DS9 Physique PCSI 18 mars heures

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1 DS9 Physique PSI 8 mars 8-3 heures Problème I : Le système étudié est n, mole de gaz supposé parfait diatomique (γ,4) ide Piston de masse m Initialement, il est à la température 3K, à la pression P atm et occupe la moitié du volume total du cylindre. Gaz R Parois calorifugées idéales Pour le cylindre : Section S - m Hauteur totale H Pour le piston : Masse m (on prendra gm.s - ; R8,34 S.I et atm 5 Pa ) On fournira systématiquement une expression littérale suivie de son application numérique. Préliminaire a. définir la capacité thermique à volume constant v. b. Donner l expression de v en fonction de n, R et γ dans le cas du gaz parfait. (faites l application numérique pour le système considéré) c. Quelle est la relation pour le gaz parfait entre du (U étant l énergie interne) et d?. Etude de l état initial : (P,, ) Le piston n étant pas bloqué pour cet état d équilibre initial, déterminer la masse m du piston ainsi que la hauteur totale H du cylindre. Dans les applications littérales suivantes, les seuls paramètres d état utilisés pour le gaz seront : P,,,, v et γ. 3. ransformation isochore : a. On bloque le piston à mi-hauteur du cylindre. On fait alors passer un courant continu d intensité I,A dans la résistance RΩ. Déterminer la durée nécessaire afin d amener le gaz dans un état B correspondant à une température 4K. b. Déterminer alors tous les paramètres de cet état B en fonction de P,, et Eric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorient Page /

2 4. Détente du gaz : Aucun courant ne passe désormais dans la résistance. On débloque le piston. elui-ci est alors susceptible de se déplacer. Première hypothèse : Un dispositif non schématisé impose au piston de se déplacer lentement. a. Justifier le fait que l on puisse appliquer la loi de Laplace à cette transformation. Enoncez cette loi. b. Déterminer les paramètres de l état (P,, ) correspondant à l état d équilibre final du gaz. (on notera la température) c. érifiez que 368,5K, 6,4L d. En déduire l expression du travail W B des forces de pression au cours de cette transformation. e. Déterminer la variation d entropie pour le gaz. En déduire le caractère réversible ou non de la transformation Seconde hypothèse : On permet maintenant au piston de se déplacer brutalement. f. A quelle pression extérieure se fait la transformation? Quelle est la pression pour l état d équilibre final? g. Déterminer la température du gaz en h. Déterminer la variation d entropie pour le gaz, en fonction de n, R, γ, ', et. Faire l application numérique. En déduire le caractère réversible ou non de la transformation 5. ransformation isochore : On considère que la transformation précédente a été quasi-statique ( le gaz est donc dans l état ) On bloque le piston dans sa position atteinte en. On enlève les protections thermiques autour des parois du cylindre de sorte que celles-ci deviennent diathermes. On plonge ce cylindre dans un bainmarie de température. a. Déterminez les caractéristiques de l état D d équilibre thermodynamique. b. Déterminez les expressions des transferts W D et Q D. c. Déterminer la variation d entropie pour le gaz. En déduire le caractère réversible ou non de la transformation 6. Retour à l état initial : On débloque alors le piston. On lui impose de se déplacer lentement. Le gaz revient donc à son état initial. a. Qualifiez la transformation pour le gaz b. Déterminez les expressions des transferts W DA et Q DA. 7. Bilan énergétique : On considère le gaz ayant subit les transformation décrites ci-dessus en passant par les états A, B,, D puis à nouveau A. a. que pouvez vous dire de la variation totale d énergie interne pour le gaz? b. Représentez qualitativement les transformation AB, B, D et DA sur le diagramme de lapeyron c. Quel a été le travail total reçu par le piston? d. Déterminez le signe du travail reçu par le système au cours d un cycle. Le système est-il un moteur? Eric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorient Page /

3 Problème : On considère un cylindre de section S fermé par un piston considéré sans masse et contenant une mole de gaz parfait monoatomique. On dispose d autre part de deux sources idéales aux températures : F 5 K (source froide) et 5 K(source chaude) La pression extérieure est P. 8K ;..( 4) γ ; P atm Description du cycle :,, B. P,,, on comprime progressivement le gaz en contact avec la source froide Entre A( P ) et ( ) B jusqu à arriver à une pression P. On considèrera la transformation isotherme et quasistatique. Arrivé à l état B, on bloque le piston. On place le cylindre en contact avec la source chaude. La durée de contact permet au gaz d atteindre la température correspondant à l état. On détend alors le gaz suffisamment rapidement pour négliger tout transfert thermique avec les sources, mais assez lentement pour considérer la transformation comme quasistatique jusqu en D ( P, D, D ). On place enfin le cylindre avec le piston libre en contact avec la source froide. On attend l équilibre thermodynamique.. Représenter le cycle dans le diagramme de lapeyron, ainsi que les isothermes correspondant aux sources chaude et froide.. Déterminer les variables d états des différents états intermédiaires (expression littérale et application numérique) en fonction de, P et. 3. Pour chacune des transformations, Faites un bilan des transferts d énergie pour le système. 4. Déterminer l expression de la variation d entropie puis de l entropie crée pour la transformation AB 5. Effectuer de même un bilan entropique pour la transformation DA. 6. Rendement du moteur a. Définir pour cycle les transferts Q F avec la source froide et Q avec la source chaude en fonction éventuellement des transferts thermiques Q AB, Q B, Q D et Q DA. b. Définir le rendement η d un moteur, déterminer son expression en fonction de Q F et Q. F c. Montrer que ce rendement est tel que η. d. alculer le rendement pour le moteur étudié. érifier la relation ci-dessus. e. Proposer un cycle décrit dans le diagramme de lapeyron pour un gaz parfait permettant d obtenir le rendement maximum. Eric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorient Page 3 /

4 Problème III R - AO r α - r AO s (t) s (t) On admet que l AO fonctionne en régime linéaire. Les deux AO ont les mêmes valeurs de uration ±. Détermination du potentiel à l entrée non inverseuse de l AO, noté. a. Exprimer la relation entre s (t) et s (t), R et, dans l hypothèse du fonctionnement en régime linéaire et sous réserve que s ne dépasse pas la valeur de uration. b. Montrer que s (t) est nécessairement continue. c. Exprimer le potentiel en fonction de s (t), s (t) et α.. A l instant t, on place le condeneur déchargé dans le circuit.. a. Pour t ( ) s t, donner la valeur de ( s ) t t et en déduire l expression de ( ) en fonction de. En déduire que l état de la sortie de l AO peut être ±. on choisira la valeur de s (t) pour t > égale à. b. Déterminer la condition sur s, en fonction de α et afin que le potentiel à la sortie de l AO bascule à un instant t ( que l on ne demande pas de déterminer ici). Discuter selon les valeurs de α de cette hypothèse. c. On prend α ( valeur permettant le basculement). En déduire l expression de l instant t pour lequel il y aura basculement à la sortie de l AO. 3. Durée d un créneau : On étudie alors le circuit pour t > t. a. Remplir le tableau suivant en donnant les valeurs en fonction de, pour α. ( à recopier sur votre feuille) s ε s - t t t t b. En déduire l expression de s (t) puis de (t) pour t > t. c. Déterminer l expression de l instant t pour lequel il y aura à nouveau basculement. En déduire la durée du créneau. 4. Représentation des signaux : Représenter entre les instants et t les signaux s (t) et s (t), en prenant les valeurs suivantes : R MΩ ; µf ; r kω et α. Eric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorient Page 4 /

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6 orrection DS 9 Problème I (/5,5). Préliminaires : a- v U b- v n.r AN : v 4,6 J.K - γ c- du v. d I. Etude de l état initial Equilibre mécanique du piston : donc m S.P g AN : mkg Equation d état pour le GP : P.n.R. or S. H AN : Hm.n.R. donc H S.P P.S. u z -m.g. u z II. ransformation isochore a- Pour une transformation isochore, δq du donc δq v.d soit Q v.( - ) D autre part Q correspond à la perte d énergie W él par effet Joule de la résistance W él R.I. t v.( - ) donc t.( ) v AN : t 6 min 56sec R.I.P b- B III. Détente du gaz : III.. Première hypothèse a- Déplacement lent : transformation quasi-statique Parois calorifugées : transformation adiabatique Fluide : gaz parfait Loi de Laplace P. γ te b- Equilibre mécanique du piston : P P On applique donc la loi de Laplace, ce qui donne γ. Equation d état donne alors γ. AN : 368 K γ c- Premier principe : UWQ avec Q ici donc W B v. -33 J d- Pour un gaz parfait, S. ln n.r. ln En remplaçant par les expressions trouvées en a et b, il vient que Eric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorient Page 6 /

7 S. ln γ n.r. ln γ nr γ. γ.ln γ n.r. γ ln Or il n y a pas d échange thermique avec une source : S e Donc S c S S e la transformation est réversible. III.. Seconde hypothèse a- Pression extérieure est alors la pression exercée par le piston sur le gaz : P. P c P b- Premier principe : W U v.( - ) -P.( - ) L équation d état du gaz parfait donne : à l état initial A : P. n.r. à l état : P. n.r. Soit, comme P nr : v.( - ) - n.r. n.r. donc ( γ ). γ 37 K ' c- S. ln n.r. ' ln AN : S,7 J.K -.kg -. (.ln γ ). γ sans AN, on pouvait conclure : S P.ln -.ln ' ' ' > γ.ln ln or S e. La transformation est donc ici irréversible. S > P.ln >.ln soit ln ' n. R. ' n.r.ln P. '. ln. n.r.ln ' >.ln γ ' ln >. ln Or >. donc S > I. ransformation isochore : γ a- D. Equilibre thermique D Equation d état : P D γ.p b- ransformation isochore donc W D et Q D v.( - ) v.. γ. Retour à l état initial a- transformation monotherme quasi-statique : isotherme b- U donc W DA -Q DA or δw DA -P.d car P ext P et PnR soit W DA -n.r..ln -n.r..ln W DA n.r..ln et Q DA -W DA γ I. Bilan énergétique a- U fonction d état U tot b- γ c- W tot W AB W B W D W DA v. n.r. γ.ln d- cycle parcouru dans le sens horaire : cycle moteur ou AN : W tot -7,6J W tot < moteur γ P A B D Eric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorient Page 7 /

8 Problème II P A P.P isotherme B isochore 4 γ.p P adiabatique D.. 3. Bilans d énergie ransformations quasistatiques d un gaz parfait : P ext P Gaz parfait U. AB : isotherme quasi statique: d U AB et W AB - Q AB n.r.. n.r..ln B : isochore : W B et Q B U B..( 4 γ ) D : adiabatique : Q D et W D U D..(- 4 γ ) B A D DA : monobare : Q DA - P. et U -. donc W DA n.r. d d 4. ransformation isotherme d un gaz parfait. D après l identité thermodynamique ds nr. Soit ici S nrln. Or S Donc e AB S AB δq nr.. Ln QAB c AB S F F nr Ln > F.. la transformation est donc irréversible. A 5. Pour la transformation DA : SDA P. Ln ( car on peut écrire l I sous forme dh. ds. dp ). e δq Or SDA. P. ( A D ) F F On obtient une entropie crée positive : la transformation est irréversible. 6. a- Q F Q DA Q AB et Q Q B. W QF b- η or sur un cycla W QF Q donc W W QF Q soit η Q Q δq δqf Q QF c- l inégalité de lausius : soit ici avec des sources idéales : F F QF F e qui donne Q et QF F Q soit η F D Eric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorient Page 8 /

9 γ. Ln. γ d- Q F - n.r..ln - P. et Q.( - ) donc η. γ ( γ ). Ln γ.( ) η AN : η,48 ( ) Or η carnot,8 cohérent 6. cycle de carnot fonctionnant entre les sources F et. ( ) ( ) Problème III. Détermination du potentiel à l entrée non inverseuse de l AO, noté. s jω. s a. pour l AO : R et or régime linéaire pour l AO idéal : ε donc : jω R s s soit pour les grandeurs physiques s. s. dt R jω R. b. u c s (t) donc s est nécessairement continue car il y a continuité de la tension aux bornes d un condeneur s. α s c. r r α. s s α α r r. A l instant t, on place le condeneur déchargé dans le circuit.. a. Pour t ( ) t, ( s ) t ( s ) ( u c ) d après le.c. α A la sortie, la valeur est indifféremment ou. On peut choisir pour la suite de l étude s b. On doit obtenir, soit s. Or s ne peut jamais dépasser donc α >. α α c. On prend α ( valeur permettant le basculement). En déduire l expression de l instant t pour lequel il y aura basculement à la sortie de l AO. d après le.a : s. t or s R donc t est tel que ( ) s ε t soit s α α R donc t α 3. Durée d un créneau : On étudie alors le circuit pour t > t. a. Remplir le tableau suivant en donnant les valeurs en fonction de, pour α. ( à recopier sur votre feuille) t t t t s - ε - Eric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorient Page 9 /

10 b. s ( t t ) s α α R α d après la valeur à t. donc on en déduit de α. s s α c. t pour lequel( ) t donc ( t t ) ( ) ε soit ( ).. s ( t t ) t R α α.r durée du créneau.. α Représentation des signaux : Représenter entre les instants et t les signaux s (t) et s (t), en prenant les valeurs suivantes : R MΩ ; µf ; r kω et α. R alors t 5 s Eric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorient Page /