Sommaire de la séquence 2

Transcription

1 Sommaire de la séquence 2 Séance Je résous deux problèmes Séance Je détermine les diviseurs d un entier Séance Je découvre les nombres premiers Séance Je découvre la notion de PGCD Séance J étudie la notion de fraction irréductible Séance Je découvre l algorithme des soustractions successives Séance Je découvre l algorithme d Euclide Séance Je résous des problèmes Séance J effectue des exercices de synthèse Objectifs Savoir résoudre des problèmes à l aide du PGCD. Être capable d écrire une fraction sous forme irréductible. Apprendre à résoudre des problèmes numériques à l aide d un tableur. Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. Cned-2009

2 Séance 1 Je résous deux problèmes Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n 2. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses. JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e 1- Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 81 par 2? 2- On sait que : 63 = 7 9. Quelle(s) affirmation(s) est(sont) vraie(s)? quotient : 33 reste : 15 quotient : 40 reste : 1 quotient : 42 reste : 3 quotient : 40,5 reste : 0 7 est un diviseur de est un multiple de est un diviseur de est un multiple de On peut simplifier la fraction par : 4- Quel est le plus grand nombre de fois que l on peut retrancher 23 à 877? Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d exercices puis écris : «SEQUENCE 2 : NOMBRES». Effectue l exercice ci-dessous dans ton livret. Une fois l exercice terminé, n oublie pas de te reporter à son corrigé et de lire attentivement les deux parties : «Ce que tu devais faire» et «les commentaires du professeur». Prends le temps de bien chercher cet exercice EXERCICE 1 Problème : pour quelles valeurs de l entier n (supérieur ou égal à 1) l entier n² + n 1 est-il pair? Andry pense qu un «entier n sur deux» fera de n² + n 1 un nombre pair. 1- Essaie de résoudre le problème pendant 10 minutes. 2- a) Calcule le nombre n² + n 1 dans chacun des cas suivants : n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 Les résultats obtenus sont-ils pairs? Aide : pour n égal à 2 tu dois trouver 5. Cned, Mathématiques 3 e 27

3 Dans toute la suite de cet exercice, n désigne un entier supérieur ou égal à 1. b) A l aide d une calculatrice, calcule l entier n² + n 1 pour d autres valeurs de n. Trouves-tu un résultat pair? Si tu possèdes un ordinateur, lance un tableur puis fais calculer le nombre n² + n 1 pour une centaine de valeurs de n. Quelle conjecture peux-tu émettre? 3- a) Factorise n² + n. b) Démontre que l entier n(n + 1) est toujours pair. Aide : il faut bien imaginer que si on liste les nombres entiers en commençant par 1, on obtient successivement un nombre impair, puis un pair, puis un impair, puis un pair, et ainsi de suite c) Déduis de la question précédente que l entier n(n + 1) 1 est toujours impair, puis résous le problème. Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. EXERCICE 2 On souhaite carreler une pièce carrée de 36 dm (c est-à-dire 3,6 m) de côté à l aide de carreaux carrés identiques dont le côté est un nombre entier de décimètres. On souhaite ne faire aucune coupe dans les carreaux. Problème : exprimer toutes les tailles de carreaux possibles. 1- Résous le problème. Tu peux essayer de poser le problème et d y réfléchir sur une feuille blanche. Tu peux également réfléchir à l aide de ta calculatrice, ou d un tableur Aide : il y a 9 tailles de carreaux possibles! 2- On souhaite acheter les carreaux dans un magasin de carrelage. Il n y a que trois tailles : des carrés de 1 dm de côté à 1,05 pièce. des carrés de 2 dm de côté à 2,05 pièce. des carrés de 3 dm de côté à 3,10 pièce. Quelle taille de carreaux va permettre de carreler la pièce au moindre coût? Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 1. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. 28 Cned, Mathématiques 3 e

4 Séance 2 Je détermine les diviseurs d un entier Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. EXERCICE 3 1- Détermine à l aide d un tableur tous les diviseurs de Voici ci-contre ce qu affiche un tableur. Chaque cellule de la colonne B affiche le quotient de 30 par le nombre qui se trouve juste à gauche. Par exemple, la case B2 affiche le résultat de 30 A2, soit 30 donc Comme 15 est un entier, 2 est donc un diviseur de 30. a) D après l image du tableur ci-contre, quels sont les diviseurs de 30? b) 30 4 est-il un entier? Comment appelle-t-on ce type de nombre? c) 30 7 est-il un entier? Est-il un nombre décimal? Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. Un peu de vocabulaire sur les nombres Il existe plusieurs familles de nombres Le nombres entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; Les nombres entiers relatifs : ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; Les nombres décimaux relatifs : par exemple 4,56 ou 0,756 Ces nombres peuvent s écrire sous la forme d un entier relatif divisé par une puissance de Par exemple : 4,56 = 7,567 = Les nombres rationnels : ce sont les nombres que l on peut écrire sous la forme d une fraction. 7 Par exemple : 3 ou Attention! Un même nombre peut appartenir à plusieurs familles. Par exemple : 7 est un nombre entier naturel mais aussi un entier relatif, un nombre décimal relatif (7 = 7,0), et aussi un nombre rationnel (7 = 7 1 ) Les nombres irrationnels : ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels. Pour l instant, tu n en connais qu un : le nombre π. On admet que ce nombre ne s écrit pas sous la forme d une fraction. Cned, Mathématiques 3 e 29

5 Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. EXERCICE 4 Sans ordinateur ni calculatrice, détermine tous les diviseurs de 60. Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. EXERCICE 5 Par définition, un nombre entier est dit parfait s il est égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même. Par exemple, 6 est un nombre parfait. Ses diviseurs sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6. Ses diviseurs autres que lui-même sont donc 1, 2 et = 6 donc 6 est parfait. 1- Réponds aux deux questions ci-dessous. 4 est-il un nombre parfait? 28 est-il un nombre parfait? 2- A l aide d un tableur, détermine si 496 est parfait. Aide : Une fois que tu as obtenu tous les diviseurs de 496, il ne reste plus qu à faire la somme des diviseurs autres que Vrai ou faux? 28 = = a) Détermine à l aide d un tableur les diviseurs de chacun des entiers suivants : b) Calcule : la somme des diviseurs de 220 autres que 220 la somme des diviseurs de 284 autres que 284. Que remarques-tu? Lis le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours. Notions de diviseur et de multiple d un entier Définition : a et b désignant deux entiers, «b est un diviseur de a» signifie «il existe un entier c tel que : a = b c» Exemple : 56 = 8 7 donc 8 est un diviseur de 56 (7 est également un diviseur de 56). On dit aussi que 56 est divisible par 8 (et que 56 est divisible par 7). On dit encore que 56 est un multiple de 8 (et que 56 est un multiple de 7). Remarques : 1 est un diviseur de tout entier. Chaque entier est divisible par lui-même. Par exemple : 56 = Cned, Mathématiques 3 e

6 Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. EXERCICE 6 1- On appelle d un diviseur commun à 32 et à 24. Cela signifie que d est à la fois un diviseur de 32 et de 24. a) Quelles sont les valeurs possibles pour d? b) Prouve que d est un diviseur de et de On appelle d un diviseur commun à 326 et à 248. Prouve sans chercher les valeurs possibles de d que c est un diviseur de et de Aide! Pense à l égalité : k(a + b) = ka + kb 3- Démontre que si un nombre d est un diviseur commun à a et à b, avec a b, alors : il divise a + b il divise a b Lis le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours. Propriété : Si un nombre d est un diviseur de deux nombres, alors il divise leur somme et leur différence. Lis le paragraphe ci-dessous. LE COIN DES CURIEUX Les nombres parfaits Actuellement, on connaît 46 nombres parfaits. Les quatre premiers (6 ; 28 ; 496 ; 8 128) sont connus depuis l antiquité. Le dernier a été découvert en octobre On ne connaît que des nombres parfaits pairs. On ne sait toujours pas s il existe des nombres parfaits impairs et s il existe une infinité de nombres parfaits. Il a été établi que : les nombres parfaits pairs se terminent par un 6 ou un 8, tous les nombres parfaits pairs (à l exception de 6) sont égaux à une somme de cubes d entiers impairs = Les nombres amiables Deux nombres entiers n et m sont amiables si la somme des diviseurs n est égale à m et si la somme des diviseurs de m est égale à n. On connaît actuellement environ paires de nombres amiables. La première paire (220 et 284) aurait été découverte par les pythagoriciens. On ne sait pas, cependant, s il existe une infinité de paires de ces nombres. On n a pas encore trouvé de paire de nombres amiables formée d un nombre pair et d un nombre impair. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 2. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche.. Cned, Mathématiques 3 e 31

7 Séance 3 Je découvre les nombres premiers Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. EXERCICE 7 Nous allons étudier un jeu. Il se joue à deux personnes. Il faut commencer par écrire la grille suivante sur une feuille : Voici la règle sur un exemple : Nadia joue contre Aurélie. Nadia commence par choisir un nombre de la liste : 6. Elle l entoure. Ensuite, c est à Aurélie de jouer. Elle doit donner un nombre non entouré de la liste qui soit : - soit un multiple du nombre donné par Nadia (6) - soit un diviseur du nombre donné par Nadia. Aurélie choisit 12. Elle l entoure. Ensuite, c est à Nadia de jouer. Elle doit donner un nombre non entouré de la liste qui soit : - soit un multiple du nombre donné par Aurélie (12) - soit un diviseur du nombre donné par Aurélie. Nadia choisit 3. Elle l entoure. Et ainsi de suite jusqu à ce qu une des deux adversaires ne puisse plus donner de nombre. C est le cas par exemple si la partie a été la suivante : Nadia a choisit 10. Pourquoi Aurélie a-t-elle perdu? Parce qu elle ne peut pas donner de nombres : Les diviseurs de 10 (autres que 10) sont 1 ; 2 et 5. Ils ont déjà été entourés. On ne peut donc pas les donner à nouveau. Le seul multiple de 10, autre que 10, dans la grille est 20 et il a déjà été entouré. Aurélie ne peut donc pas donner de nombres. Elle a donc perdu. 32 Cned, Mathématiques 3 e

8 1- a) Tu joues à ce jeu. Ton adversaire commence la partie en donnant 5. La grille est donc la suivante : Quels sont tous les nombres que tu peux donner? b) Ton adversaire commence la partie en donnant 8. La grille est donc la suivante : Quels sont tous les nombres que tu peux donner? c) Voici une partie en cours. Ton adversaire vient de donner 12. Quels sont tous les nombres que tu peux donner? 2- Si tu le peux, explique ce jeu à quelqu un de ton entourage et fait 4 ou 5 parties. Essaie de jouer avec astuce afin de gagner! 3- a) Maintenant, je te propose de faire une partie contre toi! Je commence et je donne 11. Quel nombre donnes-tu? Ensuite, je donne 17. Vérifie que j avais bien le droit de donner 17. A toi de jouer. Quel nombre donnes-tu? Tu as perdu, non? b) Je te propose de faire une 2 ème partie contre toi! Je commence et je donne 13. Quel nombre donnes-tu? Ensuite, je donne 19. Vérifie que j avais bien le droit de donner 19. A toi de jouer. Quel nombre donnes-tu? Tu as encore perdu, non? c) Essaie d expliquer la stratégie menée ci-dessus, et pourquoi cette stratégie permet de gagner «en deux coups». Recopie sur ton cahier de cours le paragraphe suivant après l avoir lu. Nombres premiers Définition On dit qu un entier naturel est premier lorsqu il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Remarque : 1 n est pas premier car il ne possède qu un diviseur : lui-même. Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d exercices. Cned, Mathématiques 3 e 33

9 EXERCICE 8 Dans chaque cas dis si le nombre donné est premier. a) 35 b) 2 c) 24 d) 117 EXERCICE 9 Thomas a décidé de déterminer tous les nombres premiers inférieurs à 50. Il commence par écrire tous les entiers de 1 à 49. Le principe est simple : il consiste à barrer les nombres qui ne sont pas premiers et à entourer ceux qui le sont. 1- a) Découpe dans les pages découpage le carré ci-contre. b) Thomas barre 1. Es-tu d accord avec lui? 2- Il entoure 2, puis il barre ensuite tous les multiples de 2, sauf 2. Il entoure 3, puis il barre ensuite tous les multiples de 3 (qui n ont pas encore été rayés), sauf 3. A-t-il raison de procéder ainsi? 3- Sans regarder les nombres barrés du carré précédent, il dit que tous les multiples de 4 sont déjà barrés. Qu en penses-tu? 4- a) Thomas affirme, sans chercher la liste des diviseurs de 5, que vu la méthode utilisée, 5 (qui est le premier nombre non barré) est premier. Es-tu d accord avec lui? b) Thomas entoure 5, puis il s apprête à barrer tous les multiples de 5 (qui n étaient pas encore rayés), sauf 5. Il dit, sans regarder sa feuille, que le premier nombre à barrer est 5². Comment a-t-il pu deviner? 5- Thomas poursuit sa recherche de nombres premiers en utilisant la même méthode que précédemment, jusqu à ce qu il n y ait plus de nombres à barrer. Fais comme lui. Quels sont les nombres premiers inférieurs à 50? Recopie sur ton cahier de cours le paragraphe suivant après l avoir lu Exemples et contre-exemples de nombres premiers : 1 n est pas est premier. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 sont premiers. 4 n est pas premier car il a 2 pour diviseur. 34 Cned, Mathématiques 3 e

10 Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. EXERCICE On considère la fraction On a : 195 = 5 39 = (où 3 ; 5 ; 13 sont des nombres premiers). On dit alors que est une décomposition de 195 en un produit de nombres premiers. a) Décompose 156 en un produit de nombres premiers. b) Recopie et complète : = c) Simplifie au maximum la fraction Après avoir décomposé le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers, simplifie au maximum les fractions suivantes. a) b) Pour terminer, je te propose de lire le paragraphe suivant : LE COIN DES CURIEUX La découverte des nombres premiers remonte au moins au V e siècle avant J.C. Au III e siècle avant J.C., Euclide (un grand mathématicien grec) a démontré qu il y avait une infinité de nombres premiers. On n a pas trouvé jusqu ici de formule permettant d obtenir tous ces nombres. Pendant près de 2000 ans, on a utilisé le crible d Eratosthène pour les rechercher. De nos jours, on utilise des ordinateurs puissants. La recherche de nombres premiers ayant des centaines de chiffres intéresse à la fois les grands mathématiciens et les informaticiens (les grands nombres premiers servent à coder des informations qui doivent rester secrètes). Comment se répartissent-ils? Ils sont de moins en moins nombreux lorsque les nombres sont grands : entre 1 et 100, il y a 25 nombres premiers ; entre et , il y en a 2! Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 3. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. Cned, Mathématiques 3 e 35

11 Séance 4 Je découvre la notion de PGCD Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. EXERCICE 11 On dispose de 30 petits cailloux blancs et de 48 petits cailloux rouges. Attention : il faut lire attentivement le problème ci-dessous. Problème : On souhaite regrouper tous les cailloux en petits tas identiques constitués de cailloux blancs et de cailloux rouges. Quel est le plus grand nombre de tas identiques que l on peut faire? 1- Essaie de résoudre ce problème pendant 10 minutes. 2- Voici un regroupement de tous les cailloux en trois tas identiques. Chaque tas est composé de : 10 cailloux blancs 16 cailloux rouges. a) Recopie et complète : nombre de cailloux blancs par tas nombre de tas = nombre de cailloux rouges par tas nombre de tas = b) Que peux-tu dire du nombre de tas par rapport à 30 et à 48? c) Essaie de trouver le plus grand diviseur commun à 30 et à 48. Utilise le nombre trouvé pour déterminer une solution au problème. 4- Simplifie au maximum et «en une fois» la fraction Si on avait eu 81 cailloux blancs et 54 cailloux rouges, au lieu de 30 et 48, quel aurait-été le plus grand nombre de tas identiques? Simplifie au maximum et «en une fois» la fraction Cned, Mathématiques 3 e

12 Recopie sur ton cahier de cours le paragraphe suivant. Définition : Le Plus Grand Diviseur Commun à deux entiers non nuls a et b s appelle le PGCD de ces deux nombres. On le note souvent : PGCD (a ; b). Exemple : Calcul du PGCD de 8 et 21 Les diviseurs de 8 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8. Les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 21 8 et 21 ont un seul diviseur commun : 1. On a donc : PGCD (8 ; 21) = 1 Effectue les exercices suivants dans ton cahier d exercices. EXERCICE 12 a) Quel est le PGCD de 60 et 42? b) Quel est le PGCD de 24 et 16? EXERCICE 13 Nadia vient d écrire : PGCD (261 ; 359) = 9 Clément, sans faire aucun calcul, lui dit qu elle se trompe! Clément a-t-il raison? Si oui, comment a-t-il fait pour déceler aussi rapidement l erreur de Nadia? EXERCICE 14 Détermine : a) PGCD (167 ; 167) b) PGCD (323 ; 646) c) PGCD (0 ; 144) d) PGCD (1 ; 59) Recopie sur ton cahier de cours le paragraphe suivant. Dans ce paragraphe, a est différent de 0. Propriété : PGCD (0 ; a) = a PGCD (1 ; b) = 1 Preuve : Tous les entiers divisent 0, donc les diviseurs communs à 0 et à a sont les diviseurs de a. Le plus grand diviseur de a est a lui-même. D où : PGCD (0 ; a) = a Le seul diviseur de 1 est 1 lui-même. Le seul diviseur commun à 1 et b est 1. D où : PGCD (1 ; b) = 1. Cned, Mathématiques 3 e 37

13 Recopie sur ton cahier de cours le paragraphe suivant. Définition : deux entiers dont le PGCD est égal à 1 sont dits premiers entre eux. Exemples : 8 et 21 sont premiers entre eux car PGCD (8 ; 21) = 1 6 et 10 ne sont pas premiers entre eux car PGCD (6 ; 10) = 2 Effectue l exercice suivant dans ton cahier d exercices. EXERCICE 15 Les nombres 15 et 28 sont-ils premiers entre eux? Recopie sur ton cahier de cours le paragraphe suivant. Propriété : dire que deux entiers sont premiers entre eux revient à dire qu ils ont pour seul diviseur commun 1. Preuve : Si deux entiers sont premiers entre eux, alors leur PGCD est égal à 1. Si leur plus grand diviseur est 1, ces deux nombres n ont donc qu un diviseur commun : 1. Si deux entiers n ont qu un diviseur commun : 1 alors leur PGCD est 1. Effectue l exercice suivant dans ton cahier d exercices. EXERCICE 16 Thomas affirme mentalement que dans chacun des cas suivants, les entiers donnés ne sont pas premiers entre eux. Essaie de trouver sa méthode. a) 302 et 476 b) 315 et Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 4. Effectue ensuite la série 3 de cette fiche. 38 Cned, Mathématiques 3 e

14 Séance 5 J étudie la notion de fraction irréductible Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. EXERCICE 17 Lis les deux paragraphes ci-dessous. Selon Aurélie, si deux nombres sont premiers entre eux, alors ils sont premiers. Andry dit que deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux. Que penses-tu des remarques d Aurélie et d Andry? Recopie sur ton cahier de cours le paragraphe suivant. Remarque : il ne faut pas confondre la notion de nombres premiers entre eux et la notion de nombres premiers. 8 et 21 sont premiers entre eux, mais ils ne sont pas premiers. EXERCICE Lis attentivement le problème ci-dessous. Problème : Comment justifier que l on ne peut pas simplifier la fraction 16 35? a) Essaie de résoudre ce problème pendant 5 minutes. b) Si on pouvait simplifier la fraction 16, les entiers 16 et 35 auraient-il un diviseur commun autre 35 que 1? Déduis-en un moyen de justifier que cette fraction est irréductible. 2- a) Clément dit qu il a trouvé une méthode permettant de simplifier au maximum la fraction 96 en une seule étape. Saurais-tu la retrouver? 72 b) Utilise la même méthode que précédemment pour simplifier au maximum la fraction Cned, Mathématiques 3 e 39

15 Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours. Définition : Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Propriété : On obtient une fraction irréductible à partir d une fraction donnée en divisant son numérateur et son dénominateur par leur PGCD. Effectue l exercice suivant sur ton cahier d exercices. EXERCICE 19 a) La fraction est-elle irréductible? b) Ecris la fraction sous la forme d une fraction irréductible. Reporte-toi à la page calculatrice (page 163) en fin de livret pour apprendre à te servir de ta calculatrice pour rendre une fraction irréductible. Vérifie les résultats que tu as obtenus dans l exercice précédent. EXERCICE 20 Une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont impairs est-elle irréductible? EXERCICE 21 Détermine le PGCD de 524 et de 234 à l aide de la touche simplification de fractions de la calculatrice. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 6, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux solutions. 40 Cned, Mathématiques 3 e

16 Séance 6 Je découvre l algorithme des soustractions successives Effectue l exercice ci-dessous dans ton cahier d exercices. EXERCICE 22 Lis attentivement le problème ci-dessous. Problème : La fraction est-elle irréductible? 1- Essaie de résoudre le problème ci-dessus pendant 10 minutes. 2- Essaie de simplifier la fraction calculatrice? Y parviens-tu? à l aide de la touche simplification de fractions de la 3- Lis le paragraphe ci-dessous. Thomas a une méthode : pour déterminer le PGCD de et 1 835, il cherche à se ramener au calcul du PGCD de deux autres nombres, plus petits, qui sera sûrement plus facile à calculer. Ainsi, il écrit : = donc PGCD (6 672 ; 1 835) = PGCD (1 835 ; 4 837) a) Essaie pendant 5 minutes de démontrer que : PGCD (6 672 ; 1 835) = PGCD (1 835 ; 4 837) Dans ce qui suit, nous allons essayer de démontrer l égalité précédente. b) Soit a un diviseur commun à et Prouve que a est un diviseur commun à et c) Soit b un diviseur commun à et Prouve que b est un diviseur commun à et d) D après les questions b et c, que peux-tu conclure : des diviseurs communs à et d une part, des diviseurs communs à et d autre part. Qu en déduis-tu concernant PGCD(6 672 ; 1 835) et PGCD(1 835 ; 4 837)? Cned, Mathématiques 3 e 41

17 4- Lis le paragraphe ci-dessous. Voici ce qu a déjà écrit Nadia : Nadia a l idée de reproduire la méthode de Thomas une deuxième fois, puis une troisième fois, jusqu à ce qu elle arrive à un PGCD qu elle puisse déterminer facilement. étape 1 : = donc PGCD (6 672 ; 1 835) = PGCD (1 835 ; 4 837) étape 2 : = donc PGCD (1 835 ; 4 837) = PGCD (1 835 ; 3 002) a) Continue cette méthode en écrivant les étapes 3 et 4. b) Tu vas vérifier tes calculs à l aide d un tableur. Pour cela, ouvre le fichier sequence2exercice22 à l aide d un tableur, puis étends les calculs déjà effectués jusqu à l étape 4. c) Etends maintenant les calculs jusqu à l étape 29. Quel est le PGCD de 8 et 1? Aide : quels sont les diviseurs communs à 8 et à 1? d) Résous le problème. La méthode utilisée ci-dessus pour calculer le PGCD de et est appelée «algorithme des soustractions successives». Note ce qui suit sur ton cahier de cours. Propriété : a et b désignant des entiers naturels tels que : a b, on a : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a b) Idée de la preuve : On prouve que les diviseurs communs à a et à b sont les mêmes que les diviseurs communs à b et b a. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. JE COMPRENDS LA MÉTHODE Déterminer le PGCD de et 369 à l aide de la méthode des soustractions successives = donc PGCD (1 599 ; 369) = PGCD (369 ; 1 230) J applique la propriété précédente = 861 donc PGCD (369 ; 1 230) = PGCD (369 ; 861) = 492 donc PGCD (369 ; 861) = PGCD (369 ; 492) = 123 donc PGCD (369 ; 492) = PGCD (369 ; 123) = 246 donc PGCD (369 ; 123) = PGCD (123 ; 246) = 123 donc PGCD (246 ; 123) = PGCD (123 ; 123) = 123 J arrête l algorithme quand j obtiens le PGCD de «deux fois le même nombre». D où : PGCD (1 599 ; 369) = 123 Remarque : On pouvait s arrêter à l étape précédente si on remarquait que 123 est un diviseur de 369. En effet : 369 = donc : PGCD (369 ; 123) = Cned, Mathématiques 3 e

18 Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d exercices. EXERCICE 23 a) La fraction 193 est-elle irréductible? 87 Utilise la méthode par soustractions successives. Vérifie ensuite ton résultat à l aide de la touche simplification de fractions de la calculatrice. b) Ecris la fraction 124 sous forme irréductible. Ce nombre est-il décimal? 217 Utilise la méthode par soustractions successives. Vérifie ensuite ton résultat à l aide de la touche simplification de fractions de la calculatrice. EXERCICE 24 On souhaite écrire la fraction a) Commence par obtenir ce qui suit sur ton écran : sous forme irréductible à l aide d un tableur. b) Lorsqu on tape dans une cellule : «= MAX (A2 ; B2)», il s affiche 592. (le plus grand des deux nombres 592 et 259). Lorsqu on tape dans une cellule = MIN (A2 ; B2), il s affiche 259. (le plus petit des deux nombres 592 et 259). Quelles formules doit-on écrire dans les cellules A3 et B3? c) Etends les formules vers le bas de façon à obtenir le PGCD de 592 et 259. d) Ecris la fraction sous forme irréductible. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 7, à la fin de ce livret. Découpe une partie de la feuille selon les pointillés verticaux, puis replie-la le long des pointillés horizontaux afin de cacher les solutions. Effectue ensuite la série 1 de cette fiche. Pour cela, lis les calculs proposés, calcule le résultat de tête puis écris les réponses sur une feuille de brouillon. Une fois la série 1 terminée, reporte-toi aux solutions. Cned, Mathématiques 3 e 43

19 Séance 7 Je découvre l algorithme d Euclide Effectue l exercice suivant dans ton cahier d exercices. EXERCICE 25 Pauline cherche à écrire sous forme irréductible. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. J essaie d appliquer la méthode des soustractions successives, mais ça n en finit pas! Voici mes onze premières étapes : étape = 76 PGCD (855 ; 779) = PGCD (779 ; 76) étape = 703 PGCD (779 ; 76) = PGCD (76 ; 703) étape = 627 PGCD (76 ; 703) = PGCD (76 ; 627) étape = 551 PGCD (76 ; 627) = PGCD (76 ; 551) étape = 475 PGCD (76 ; 551) = PGCD (76 ; 475) étape = 399 PGCD (76 ; 475) = PGCD (76 ; 399) étape = 323 PGCD (76 ; 399) = PGCD (76 ; 323) étape = 247 PGCD (76 ; 323) = PGCD (76 ; 247) étape = 171 PGCD (76 ; 247) = PGCD (76 ; 171) étape = 95 PGCD (76 ; 171) = PGCD (76 ; 95) étape = 19 PGCD (76 ; 95) = PGCD (76 ; 19) étape = 57 PGCD (76 ; 19) = PGCD (19 ; 57) C est trop long, j abandonne! Problème : Comment éviter d écrire les étapes 2 à 11? 1- Essaie de résoudre le problème ci-dessus pendant 10 minutes. 2- Combien de fois de suite a-t-on pu enlever 76? Quelle opération permet d obtenir le résultat de : 779 «le plus grand nombre de fois 76»? Complète : Le résultat de l opération précédente permet d écrire : PGCD(779 ; 76) = PGCD(76 ;.) 3- Détermine PGCD(19 ; 57) puis écris sous forme irréductible. La méthode «accélérée», qui consiste à effectuer des divisions euclidiennes au lieu de faire des soustractions, est appelée «algorithme des divisions successives» ou encore «algorithme d Euclide», en référence au mathématicien Euclide, qui l avait présenté dans son livre : «les Éléments». 44 Cned, Mathématiques 3 e

20 Note ce qui suit sur ton cahier de cours. Propriété : a et b désignant des entiers naturels tels que : a b, on a : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. Idée de la preuve : Il suffit d appliquer successivement la propriété : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a b) jusqu à ce que l on ne puisse plus «enlever b». La calculatrice sait effectuer une division euclidienne. Reporte-toi à la page calculatrice en fin de livret (page 164) pour voir comment l utiliser. Effectue l exercice suivant dans ton cahier d exercices. EXERCICE 26 Utilise l algorithme d Euclide pour déterminer si la fraction est irréductible Nous avons vu dans l exercice 22 que la méthode par soustractions successives permettait d obtenir une réponse à cette question, mais il fallait un très grand nombre d étapes. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. JE COMPRENDS LA MÉTHODE Déterminer le PGCD de et 468 à l aide de l algorithme d Euclide = donc PGCD (7 856 ; 468) = PGCD (468 ; 368) 468 = donc PGCD (468 ; 368) = PGCD (368 ; 100) 368 = donc PGCD (368 ; 100) = PGCD (100 ; 68) 100 = donc PGCD (100 ; 68) = PGCD (68 ; 32) 68 = donc PGCD (68 ; 32) = PGCD (32 ; 4) 32 = donc PGCD (32 ; 4) = PGCD (4 ; 0) = 4 On s arrête dès que l on trouve un reste nul. Ainsi : PGCD (7 856 ; 468) = 4. Cned, Mathématiques 3 e 45

21 Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d exercices. EXERCICE Exprime le nombre E = + sous la forme d une fraction irréductible Tu détailleras tes calculs. EXERCICE 28 On souhaite déterminer le PGCD de et de à l aide d un tableur. a) Commence par obtenir ce qui suit sur ton écran : b) Lorsqu on tape dans une cellule : «= MOD (A2 ; B2)», il s affiche le reste de la division euclidienne de A2 par B2. Quelles formules doit-on écrire dans les cellules A3 et B3? c) Etends les formules vers le bas de façon à obtenir le PGCD de et Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 6. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche. 46 Cned, Mathématiques 3 e

22 Séance 8 Je résous des problèmes Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d exercices. EXERCICE a) Choisis deux entiers consécutifs (c est-à-dire «qui se suivent»). Sont-ils premiers entre eux? Choisis deux nouveaux entiers consécutifs. Sont-ils à nouveau premiers entre eux? Choisis encore deux entiers consécutifs. Sont-ils premiers entre eux? b) Peux-tu émettre une conjecture? 2- a) Essaie pendant dix minutes de démontrer la conjecture que tu as établie dans la question précédente. b) Andry et Aurélie essaient aussi de démontrer leur conjecture. Voici où ils en sont dans leur recherche. Andry essaie d utiliser la propriété : «Si d est un diviseur commun à deux entiers alors il divise leur différence». Aurélie essaie d utiliser la propriété : PGCD(m ; n) = PGCD(n ; m n) (m n) Essaie d utiliser les idées d Andry ou d Aurélie afin de démontrer ta conjecture La fraction est-elle irréductible? EXERCICE 30 Problème : le nombre n² n + 11 est-il premier pour n importe quelle valeur de n? 1- Essaie de résoudre le problème ci-dessus pendant 10 minutes. 2- Fais des tests pour diverses valeurs de n. Aide-toi d un tableur pour faire le plus de tests possibles. Emets une conjecture. 3- Calcule n² n + 11 pour n = 11 et réponds au problème. Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n 7. Effectue ensuite la série 2 de cette fiche. Cned, Mathématiques 3 e 47

23 Séance 9 J effectue des exercices de synthèse Prends ton cahier d exercices et effectue les deux exercices ci-dessous. EXERCICE 31 Problème : la phrase suivante est-elle juste : «plus un entier est grand, plus il admet de diviseurs»? Réponds au problème ci-dessus. EXERCICE 32 Le père de Nadia décide de planter des arbres tout autour d un terrain rectangulaire de 112 m sur 98 m. Il souhaite qu ils soient régulièrement espacés, que la distance en m séparant deux arbres soit un nombre entier et qu il y ait un arbre à chaque coin du terrain. Quel nombre minimum d arbres doit-il acheter? Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement, puis entoure en rouge les bonnes réponses. 48 Cned, Mathématiques 3 e

24 JE M ÉVALUE 1-56 a autant de diviseurs que est un nombre premier. vrai faux vrai faux 3- Le PGCD de 288 et 64 est : Les nombres 77 et 121 sont premiers entre eux. vrai faux 4- Si m et n sont des entiers tels que : m = n + 36 et 18 est un diviseur de m alors 18 est un diviseur de n. vrai faux 6- La fraction vrai faux est irréductible. 7- Le nombre est un entier relatif. 8- Le nombre 7 ( ) est décimal. vrai faux vrai faux 9- Les nombres 1,64 et 10 4 sont rationnels. vrai faux 10- L aire en cm 2 du triangle ABC ci-contre est un entier naturel vrai faux Cned, Mathématiques 3 e 49