Cours 4 : Analyse de stabilité et de performances des systèmes linéaires bouclés

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1 Cours 4 : Analyse de stabilité et de performances des systèmes linéaires bouclés Olivier Sename GIPSA-lab Septembre 2017 Olivier Sename (GIPSA-lab) Asservissement Septembre / 26

2 O. Sename [GIPSA-lab] 2/26 1 Objectifs 2 Stabilité 3 Stabilité d un asservissement critère de Routh critère de Nyquist 4 Marges de stabilité 5 Précision Sans perturbation Sans consigne 6 Rapidité

3 O. Sename [GIPSA-lab] 3/26 Objectifs Objectif de la commande (cahier des charges) Stabilité Précision Rapidité Rejet de perturbation Désensibilisation vis-à-vis des variations paramétriques (robustesse). Agir sur un système dynamique afin d obtenir les performances désirées avec un coût acceptable et malgré les incertitudes et les contraintes.

4 O. Sename [GIPSA-lab] 4/26 Stabilité Stabilité d un système linéaire Soit le système linéaire de fonction de transfert : G(s) = N(s) D(s) d o (N(s)) d o (D(s)) = n Son dénominateur est : D(s) = a n(s s 1 ) (s s n) La transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle est : Y (s) = N(s) a n(s s 1 ) (s s n) Y (s) = c 1 s s cn s s n y(t) = c 1 e s 1t + + c ne snt racine simple : c i e s it racine multiple : c ql t l 1 (l 1)! esrt avec l = q, q 1, 1 racine complexe conjuguée : Ae αt cos(ωt + φ)

5 O. Sename [GIPSA-lab] 5/26 Stabilité Stabilité asymptotique Le système défini par la fonction de transfert G(s) est asymptotiquement stable (y(t) 0) si tous les pôles de sa fonction de transfert sont tels que : Re(s i ) < 0 i = 1 n Remarques Si la réponse impulsionnelle converge vers 0, le système est asymptotiquement stable. Si la réponse impulsionnelle reste bornée sans converger vers 0, le système est stable. Si la réponse impulsionnelle diverge alors le système est instable. Cas des pôles imaginaires purs G(s) a une paire de pôles imaginaires purs conjugués G(s) a plusieurs paires de pôles imaginaires purs conjugués l intégrateur pur 1/s est un système stable mais non asymptotiquement stable.

6 O. Sename [GIPSA-lab] 6/26 Stabilité d un asservissement Stabilité d un asservissement Objectif principal : obtenir un système stable en boucle fermée. Notions abordées: Stabilité absolue: un système est stable ou instable Stabilité relative: analyse du degré de stabilité, notion de distance vis à vis de l instabilité, définitions des marges de stabilité Définition: Un système est stable au sens Entrée Bornée - Sortie Bornée (BIBO) si tout signal d entrée borné produit un signal de sortie borné.

7 O. Sename [GIPSA-lab] 7/26 Stabilité d un asservissement Etude de la stabilité d un asservissement Comment vérifier la stabilité? Équation caractéristique du système asservi : 1 + H B0 (s) = 0 H B0 (s) = K(s)G(s) = Num(s) Den(s) H BF (s) = = H B0 (s) 1 + H B0 (s) Num(s) Num(s) + Den(s) Num(s) + Den(s) = 0 Le système asservi est asymptotiquement stable si toutes les racines de l équation caractéristique sont à partie réelle négative. Solution 1: détermination des racines d un polynôme. Exemple : pour un polynôme P : P = [1 4 7] roots(p ) donne les racines de P pour une fonction de transfert H : H = tf(1, [ ]) pole(h) donne les pôles de H. Trop complexe (à la main) pour un polynôme d ordre >2

8 Stabilité d un asservissement critère de Routh Solution 2: utiliser le critère algébrique de Routh Utile si présence de paramètres formels dans l équation caractéristique de paramètres. cf Formulaire pages Watch Quel est le domaine de stabilité pour k p et T i? Équation caractéristique : Condition de stabilité : H BF (s) = H B0 (s) = kp(1 + T is) T i s(1 + s) 2 k p(1 + T i s) k p(1 + T i s) + T i s(1 + s) 2 T i s 3 + 2T i s 2 + T i (k p + 1)s + k p = 0 k p > 0 T i > 0 (k p + 1)T i > kp 2 O. Sename [GIPSA-lab] 8/26

9 O. Sename [GIPSA-lab] 9/26 Stabilité d un asservissement critère de Nyquist Critère géométrique de Nyquist Présentation Le critère de Nyquist est une application du principe de l argument pour les fonctions complexes. L application pour l étude de stabilité des systèmes asservis nécessite l utilisation du contour de Nyquist. L application du théroème consiste à étudier la fonction complexe 1 + H BO (s) afin de déterminer le nombre de ses zéros instables (c-a-d appartenant au controur fermé), donc le nombre de poles instables de H BF (s). Enoncé du critère Un système continu en boucle fermée à retour unitaire (H BF ) est asymptotiquement stable à la condition nécessaire et suffisante que son diagramme de Nyquist en boucle ouverte (H BO ) parcouru quand ω croît de à + entoure le point critique ( 1, 0) dans le sens trigonométrique un nombre N de fois égal au nombre P de pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte. Quelques docs intéressantes Many lectures and videos on the web.

10 O. Sename [GIPSA-lab] 10/26 Stabilité d un asservissement critère de Nyquist Tracé du diagramme de Nyquist Le diagramme de Nyquist est obtenu en faisant parcourir à la variable complexe s le contour de Nyquist : On connaît le lieu de H BO (s) dans le plan de Nyquist : ω = 0, ω Son symétrique par rapport à l axe réel correspond à ω =, ω 0 Pour les systèmes physiquement réalisables : d o (Num) < d o (Den) et s (lieu du grand cercle) a pour image H BO (ω = ) = 0 valable si H BO (s) ne contient pas de pôles à l origine (le contour C passe par l origine et H BO (ω = 0) = K, gain statique du système en boucle ouverte).

11 Stabilité d un asservissement critère de Nyquist Tracé du diagramme de Nyquist pour s = 0 H BO (s) contient des termes en K s n i, K > 0, le contour est le suivant : s = εe jθ θɛ[ π 2, π 2 ] d où H BO(s) K ε n i e jn iθ Le module de H BO (s) et l argument varie de [+ n iπ 2, n iπ 2 ]. A voir Cas des systèmes avce intégrateurs: and O. Sename [GIPSA-lab] 11/26

12 O. Sename [GIPSA-lab] 12/26 Marges de stabilité Marges de stabilité En pratique : la fonction de transfert est une approximation de la réalité or, la limite théorique de la stabilité se fait par rapport au point critique ( 1, j0) dans le plan de Nyquist Donc on prend des marges de sécurité : 1 Marge de gain: indique l augmentation de gain du transfert de boucle ouverte qui amnèrerait la boucle fermée en limite de stabilité 2 Marge de phase: indique le retard de phase du transfert de boucle ouverte (H BO ) qui amnèrerait la boucle fermée (H BF ) en limite de stabilité 3 Marge de module: indique la distance absolue minimale du transfert de boucle ouverte au point Marge de retard: indique le retard que peut subir le transfert de boucle ouverte qui amnèrerait la boucle fermée en limite de stabilité Avec des marges importantes, le système est robuste aux variations de la fonction de transfert.

13 O. Sename [GIPSA-lab] 13/26 Marges de stabilité dans Bode Marges de stabilité Magnitude (db) Phase (deg) M φ Bode Diagram Frequency (rad/sec) M g

14 O. Sename [GIPSA-lab] 14/26 Marges de stabilité Marges de stabilité dans Bode Marge de gain : Marge de phase : Mg db = [ H BO (jω π ] db Mg = Mφ = 180 o + arg[h BO (jω 1 )] ω 1 étant la fréquence pour laquelle le gain est unitaire (OdB). 1 H BO (jω π) les systèmes du 1 er et 2 nd ordre dont les pôles sont à partie réelle négative ont une marge de gain infinie car la phase n atteint jamais 180 o En pratique, on choisit des réglages tels que Mg 6 20dB et Mφ 45 o 60 o

15 O. Sename [GIPSA-lab] 15/26 Marges de stabilité Marges de stabilité dans Nyquist Mg = 1 H BO (jω, Mφ = arg[h π) BO(jω 1 )] π), et M retard = Mφ ω 1 Marge de module (on demande en général: M = min ω 1 + GK(jω) 0.5)

16 Marges de stabilité Marges de stabilité dans Black Nichols Chart db 0.5 db 1 db 0 db -1 db Open-Loop Gain (db) 0-20 M g 3 db 6 db M φ -3 db -6 db -12 db -20 db db db -80 db Open-Loop Phase (deg) O. Sename [GIPSA-lab] 16/26

17 O. Sename [GIPSA-lab] 17/26 Précision Présentation du problème de précision d un asservissement Soit le schéma Nous allons étudier la précision de cet asservissement en présence de perturbations c-a-d analyser si l erreur ε(t) = c(t) y(t) converge vers 0, quels que soient les signaux perturbateurs. Nous allons quantifier la précision d un asservissement en analysant: ε(t) = c(t) y(t) en régime permanent: ε 0 = lim ε(t) est appelée erreur statique t lorsque la consigne est un échelon d amplitude c, la valeur de ε 0 c, exprimée en pourcent, définit la précision du système. la précision sera d autant meilleure que ε 0 tendra vers 0

18 O. Sename [GIPSA-lab] 18/26 Précision Précision Exemple d erreur de position Asservissement précis Régulation niveau du bac - K v =1.2, Kr=1 et Kr=0.5 Régulation niveau du bac - K v =1.2, P=215, I= niveau Kr=1 Kr=0.5 niveau Temps Temps commande commande Temps Temps

19 O. Sename [GIPSA-lab] 19/26 Précision Etude de la précision de l asservissement Puisque ε(s) = C(s) Y (s) avec la notation H BO (s) = G(s)K(s) ε(s) = ε c(s) + ε du (s) + ε dy (s) Ecart relatif à la consigne: Equation de la sortie ε c(s) = H BO (s) C(s) Y (s) = + + G(s)K(s) 1 + G(s)K(s) C(s) G(s) 1 + G(s)K(s) Du(s) G(s)K(s) Dy(s) Ecart relatif à la perturbation en sortie 1 ε dy (s) = 1 + H BO (s) Dy(s) Ecart relatif à la perturbation en entrée G(s) ε du (s) = 1 + H BO (s) Du(s) Surtout ne pas définir l écart relatif à la perturbation comme D (s) Y (s) (on ne cherche pas à suivre la perturbation mais à la rejeter!). Il s agit bien de calculer l erreur en asservissement (suivi de consigne) en présence d une perturbation.

20 O. Sename [GIPSA-lab] 20/26 Précision Sans perturbation Précision : cas avec consigne et sans perturbation (d u = 0, d y = 0) 1 Objectif : Déterminer la précision en BF à partir de ε c(s) = 1+H BO (s) C(s) Outil: appliquer le théorème de la valeur finale ε 0 = lim ε(t) = lim s 0 sε c(s) t Hypothèse : le système en boucle fermée est asymptotiquement stable. Définition de la consigne C(s) = C s q q 1 C = Cste Calcul de la Boucle Ouverte Soit n i le nombre d intégrateurs en boucle ouverte. Notons: H BO (s) = K B(s) s n avec B(s = 0) = 1 et A(s = 0) = 1 i A(s) Calcul de l erreur en régime permanent 1 ε 0 = lim s 0 [s.. C ] [ ] 1 C 1 + H BO s q = lim. s H BO s q 1

21 O. Sename [GIPSA-lab] 21/26 Précision Sans perturbation Précision : cas avec consigne et sans perturbation (d u = 0, d y = 0) s ε 0 = lim C. n i (q 1) s 0 s n i + K B(s) A(s) [ ] = lim C. sn i (q 1) s 0 s n i + K ε 0 = si n i < (q 1) Cste si n i = (q 1) 0 si n i > (q 1) Quelques cas classiques: C(s) = C s càd entrée de type échelon : q = 1 1 Système sans intégrateur (H BO (s) = K B(s) ): ni = 0 : ε0 = C A(s) 1+K 2 Système avec un intégrateur : n i = 1 : ε 0 = 0 3 Système avec deux intégrateurs : n i = 2 : ε 0 = 0 Si n i = (q 1) { C(s) = C C ε 0 = 1+K si n s 2 càd entrée de type rampe: q = 2 i = (q 1) = 0 C si n K i = (q 1) 0 1 Système sans intégrateur : n i = 0 : ε 0 = 2 Système avec un intégrateur : n Attention: Si c(t) est un échelon; i = 1 : calcul de ε ε 0 0 = C K C pour obtenir l erreur en % 3 Système avec deux intégrateurs : n i = 2 : ε 0 = 0

22 O. Sename [GIPSA-lab] 22/26 Précision Sans perturbation Résumé des valeurs des erreurs statiques en asservissement

23 O. Sename [GIPSA-lab] 23/26 Précision Sans consigne Précision : cas sans consigne, avec perturbation en sortie (d u = 0) 1 Objectif : Déterminer la précision en BF à partir de ε dy (s) = 1+H BO (s) dy(s) Outil: appliquer le théorème de la valeur finale ε 0 = lim t ε(t) = lim s 0 sε dy(s) Hypothèse : le système en boucle fermée est asymptotiquement stable. Définition de la perturbation en sortie D y(s) = Dy s q q 1 D y = Cste Calcul de l erreur en régime permanent ε 0 = lim s 0 [s. 1. Dy 1 + H BO s q ] [ = lim s H BO. Dy s q 1 Comme les fonctions de transfert ε dy et εc sont identiques (au signe près) le calcul des erreurs d y c est similaire au cas précédent. N.B: si l asservissement de consigne est précis alors le rejet de perturbation en sortie sera bon. ]

24 O. Sename [GIPSA-lab] 24/26 Précision Sans consigne Précision : cas sans consigne, avec perturbation en entrée (d y = 0) G Objectif : Déterminer la précision en BF à partir de ε du (s) = 1+H BO (s) du(s) Outil: appliquer le théorème de la valeur finale ε 0 = lim t ε(t) = lim s 0 sε du(s) Hypothèse : le système en boucle fermée est asymptotiquement stable. Définition de la perturbation en entrée D u(s) = Du s q q 1 D u = Cste Notons: G(s) = Kg B g(s) s ng A g(s) K(s) = K k B k (s) s n k A k (s) Calcul de l erreur en régime permanent [ ] G(s) ε 0 = lim s. s H BO (s). Du s q [ ] G = lim. Du s H BO s q 1 Alors on a finalement: ε 0 = lim s K k s n k ε 0 = Du K k K g B g(s) s ng A g(s). Du B k (s) K g B g(s) s q 1 A k (s) s ng A g(s) [ ] lim s n k (q 1) s 0 L erreur statique est nulle si n k > q 1, infinie si n k < q 1, et constante si n k = q 1

25 O. Sename [GIPSA-lab] 25/26 Précision Sans consigne Exemple de rejet de perturbation

26 O. Sename [GIPSA-lab] 26/26 Rapidité Rapidité La rapidité d un système asymptotiquement stable se mesure par la durée de son régime transitoire. Système du 1 er ordre : t 5% = 3τ Système du 1 er ordre en boucle fermée à retour unitaire : t BF 1+K B0, K BO > 0 Pour les systèmes complexes, régler la rapidité revient à régler les pôles dominants. Les réponses sont d autant plus lentes que la partie réelle des pôles, en valuer absolue, est faible. 5% = tbo 5% augmenter la rapidité d un système revient à élargir la bande passante.