renseignements suit une loi de Poisson de paramètre 12. Ainsi, le nombre moyen d appels reçus par le centre en une heure est approximativement distribué selon N (12,2) R12 distribution d échantillonnage d une fréquence empirique p est la proportion d individus pourvus d une qualité dans une population ; alors la proportion F de sujets ayant de cette qualité dans un échantillon aléatoire de taille n est approximativement b distribuée selon une loi normale de moyenne p et de variance p(1 p)/n. Justification. X i = 1 si l individu i de l échantillon possède la qualité étudiée et X i = 0 sinon. R12 s obtient en appliquant R11 à X 1,...,X n qui est un échantillon aléatoire de la loi de bernoulli B(1,p) d espérance : p et de variance : p(1 p). Remarque. R12 est un cas particulier de R11 avec une loi de Bernoulli pour loi mère. b on considère généralement l approximation comme acceptable lorsque n 30 3

4 Exemple. Si 40% des individus d une population possèdent une qualité, la proportion F de sujets pourvus de cette qualité dans un échantillon de taille 50 est supérieure à 0,5 avec propbabilité : P(F > 0,5) = 1 P(F 0,5) = 1 P(N (0,4;0,4 0,6/50 = 0,0048) 0,5) = 1 φ ( (0,5 0,4)/ 0,0048 ) 0,07. Application. Si 40% de la population est favorable à M. Li, un institut de sondage a 7% de chances de donner M. Li gagnant sur la base de cinquante sondés. R13 moyenne & variance d une moyenne empirique (population de taille finie) X 1,...,X n est un échantillon tiré d une population de taille N de moyenne µ et de variance σ 2. Table 1 donne l espérance et la variance de la moyenne empirique X = ( n i=1 )/n selon le type d échantillon : exhaustif/non exhaustif. échantillon E( X) V( X) non exhaustif µ σ 2 /n exhaustif µ σ 2 /n (N n)/(n 1) Table 1: espérance et variance d une moyenne empirique calculée sur un échantillon exhaustif/non exhaustif tiré d une population finie Justification. Daudin et al. (1999), p.13. Application. Un porte-monnaie contient cinq pièces dont la valeur moyenne est 1, 6 e et la variance des valeurs 0,24e 2. La valeur moyenne de deux pièces tirées au hasard est une variable aléatoire (i) de moyenne 1,6 et de variance 0,24/2 = 0,12 si les pièces sont tirées successivement avec remise (ii) de moyenne 1,6 et de variance 0, 24/2 (5 2)/(5 1) = 0, 09 si les pièces sont tirées simultanément. R14 moyenne & variance d une fréquence empirique (population de taille finie) p est la proportion d individus pourvus d une qualité dans une population de taille N et F la proportion de sujets ayant de cette qualité dans un échantillon de taille n. Table 2 donne l espérance et la variance de F selon le type d échantillon : exhaustif/non exhaustif. échantillon E(F) V(F) non exhaustif p p(1 p)/n exhaustif p p(1 p)/n (N n)/(n 1) Table 2: espérance et variance d une fréquence empirique calculée sur un échantillon exhaustif/non exhaustif tiré d une population finie Justification. Daudin et al. (1999), p.16. Application. La classe M. Jørgen compte trente étudiants dont 40% de filles. Au début de chaque cours M. Jørgen interroge trois étudiants. La proportion de filles parmi les étudiants interrogés est une variable aléatoire (i) de moyenne 0,4 et de variance 0,4 0,6/3 = 0,08 si les étudiants sont interrogés successivement c (ii) de moyenne 0,4 et de variance 0,4 0,6/3 (30 3)/(30 1) 0,07 si les étudiants sont interrogés simultanément. Intervalles de confiance R15 intervalle de confiance d une moyenne (variance connue) Un intervalle de confiance au niveau 1 α (0 < α < 1) de la moyenne µ d une population de variance σ 2 est : IC 1 α (µ) = X ±z 1 α/2 σ/ n (1) où z 1 α/2 est le quantile d ordre 1 α/2 de la loi N (0,1) et X = ( n i=1 X i)/n la moyenne d un échantillon aléatoire X 1,...,X n de taille n. Justification. R15 découle de R11 ; si vous peinez à le montrer, reportez-vous à Daudin et al. (1999), p.50. Interprétation. L intervalle (1) dont les bornes sont aléatoires puisqu elles dépendent de l échantillon tiré contient la moyenne µ avec probabilité 1 α. c le même étudiant pouvant être interrogé deux ou trois fois 4

5 Exemple. Au niveau 0,95 (α = 0,05) l intervalle de confiance de la moyenne µ d une population de variance 100 est, pour un échantillon de taille n = 36 : IC 0,95 (µ) = X ±z 0,975 10/ 36 = X ±1,96 10/6 X ±3,3 (2) Ainsi, l intervalle aléatoire (2) contient la moyenne inconnue µ dans 95% des cas. Application. La variance des tailles des habitants du Laos vaut 100 cm 2. Si la taille moyenne de trente-six laotiens choisis au hasard est 170 cm, la réalisation de (2) est : [170 3,3;170+3,3] = [166,7;173,3]. On ne peut pas en déduire our autant que la taille moyenne µ des laotiens a 95% de chances d être comprise entre 166,7 cm et 173,3 cm. En effet, on ne peut pas savoir si l intervalle [166,7;173,3] fait partie des 95% de réalisations de (2) contenant µ ou des 5% de réalisations de (2) ne contenant pas µ. R16 intervalle de confiance d une proportion p est la proportion d individus pourvus d une qualité dans une population. Un intervalle de confiance au niveau 1 α (0 < α < 1) de la proportion p est : IC 1 α (p) = F ±z 1 α/2 F(1 F)/n (3) où z 1 α/2 est le quantile d ordre 1 α/2 de la loi N (0,1) et F la proportion de sujets ayant la qualité étudiée dans un échantillon aléatoire de taille n. Justification. X i = 1 si l individu i de l échantillon possède la qualité étudiée et X i = 0 sinon. En appliquant R15 à X 1,...,X n qui est un échantillon aléatoire de la loi de bernoulli B(1,p) d espérance p et de variance p(1 p), on obtient pour intervalle de confiance de p : IC 1 α (p) = F ±z 1 α/2 p(1 p)/n. Mais comme p est inconnu, p(1 p) est estimé par F(1 F). Interprétation. L intervalle (3) dont les bornes sont aléatoires puisqu elles dépendent de l échantillon tiré contient la moyenne p avec probabilité 1 α. Exemple. Au niveau 0,95 (α = 0,05) l intervalle de confiance d une proportion p est, pour un échantillon de taille n = 36 : IC 0,95 (p) = F ±z 0,975 F(1 F)/36 = F ±1,96 F(1 F)/6 = F ±0,33 F(1 F) (4) Ainsi, l intervalle aléatoire (4) contient la proportion inconnue p dans 95% des cas. Application. La proportion p d électeurs qui voteront pour M. Xiao aux prochaines élections est inconnue. Mais si F désigne la proportion de partisans de M. Xiao dans un échantillon aléatoire de 36 personnes, il y a 95% de chances que l intervalle F ±0,33 F(1 F) contienne p. En pratique, si on compte 20 partisans de M. Xiao parmi 36 sondés, alors F = 20/36 et la réalisation de (4) est : 20/36±0,33 20/36(1 20/36) [0,39;0,72]. On ne peut pas en déduire pour autant que le score de M. Xiao a 95% de chances d être compris entre 39% et 72%. En effet, on ignore si l intervalle [0, 39; 0, 72] fait partie des 95% de réalisations de (4) contenant p ou des 5% de réalisations de (4) ne contenant pas p. Fonctions génératrices R17 fonction génératrice des probabilités Pour une variable aléatoire X à valeurs dans N, la fonction génératrice des probabilités est : G X (t) = E(t X ) = + k=0 P(X = k) tk. On en tire l espérance de X selon : E(X) = G X (1) et sa variance selon : V(X) = G X (1)+G X (1) [G X (1)]2. Exemple. Pour une variable X distribuée selon une loi binômiale B(n, p), la fonction génératrice des probabilités est : G X (t) = E(t X ) = + k=0 P(X = k) tk = n n ) k=0( k p k (1 p) n k t k = n n k=0( k) (pt) k (1 p) n k = (1 p+pt) n. Application. L espérance de X B(5;0,2) est 1 et sa variance 0,8. En effet : G X (t) = (0,8 + 0,2t) 5, G X (t) = 5 0,2 (0,8+0,2t)4 et G X (t) = 5 4 0,22 (0,8+0,2t) 3 ; on en déduit : E(X) = G X (1) = 1 et V(X) = G X (1)+G X (1) [G X (1)]2 = 0, = 0,8. R18 fonction génératrice des moments La fonction génératrice des moments d une variable aléatoire à valeurs dans R est : M X (t) = E(e tx ). Si X est discrète à valeurs dans N alors : M X (t) = + k=0 P(X = k) etk. 5

6 Si X est absolûment continue de fonction de densité f(x) alors : M X (t) = + etx f(x)dx. On en tire l espérance de X selon : E(X) = M X (0) et sa variance selon : V(X) = M X (0) [M X (0)]2. Exemple. Pour une variable X distribuée selon une loi exponentielle E(λ) la fonction génératrice des moments est définie pour t < λ par : M X (t) = + etx λe λx 1 {x 0} dx = + 0 λe (t λ)x M dx = lim M + 0 λe (t λ)x dx = lim M + [λe(t λ)x /(t λ)] M 0 = lim M + λ{e(t λ)m 1}/(t λ) = λ/(λ t) = 1/(1 t/λ). Application. L espérance de X E(0,5) est 2 et sa variance 4. En effet : M X (t) = 1/(1 2t), M X (t) = 2/(1 2t) 2 et M X (t) = 8/(1 2t)3 ; on en déduit : E(X) = M X (0) = 2 et V(X) = M X (0) [M X (0)]2 = = 4. References Apple, W. (2013). Probabilité pour les non-probabilistes. H&K Éditions. Daudin, J.-J., Robin, S., and Vuillet, C. (1999). Statistique inférentielle: idées, démarches, exemples. Société française de statistique. Egon, H. and Porée, P. (2004). Statistique et probabilités en production industrielle, volume 1. Hermann. 6