Cours Acoustique. Analyse des signaux. D. Duhamel

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1 Cours Acoustique Analyse des signaux D. Duhamel 1

2 Domaines de représentation des signaux Buts : caractériser les signaux, visualiser et extraire les propriétés des systèmes, interpréter les résultats d essais et de simulations numériques. domaine temporel représentation de base fonction de corrélation transformation de Hilbert domaine fréquentiel évaluation directe de la périodicité ou non des phénomènes évaluation de la distribution de l énergie en fonction de la fréquence développement en séries de Fourier transformation de Fourier domaine temps-fréquence évaluation de la stationnarité ou non des phénomènes évaluation de la distribution de l énergie en fonction du temps et de la fréquence transformation en ondelettes

3 Classification des signaux déterministes permanents stationnaires signaux aléatoires transitoires non-stationnaires signaux déterministes à énergie finie signaux de puissance finie (théorie) lim T 1 T + T T < < a cos( ω Signaux périodiques x ( t + T) Signaux non-périodiques signaux continus signaux discrets n ) n ε n +ε δ ( 3

4 Domaine temporel amplitude temps 4

5 fonction d autocorrélation Domaine temporel signal déterministe à énergie finie < R xx ( τ) t τ) t + τ) mesure des dépendances internes du signal prédictibilité des signaux, Cas des signaux de puissance finie (théorie) lim + T T puissance moyenne transportée par le signal < T 1 T + T τ) 1 T T T R t τ) xx ( lim 5

6 Signaux usuels et leurs fonctions d autocorrélation respectives normalisées DOMAINE TEMPOREL x ( AUTOCORRELATION R xx )(τ temps retard 6

7 ))()Propriétés de l autocorrélation pour des signaux xx physiques) complexe (τ R xx hermitienne) réel (τ R réelle et Rxx τ R 0(paire)(xx Le module de la fonction d auto-corrélation est maximal à l origine, cohérence où la fonction est réelle, positive, égale à l énergie totale de Rxx Γ τ (xx R 0()(degré de self cohérence) Γ 0(1)τ Γ τ 1)( 7

8 fonction d intercorrélation Domaine temporel et y( signaux déterministes à énergie finie y( < < R xy ( τ) y( t τ) et y( signaux de puissance finie lim T lim T 1 T 1 T + T T + T T y( < < + T τ) 1 T T T R y( t τ) xy ( lim 8

9 Signaux et fonctions d intercorrélation respectives (normalisées) temps temps y( ( temps temps R xy R xy )(τ y)(τ retard retard 9

10 Propriétés de l intercorrélation pour des signaux physiques réels (τ ) R xy réelle mais non paire R ( τ ) R (0) xy xx R yy (0) ( τ ) xy Γ degré de cohérence entre et y( xy ( τ ) Rxx (0) Ryy (0) R degré de ressemblance entre les fonctions et y( Γ xy ( τ ) 1 10

11 x Domaine fréquentiel fréquence 11 module de la T.F.)(ν

12 Domaine fréquentiel est périodique de période T peut se décomposer en série de Fourier π nt π nt a + a cos + b sin 0 n T n n 1 T a 1 T T a valeur moyenne de 0 0 T a n T T T π nt cos T b n T T T π nt sin T est non périodique et intégrable sur R On peut calculer la transformée de Fourier xˆ( ν) e i πν t 1

13 densité spectrale d énergie - autocorrélation xˆ( ν) signal d énergie totale finie e i πν t théorème de Parseval xˆ ( ν) énergie par intervalle de fréquence dν xˆ( ν) dν densité spectrale d énergie transformation de Fourier inverse { ˆ } 1.. ( ν ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) ( + τ ) τ ( τ ) T F x t x t x t x x t d R xx fonction d autocorrélation de 13

14 Densité spectrale croisée. Corrélation croisée xˆ( ν) signal d énergie totale finie e i πν t y ( ˆ y ν signal d énergie totale finie y t e iπν t théorème de Parseval ˆ x ν y ν énergie par intervalle de fréquence dν densité spectrale croisée d énergie ˆ x ( y( xˆ( ν) yˆ( ν) dν 1 transformation de Fourier inverse T. F. { xˆ( ν) yˆ( ν) }( y( y( τ ) y( t + τ ) dτ R xy ( τ ) fonction d inter-corrélation de et de y( 14

15 Puissance spectrale Energie moyenne en fonction de la fréquence n i i i n x n S spectrale Puissance x F T nt t T n t x x F T T t T t x x F T T t t x 1 1 ) ( 1 ) (.., 1) ( ), ( ) (.., ), ( ) (.., 0 ), ( ω ω ω ω

16 Analyse spectrale Définir la répartition de l énergie en fonction de la fréquence Analyse par octave f sup f inf Analyse par 1/3 octave f 1/3 sup finf f inf f sup 16/3

17 Octave 1/3 Octave bande Limite inf Centre Limite sup Limite inf Centre Limite sup , , ,8 0,4 14,4 5 8, 15 31,5 44 8, 31,5 35, , , , , , 63 70, , ,1 0 89, /3

18 Bande fine Tiers d octave 18/3

19 Description d un système par fonctions de transfert Système à une entrée et une sortie y ( ( h* x)( y( h réponse impulsionnelle Exemple poutre en flexion y( Description très générale des systèmes 19

20 Fonction de réponse en fréquence Fonction de réponse en fréquence Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle 0

21 Système linéaire y( y( y( Système causal 0 H ( t, τ ) τ ) dτ Système invariant dans le h( τ ) t τ ) dτ h( τ ) t τ ) dτ temps Pour déterminer h on peut prendre δ( Il suffit de mesurer la sortie du système pour connaître la fonction h( Le comportement y( ω) h( ω) ω) en fréquence est 1

22 Autre détermination de la fonction de réponse en fréquence R xx ( τ ) T. F. S ( ω) xx Densité spectrale d énergie R xy ( τ ) T. F. S ( ω) xy Interspectre si y h * x S h S yx xx

23 Echantillonnage ) ( ) ( e n e n nt y y nt x x T e est la période d échantillonnage i n n i i i n x h y d t x h t y 0 0 ) ( ) ( ) ( τ τ τ 3

24 Théorème de Shannon : un signal continu à spectre borné par la fréquence F doit être échantillonné au moins à F. Filtrer avant d échantillonner F F Dans ce cas on peut reconstruire à partir des signaux discrets xi 4