BREVET DES MÉTIERS D ART ÉBÉNISTE

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1 Le matériel autorisé comprend toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu il ne soit pas fait usage d imprimante BREVET DES MÉTIERS D ART ÉBÉNISTE Mathématiques et Sciences Appliquées Session 2013 Toutes académies Brevet des Métiers d Art : Ebéniste Session 2013 C3 Mathématiques et sciences appliquées Coefficient : 2 Durée : 3h 1/ 10

2 Partie Mathématiques (24 points) Un atelier d ébénisterie réalise et commercialise un modèle de table basse avec des insertions de marqueterie. Représentation du plateau de la table basse BMA Ebéniste Mathématiques Sujet 2/10

3 Première partie : Etude du contour et du décor du plateau (12,5 points) Partie A : Tracé du contour du plateau délimité par l arc BAC (8,5 points) 1. L arc BAC est la représentation graphique sur l intervalle [-50 ; 50] de la fonction f définie par : f (x) = a x 2 + c. Sachant que l arc BAC passe par les points A de coordonnées (0 ; 125) et C de coordonnées (50 ; 0), déterminer la valeur des coefficients a et c. En déduire l expression de f (x). 2. Soit la fonction f définie par f (x) = 0,05 x sur l intervalle [- 50 ; 50] et C f sa représentation graphique On note f ' la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer l expression de f '(x) Etudier le signe de f '(x) sur l intervalle [-50 ; 50] Compléter le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [-50 ; 50] sur l annexe Compléter le tableau de valeurs de la fonction f sur l annexe 1. Arrondir les résultats à l unité Tracer, dans le repère orthogonal fourni en annexe 2, la courbe C f représentant la fonction f. Placer les points B et C d intersection de la courbe C f et de l axe des abscisses. Partie B : Tracé des contours des différents placages composant le plateau (4 points) La limite inférieure de la surface avec placage merisier est modélisée par la fonction g définie par g(x) = Tracer, dans le même repère orthogonal fourni en annexe 2, le segment de droite représentant la fonction g sur l intervalle [-50 ; 50]. 2. Déterminer graphiquement les coordonnées des points E et F, points d intersection des courbes représentatives des fonctions f et g. 3. Résoudre, par le calcul l équation, 0,05 x = 90 dans l intervalle [- 50 ; 50]. Arrondir les solutions au dixième. Que représentent les solutions trouvées? 4. Tracer les segments [EG] et [FH], les points G et H étant obtenus par projection orthogonale des points E et F sur l axe des abscisses. 5. Tracer, dans le repère précédent, les deux demi-cercles délimitant la surface inférieure plaquée en noyer. Ces demi-cercles sont centrés en O et de diamètres respectifs [BC] et [GH]. BMA Ebéniste Mathématiques Sujet 3/10

4 Deuxième partie : Calcul de l aire de chacun des placages composant le plateau (4,5 points) Tous les résultats seront exprimés en cm 2 et arrondis à l unité. 1. Calculer l aire de la surface en noyer, délimitée par les deux demi-cercles de diamètres [BC] et [GH]. 2. Calculer l aire totale de la surface plaquée en hêtre. 3. Sachant que l aire de la surface délimitée par la courbe C f et l axe des abscisses vaut 8333 cm², calculer l aire totale des trois parties plaquées en merisier. Troisième partie : Etude de l angle entre le plateau et les pieds de la table (7 points) Les pieds de la table basse sont inclinés par rapport à la verticale. Soient les points G, H, I et J de coordonnées respectives dans le repère orthogonal (Ox ; Oy) : G (- 26,5 ; 39), H (26,5 ; 39), I (- 34,1 ; 0) et J (34,1 ; 0). On cherche à déterminer la valeur de l angle IGH. 1. Calculer les coordonnées des vecteurs GI et GH. 2. Calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs : GI GH. 3. Calculer les normes des vecteurs GI et GH. Exprimer les résultats arrondis au dixième. 4. En déduire la valeur de l angle IGH arrondie à l unité. BMA Ebéniste Mathématiques Sujet 4/10

5 Partie Sciences physiques (16 points) Exercice 1 : Fonctionnement d un vidéo projecteur (7,5 points) Un vidéoprojecteur est installé sur un stand lors d un salon pour présenter un diaporama des différentes réalisations d un atelier d ébénisterie. Le vidéo projecteur utilise une lentille convergente de distance focale OF = 9 cm. 1. Un objet AB de hauteur 5 cm est placé à 14 cm devant la lentille. 1.1 Sur l annexe 3 (schéma à l échelle ) : - placer le foyer objet F et le foyer image F. - Construire l image A B de l objet AB. 1.2 Déterminer graphiquement les mesures algébriques OA et A B 1.3 L image obtenue est-elle réelle ou virtuelle? Droite ou renversée? 2. A l intérieur du vidéo projecteur, les photos de meubles défilent sur un petit écran LCD. On veut déterminer la position de l écran LCD par rapport à la lentille afin d obtenir une image nette sur un mur situé à 3 m à droite de la lentille. 2.1 Donner les valeurs de OF et OA. Exprimer les résultats en centimètre. 2.2 En utilisant la relation de conjugaison, calculer OA. Exprimer le résultat en centimètre et arrondi au dixième. 3. Les photos de meubles ont pour dimension 2,4 cm sur 3,6 cm. En utilisant la formule du grandissement, calculer les dimensions des images se formant sur le mur. Exprimer les résultats en centimètres et arrondis au dixième. Formulaire d optique Lois de DESCARTES : Loi de la réflexion : i = r Loi de la réfraction : n 1 sin î 1 = n 2 sin î Formule de conjugaison : OA' OA OF' A ' B' OA' Grandissement : g = AB OA Vergence : C = f BMA Ebéniste Mathématiques Sujet 5/10

6 Exercice 2 : Emission de CO 2 (6,5 points) Les véhicules essences utilisent comme combustible principalement l isooctane. 1. L'isooctane C 8 H 18 est le 2,2,4-triméthylpentane 1.1 Ecrire sa formule semi-développée Recopier et équilibrer la réaction de combustion suivante.. C 8 H O 2.. CO 2 +. H 2 O 2. Une voiture consomme 7 litres d isooctane au 100 km Sachant que la densité de l'isooctane est de 0,684 (1 litre a pour masse 684g). Calculer la masse d'isooctane brulée en 100 km Calculer la masse molaire de l'isooctane Calculer le nombre de moles d'isooctane brulées en 100 km D après la réaction, en déduire le nombre de moles de CO 2 produites Calculer la masse molaire du CO 2 et la masse de CO 2 produite en 100 km La publicité de la voiture dit qu elle produit moins de 150g de CO 2 au km, est-ce vrai? Données : M (C) = 12 g/mol ; M (H) = 1 g/mol ; M(O) = 16 g/mol n = m M n: quantité de matière en mol m: masse en g M: masse molaire en g/mol Exercice 3 : Longueur d onde et couleur (2 points) Une radiation lumineuse a une fréquence de 6, Hz. 1. Calculer sa longueur d'onde en mètre. Convertir cette valeur en nanomètre (nm) et exprimer le résultat arrondi au centième. 2. En déduire la couleur correspondante. Données : λ=c.t T = f 1 nm= 10-9 m c = m/s Désignation Violet Indigo Bleu Cyan Vert Jaune Orange Rouge Longueur d onde (nm) 520 BMA Ebéniste Mathématiques Sujet 6/10

7 Annexe 1 Tableau de variation de la fonction f x Signe de f '(x) f (x) Tableau de valeurs de la fonction f x f (x) 80 BMA Ebéniste Mathématiques Sujet 7/10

8 Annexe 2 Echelle 1/10 y O BMA Ebéniste Mathématiques Sujet 8/10

9 Annexe 3 BMA Ebéniste Mathématiques Sujet 9/10

10 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES Fonction f Dérivée f Relations métriques dans le triangle rectangle f (x) f (x) A ax + b a AB 2 + AC 2 = BC 2 x 2 2x x 3 3x 2 B C 1 H 1 x x 2 sin B= AC BC ; cos B = AB BC ; tan B = AC u(x) + v(x) u'(x) + v'(x) AB a u(x) a u'(x) Equation du second degré ax 2 + bx + c = 0 = b 2 4ac - Si 0, deux solutions réelles : x 1 = b + et x 2a 2 = b 2a - Si = 0, une solution réelle double : x 1 = x 2 = b 2a - Si < 0, aucune solution réelle Si 0, ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) Calcul vectoriel dans le plan v. v = xx + yy v = x 2 + y 2 Si v 0 et v 0 : v. v = v v cos( v, v ) v. v = 0 si et seulement si v v Résolution de triangle a b c sin = A sin = B sin = 2R C R : rayon du cercle circonscrit a² = b² + c² 2bc cos A Aires dans le plan Triangle : 1 2 bc sin A Trapèze : 1 2 ( B +b)h Disque : R 2 Aires et volumes dans l'espace Cylindre de révolution ou prisme droit d'aire de base B et de hauteur h : Volume Bh Sphère de rayon R : Aire : 4 R 2 Volume : 4 3 R 3 Cône de révolution ou pyramide de base B de hauteur h : Volume 1 3 Bh et BMA Ebéniste Mathématiques Sujet 10/10