Espaces vectoriels Sommes Définitions 10 Dimensions de sommes 11 Sous espaces supplémentaires 12 Projecteurs 13

Transcription

1 Lycee Faidherbe, Lille PC* Chapitre 12 Espaces vectoriels 12.1 Rappels Espaces vectoriels 2 Sous espaces vectoriels 3 Bases 4 Dimension finie 5 Polynômes de Lagrange 6 Applications linéaires 7 Rang 8 Matrices Sommes Définitions 10 Dimensions de sommes 11 Sous espaces supplémentaires 12 Projecteurs Formes linéaires Éléments propres Dimension finie Polynômes d endomorphisme

2 12.1 Rappels Espaces vectoriels Un espace vectoriel sur K, E, +,., est un ensemble muni d une loi interne + : E E E, x, y x + y et d une loi externe. : K E E, λ, x λ.x telles que il existe 0 E E tel que 0 E + x = x + 0 e = x pour tout x E, pour tout x E il existe x E tel que x + x = x + x = 0 E, pour tous x, y, z E, x + y + z = x + y + z, pour tous x, y E, x + y = y + x, pour tout x E, 1.x = x, pour tous x, y E, pour tout λ K, λ.x + y = λ.x + λ.y, pour tout x E, pour tous λ, µ K, λ + µ.x = λ.x + µ.x, pour tout x E, pour tous λ, µ K, λµ.x = λ.µ.x. Les trois premiers axiomes signifient que E, + est un groupe. L élément neutre, 0 E est unique ; si 0 E et ω sont des éléments neutres alors ω = 0 E +ω = 0 E car 0 E est neutre à gauche et ω est neutre à droite. L opposé, x, d un vecteur est unique car si x et x sont des opposés de x alors x = x + 0 E = x + x + x = x + x + x = 0 E + x = x. Le quatrième axiome signifie que ce groupe est commutatif ; il est une conséquence des autres axiomes car 2.x + y = 2.x + 2.y d où, en écrivant 2 = 1 + 1, x + y + x + y = x + x + y + y puis, en ajoutant x à gauche et y à droite, x + y = y + x. On a 0.x = 0 E voir la propriété ci dessous. L opposé de x est 1.x ; en effet x + 1.x = 1 1.x = 0.x = 0 E. Propriété [ λ.x = 0E ] [ λ = 0 ou x = 0E ]. D : on note u = 0.x, on a u + u = x = 0.x = u donc u = 0 E, de même si v = λ.0 E alors v + v = λ.0 E + 0 E = λ.0 E = v donc v = 0 E. : si λ.x = 0 E et si λ est non nul alors 1 x = 1.x = λ.λ.x = 1 λ. λ.x = 1 λ.0 E = 0 E page 2

3 Exemples 1. Pour n N, K n est un K espace vectoriel pour les opérations : x 1 y 1 x 1 + y 1 x 1 λx =. et λ.. =. avec 0 K n = x n y n x n + y n x n λx n A désigne un ensemble quelconque et K A ou FA, K désigne l ensemble des fonctions définies sur A, à valeurs dans K. K A est un K espace vectoriel pour les opérations : x A f + gx = f x + gx et λf x = λf x avec 0x = 0 Pour A = [[1; n]] on assimile K A à K n. Pour A = N K N est l ensemble des suites de K. 3. Si E et F désignent des K espaces vectoriels on définit, dans E F = {x, y ; x E, y F}, x 1, y 1 + x 2, y 2 = x 1 + x 2, y 1 + y 2 et λ.x, y = λx, λy E F, +,. est un K espace vectoriel avec x, y = x, y et 0 E F = 0 E, 0 F Sous espaces vectoriels Une partie F d un K espace vectoriel E est un sous espace vectoriel de E noté aussi s.e.v. si F est non vide et est stable pour les lois de E. Caractérisation F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si 0 E appartient à F ou F est non vide et pour tous λ, µ K, pour tous x, y F, λ.x + µ.y appartient à F. Si A est une partie non vide de E, un vecteur x de E est dit combinaison linéaire d éléments de A s il existe une partie finie A = {a 1,..., a p } A et des scalaires λ 1, λ 2,..., λ p tels que x = λ k a k. k=1 On note VectA, l espace engendré par A, l ensemble de toutes les combinaisons linéaires d éléments de A. On conviendra que Vect = {0 E }. VectA est un sous espace de E contenant A. Un sous-espace de E contient A si et seulement si il contient VectA. Exemple : si A est un ensemble on note i x la fonction de A vers K définie par i x x = 1 et i x y = 0 pour y x. L espace engendré par ces fonctions est noté K A ; c est l ensemble des fonctions de A vers K nulles sauf en nombre fini de points fonctions à support fini. Si A = N les éléments de K N sont les suites nulles à partir d un certain rang ; on peut d donc assimiler K N et K[X] en identifiant a k X k à a 0, a 1,, a d, 0,, 0,. page 3

4 12.13 Bases Si I désigne un ensemble, on appelle famille de vecteurs de E indexée par I toute application de I dans E qui à i associe x i, on la notera x i i I ou x i ; i I. Une famille u i ; i I est génératrice si et seulement si Vect {u i ; i I} = E. Une famille u i ; i I est libre si et seulement si pour toute partie finie {i 1,..., i p } incluse dans I, λ 1,..., λ p K p λ k u ik k=1 = 0 E = [λ1 = = λ p = 0] Un famille non libre est dite liée. Une famille F = e i ; i I est liée si et seulement si il existe i 0 I tel que Vect F \ {e i0 } = Vect F. Une famille u i ; i I est une base si et seulement si elle est libre et génératrice. Tout espace admet une base. Ce théorème admis n est pas constructif ; pour un espace de dimension infinie on ne sait en général pas construire une base. Traductions dans le cas I = {1,..., n} Une famille {u 1,..., u n } est génératrice si et seulement si x E λ 1,..., λ n K n / n x = λ k u k k=1 Elle est libre si et seulement si n λ 1,..., λ n K n k=1 λ k u k = 0 E = [λ1 = = λ n = 0] Elle est libre si et seulement si e 1 0 et k [[2; n]] e k / Vecte 1,..., e k 1. Elle est une base si et seulement si x E! λ 1,..., λ n K n / n x = λ k u k k=1 Traductions dans le cas I = N Une famille {u n, n N} est génératrice si et seulement si x E N N λ 0,..., λ N K N+1 / x = N+1 k=1 λ k u k Elle est libre si et seulement si N N N λ 0,..., λ N K N+1 page 4 λ k u k = 0 E = [ k λk = 0]

5 Elle est libre si et seulement si e 0 0 et k 0 e k / Vecte 1,..., e k 1. Elle est une base si et seulement si, en notant E N = Vecte 0,..., e N, dime N = N + 1 et x E, N N / x E N Exemples 1. Si E = K[X] alors X n, n N est une base de E n N, 2 n n N est une base de l ensemble des suites telles que un+2 = 3u n+1 2u n. sh, ch est une base de l ensemble des fonctions de classe C 1 sur R telles que telles que y = y. Théorème dit de la base incomplète Si B 1 est une famille génératrice finie de E contenant une famille libre B 2 alors il existe une base B de E telle B 2 B B Dimension finie Un espace est de dimension finie s il admet une famille génératrice finie. Tout espace de dimension finie admet une base finie. Toutes les base d un espace de dimension finie ont même cardinal. C est la dimension de l espace, dime. On suppose E de dimension finie avec dime = n. B est une famille finie de E. Si B est génératrice elle est de cardinal au moins n. Si B est libre elle est de cardinal au plus n. B est une famille de E de cardinal n = dime. alors B est une base si et seulement si elle est libre, B est une base si et seulement si elle est génératrice. Tout sous espace F de E est de dimension finie avec dimf dime. Si F et G sont des sous espaces de E tels que F G alors [ F = G ] [ dimf = dimg ]. page 5

6 12.15 Polynômes de Lagrange E est l espace des polyômes de degré p 1 au plus, E = K p 1 [X] Si a 1, a 2,..., a p sont des scalaires distincts on note L i X = L i est le i ième polynôme de Lagrange associé aux a i. 1 j p,j i On a L i a j = δ i,j donc, pour tout P K p 1 [X], le polynôme Q = P Qa k = Pa k Ainsi PX = X a j a i a j ; Pa i δ i,k = 0 : Q K p 1 [X] admet p racines donc est nul. Pa k L k X pour tout P K p 1 [X] : k=1 L 1,..., L p est génératrice de K p 1 [X]. Si λ k L k = 0 alors la valeur en a i donne λ i = 0 donc la famille est libre. k=1 Pa i L i vérifie Propriété L 1, L 2,..., L p est une base de K p 1 [X]. Pour tout P K p 1 [X], PX = Pa i L i X. Cas particuliers 1. Pour PX = 1 : 2. Pour PX = X, 3. On note NX = On a N X = L i X = 1. a i L i X = X. p X a j. j=1 1 j p,j i 1 NX L i X =. N a i X a i X a j donc N a i = 1 j p,j i a i a j. Pour tout P K p 1 [X], on obtient, en divisant la formule d interpolation par NX, PX NX = Pa i /N a i. X a i Dans le cas des p racines p ièmes de l unité, a k = ω k = e 2ikπ/p, on a NX = X p 1, N X = px p 1 donc N ω k = pω p 1 k = pω 1 1 k puis X p 1 = 1 ω k. p X ω k k=1 page 6

7 12.16 Applications linéaires Une application linéaire du K espace vectoriel E dans le K espace vectoriel F est une application f de E dans F telle que x, y E λ, µ K f λ.x + µ.y = λ.f x + µ.f y LE, F est l ensemble des applications linéaires de E dans F. Si E = F on note LE = LE, F dont les éléments sont des endomorphismes. On définit les lois de LE, F par f + gx = f x + gx et λ.f x = λf x. LE, F, muni de ces lois, est un espace vectoriel La composée de 2 applications linéaires est linéaire. Si u est linéaire inversible alors u 1 est linéaire. Une application linéaire bijective de E vers F est un isomorphisme. Une application linéaire bijective de E vers E est un automorphisme. On note GLE l ensemble des automorphismes de E. GLE, est un groupe. LE, +,., est une K algèbre. C est à dire LE, +,. est un espace vectoriel, LE, +, est un anneau et λ.u v = λ.u v = u λ.v. Si B = e i ; i I est une base de E, si u est une application linéaire de E vers F et si B = ue i ; i I est la famille de F image de B par u alors 1. u est injective si et seulement si B est libre 2. u est surjective si et seulement si B engendre F 3. u est bijective si et seulement si B est une base de F. Si u appartient à LE, F alors pour tout sous espace de E, E, l image directe de E par u est ue = {y F / x E y = ux}. ue est un sous espace de F. Pour tout sous espace F de F l image inverse de F par u est u 1 F = {x E / ux F }. u 1 F est un sous espace de E. Le noyau de u, keru = u 1 {0 F } = u 1 {O F } est un sous espace de E. L image de u, Imu = ue est un sous espace de F. u est surjective si et seulement si Imu = F. u est injective si et seulement si keru = {0 E }. Si u LE, F et v LF, G alors keru kerv u et Imv u Imv. Si u et v sont des endomorphismes de E et si u v = v u alors keru et Imu sont stables par v. page 7

8 12.17 Rang E est de dimension finie et u appartient à LE, F Imu est engendré par l image d une base de E donc est de dimension finie. Le rang de u est la dimension de Imu : rgu = dim Imu. Théorème du rang rgu + dim keru = dime D Soient r le rang de u, f 1, f 2,..., f r une base de Imu et e 1, e 2,..., e p une base de keru. Si Pour tout i [[1; r ]] il existe un vecteur, e i+p, tel que ue i+p = f i. On va prouver que la famille B = e 1, e 2,..., e p, e 1+p,..., e r +p est une base de E. p+r λ i e i = 0 E alors 0 F = p+r = 0 F + car f 1, f 2,..., f r est libre puis λ i ue i = p+r i=p+1 λ i ue i + p+r i=p+1 λ i ue i λ i f i p d où λ p+1 = = λ p+r = 0 λ i e i = 0 E car e 1, e 2,..., e p est libre. Ainsi tous les coefficients sont nuls : la famille est libre. Si x appartient à E alors ux Imu donc on peut écrire ux = On pose alors x = r y i e i+p ; on a ux = x x keru. On peut alors écrire x x = x = r y i f i. r y i ue i+p = ux donc x i e i donc r x i e i + y i e i+p : la famille est génératrice. Ainsi dime = card B = p + r = dim keru + rgu Si E et F sont de dimension finie, si u LE, F et si v LF, G alors rgv u min{rgu, rgv}. D On a Imv u Imv donc rgv u rgv et keru kerv u donc rgv u = n dim kerv u n dim keru = rgu Si u LE, F avec dime = dimf alors u bijective u injective u surjective Si v est un isomorphisme de F vers G alors, pour tout u LE, F, rgv u = rgu. page 8

9 12.18 Matrices Si E et F sont de dimension finie. Si B = e 1, e 2,..., e n et B = f 1, f 2,..., f p sont des bases de E et F respectivement n on définit e i,j LE, F par e i,j e k = δ k,j f i : si x = x j e j alors e i,j x = x j f i. Si u appartient à LE, F on définit ue j = a i,j f i ; pour tout x E on a alors n n n n ux = u x j e j = x j ue j = a i,j x j f i donc u = a i,j e i,j. j=1 j=1 j=1 e i,j ; 1 i n, 1 j p est une base de LE, F. j=1 j=1 Si E et F sont de dimension finie alors LE, F est de dimension finie et dim LE, F = dime dimf On note M B,B u la matrice a i,j 1 i n, 1 j p ; c est la matrice de u relativement aux bases B et B. En particulier si u LE on note M B u = M B,B u. y = ux si et seulement si Y = M B,B u.x avec X = n x = x i.e i et y = y i.f i. x 1. x n et Y = y 1. y p pour Si G est de dimension finie et si B est une base de G alors, pour v LF, G, M B,B v u = M B,B v.m B,B u Si u est un isomorphisme donc p = n alors u 1 = M B,B u 1 M B,B Si B et B sont deux base de E la matrice P = M B1,BId E est la matrice de changement de base de B à B. C est la matrice des composantes des vecteurs de la nouvelle base B dans l ancienne. Si, de plus, B et B sont deux bases de F et Q = M B 1,B Id F alors M B1,B 1 u = Q 1.M B,B u.p Si u appartient à LE, M B1 u = P 1.M B u.p. Si u LE, M B1 u et M B u sont semblables ; elles ont donc même trace, même déterminant et même polynôme caractéristique. Ce sont respectivement la trace, le déterminant et le polynôme caractéristique de u. Si u LE, F est de rang r alors il existe une base B de E et une base B de F telles que M B,B u = I n,p,r. page 9

10 12.2 Sommes Définitions Une union de sous espaces n est en général pas un sous espace. Définition F F p = VectF 1 F 2 F p. Propriétés F F p = {x x p ; x i F i } Si G est un s.e.v. de E tel que, si F i G pour tout i, alors F F p G. D On note F = {x x p ; x i F i } ; en choisissant x j = 0 pour j i on voit que tout élément x i F i appartient à F donc F i F puis F 1 F 2 F p F. De plus F est un sous-espace de E donc, par définition de l espace engendré, on a F F p F. Inversement, si x i F i F F p pour tout i alors x x p F F p donc F F F p : on a égalité. L autre propriété est un conséquence des propriétés de l espace engendré Si on définit Φ de F 1 F 2 F p vers E par Φx 1, x 2,..., x p = x 1 + x x p on voit donc que F F p = ImΦ ; la surjectivité de Φ traduit simplement que la somme est égale à E tout entier, l injectivité traduit une des propriétés suivantes : Propriété Les propriétés suivantes sont équivalentes 1 la seule décomposition de 0 E est 0 E E 2 tout élément de la somme se décompose de manière unique 3 F i F 1 + +F i 1 +F i+1 + +F p = {0E } pour tout i 4 F i F F i 1 = {0E } pour 2 i p. On dit alors que la somme F F p est directe ; on l écrit F 1 F p. D [1 2] C est la caractérisation par le noyau de l injectivité de Φ ci dessus. [1 = 3] Si x i F i F F i 1 + F i F p alors il existe des xj F j tels que x i = x 1 + +x i 1 +x i+1 + +x p donc 0 E = x 1 + +x i 1 x i +x i+1 + +x p et l unicité par 1 implique x i = 0 E d où 3 [3 = 4] Cela provient de {0 E } F i F F i 1 Fi F F i 1 + F i F p [4 = 1] Si 0 E = x 1 + +x p alors x p = x x p 1 F p F 1 + +F p 1 donc x p = 0 E, on a alors x p 1 = x x p 2 F p F F p 2 donc x p 1 = 0 E et on continue ainsi pour prouver que les x i sont tous nuls page 10

11 12.22 Dimensions de sommes F 1, F 2,..., F p sont des sous espaces de dimension finie de E, dimf i = d i. B i = e i,j ; 1 j d i est une base de Fi. On définit B = e i,j ; 1 i p, 1 j d i. Lemme B est une famille génératrice de F F p = F. D Si x appartient à F alors x = x i = d i j=1 a i,j e i,j puis x = Elle est libre si et seulement si la somme est directe. d i j=1 x i avec x i F i donc on peut écrire On suppose la somme directe. d i Si a i,j e i,j = 0 E alors, en notant x i = j=1 a i,j e i,j Vect B : B est génératrice de F. d i j=1 a i,j e i,j, on a x i F i et d où x i = 0 E pour tout i car la somme est directe. d i Alors a i,j e i,j = 0 E donc a i,j = 0 pour tout j car B i est libre. j=1 On a donc prouvé que B est libre. On suppose B libre. Si 0 E = x i avec x i F i on écrit x i = d i j=1 a i,j e i,j donc d i j=1 x i = 0 E a i,j e i,j = 0 E. Comme B est libre on a a i,j = 0 pour tous i et j donc x i = 0 E pour tout i : la somme est directe Corollaire E = F 1 F p si et seulement si B est une base. Propriété Corollaire Si E est de dimension finie alors tout sous espace de E admet un supplémentaire. Si F est un sous espace de E alors toute base de F, e 1,..., e p, est une famille libre de E que l on peut compléter en une base e 1,..., e p, e p+1,..., e n de E. Si F = Vecte p+1,..., e n le résultat précédent montre que E = F F. dim p F F p dimf i. dim p F F p = dimf i si et seulement si la somme est directe. page 11

12 12.23 Sous espaces supplémentaires Définition Deux sous espaces F et G de E sont supplémentaires si E = F G. On admettra que tout sous espace de E admet un supplémentaire. Théorème Si E est un supplémentaire de keru dans E alors la restriction de u à E définit un isomorphisme entre E et Imu. D On a vu que ker u E = keru E = {0 E } donc u E est injective. Si y appartient à Imu alors il existe x E tel que y = ux. On décompose x = x 1 + x 2 avec x 1 keru et x 2 E ; on a y = ux = ux 1 + ux 2 = 0 E + ux 2 = u E x 2. u E est surjective Théorème Formule de Grassman dimf + G = dimf + dimg dimf G D On choisit des supplémentaires de F G dans F et G : F = F F G et G = G F G. F F F + G On a G G F + G donc F + F G + G F + G et F G F F + G { } F = F + F G F + F G + G G = F G + G F + F G + G donc F + G F + F G + G. Ainsi F + G = F + F G + G. Si 0 E = x 1 + x 2 + x 3 avec x 1 F, x 2 F G et x 3 G alors x 1 + x 2 appartient à F et x 2 + x 3 appartient à G. Ainsi x 1 = x 2 + x 3 appartient à F G donc à F G et à F : x 1 = 0 E. De même x 3 = 0 E puis x 2 = 0 E : la somme est directe, F + G = F F G G. Or dimf = dimf dimf G et dimg = dimg dimf G d où dimf + G = dimf + dimf G + dimg = dimf + dimg dimf G... Corollaire Si dimf + dimg = dime alors F et G sont supplémentaires si et seulement si F G = {0} ou si et seulement si F + G = E. page 12

13 12.24 Projecteurs Si E = E 1 E 2 E q on nomme p i x les composantes dans la décomposition : x = p 1 x + + p q x avec p i x E i Les p i sont les projections associées à la somme directe. On les considère comme des fonctions de E vers E. Propriétés p i est linéaire p 1 + p p q = Id E p i p i = p i p i p j = 0 pour i j Imp i = E i kerp 1 = E 1 E i 1 E i+1 E q D La linéarité est une conséquence de l unicité de la décomposition : si x = p 1 x + + p q x, y = p 1 y + + p q y et λ.x + µ.y = p 1 λ.x + µ.y + + p q λ.x + µ.y on a aussi λ.x + µ.y = λ. p 1 x + + p q x + µ. p 1 y + + p q y = λ.p 1 x + µ.p 1 y + + λ.p q x + µ.p q y avec λ.p i x + µ.p i y E i donc p 1 λ.x + µ.y = λ.p 1 x + µ.p 1 y, p i est linéaire. Par construction on a Id E x = x = p 1 x + + p q x = p p q x. Pour tout x p i x E i donc p i x = p i x en est la décomposition. Ainsi p j pi x = 0 pour j i et p i pi x = p i x d où p j p i = 0 pour j i et p i p i = p i. On a Imp i E i par construction. Si x appartient à E i alors x = 0 E E + x + 0 E E donc p j x = 0 E pour j i et p i x = x. Ainsi E i Imp i puis E i = Imp i. On a p i x = 0 E pour x E j d où E j kerp i pour j i puis E 1 E i 1 E i+1 E q kerp i. Inversement si x = x x q appartient à kerp i alors x i = 0 E donc x E 1 E i 1 E i+1 E q. On a donc prouvé l autre inclusion d où l égalité Définition Propriétés Un projecteur de E est un endomorphisme p de E tel que p p = p. Si p est un projecteur de E alors Imp = {x E / px = x} E = kerp Imp, p est la projection sur Imp associée Id E p est un projecteur, kerid E p = Imp et ImId E p = kerp. page 13

14 D Si px = x alors x appartient à Imp. Inversement si x Imp alors il existe y E tel que x = py d où px = p py = p py = py = x. Ainsi Imp = {x E / px = x}. Pour tout x E, x = px + x px avec px Imp et p x px = px p px = 0 E donc x px kerp d où x Imp + kerp. E kerp + Imp E d où l égalité. Si x kerp Imp alors px = 0 E et px = x donc x = 0 E : la somme est directe. Id E p est la projection sur kerp Théorème Si p est un projecteur de E avec E de dimension finie alors rgp = trp. D On choisit une base e 1, e 2,..., e r de Imp et une base e r +1, e r +2,..., e n de keru. E = Imp kerp donc e 1,..., e r, e r +1,..., e n est une base, B, de E. 1 r r +1 n On a alors M B p = r r n donc tru = r = rgu Formes linéaires Définitions Lemme Une forme linéaire sur E est une application linéaire de E vers K. Un hyperplan de E est le noyau d une forme linéaire non nulle sur E. Un sous espace H de E est un hyperplan si et seulement si H E et, pour tout a E \ H, E = H Vecta. D On suppose que H est un hyperplan de E, H = kerϕ avec ϕ forme linéaire non nulle. Soit a E \ H ; on a H Vecta = {0 E } et, pour tout x E, si x = x ϕx ϕa a alors ϕx = ϕx ϕx ϕa ϕa = 0 donc x H. Alors x = x + ϕx a H + Vecta. Ainsi E = H Vecta. ϕa Si E = H K.a on note p le projecteur sur K.a associé. Si α est l isomorphisme de K vers Vecta défini par αt = ta alors ϕx = α 1 px est une forme linéaire sur E de noyau égal à celui de p donc de noyau H : H est un hyperplan; page 14

15 Propriété Deux formes linéaires non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles. D Si ϕ = λ.ϕ avec λ 0 alors kerϕ = kerϕ. Inversement si kerϕ = kerϕ = H alors, pour a E\H on a ϕa 0 et ϕ a 0. Il existe un scalaire k, non nul, tel que ϕ a = kϕa. On pose ψ = ϕ kϕ ; on a h kerψ et a kerψ. Si x est un élément de E alors x = x ϕx ϕa a vérifie ϕx = 0 donc x H. Alors x = x + ϕx ϕa a appartient à kerψ pour tout x E d où ψ = 0 puis ϕ = kϕ. On suppose maintenant E de dimension finie. B = e 1, e 2,..., e n est une base de E alors, pour tout x E on note x i les coordonnées n de x dans la base B : x = x i.e i. Propriétés Toute forme linéaire peut s écrire ϕx = n a i x i. Corollaire Pour tout x E non nul il existe une forme linéaire ϕ telle que ϕx = 1. D On complète x en une base B = x, e 2,..., e n de E, ϕx = x1 convient Éléments propres u est un endomorphisme de E. Définition Une valeur propre de u est un scalaire λ K tel qu il existe un vecteur non nul, x E, tel que ux = λ.x. Un vecteur propre de u est un vecteur non nul, x E, tel qu il existe un scalaire λ K tel que ux = λ.x. Le spectre de u est l ensemble de ses valeurs propres. On le note spu. L ensemble des vecteurs propres pour une valeur propre de u, λ, augmenté de {0 E } est le sous espace propre associé à λ. On le note Eλ, u = {x E / ux = λ.x}. Même si λ n est pas une valeur propre on peut définir Eλ, u qui est alors réduit à {0 E }. Propriété Eλ, u = keru λid E ; c est donc un sous espace de E. Propriété x est vecteur propre de u si et seulement si la droite K.x = Vectx est stable par u. page 15

16 Définition Théorème u est diagonalisable si u admet un nombre fini de valeurs propres et E est somme directe des sous espaces propres. Si u et v commutent c est à dire si v u = u v alors les sous-espaces propres de u sont stables par v D Si x Eλ, u alors ux = λx et u vx = u vx = v ux = v ux = vλx = λvx donc vx Eλ, u Théorème La somme d un nombre fini de sous-espaces propres est une somme directe. D Soient λ 1, λ 2,..., λ p des valeurs propres distinctes de u. Si 0 E = x 1 + x x p avec x i Eλ i, u alors ux i = λ i.x i et, par récurrence, u k x i = λ k i.x i p donc, pour tout k, 0 E = u k 0 E = u k x i = u k x i = λ k i.x i. Si P = a 0 + a 1 X + + a d X d on a alors d d p d 0 E = a k.0 E = a k. λ k i.x i = a k λ k i.x i = Pλ i.x i. Si on choisit P = L i, polynôme de Lagrange associé aux λ j alors L i vérifie L i λ j = δ i,j donc 0 E = L i λ j.x j = x i. Ainsi tous les x i sont nuls : la somme est directe j=1 Caractérisation 1 u est diagonalisable si et seulement si E est la somme d un nombre fini de sous espaces propres. D : si u est DZ alors E est la somme des sous espaces propres en nombre fini. On suppose que E est la somme d un nombre fini de sous espaces propres. En les regroupant éventuellement, on peut supposer les valeurs propres distinctes : E = Eλ 1, u + + Eλ p, u. S il existait une autre valeur propre, λ, la somme Eλ 1, u + + Eλ p, u + Eλ, u est directe donc Eλ, u Eλ 1, u Eλ p, u = {0} c est à dire Eλ, u E = {0}. Comme on a Eλ, u E on en déduit que Eλ, u = {0} ce qui contredit que λ est valeur propre. Ainsi spu = {λ 1,..., λ p } et E est la somme des sous espaces propres : u est diagonalisable page 16

17 Lemme Si un sous espace de E ne contient que des vecteurs propres pour u alors il est inclus dans un sous espace propre. L énoncé se traduit par [ x F λx K / ux = λ x.x ] = [ λ K / x F ux = λ.x ] D Si F = {0 E } il n y a rien à démontrer. Si x est un vecteur non nul de F soit λ = λ x ux = λ.x. On veut prouver que F Eλ, u. Pour y = t.x on a uy = ut.x = t.ux = t.λ.x = λ.t.x = λ.y. Si x, y est libre on a ux+y = λ x+y.x+y et ux+y = ux+uy = λ.x+λ y.y. Ainsi 0 E = λ x+y λ.x + λ y λ x+y.y donc, comme la famille x, y est libre, λ x+y λ = λ y λ x+y = 0 puis λ y = λ x+y = λ c est à dire uy = λ.y. Ainsi on a, pour tout y F, uy = λ.y : F Eλ, u Caractérisation 2 u est diagonalisable si et seulement si E est somme d un nombre fini de sous espaces formés de vecteurs propres. D c est une conséquence de la définition. On suppose que E = E E q avec E i formé de vecteurs propres et 0 E. D après le lemme ci dessus E i est donc inclus dans un sous espace propre, E i Eλ i, u donc E = E E q Eλ 1, u + + Eλ p, u E ; E est somme de sous espaces propres. On est ramené à la caractérisation 1 : u est diagonalisable Dimension finie E est de dimension finie, n. Caractérisation 3 u est diagonalisable si et seulement si E admet une base formée de vecteurs propres D Les sous espaces propres Eλ i, u, i [[1; p]], sont de dimension finie. Si B i = e i,j ; 1 j d i est une base de Eλi, u on définit B = e i,j ; 1 i p, 1 j d i. B est alors une base de Eλ 1, u Eλ p, u = E formée de vecteurs propres. Inversement si B = e 1,..., e n est une base de vecteurs propres alors E = K.e 1 + K.e K.e n où K.e i est une droite de vecteurs propres. On peut appliquer la caractérisation 2 : u est diagonalisable Corollaire Caractérisation 4 u est diagonalisable si et seulement si il existe une base dans laquelle la matrice de u est diagonale. u est diagonalisable si et seulement si sa matrice dans une base de E est diagonalisable. page 17

18 Si B = e 1,..., e n est une base de E et si A = M B u alors ux = λ.x équivaut à A.X = λ.x donc A et u ont les mêmes valeurs propres. Le valeurs propres de u sont les racines de P A donc de P u ; Les coordonnées, dans la base B, des vecteurs propres de u pour λ sont les vecteurs propres de A pour λ. Eλ, u et Eλ, A ont même dimension. Le théorème sur la dimension de Eλ, A se traduit alors par Théorème Caractérisation 5 Si λ 0 est racine de P u d ordre r λ 0 1 alors 1 dim Eλ 0, u r λ 0 u est diagonalisable si et seulement si toutes les racines de P u sont dans K c est à dire P u est scindé sur K et pour toute racine, λ, de P u, d ordre r λ, dim Eλ, u = r λ D Si E = Eλ 1, u Eλ p, u où les λ i sont les valeurs propres dans K on choisit une base de E, B, adaptée à cette somme directe elle est formée de vecteurs propres. Si on note d i = dim Eλ i, u et D = M B u alors D est diagonale et les termes diagonaux de D sont les λ i comptés chacun d i fois. On a alors P u = P D = p k=1 X λ k r k : les racines de P u sont dans K et r λ i = d i = dim Eλ i, u. Inversement si P u est scindé, de racines λ 1,..., λ p on a r λ i = degp u = n. Si dim Eλ, u = r λ pour toute racine on obtient dim Eλ 1, u Eλ p, u = dim Eλ i, u = r λ i = n donc E = Eλ 1, u Eλ p, u : u est diagonalisable page 18

19 12.6 Polynômes d endomorphisme Definition Soient u LE et P = a 0 + a 1 X a p X p K[X]. On définit P[u] LE par P[u] = a 0 Id E + a 1 u + a 2 u a p u p Propriété L application de P P[u] de K[X] dans LE est un morphisme de K algèbres. C est à dire λp + µq [u] = λp[u] + µq[u] et P.Q[u] = P[u] Q[u]. On notera u 0 = Id E donc P[u] = a k u k. D Si P et Q sont deux polynômes on choisit p max{degp, degq} on peut écrire P = a 0 + a 1 X + + a p X p et Q = b 0 + b 1 X + + b p X p donc λp + µq = λa k + µb k X k puis p λp + µq [u] = λa k + µb k u k = λ a k u k + µ b k u k = λp[u] + µq[u]. p De plus X k Q[u] = b l X l+k [u] = b l u l+k = b l u k u l l=0 l=0 l=0 p = u k b l u l = u k Q[u] l=0 p d où P.Q[u] = a k X k.q [u] = a k X k.q [u] = a k u k Q[u] p = a k u k Q[u] = P[u] Q[u] Corollaire P[u] Q[u] = Q[u] P[u] D P[u] Q[u] = P.Q[u] = Q.P[u] = Q[u] P[u] Lemme Si x est un vecteur propre de u pour la valeur propre λ alors P[u]x = Pλ.x. C est à dire Eλ, u E Pλ, P[u]. D Si ux = λ.x alors u k x = λ k.x donc P[u]x = a k.u k x = a k λ k.x = Pλ.x Propriétés Si P[u] = 0 alors les valeurs propres sont parmi les racines de P. D Si ux = λ.x avec x 0 E et P[u] = 0 alors 0 = P[u]x = Pλ.x donc Pλ = page 19

20 Remarque Toutes les racines de P ne sont pas forcement valeurs propres de u. Par exemple si u = Id E alors u 3 6u u 6Id E = 0 c est à dire P[u] = 0 avec P = X 3 6X X 6 mais P admet 3 racines 1,2 et 3 alors que u n admet que 1 pour valeur propre. Exemple Si p est un projecteur c est à dire p 2 = p alors P[p] = 0 avec P = X 2 X de racines 0 et 1. On a toujours E0, p = kerp et on a vu que Imp = {x E / px = x} donc Imp = E1, p. On a E = kerp Imp = E0, p E1, p donc p est diagonalisable. En fait 0 est valeur propre sauf si p = Id E et 1 est valeur propre sauf si p = 0. Propriété Pour tout endomorphisme u LE avec E de dimension finie il existe un polynôme P non nul tel que P[u] = 0. D La famille Id E, u, u 2,..., u n2 de cardinal n dans LE de dimension n 2 est donc liée. Il existe des scalaires a i, 0 i n 2 n 2, non tous nuls tels que a i u i = 0. Ainsi P[u] = 0 avec P = n 2 i=0 a i X i i=0 Caractérisation 6 u est diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme P scindé à racines simples tel que P[u] = 0. D Si u est diagonalisable de valeurs propres distinctes λ 1,..., λ p alors, pour P = X λ 1 X λ p et pour x i Eλ i, u, on a P[u]x i = Pλ i.x i = 0. Pour tout x E = Eλ 1, u Eλ p, u on a x = x x p avec x i Eλ i, u donc P[u]x = P[u]x i = 0 : ainsi P[u]x = 0 pour tout x E donc P[u] = 0. k=1 Si P 0 [u] = 0 avec P 0 = X λ 1 X λ p avec λ i λ j pour i j. On définit les polynômes de lagranges associés aux racines de P 0 : λ 1,..., λ p. L i X = 1 X λ j. λ j i i λ j On sait que QX = Qλ i L i X donc 1 = L i X puis 1[u] = Id E = L i [u] d où x = Id E x = Pour x E on note x i = L i [u]x. L i [u]x. De plus Q = X λ i L i X est un multiple scalaire de P 0 donc Q[u] = αp 0 [u] = 0 d où X λi [u] L i [u] x = 0 c est à dire 0 = u λ i Id E L i [u]x = u λ i Id E x i = ux i λ i x i. Ainsi tout vecteur de E s écrit x = x i avec ux i = λ i.x i donc x i Eλ i, u : on a E Eλ i, u E : E est somme de sous-espaces propres. D après la caractérisation 1, u est diagonalisable page 20

21 Remarque Si on note p i = L i [u] alors x i = p i x est la composante sur Eλ i, u dans la décomposition E = Eλ 1, u Eλ p, u donc p i est la projection de x sur Eλ i, u : les projections sur les sous espaces propres sont des polynômes de u. Corollaire Si u LE est diagonalisable et si F est un sous espace stable par u alors la restriction de u à F, u F, est diagonalisable. D u est DZ donc ] il existe un polynôme scindé à racines simples tel que P[u] = 0. On a alors P [u F = P[u] = 0 : u est DZ F F Remarques On pouvait choisir P = q X λ i avec les λ i valeurs propres de u donc les valeurs propres de u F sont des valeurs propres de u peut être pas toutes. On a E λ, u F = ker uf λid F = ker u λide F = keru λide F = Eλ, u F donc on a F = Eλ 1, u F Eλ 1, u F. Caractérisation 7 u est diagonalisable si et seulement si il est combinaison linéaire de projecteurs à produits nuls. D Si E = Eλ 1, u Eλ q, u alors, en notant p i les projections associées, q on a p i p j = 0 pour i j et x = p i x, u p i x = λ i.p i x car p i x Eλ i, u q q d où ux = u p i x = u p i x q q = λ i.p i x puis u = λ i.p i. q Soit u tel que u = λ i.p i avec p i p j = 0 pour i j et p i p i = i. On note E i = Imp i. Si x i E i on a x i = p i x i donc p j x i = p j p i x i = 0 E. q Ainsi ux i = λ j.p j x = λ i.p i x i = λ i.x i : E i Eλ i, u. j=1 De plus, pour tout x E, p i x E i donc u p i x = λ i.p i x. q On note alors x 0 = x p i x ; on a ux 0 = ux q u p i x = q q λ i.p i x λ i.p i x = 0 E d où x 0 keru. Or keru = E0, u donc x = x 0 + On a alors E E0, u + Eλ 1, u + + Eλ q, u E ; q p i x E0, u + Eλ 1, u + + Eλ q, u. on peut appliquer la caractérisation q Corollaire Si u = λ i.p i avec p i p j = δ i,j p i et λ i λ j pour i j alors le spectre de u est inclus dans {0, λ 1,..., λ q } et Eλ i, u = Imp i. page 21

22