Géométrie dans l espace Soient A et B, deux points diamétralement opposés de ce cercle.
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- Heloïse Sauvé
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1 I- Sphère et boule. 1- Génération d une sphère : Soit un cercle C de centre O et de rayon R Soient A et B, deux points diamétralement opposés de ce cercle. Dans son déplacement autour de la droite (AB), le demi-cercle engendre une sphère. Tous les points du demi- cercle sont à égale distance du centre O, celui-ci n ayant pas bougé au cours de la rotation autour de la droite (AB), on peut affirmer que tous les points de la sphère sont à égale distance de O. Définition : Une sphère de centre O est l ensemble des points de l espace, situés à égale distance de O. Pour tout point M de la sphère : OM = R. - Section d une sphère par un plan 1- Le centre de la sphère appartient au plan : La section est un cercle qui a le même centre et le même rayon. - Le centre de la sphère n appartient pas au plan : La section est un cercle qui n a pas le même centre ni le même rayon. Son rayon r est plus petit que R (rayon de la sphère) 3- Générateur d une boule (ou sphère pleine) L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 1
2 Dans son déplacement autour de la droite (AB), le demi-disque, engendre une boule. La distance entre le centre O et un point quelconque du demi-disque est inférieure au rayon R du demi-disque. Définition : Une boule est l ensemble des points M de l espace, situés à une distance inférieure ou égale à R. Pour tout point M de la boule : OM R 4- Section d une boule par un plan : a) Le centre de la sphère appartient au plan : La section est un disque qui a le même centre et le même rayon. b) Le centre de la sphère n appartient pas au plan : La section est un disque qui n a pas le même centre ni le même rayon. Son rayon r est plus petit que R (rayon de la sphère) 5- Aire et volume d une sphère : L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page
3 L aire A d une sphère de rayon R est donnée par la formule : Le volume V d une «boule» de rayon R est donné par la formule : II- Pyramides et cône. 1- Pyramide : Définition : La pyramide est un solide limité par un polygone et par des triangles qui se joignent en un même point à «leur sommet commun» Exemple : La pyramide SLMNP. La première lettre S indique le sommet de la pyramide. Le polygone LMNP indique la base de la pyramide. Les faces latérales sont les triangles : SLM, SMN, SNP et SPL. La hauteur d une pyramide est la distance entre le sommet et la base : SH - Propriétés : a) Le nom d une pyramide : On peut avoir des pyramides : Pyramide triangulaire : Si la base est un triangle, Pyramide quadrangulaire : Si la base est un quadrilatère, Pyramide pentagonale : Si la base est un pentagone, Pyramide hexagonale : Si la base est un hexagone,.. b) La plus petite est la triangulaire qui a quatre faces triangulaires, que l on appelle aussi tétraèdre (du grec «tétra» qui veut dire quatre) III- Pyramide régulière. Une pyramide est dite régulière, si toutes les faces latérales des triangles isocèles égaux. Sa base est donc un polygone régulier, et le pied O de la hauteur représente le centre du polygone. sont L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 3
4 IV- Aire d une pyramide régulière. Calcul de l aire latérale. Calcul de l aire d un triangle : (exemple le triangle SCD) CD SH A SCD c a Donc l aire latérale A 6 A SCD On en déduit c a A 6 6 c a Or 6 c Conclusion : est le demi-périmètre de la base (hexagone régulier dans notre exemple) L aire latérale d une pyramide régulière s obtient en multipliant le demi-périmètre de la base par l apothème. (apothème : SH a ) Calcul de l aire totale : L aire totale d une pyramide régulière s obtient en additionnant l aire latérale et L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 4
5 l aire de la base. L aire totale = aire latérale + aire de la base V- Développement de la pyramide. VI- Volume d une pyramide. Le volume d une pyramide est : VII- Volume d un cône. Le volume d un cône est : L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 5
6 VIII- Section d un parallélépipède rectangle par un plan. La section d un parallélogramme rectangle par un plan est un rectangle. IX- Volume d un parallélépipède rectangle. Le volume d un parallélépipède rectangle : L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e Page 6
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