Opérations sur les nombres entiers. Définitions Le résultat d une addition est une somme. Les nombres que l on additionne sont les termes de la somme.

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1 Chapitre 1 Opérations sur les nombres entiers I. Définitions et propriétés 1. Addition Définitions Le résultat d une addition est une somme. Les nombres que l on additionne sont les termes de la somme = 23 les termes de la somme la somme 2. Soustraction Définitions Le résultat d une soustraction est une différence. Les nombres qui figurent dans la soustraction sont les termes de la différence = 15 les termes de la différence la différence

2 Propriété (sens de la soustraction) La différence de deux nombres est le nombre qu il faut ajouter au plus petit pour obtenir le plus grand = est le nombre qu il faut ajouter à 13 pour obtenir est donc égal à Multiplication Propriété (sens de la multiplication par un entier) Additionner 7 fois le même nombre revient à multiplier ce nombre par = 7 9 = 63 7 termes Définitions Le résultat d une multiplication est un produit. Les nombres qui figurent dans la multiplication sont les facteurs du produit = 473 les facteurs du produit le produit

3 Propriétés Le produit d un nombre quelconque par 0 est toujours égal à = 0 Le produit d un nombre quelconque par 1 est égal à lui-même = 913 Quand on multiplie un nombre : par 10, le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines, par 100, le chiffre des unités devient le chiffre des centaines, par 1 000, le chiffre des unités devient le chiffre des milliers. Pour multiplier par on déplace les chiffres de on décale la virgule de 10 1 rang rangs rangs vers la gauche vers la droite 0,43 10 = 4, = 36, = , = 9, = 9 320

4 4. Division euclidienne Définition Effectuer la division euclidienne d un nombre entier, appelé le dividende, par un nombre entier non nul, appelé le diviseur, c est trouver deux nombres entiers, appelés le quotient et le reste, tels que : dividende = diviseur quotient + reste avec reste < diviseur Un père veut partager équitablement 21 billes entre ses quatre enfants. Utilise le schéma ci-dessous pour t aider à répondre aux questions suivantes. 1. Combien de billes doit-il donner à chacun? 5 2. Combien lui restera-t-il de billes? 1 On écrit : 21 = Remarque Si le père a trois enfants, il donnera 7 billes à chacun et il ne lui en restera pas. En effet : 21 = 3 7. Dans ce cas, on peut écrire : 21 3 = 7. On dit que 21 est divisible par 3.

5 II. Calcul d'une expression comportant des parenthèses Règle Si une expression comporte des parenthèses, on effectue d abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures. A = 3 (7 + 2) B = (3 + 7) (9 4) A = 3 9 B = 10 5 A = 27 B = 50 C = [15 (8 + 3)] 7 C = (15 11) 7 C = 4 7 C = 28 Remarque Dans certains cas, il est inutile d écrire les parenthèses. Voici six calculs effectués à l aide d une calculatrice = = = = = = 34 Dans chaque cas, la calculatrice a effectué la multiplication en premier : on dit que les multiplications sont prioritaires sur les additions et les soustractions.

6 Règle Dans un calcul écrit sans parenthèses, on effectue d abord les multiplications, et ensuite les additions et les soustractions = = 23 III. Propriétés (admises) utiles pour le calcul mental ou en ligne Dans une addition, on peut changer l ordre des termes. Dans une multiplication, on peut changer l ordre des facteurs = = 8 3 Ceci permet d effectuer du calcul astucieux : = = = = = = = = 170 Attention : dans une soustraction, on ne peut pas modifier l ordre des termes : on écrit d abord le terme le plus grand.

7 Application à la multiplication par 5, par 25, par = = = = 120 Pour multiplier un nombre par 5, on peut diviser le nombre par 2, puis multiplier le résultat obtenu par = = = = 600 Pour multiplier un nombre par 25, on peut diviser le nombre par 4, puis multiplier le résultat obtenu par = = = = 1200 Pour multiplier un nombre par 50, on peut diviser le nombre par 2, puis multiplier le résultat obtenu par 100. Lorsqu on multiplie une somme (ou une différence) par un nombre, cela revient à multiplier chacun de ses termes par ce nombre = 8 (10 + 3) = (8 10) + (8 3) = = = 7 (20 1) = = = 133 Lorsqu on divise une somme (ou une différence) par un nombre, cela revient à diviser chacun de ses termes

8 par ce nombre = ( ) 8 = (400 8) + (56 8) = = = (700 77) 8 = (700 7) (77 7) = = 89 n est un nombre. Diviser un nombre par n revient à diviser ce nombre par des diviseurs de n dont le produit est égal à n. 12 = = [(504 2) 2] 3 = (252 2) 3 = = 42 Pour rendre une soustraction plus simple, on peut ajouter ou soustraire un même nombre à ses deux termes = ( ) ( ) = = = (523 23) (67 23) = = 456