TES Devoir n o 6 durée 2h-20 points. ( 7 points ) Exercice 1

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1 TES Devoir n o 6 durée 2h-20 points Exercice 1 ( 7 points ) Le parc informatique d un lycée est composé d ordinateurs dont : 15% sont considérés comme neufs ; 45% sont considérés comme récents ; les autres sont considérés comme anciens. Une étude statistique indique que chaque jour : 5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ; 10 % des ordinateurs récents sont défaillants ; 20 % des ordinateurs anciens sont défaillants. On choisit au hasard un ordinateur de ce parc. On note les événements suivants : N : L ordinateur est neuf ; R : L ordinateur est récent ; A : L ordinateur est ancien ; D : L ordinateur est défaillant ; D : l événement contraire de D. Pour tout l exercice, on donnera les résultats arrondis aux millièmes si nécessaire. Partie A 1. En utilisant les données de l énoncé (sans calculs), traduire les 6 données de l énoncé avec les notations des événements données ci-dessus. 15% des ordinateurs sont considérés comme neufs donc p(n) = 15 = 0, % ordinateurs sont considérés comme récents donc p(r) = 45 = 0, p(a) = 1 p(n) p(r) = = = 0, 4 10 % des ordinateurs récents sont défaillants donc p N (D) = 0, % des ordinateurs récents sont défaillants donc p R (D) = 0, 1 20 % des ordinateurs anciens sont défaillants donc p A (D) = 0, 2 2. Construire un arbre pondéré décrivant la situation..

2 3. Calculer la probabilité que l ordinateur choisi soit neuf et défaillant. La probabilité que l ordinateur choisi soit neuf et défaillant se note p (N D). p (N D) = p(n)p N (D) = 0, 15 0, 05 = 0, 0075 La probabilité que l ordinateur choisi soit neuf et défaillant est 0, Démontrer que la probabilité que l ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325. D après la formule des probabilités totales, on a : p(d) = p (N D) + p (R D) + p (A D) = p (N D) + p(r)p R (D) + p(a)p A (D) = 0, , 45 0, 1 + 0, 4 0, 2 = 0, 1325 La probabilité que l ordinateur choisi soit défaillant est 0, Déterminer la probabilité que l ordinateur soit ancien sachant qu il est défaillant. La probabilité que l ordinateur soit ancien sachant qu il est défaillant se note p D (A). p (D A) p D (A) = = p(a)p A (D) 0, 4 0, 2 = 0, 604 p(d) p(d) 0, 1325 Partie B On s intéresse à 50 ordinateurs choisis au hasard dans le parc informatique. On suppose que le nombre d ordinateurs est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise. Chaque ordinateur fonctionne de manière indépendante. Chaque ordinateur qui tombe en panne est réparé le soir même et fonctionne donc normalement le lendemain. On note X la variable aléatoire correspondant aux nombre d ordinateurs défaillants chaque jour parmi les 50. On considère l expérience aléatoire «On choisit un ordinateur au hasard»et cette expérience a deux issues possibles : soit l ordinateur est défaillant avec p(d) = 0, 1325 soit il ne l est pas avec p(d) = 1 0, 1325 = 0, 8675 On répète 50 fois successivement et de manière indépendante cette épreuve de Bernouilli. On considère la variable aléatoire X donnant le nombre d ordinateurs défaillants parmi les 50 et X suit la loi binomiale B(50 ;0,1325). 1. Déterminer la probabilité de l événement B :«exactement 10% des ordinateurs sont défaillants un jour donné» % de 50 : = p(b) = C50 5 p(d)5 p(d) 45 = , , , Déterminer la probabilité de l événement C :«au moins un des 50 ordinateurs est défaillant un jour donné». C est le contraire de l événement «aucun ordinateur n est défaillant» p(c) = 1 C 0 50 p(d)0 p(d) 50 = 1 0, , 999

3 3. Calculer l espérance de la loi de probabilité de X. X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0, 1325 donc E(X) = np = 50 0, 1325 = 6, Donner une interprétation du résultat dans le cadre de ce problème. Sur un grand nombre de jours, en moyenne 6,625 ordinateurs seront défaillants chaque jour. Exercice 2 ( 4 points ) Calculer le dérivée de chacune des fonctions ci-dessous, définies et dérivables sur R. f(x) = 3e 5 3x On pose u(x) = 5 3x et on a alors u (x) = 3 f (x) = 3 u (x)e u(x) = 3 ( 3)e 5 3x = 9e 5 3x f (x) = 9e 5 3x g(x) = x 2 On pose u(x) = x 2 et v(x) = et on a u (x) = 2x et v (x) = g (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) = (2x)( ) + (x 2 )( ) = (2x + x 2 ) g (x) = (2x + x 2 ) h(x) = (2x 4)e x On pose u(x) = 2x 4 et v(x) = e x et on a u (x) = 2 et v (x) = e x h (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) = (2)(e x ) + (2x 4)( e x ) = e x (2 + 2x 4) h (x) = e x (2x 2) i(x) = e2x x On pose u(x) = e 2x et v(x) = 2x + 6 et on a u (x) = 2e 2x et v (x) = 2 i (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) (v(x)) 2 i (x) = e2x ( 2x + 8) ( 2x + 6) 2 = (2e2x )( 2x + 6) (e 2x )( 2) ( 2x + 6) 2 = e2x ( 2x ) ( 2x + 6) 2 = e2x ( 2x + 8) ( 2x + 6) 2

4 Exercice 3 ( points ) La courbe C est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. La tangente T à la courbe au point A(0 ;3) passe par le point B(1 ;5). 1. Déterminer graphiquement f(0) puis f (0) A(0; 3) appartient à la courbe donc f(0) = 3 f (0) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point A donc f (0) = y B y A x B x A = 2 1 = 2 f(0) = 3 et f (0) = 2 2. Donner une équation de la tangente T. T a pour coefficient directeur f (0) = 2 et coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée 3 donc T a pour équation réduite y = 2x f(x) = 1 + ax + b avec a et b réels. a) Déterminer l expression de f (x) en fonction de a et b. On pose u(x) = ax + b et v(x) = et on a u (x) = a et v (x) = f (x) = 0 + u (x)v(x) u(x)v (x) (v(x)) 2 = (a)(ex ) (ax + b)( ) ( ) 2 = ex (a ax b) ( ) 2 f (x) = ex (a ax b) ( ) 2 = ax + a b b) A l aide des résultats de la question 1, déterminer les réels a et b f(0) = 1 + a 0 + b e 0 = 1 + b = 3 donc b = 2 (rappel : e 0 = 1) f a 0 + a b) (0) = e 0 = a b = 2 donc a = 2 + b = 4 a = 4 et b = 2

5 4. On donne f(x) = 1 + 4x + 2 a) Etudier les variations de f D après la question 3.a. f (x) = 4x = 4x + 2 Pour tout réel x, > 0 donc f (x) est du signe de 4x + 2 4x + 2 > 0 4x > 2 x < 1 2 donc f est croissante sur ] ; 1 2 [ et décroissante sur ]1 2 ; + [ b) Etudier la convexité de f Calcul de f (x) f (x) = 4x + 2 On pose u 1 (x) = 4x + 2 et v(x) = et on a u 1 (x) = 4 et v 1 (x) = ex f (x) = u 1 (x)v 1(x) u 1 (x)v 1 (x) (v 1 (x)) 2 = ( 4)(ex ) ( 4x + 2)( ) ( ) 2 = ex ( 4 + 4x 2) ( ) 2 = 4x 6 Pour tout réel x, > 0 donc f (x) est du signe de 4x 6 4x 6 > 0 4x > 6 x > 3 2 donc f (x) > 0 sur ] 3 2 ; + [ Exercice 4 ( 5 points ) La courbe (C) donnée en ANNEXE, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d une fonction f définie et dérivable sur [2; 9]. On note f sa fonction dérivée. Les points A (3 ; e) et B (4 ; 2 ) appartiennent à cette courbe. La tangente à la courbe en A est parallèle à l axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe l axe des abscisses au point d abscisse 6. PARTIE I : lecture graphique Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier. 1. Pour quelles valeurs du nombre réel x de l intervalle [3 ; 9] a-t-on f(x) 2? Les solutions de l inéquation f(x) 2 sur [3; 9]

6 à 2 sont les abscisses des points de la courbe de l intervalle [3; 9] dont l ordonnée est supérieure ou égale donc pour x [3; 4] 2. Déterminer f (3) et f (4). f (3) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d abscisse 3 La tangente à la courbe en A est parallèle à l axe des abscisses donc f (3) = 0 f (4) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point B d abscisse 4 donc f (4) = 2 = 1 (tracé en rouge) 2 donc f (4) = 1 PARTIE II étude de la fonction La fonction f représentée dans l ANNEXE, est la fonction définie sur l intervalle [2; 9] par f(x) = (x 2)e ( x+4). 1. a) Pour tout nombre réel x de l intervalle [2; 9], calculer f (x) et montrer que f (x) = (3 x)e ( x+4). On pose u(x) = x 2 et v(x) = e ( x+4) et on a u (x) = 1 et v (x) = ( x + 4) e ( x+4) = e ( x+4) f (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) = (1)(e ( x+4) ) + (x 2)( e ( x+4) ) = e ( x+4) (1 x + 2) = ( x + 3)e ( x+4) f (x) = ( x + 3)e ( x+4) b) Sur l intervalle [2; 9] étudier le signe de f (x), puis dresser le tableau de variations de la fonction f. Pour tout réel x, e ( x+4) > 0 donc f (x) est du signe de 3 x 3 x > 0 x > 3 x < 3 On a donc : avec f(2) = (2 2)e ( 2+4) = 0, f(3) = e (point A de l énoncé) et f(9) = (9 2)e ( 9+4) = 7e 5

7 c) Calculer f (x). f (x) = ( x + 3)e ( x+4) On pose u 1 (x) = x + 3 et v 1 (x) = e ( x+4) et on a u 1 (x) = 1 et v 1 (x) = ( x + 4) e ( x+4) = e ( x+4) f (x) = u 1 (x)v 1(x) + u 1 (x)v 1 (x) = ( 1)(e ( x+4) ) + (3 x)( e ( x+4) ) = e ( x+4) ( x) = (x 4)e ( x+4) f (x) = (x 4)e ( x+4) Déterminer alors les coordonnées du point d inflexion de (C) Pour tout réel x, e ( x+4) > 0 donc f (x) est du signe d 4 x 4 > 0 x > 4 On a donc : donc f (x) s annule et change de signe en x = 4 La courbe admet un point d inflexion au point B d abscisse 4 PARTIE III : étude d un bénéfice Une entreprise vend x centaines de litres de parfum par jour 2 x 9. Le bénéfice en milliers d euros réalisé, par jour, par l entreprise lorsqu elle vend x centaines de litres est donné par f(x) pour x [2 ; 9]. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l entreprise vend au moins 200 litres et au plus 900 litres. On donnera les réponses arrondies à 1 e). 1. Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 400 litres. 400litres =4 centaines de litres f(4) = (4 2)e ( 4+4) = 2e 0 = 2. Pour 400 litres, le bénéfice est de 2 milliers d euros soit 2000 euros 2. Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal en euros?

8 Le bénéfice est maximum pour x = x A = 3 soit pour 300 litres. f(3) = e 2, 7182 soit environ 2, = 2718, 2 euros de bénéfice. Le bénéfice est maximum pour 300 litres et est environ de 2718 euros 3. À partir de quelle quantité journalière aura-t on un ralentissement de la baisse des bénéfices? La baisse des bénéfices se trouve ralentie à partir d une production de 400 litres, ceci correspond à l abscisse du point d inflexion B de la coure. annexe exercice 4 :