Bases de la méthode de Monte-Carlo pour l intégration de fonctions à plusieurs variables

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1 Bases de la méthode de Monte-Carlo pour l intégration de fonctions à plusieurs variables Calcul de π par la méthode de Monte-Carlo simple Figure On cherche à calculer l aire du quart de cercle en gris. On considère dans le plan le quart de cercle de rayon unité inscrit dans le carré de coté unité (voir figure à gauche). L aire du quart de cercle en gris est notée A et elle vaut π/4. Si on choisi un point au hasard dans le carré, la probabilité P que ce point soit dans le quart de cercle vaut : P = Aire grisée Aire du carré = π/4 = π 4. Si l on choisit N points au hasard dans le carré et que si I points sont à l intérieur du cercle alors le rapport I/N est une valeur approchée de la probabilité P : I points dans l aire grisée N points dans le carré = I N P = π 4 = A. () où Calculer l aire du quart de cercle revient à calculer l intégrale A = dx dy f(x, y) (2) f(x, y) = si x 2 + y 2 < et sinon. (3) Notations On appelle variable aléatoire P i = (x, y) un point choisi au hasard dans le carré unité de la figure. On note f i = f(p i ) qui vaut si P i est dans le quart de cercle (en grisé sur la figure ) et sinon. On note f la moyenne définie par : f N f i. (4) On pourrait démontrer que : lim f = lim N N N I f i = lim N N = A = π 4.

2 Lorsque l on fait le calcul avec N points, on démontre que le résultat exact A a 95% de chance d être dans l intervalle [ f ε, f + ε ] (appelé intervalle de confiance à 95% ou à 2 sigma) si on défini l incertitude ε par : avec la variance empirique σ 2 donnée par : σ 2 = N ε = 2σ N, (5) (f i f) 2. (6) Enfin, pour calculer une approximation de π et de l incertitude ε on calculera π approx = 4( f ± ε). Exercice : En utilisant la fonction rand() écrire une fonction qui permet de calculer π ainsi que l incertitude ε. Pour cela, créez une fonction pimc qui renverra un Programme L instruction rand() permet de tirer un nombre aléatoirement entre et. double rand () { return (double)rand() / ((double)ran_max +.) ; } double (la valeur approchée de π). Ses paramètres seront N et un paramètre supplémentaire eps passé par variable (double * eps) qui renverra la valeur de l incertitude. Pour des raisons d efficacité, les calculs de f (eq. 4) et σ (eq. 6) doivent être effectués dans une seule boucle. Or la formule 6 dépend de f qui est justement en train d être calculée. On remplacera donc f par sa valeur approchée : si la variable de boucle est appelé i, si in compte le nombre de points à l intérieur, alors il faudra remplacer f dans l équation (6) par (double) in / (double) i. Tester ce programme avec différentes valeurs de N : afficher π approx et ε. ans la majorité des cas la valeur exacte de π devrait être comprise entre π approx +ε et π approx ε. Avec N = vous devriez avoir une erreur relative ε/π approx de l ordre de %. Calcul du volume de l hypersphère unité en dimensions : Le volume de l hypersphère unité en dimensions (noté V ) est la généralisation des notions de : = : longueur d un segment [AB], de centre O tel que OA = : V = 2 = 2 : aire du cercle de rayon : V 2 = π 2

3 où = 3 : volume de la sphère de rayon : V 3 = 4π 3 V peut-être calculé en généralisant la formule (2) : V = dx dx 2... dx f(x, x 2,..., x ) (7) f(x, x 2,..., x ) = si x 2 + x x 2 < et sinon. (8) On peut démontrer que : avec V = Γ(z) π /2 Γ(/2 + ) = ez z z 2π π π (9) dθe zφ(θ) () où : si θ, θ π et θ π alors φ(θ) = θ ( ) tan θ + ln θ sin θ () si θ = alors e zφ(θ) = (2) si θ = ±π alors e zφ(θ) =. (3) Exercice 2 : Écrire une fonction double vol(int ) pour calculer le volume V. Pour calculer l intégrale () vous allez utiliser la méthode d intégration de Simpson vue en T. Remarquez bien que l équation () n est pas défini si θ =, ±π. Ainsi il faudra tester :. si θ (en pratique on testera si θ < 6 ), e zφ(θ) vaut ;. si θ ±π ( θ π < 6 ou θ + π < 6 ), e zφ(θ) vaut. Tester cette fonction en calculant le volume pour entre et 7 sachant que les résultats exacts sont les suivants : = : V = 2, = 2 : V 2 = π, = 3 : V 3 = 4 3 π, = 4 : V 4 = 2 π2, = 5 : V 5 = 8 5 π2, = 6 : V 6 = 6 π3, = 7 : V 7 = 6 5 π3. Par la suite lorsqu on parlera du calcul exact de V il s agira du calcul grâce à cette intégrale car en principe, la précision atteinte peut être de 5 avec un nombre raisonable de points d intégration. On se servira de cette classe dans la partie suivante pour comparer avec les résultats du Monte-Carlo. Méthodes de Monte-Carlo : On veut calculer V, le volume de l hypersphère à dimensions en utilisant 3

4 directement la formule : V = où dx dx 2... dx f(x, x 2,..., x ) = 2 dx dx 2... (4) f(x, x 2,..., x ) = si x 2 + x x 2 < et sinon. (5) Pour intégrer une fonction à variables, une méthode directe réalisant les intégrations s avère trop coûteuse en temps et mémoire lorsque est trop grand. ans ce cas, on préférera utiliser la méthode de Monte-Carlo. Comme précédemment, on note P i = (x, x 2,..., x ) un point de l espace à dimensions, telle que chacune des coordonnées soient choisies au hasard entre et (P i est un point de l hypercube unité). On note f i = f(p i ) (qui vaut si P i est dans l hypersphère unité et sinon). Ainsi, f i = si : r 2 = x 2 k = x 2 + x x 2 <. (6) k= Par rapport au cas du quart de cercle, pour trouver le volume V il faut multiplier par un facteur 2 (qui correspond au facteur 4 du calcul de l aire d un cercle complet). On pourrait démontrer que : f = N f i (7) V approx = 2 f (8) et l incertitude ε = 2 2σ N (9) dx f(x, x 2,..., x ) avec σ 2 = N (f i f) 2 (2) Exercice 3 : Calculer V par la méthode de Monte Carlo ainsi que l incertitude. Pour cela, créez une fonction VMC qui renverra un double (la valeur approchée de V ). Ses paramètres seront, N et un paramètre supplémentaire eps passé par variable (double * eps) qui renverra la valeur de l incertitude. Tester ce programme avec différentes valeurs de N et de ; afficher V approx et ε et comparer avec le résultat exact (en tout cas très précis) obtenu par intégration (fonction vol de l exercice 2 si vous l avez fait). ans la majorité des cas (si N est suffisamment grand) la valeur exacte devrait être comprise dans l intervalle V approx ±ε. Avec N = vous devriez 4

5 avoir une erreur relative ε/v approx qui ne dépasse pas 5% jusqu à = dimensions. Écrivez rapidement dans un commentaire du programme quelques remarques concernant vos résultats, la vitesse, la précision de l algorithme, etc. Remarque : L expression exacte de σ 2 est σ 2 exact = V 2 ( V ) 2. (2) En calculant V exacte (exercice 2) vous pouvez vérifier que votre Monte Carlo donne bien une expression approchée de l incertitude ε si N est suffisamment grand. Présentation des résultats On présentera avec le logiciel xmgrace ou gnuplot les résultats en fonction du nombre de dimensions allant de à 2. Pour faire ces graphes, vous utiliserez les techniques habituelles d écriture dans un fichier. Vous allez créer deux fichiers à trois colonnes : Vex.dat contiendra et les résultats exactes, V (ex. 2) et l incertitude exacte calculée grâce à la variance exacte eq. 2. VMC.dat contiendra et les résultats Monte-Carlo, V et l incertitude approchée (ex. 3). Afficher les deux lots de données avec les barres d erreurs. Si le programme est correct, la majorité des points de la courbe exacte devrait passer à l intérieur des barres d erreurs (sauf quand est grand et N trop petit).. Si les machines sont trop lentes n utilisez pas un N aussi grand! 5