Chapitre 1 Optimisation
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1 Chapitre 1 Optimisation Mathématique Séquence CST 5 e secondaire Connaissances antérieures Cahier des tâches Septembre 2016 Nom : Groupe : 51 52
2 Les fonctions polynomiales de degré 0 ou 1 Le taux de variation Dans une relation entre deux variables, un taux de variation est la comparaison entre deux variations correspondantes de ces variables. Taux de variation v ariationde la v ariable dépendante v ariationcorrespondante de la v ariableindépendante Le taux de variation entre les couples (x 1, y 1 ) et (x 2, y 2 ) se calcule de la façon suivante. Taux de variation y x y y x x 1 Exemple : Le taux de variation de la fonction associée à cette droite correspond au taux de variation entre les points (10, 7) et (20, 19) : Taux de variation ,2 10 La fonction polynomiale de degré 0 Des variations de la variable indépendante entraînent des variations nulles de la variable dépendante. La règle est de la forme : f (x) a, où a est une constante. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l axe des abscisses qui croise l axe des ordonnées en (0, a). Une fonction polynomiale de degré 0 est aussi appelée fonction de variation nulle. La fonction polynomiale de degré 1 Des variations constantes de la variable indépendante entraînent des variations constantes et non nulles de la variable dépendante. La règle est de la forme : f (x) ax b, où a 0. Dans cette règle, a est le taux de variation et b, la valeur initiale. Sa représentation graphique est une droite oblique qui croise l axe des ordonnées en (0, b).
3 Les systèmes d équations Un système d équations est un ensemble d au moins deux équations. Exemple : Voici un système d équations du 1 er degré à deux variables : y 3x 4 y 5x 2 La résolution d un système d équations Résoudre un système d équations du 1 er degré à deux variables revient à trouver, s ils existent, le ou les couples de nombres qui vérifient simultanément les équations du système. La méthode de comparaison La méthode de comparaison permet de résoudre algébriquement des systèmes d équations du 1 er degré à deux variables qui se ramènent à la forme : y 1 a 1 x b 1 y 2 a 2 x b 2 en comparant les expressions associées aux variables dépendantes. Cette méthode permet de trouver la solution exacte d un système d équations. Exemples : Pour résoudre un système d équations du 1 er degré à deux variables, tu peux utiliser la démarche suivante. 1) Démarche 1. Forme une équation avec les deux expressions associées aux variables dépendantes. 2. Résous l équation obtenue. 4x 8 x 2 Exemple : Résous, à l aide de la méthode de comparaison, le système d équations suivant. y 1 4x 8 y 2 x 2 On cherche la valeur de x pour laquelle y 1 y 2. 4x 8 x 2 5x 10 x 2 3. Remplace la valeur de x obtenue dans une des équations de départ afin de déterminer la valeur correspondante de y. 4. Valide la solution en substituant 2 à x et 0 à y dans une des deux équations. y y 1 0 La solution est donc ( 2, 0) ( 2) Puisque ces égalités sont vraies, la solution est valide.
4 Méthode de substitution La méthode de substitution permet de résoudre algébriquement des systèmes d équations se ramenant à a1x b1y c la forme y a x 2 b 2 1, c est-à-dire des systèmes d équations où l une des variables est isolée dans l une des équations. Ex. : Pour résoudre le système 3x 2y 5 y x 4 1. Isoler, si nécessaire, une des variables dans une des équations. 2. Remplacer cette variable dans l autre équation par l expression qui lui est égale pour former une équation à une seule variable. 3. Résoudre l équation obtenue. 4. Remplacer la valeur obtenue dans une des équations de départ afin de déterminer la valeur de l autre variable. à l aide de la méthode de substitution, on peut : 3x 2y 5 y x 4 3x + 2( x - 4) = 5 3x 2x 8 5 x 13 y 13 4 y 17 La solution est donc (13, 17). 5. Valider la solution en substituant 13 à x et 17 à y dans chacune des équations : Les inéquations Une inéquation est une relation mathématique qui fait intervenir un symbole d inégalité et au moins une variable. Exemples : 1) 3x ) 6-2a 3b + 7 3) y 4x - 11 L ensemble des valeurs qui vérifient une inéquation est appelé l ensemble-solution.
5 INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ À DEUX VARIABLES Pour traduire une information en une inéquation du premier degré à deux variables, on procède de la façon suivante. 1. Identifier la ou les variables dans la situation. Ex. : La masse moyenne d un homme est de 75 kg et celle d une femme est de 60 kg. Combien d hommes et de femmes peut contenir un ascenseur dont la charge maximale est de 1580 kg? Les variables sont : le nombre d hommes : x ; le nombre de femmes : y. 2. Établir les expressions algébriques à comparer. Expression algébrique représentant : la masse des personnes dans l ascenseur :75x + 60y ; la charge maximale de l ascenseur : Écrire l inéquation en choisissant le symbole d inégalité approprié. Une fois l inéquation posée, il est possible de vérifier son exactitude en remplaçant la ou les variables par des valeurs numériques. Inéquation : 75x + 60y 1580 L ascenseur peut, par exemple, contenir 3 hommes et 5 femmes. En substituant 3 à x et 5 à y, on obtient , soit Une solution d une inéquation à deux variables correspond à un couple de valeurs qui vérifient cette inéquation. L ensemble des couples qui vérifient une inéquation à deux variables est appelé l ensemble-solution. Demi-plan Il est possible de représenter graphiquement l ensemble-solution d une inéquation du premier degré à deux variables dans un plan cartésien. Tous les points dont les coordonnées vérifient une inéquation sont situés du même côté de la droite correspondant à l équation formée à partir de cette inéquation. L ensemble de ces points forme un demi-plan qui représente l ensemble-solution de cette inéquation. Habituellement, on colorie ou on hachure ce demi-plan. La droite frontière d un demi-plan correspond à un trait plein lorsque l équation fait partie de l inéquation ( ou ) et à un trait en pointillé lorsque l équation en est exclue ( ou ).
6 Ex. : 1) Représentation de l ensemble-solution de l inéquation y x 3. 2) Représentation de l ensemble-solution de l inéquation y 0,5x 6. Pour représenter graphiquement l ensemble-solution d une inéquation du premier degré à deux variables, on procède de la façon suivante. 1. Écrire l inéquation sous la forme y ax b, y ax b, y ax b ou y ax b. 2. Tracer la droite frontière d équation y ax b d un trait plein ou en pointillé selon que l équation fait partie ou non de l inéquation. Ex. : On désire représenter graphiquement l ensemble-solution de l inéquation x 4y 4. x 4y 4 4y x 4 y 0,25x 1 L équation de la droite frontière est y 0,25x Colorier ou hachurer le demi-plan au-dessous de la droite si le symbole est ou, ou au-dessus de la droite si le symbole est ou.
7 1. Détermine la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous. a) b) c) 2. Représente graphiquement chacune des fonctions suivantes. a) f (x) 2x b) g(x) 3x 1 c) h(x) 5 3 x 2 d) i (x) 1 x 4 e) j (x) 3 x f) k(x) 7x 17
8 3. À la suite d une coupure de courant, le système de chauffage d une maison cesse de fonctionner. Le graphique ci-contre montre l évolution de la température dans cette maison après cette interruption. a) Si x représente le temps (en min) et y, la température (en C), quelle est la règle de cette fonction? Réponse : b) Quelle est la température dans cette maison après 30 min? c) Après combien de temps la température dans cette maison est-elle de 9 C? Réponse : Réponse : 4. Résous chacun des systèmes suivants en utilisant la méthode de comparaison. a) y 3x 10 y x 6 b) y 5x 13 y 7x 3 c) y 6x 1 y 6x 11 Réponse : Réponse : Réponse :
9 5. Résous les systèmes d équations suivants à l aide de la méthode de substitution. a) y = 2x - 3 3x + y + 8 = 0 b) x - 2y + 5 = 0 x = 3y - 6 c) 5y - 3x = 4 y = x d) y = x x - 3y - 6 = 0 6. Détermine la solution exacte du système d équations illustré ci-contre. 7. Le graphique ci-contre illustre les distances parcourues par deux voitures sur la même route. Démontre que la voiture B rattrapera la voiture A après 16,87 min.
10 8. Traduis chacune des situations suivantes par une inéquation du 1 er degré à une variable. a) L âge a de Jean-Claude est d au plus 32 ans. b) Si on ajoute 400 $ au montant m des économies de Pierrette, on obtient plus de 1400 $. c) Même en ajoutant 70 km/h au double de la vitesse v d un avion, cette vitesse ne dépassera pas 1200 km/h. d) À la suite de coupures, on a retranché 50 $ des deux tiers du salaire hebdomadaire s de Jacob. Son salaire a donc baissé en dessous de 450 $/semaine. 9. Représentez graphiquement l ensemble-solution de chacune des inéquations suivantes. 5 a) y x 3 b) y x 4 3
11 c) 2x 3y 5 0 d) 2x 5y Écrivez les inéquations suivantes sous la forme y ax b, y ax b, y ax b ou y ax b. ( isole la variable y) a) 5x y 12 0 b 4x 2y 6 0 3y c) 3x d) x 2y 3 7
12 11. Dans chaque cas, traduisez la situation par une inéquation. a) b) c) d)
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