THEORIE DE GALOIS CONSTRUCTION DU POLYGONE A 15 COTES

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1 THEORIE DE GALOIS CONSTRUCTION DU POLYGONE A COTES RAIBAUT MICHEL Fig. 1. Polygone à côtés 1

2 2 RAIBAUT MICHEL TABLE DES MATIERES 1 Nombres constructibles à la règle et au compas Nombres constructibles Polygones réguliers constructibles 4 2 Racines quinzièmes de l unité 4 3 Etude de G Sous-groupe de G Correspondance de Galois 6 4 Recherche des corps des invariants 7 5 Construction du polygone régulier à côtés Valeur de cos( 2π ) Construction 11 6 Bibliographie 12 On se propose de construire le polygone régulier à côtés. Grâce à la bijection entre les sous-groupes du groupe de Galois Gal(Q[ζ = e i2π ] Q) et les extensions intermédiaires entre Q[ζ] et Q, on établit une chaîne d extensions quadratiques de Q à Q[cos( 2π )]. Cela prouve la constructibilité du polygone. On donne ensuite une construction effective.

3 THEORIE DE GALOIS CONSTRUCTION DU POLYGONE A COTES 3 1. Nombres constructibles a la regle et au compas 1.1. Nombres constructibles. Définition 1.1. Points constructibles Soit P un plan euclidien et B un sous-ensemble fini de P ayant au moins deux éléments. Les éléments de B sont appelés points de base. Un point M de P est dit constructible à la règle et au compas en n étapes à partir de B s il existe une suite finie de points de P M 1, M 2,...M n = M telle que pour tout i [1, n] M i est un point d intersection : -soit de deux droites -soit d une droite et d un cercle -soit de deux cercles ces droites et cercles étant obtenus à l aide de l ensemble E i = B M 1,.., M i 1 de la façon suivante : -chaque droite passe par deux points distincts de E i -chaque cercle est centré en un point de E i et a pour rayon la distance entre deux points de E i Une droite passant par deux points constructibles est dite constructible Un cercle centré en un point constructible et a pour rayon la distance entre deux points constructibles est dit constructible. A partir de deux points on peut : générer un repère. tracer une parallèle à une droite donnée passant par un point donné. tracer une perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné. Ceci permet de donner la définition suivante : Définition 1.2. Nombre réel constructible Un nombre réel est dit constructible si ce nombre est une coordonnée dans le repère (O,I,J) d un point constructible. Théorème 1.3. Le corps des nombres constructibles L ensemble C des nombres constructibles est un sous-corps de R stable par racine carrée (c est même le plus petit au sens de l inclusion).

4 4 RAIBAUT MICHEL Théorème 1.4. Caractérisation des nombres constructibles Soit t R ; t est un nombre constructible si et seulement si il existe une tour d extensions quadratiques de sous-corps de R, L 1, L 2,...L p tels que : L 1 = Q t L p (théorème de Wantzel) Ainsi tout nombre constructible est algébrique sur Q et son degré est une puissance de 2, (c est pourquoi la duplication du cube, la trisection de l angle et la quadrature du cercle sont en général impossible) Donc C A où A est le corps des algébriques Polygones réguliers constructibles. Définition 1.5. Si n 3, on dit que le polygone régulier à n côtés est constructible si 2π n est un angle constructible, ce qui équivaut à dire que cos( 2π n ) est un nombre constructible. Remarque 1.6. Cela correspond bien à la pratique car si ( OI, OM) = 2π n, I et M sont deux sommets consécutifs du polygone cherché. Les autres côtés du polygone s obtiennent en reportant au compas la corde IM autant de fois qu il le faut. On se propose donc de trouver une tour d extensions quadratiques Q L 2... L p telque cos(2π/) L p. Pour cela, on utilise la correspondance de Galois. 2. Racine quinzième de l unite Soit ζ = e i2π. ζ est une racine primitive de l unité. Son polynome minimal est le quinzième polynome cyclotomique de degré le nombre de racines ièmes primitives de l unité, soit ϕ() = ϕ(3) ϕ(5) (où ϕ est l indicateur d Euler). Φ (X) = Π (X r) = r primitive X8 X 7 + X 5 X 4 + X 3 X + 1 L extension Q[ζ] est donc algébrique de degré 8 sur Q. Q[ζ] est un corps de décomposition de Φ donc l extension est normale. On peut donc considérer le groupe de Galois G = Gal(Q[ζ] Q).

5 THEORIE DE GALOIS CONSTRUCTION DU POLYGONE A COTES 5 3. Etude de G a) Le groupe de Galois G est formé des Q-automorphismes de Q[ζ]. b) Le cardinal de G est le degré de l extension normale donc 8. c) Il agit sur l ensemble des racines ièmes primitives de l unité. d) Les éléments de G sont les σ k : ζ ζ k avec k = 1 donc k {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} ; Φ étant irréductible sur Q, l action est transitive Sous-groupe de G. D après le théorème de Lagrange : les sous-groupes de G sont d ordres 1,2,4 ou 8. On considère φ : G (Z/Z) σ k k φ est un isomorphisme de groupe. Théorème chinois : Z/Z Z/3Z Z/5Z donc (Z/Z) (Z/3Z) (Z/5Z) On note χ cet isomorphisme. (Z/3Z) et (Z/5Z) sont des groupes cycliques donc (Z/3Z) (Z/5Z) (Z/2Z) (Z/4Z), on note ψ cet isomorphisme, on obtient la table suivante : σ σ 1 σ 2 σ 4 σ 7 σ 8 σ 11 σ 13 σ 14 φ(σ) χ(φ(σ)) (1,1) (2,2) (1,4) (1,2) (2,3) (2,1) (1,3) (2,4) ψ(χ(φ(σ))) (0,0) (1,1) (0,2) (0,1) (1,3) (1,0) (0,3) (1,2) ordre Cette table met en évidence les sous-groupes de (Z/2Z) (Z/4Z) : d ordre 2 : < (0, 2) >, < (1, 0) >, < (1, 2) > d ordre 4 : < (1, 1) >, < (0, 1) >, < (1, 0), (0, 2) >. On en déduit par isomorphisme les sous-groupes de G : d ordre 2 : < σ 4 >, < σ 11 >, < σ 14 > d ordre 4 : < σ 2 >, < σ 7 >, < σ 4, σ 11, σ 14 > On obtient le treillis suivant : G {id} < σ 4 > < σ 11 > < σ 14 > < σ 2 > < σ 7 > < σ 4, σ 11, σ 14 >

6 6 RAIBAUT MICHEL 3.2. Correspondance de Galois. Corps des invariants Soient K un corps, L une extension de K, H un sous groupe de Gal(L K). L ensemble Inv(H) des éléments x de L invariants pas H, autrement dit tels que pour tout σ de H, on ait σ(x)=x est un sous-corps de L appelé corps des invariants de H. Théorème d Artin Soient K un corps, L C une extension de K et H un sous-groupe fini d ordre r de Gal(L K). L est une extension normale de Inv(H) de degré r et Gal(L Inv(H))=H. Q[ζ] r Inv(H) Q {id} Gal(Q[ζ] Inv(H)), d ordre r Gal(Q[ζ] K) La Correspondance de Galois : Théorème fondamental de la théorie de Galois Soient K un corps, N une extension normale de degré fini de K, E l ensemble des extensions intermédiaires entre K et N, G l ensemble des sous-groupes de Gal(N K). Notons I : G E l application qui associe à un sous-groupe de H de Gal(N K) le corps des invariants I(H) et G : E G l application qui associe à une extension L le groupe Gal(N L). a) I et G définissent des bijections réciproques, décroissantes pour l inclusion. b) I et G définissent par restriction des bijections réciproques de l ensemble E des extensions normales de K contenues dans N sur l ensemble G des sous groupes-distingués de Gal(N K)

7 THEORIE DE GALOIS CONSTRUCTION DU POLYGONE A COTES 7 Ici on obtient donc la correspondance de Galois suivante : {id} < σ 4 > < σ 11 > < σ 14 > < σ 2 > < σ 7 > < σ 4, σ 11, σ 14 > G Inv(< σ 2 >) Q[ζ] Inv(< σ 4 >) Inv(< σ 11 >) Inv(< σ 14 >) Inv(< σ 7 >) Inv(< σ 4, σ 11, σ 14 >) Q On cherche donc maintenant le corps des invariants de chaque sous-groupe,en tentant d insérer cos( 2π ). 4. Recherche des différents corps des invariants ζ = e i2π donc ζ 3 = e i2π 5 = η et ζ 5 = e i2π 3 = j de plus cos( 2π 5 ) = Ainsi Q[η], Q[j] et Q[ 5] sont des sous corps de Q[ζ] que l on va naturellement étudier : 1) j est une racine primitive de l unité. Son polynome minimal est le 3ième polynome cyclotomique : Φ 3 (X) = X 2 + X + 1 L extension Q[j] est une extension normale de degré 2 (comme corps de décomposition de Φ 3 ). Donc [Q[ζ] : Q[j]]=4 d après le théorème d Artin Gal(Q[ζ] : Q[j]) à 4 éléments. Q[ζ] 4 Q[j] 2 Q {id} Gal(Q[ζ] Q[j]), d ordre 4 Gal(Q[ζ] Q), d ordre 8 On note H = Gal(Q[ζ] Q[j]). Soit σ k H donc σ k (j) = j or j = ζ 5 donc ζ 5k = ζ 5 donc 5k=5 mod() donc k=1 mod(3) donc k {1, 4, 7, 13} donc Gal(Q[ζ] Q[j]) =< σ 7 > donc le corps des invariants de < σ 7 > est Q[j]

8 8 RAIBAUT MICHEL 2) η est une racine primitive de l unité. Son polynome minimal est le 5ième polynome cyclotomique : Φ 5 (X) = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 L extension Q[η] est une extension normale de degré 4 (comme corps de décomposition de Φ 5 ). Donc [Q[ζ] : Q[η]]=2 D après le théorème d Artin Gal(Q[ζ] : Q[η]) à 2 éléments. On note H = Gal(Q[ζ] Q[η]). Soit σ k H donc σ k (η) = η or η = ζ 3 donc ζ 3k = ζ 3 donc 3k=3 mod() donc k=1 mod(5) donc k {1, 4} donc Gal(Q[ζ] Q[η]) =< σ 4 > donc le corps des invariants de < σ 4 > est Q[η] 3) 5 a pour polynome minimal : P (X) = X 2 5 L extension Q[ 5] est une extension normale de degré 2 (comme corps de décomposition de P). Donc [Q[ζ] : Q[ 5]]=4 D après le théorème d Artin Gal(Q[ζ] : Q[ 5]) a 4 éléments. On note H = Gal(Q[ζ] Q[ 5]). Or cos( 2π 5 ) = donc Q[η + η 1 ] = Q[ 5] Soit σ k H donc σ k (η + η 1 ) = (η + η 1 ) or η = ζ 3 donc ζ 3k + ζ 3k = ζ 3 + ζ 3 donc cos( 2kπ 5 ) =cos( 2π 5 ) donc 2kπ 5 = 2π 2kπ 5 + 2pπ ou 5 = 2π 5 + 2pπ donc k {1, 4, 11, 14} donc Gal(Q[ζ] Q[ 5]) =< σ 4, σ 14, σ 11 > donc le corps des invariants de < σ 4, σ 14, σ 11 > est Q[ 5] (On aurait pu le prévoir avec la correspondance Q[η] étant une extention de degré 2 Q[ 5]). A ce stade on a la configuration suivante : {id} < σ 4 > < σ 11 > < σ 14 > < σ 2 > < σ 7 > < σ 4, σ 11, σ 14 > G Q[ζ] Q[j, 5] Q(< η >) Inv(< σ 14 >) Inv(< σ 2 >) Q[j] Q[ 5] Q

9 THEORIE DE GALOIS CONSTRUCTION DU POLYGONE A COTES 9 4) On remarque que : Inv(< σ 4 >) est une extension de degré 2 sur Q[ 5] et Q[j] donc de degré 4 sur Q donc Gal(Q[ζ] Q[j, 5]) a 2 éléments. Or Gal(Q[ζ] Q[j, 5]) = Gal(Q[ζ] Q[j]) Gal(Q[ζ] Q[ 5]) =< σ 4 >. Donc le corps des invariants de < σ 4 > est Q[j, 5] 5) Cherchons le corps des invariants de < σ 2 > On sait que < σ 2 >= Gal(Q[ζ] Inv(< σ 2 >) a 4 éléments donc Inv(< σ 2 >) est une extension de degré 2 sur Q. Or σ 2 2 = σ 4 donc Inv(σ 2 ) est un sous corps de Q[j, 5] Une base de Q[j, 5] est (1, j, 5, j 5), il faut chercher l image de j et 5 σ 2 (j) est un conjugué de j donc j ou j 2 de même σ 2 ( 5) est un conjugué de 5 donc 5 ou 5 or σ 2 < σ 7 >= Gal(Q[ζ] Q[j]) donc σ 2 (j) = j 2 de même σ 2 < σ 4, σ 11, σ 14 >= Gal(Q[ζ] Q[ 5]) donc σ 2 ( 5) = 5 donc σ 2 (a + bj + c 5 + dj 5) = a + bj 2 c 5 dj 2 5 donc a + bj + c 5 + dj 5 = a + bj + c 5 + dj 5 donc les invariants de < σ 2 > sont de la forme a + c 5(1 + 2j) = a + ci () donc le corps des invariants de (< σ 2 >) est Q[i ()] 6) On pose K = Inv < σ 14 >. < σ 14 > a 2 éléments donc K est une extention de degré 4 de Q. σ 14 (ζ) = ζ 14 = ζ 1 donc σ 14 (ζ + ζ 1 ) = ζ + ζ 1 donc 2cos( 2π ) = ζ + ζ 1 est invariant donc Q[cos( 2π )] K. Or Q[ζ] est de degré 2 sur Q[cos( 2π )], le polynôme minimal étant P (X) = X 2 2Xcos( 2π ) + 1 donc, par égalité des dimensions, le corps des invariants de (< σ(14) >) est Q[cos( 2π )]

10 10 RAIBAUT MICHEL d ou les treillis finaux : {id} < σ 4 > < σ 11 > < σ 14 > < σ 2 > < σ 7 > < σ 4, σ 11, σ 14 > G Q Q[ζ] Q[j, 5] Q[η] Q[cos( 2π )] Q[i ()] Q[j] Q[ 5] On a donc construit une tour d extensions quadratiques Q Q[ 5] Q[cos( 2π )] Ceci prouve que le nombre cos( 2π ) est constructible donc que le polygone à côtés l est.

11 THEORIE DE GALOIS CONSTRUCTION DU POLYGONE A COTES Construction du polygone regulier a cotes 5.1. Valeur de cos( 2π ). On considère le groupe de Galois Gal(Q[cos( 2π )] Q[ 5]), d ordre 2, engendré par les restrictions de σ 4 et σ 11 qui sont égales. (cf 2.3.1). σ 4 (cos( 2π 2π 2π ) est un conjugué de cos( ) donc cos( ) est racine du polynôme : X 2 [cos( 2π ) + σ 4(cos( 2π 2π ))]X+cos( ) σ 4(cos( 2π )) dont les coefficients sont dans Q[ 5]. De plus, Φ = 0 donc ζ 8 ζ 7 + ζ 5 ζ 4 + ζ 3 ζ = 0 donc ζ 4 ζ 3 + ζ ζ 1 ζ 3 + ζ 4 = 0 cos( 2π ) + σ 4(cos( 2π )) = ζ ζ 1 +ζ 4 ζ 4 2 = ζ3 +1+ζ 3 2 =cos( 2π 5 ) + 1/2 = cos( 2π ) σ 4(cos( 2π )) = (ζ ζ 1 )(ζ 4 ζ 4 ) 2 = ζ3 +ζ 3 +ζ 5 +ζ 5 2 donc cos( 2π ) σ 4(cos( 2π )) = 1 2 (cos( 2π 5 )+cos( 2π 3 )) = 3+ 5 cos( 2π 2π ) > 0 d ou : cos( ) = Le polygone régulier à côtés est constructible. 2π = 2 2π 5 2π 3 8 Fig. 2. polygone à 5 côtés Construction du polygone régulier à 5 côtés. On considère le cercle unité. Soit A le milieu du segment OI, on a AJ= Par le cercle de centre A et de rayon AJ, construisons le pint B sur Ox tel que AB = AJ. On a alors OB = En notant C le milieu de OB, on a alors OC =cos( 2π ). 5 4.

12 12 RAIBAUT MICHEL La perpendiculaire en C à Ox permet d obtenir le sommet M 1 ; en reportant avec le compas la corde IM 1 on obtient les sommets M 2, M 3, M 4. Fig. 3. polygone à côtés Construction du polygone régulier à côtés. On considère le cercle unité. On construit le polygone à 5 côtés, puis le triangle équilatéral, en particulier les points M et N tels que : ( OI, OM) = 2 2π 5 et ( OI, ON) = 2π 3. On a alors ( ON, OM) = 2π 5 En reportant au compas la corde MN, on construit le polygone Théorème de Gauss. Théorème 5.1. Les polygones réguliers constructibles (à la règle et au compas ) sont ceux dont le nombre de côtés n est de la forme 2 α ou de la forme 2 α p 1 p 2..p r avec α N et où les p i sont des nombres premiers distincts qui sont des nombres de Fermat. 6. Bibliographie [1]. CARREGA Jean-Claude-Théorie des corps. La règle et le compas. HERMANN, Paris, 1981, 277 pages. [2]. ESCOFIER Jean-Pierre-Théorie de Galois. DUNOD. 2 e édition. 238 pages. [3]. PERRIN Daniel-Cours d algèbre. ellipses, 207 pages. [4]. SAMUEL pierre-théorie algébrique des nombres. Hermann, Paris, 1967, 130 pages