/ 21 TP sur table. Durée 3h

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1 L2-maths Cours Informatique appliquée aux mathématiques Nom-Prénom / 21 TP sur table. Durée 3h Dans tout le texte, a et b sont deux réels distincts, a < b, f est une fonction continue sur l intervalle [a, b], dans lequel elle a un seul zéro x, dont on veut trouver une approximation. Exercice 1 (Méthode de dichotomie). / 4 1. / 1 Completer le code de dichotomie suivant function [y,niter]=bisection(f,a,b,,maxiter) % BISECTION solves a scalar equation using bisection method. % [y,niter]=bisection(f,a,b,,maxiter) solves f(x)=0 using bisection method in % the interval (a,b) for a scalar function f. The iteration stops when the % length of the interval is less than tol or when the maximum number of % iterations is reached. if sign(f(a)*f(b))>0 error( the inputs are not valid ); elseif f(a)==0 error( left boundary of the interval is a zero of the function ); elseif f(b)==0 error( right boundary of the interval is a zero of the function ); k=1; x0=a; x2=b; x1=(x0+x2)/2; while (abs(x0-x2)>tol) & (x0<x1) & (x2>x1) &(k< ) k=k+1; if sign(f(x0)*f(x1))==-1 else x1= ; y= ;

2 2. / 1 Ecrire ci-dessous le programme principal qui calcule et affiche la racine positive de f(x) = 1 2x 2, avec une précision de 2 10, et un nombre maximal d itérations de 100, et qui affiche également le nombre d itérations Niter effectué. On choisira [a, b] = [0, 1], et on utilisera soit inline f=@(x) 1-2*x.^2; [y,niter]=bisection(f,0,1,2^(-10),100); [y f(y) Niter]. 3. / 1 L étude théorique vue en cours permet de calculer le nombre Nth d itérations nécessaires. Donner la formule, et évaluer Nth à une unité près dans notre cas. 4. / 1 Sur quel théorème d analyse repose la méthode de dichotomie? Sur quel théorème repose le résultat de convergence? Exercice 2 (Méthode de Lagrange ou de la fausse position). / 3 On suppose f(a) f(b) < / 1 Déterminer l abcisse du point c [a, b] en lequel la droite passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)) rencontre l axe des x. La méthode de Lagrange consiste à remplacer dans la méthode de dichotomie le milieu de [a, b] par le point c ainsi défini.

3 2. / 1 Remplacer les commandes nécessaires dans le code function [y,niter]=bisection(f,a,b,,maxiter) % BISECTION solves a scalar equation using bisection method. % y=bisection(f,a,b,,maxiter) solves f(x)=0 using bisection method in % the interval (a,b) for a scalar function f. The iteration stops when the % length of the interval is less than tol or when the maximum number of % iterations is reached. if sign(f(a)*f(b))>0 error( the inputs are not valid ); elseif f(a)==0 error( left boundary of the interval is a zero of the function ); elseif f(b)==0 error( right boundary of the interval is a zero of the function ); k=1; x0=a; x2=b; x1= (x0+x2)/2; while (abs(x0-x2)>tol) & (x0<x1) & (x2>x1) &(k< ) k=k+1; if sign(f(x0)*f(x1))==-1 else x1= ; y= ; 3. / 1 Placer sur le diagramme suivant pour [a, b] = [0, 1], les 3 premiers points de l algorithme de dichotomie en bleu, les 3 premiers points de l algorithme de Lagrange en rouge o.

4 Exercice 3 (Algorithme de Newton). / 4 Les algorithmes précédents supposent que f(a)f(b) < 0. La figure suivante pour a = 0 et b = 1 montre un cas où cette hypothèse n est pas vérifiée, c est la fonction f(x) = (x 1/2) / 1 Quels sont les itérées de Newton dans ce cas? 2. / 2 On sait (voir cours) que la méthode de Newton est une méthode de point fixe pour une fonction F. Quelle est la fonction F ici? 3. / 1 Estimer l erreur à l étape n en fonction de l erreur initiale. Que remarquez vous?

5 Exercice 4 (Algorithme de point fixe). / 10 Pour approcher les racines réelles de la fonction f : R R, x x 3 x 2 1, on propose deux algorithmes de point fixe, x 0 donné, x n+1 = ϕ(x n ), où ϕ est l une des fonctions ϕ 1 (x) = x 3 x 2 + x 1, ϕ 2 (x) = x x3 x 2 1 x(3x 2). 1. / 2 Calculer la dérivée et tracer le tableau de variation de la fonction f sur R. 2. / 1 En déduire qu elle a un seul zéro l. Montrer que l ]1, 2[, le placer sur la figure ci-dessous / 1 Montrer que l est un point fixe repulsif pour ϕ / 2 Montrer que l est un point fixe pour ϕ 2. Etudier la convergence (on utilisera le théorème d Ostrowski). Représenter sur le diagramme les premiers points avec x 0 = 1.1.

6 initial ell y=φ (x) 1 y=x / 2 Ecrire l algorithme de Newton pour la fonction f. Que trouvez vous? Quel est son ordre? 6. / 2 Ecrire le code matlab de la méthode de Newton sous la forme function [X,Niter]=Newton(f,fp,x0,tol,maxiter) % NEWTON solves a system of non linear equations using Newton s method. % [X,Niter]==Newton(f,x0,tol,maxiter,fp) solves the equation f(x)=0 using % Newton s method with initial guess x0. fp is the derivative of f. % The function terminates when the Newton step length is % less than tol or when the maximum number of iterations maxiter is % reached.