Arden Quin, «sans titre

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1 rden Quin, «sans titre

2 Page 1 Page 2 Page 3 Page 5 Page 6 Page 7 Page 8 Page 9 Page 10 Page 11 Page 12 Page 13 Page 14 Page 15 Page 16 Page 17 Repérage sur quadrillage ; agrandissement ; réduction. Mesurer avec la règle graduée, l équerre, le compas. Points, droites et segments - perpendiculaires et parallèles. ngles Tracer une médiatrice - tracer une bissectrice. Symétrie axiale. Parler des polygones Parler des triangles propriétés des triangles. onstruire des triangles. écrire des quadrilatères. Les propriétés des quadrilatères : tableau de synthèse. Tracer des quadrilatères. Vocabulaire du cercle et du disque. es solides. Le vocabulaire des solides les patrons de solides. Suivre un programme de construction Reproduire une figure.

3 Le quadrillage est un outil très pratique pour agrandir, réduire, faire de la symétrie. Mais il faut d abord savoir s y repérer o Voici un quadrillage 3x6 Les cases sont repérées par leurs coordonnées. Exemple : o est dans ( ; 4) est dans ( ; 6) Voici un quadrillage 3x6 Les noeuds sont repérés par leurs coordonnées. Exemple : est sur ( ; 5) est dans ( ; 2) Une réduction Un agrandissement 1

4 Le point est placé juste en face du «0» de la règle. 8 cm et 6 mm [] = 8, 6 cm n utilise la règle. Le point est placé juste en face d un nombre entier de la règle. 7 cm et 5 mm 5 cm la règle est cassée? [] = 7, 5 cm - 5 cm = 2, 5 cm Un angle droit Un angle quelconque Un angle quelconque Les segments sont perpendiculaires en Les segments ne sont pas perpendiculaires en Les segments L et N ont la même longueur. L M N 2

5 Le point est ce qui montre la position dans l espace. Il est le départ (et l arrivée!) d une construction géométrique. Il faut toujours le marquer (en général par une petite croix ou un point!) et le nommer. Le point 2 points sont toujours alignés. Pour vérifier si trois points (ou plus) sont alignés, il faut vérifier qu ils sont sur la même droite, en utilisant la règle. E F, et sont alignés., E et F ne sont pas alignés. Quand on a marqué deux points, on peut tracer une droite ; une demi-droite : un segment. Une droite est infinie. Une demi-droite a une extrémité...mais est quand même infinie. Un segment a deux extrémités : on peut le mesurer. La droite ( ) La demi-droite [ ) Le segment [ ] Lorsque deux droites ne se croisent jamais et que la distance entre ces deux droites est toujours la même, les deux droites sont parallèles. 1,58 Ici, la distance entre les droites est de 1,58 cm 1,58 eux droites parallèles () // () 3

6 Tracer une parallèle à () 1 2 règle Je place mon équerre, puis je place ma règle règle Je replace mon équerre sur ma règle et je trace! I I Lorsque deux droites se croisent en un point, on dit que ces deux droites sont sécantes. () et () sont sécantes en (elles se croisent en ) Lorsque deux droites se croisent en un point, et forment un angle droit que l on mesure avec l équerre, on dit que ces deux droites sont perpendiculaires. () et () sont perpendiculaires au point () () Tracer une perpendiculaire : Il suffit de faire glisser l équerre...et de tracer! I équerre u... équerre I TTENTIN! N NE MESURE JMIS E LNGUEUR VE UNE ÉQUERRE (Elle ne devrait même pas être graduée ) 4

7 Lorsque deux droites sont sécantes, elles forment des angles. Le point de croisement est le sommet de l angle. Ici, c est le point. n note les angles avec un chapeau (le sommet au milieu). angle Ô ( et sont les côtés) angle Ô ( et sont les côtés) angle Ô ( et sont les côtés) angle Ô ( et sont les côtés) Les angles sont mesurés avec un calque, un gabarit ou un rapporteur. L unité de mesure est le degré ( ). angle aigu (< 90 ) ngle droit (= 90 ) angle obtu (> 90 ) es gabarits d angles à décalquer pour pouvoir mesurer et comparer des angles

8 arc 1 arc 1 arc 2 arc 1 arc 2 1 Tracer le segment [] 2 Tracer l arc de cercle 1 de centre et de rayon plus grand que la moitié du segment (à vue d œil!). 3 Tracer l arc de cercle 2 de centre et de même rayon que l arc 1. 4 Marquer les points d intersection et puis la droite qui passe par ces points : c est la médiatrice du segment [] : elle passe par le milieu de [] et est perpendiculaire à ce segment. arc 1 arc 1 arc 1 1 Tracer l angle de sommet. 2 Tracer un premier arc de cercle qui coupe l angle en et. 3 Tracer l arc 1 de centre et de rayon plus grand que []. 4 Tracer l arc 2 de centre et de rayon identique à celui de l arc 1. 5 Marquer le point d intersection des arcs 1 et 2 : c est le point. Tracer la droite () : c est la bissectrice de l angle Ô. Elle le coupe en deux parties égales. arc 2 arc 2 6

9 Une figure géométrique peut avoir un ou des axes de symétrie : si on plie une figure en suivant un axe de symétrie, on obtient un pliage parfait (rien ne dépasse, les deux parties sont superposables). La figure jaune possède 4 axes de symétrie. ette figure jaune ne possède pas d axe de symétrie. ette figure jaune possède 1 axe de symétrie. 1 2 Figure 1 Figure 2 Le segment rouge est un axe de symétrie. ans la figure 1, il y a un point sur l axe de symétrie. ans la figure 2, le point 2 est le symétrique du point 1 par rapport au segment rouge [] : La distance entre 1 et le segment est la même que la distance entre 2 et le segment. sur un quadrillage, il faut se repérer avec les carreaux). «E QUI EST LIN E L XE NS L FIGURE E ÉPRT RESTE LIN E L XE NS L FIGURE SYMÉTRIQUE» Pour tracer le symétrique d une figure sur papier blanc Il faut tracer des perpendiculaires à l axe avec une équerre et mesurer des distances avec le compas onsigne : tracer le symétrique du triangle par rapport au segment rouge 1 tracer les droites perpendiculaires au segment rouge passant par les points avec le compas, mesurer la distance entre 1 et l axe. Reporter de l autre côté de l axe : on obtient 2. Faire la même chose avec 1 et 1 3 tracer les différents segments pour obtenir la figure symétrique. 7

10 Les polygones sont des figures géométriques planes limitées par une ligne brisée fermée. Les polygones possèdent plusieurs angles (les sommets) et plusieurs côtés. Il ne peut pas y avoir de partie arrondie dans un polygone. sommet côté e n est pas un polygone (la ligne n est pas fermée) e n est pas un polygone (la ligne est arrondie) est un polygone es polygones réguliers ans les polygones réguliers, tous les angles sont égaux et les côtés ont même longueur. n peut tous les tracer à la règle et au compas (c est plus ou moins facile ), à partir d un cercle. Plus il y a de côtés et plus le polygone ressemble à un...cercle! Nommer les polygones Les polygones à 3 angles et 3 côtés sont les triangles. Les polygones à 4 angles et 4 côtés sont les quadrilatères. près, il faut connaître certains préfixes et «gones» (qui veut dire «angles») 5 penta- 8 octo- 12 dodéca- 6 hexa- 9 ennéa- 7 hepta- 10 déca- Exemple : un polygone à 7 côtés est un heptagone. 8

11 H Un triangle est un polygone qui comporte 3 angles et 3 côtés. La droite perpendiculaire à un côté et qui passe par le sommet opposé s appelle la hauteur ( ici : (H)). Elle se construit en faisant glisser l équerre sur le côté opposé (ici : []). ans un triangle, il y a 3 hauteurs. xe de Symétrie Hauteur xe de symétrie ET hauteur Triangle isocèle Il y a deux côtés égaux. Il y a deux angles égaux. Triangle équilatéral Il y a trois côtés égaux. Il y a trois angles égaux. Les 3 axes de symétrie et les 3 hauteurs sont confondues (= l une sur l autre). Triangle rectangle Il y a un angle droit (ici en ). Il y a deux hauteurs confondues avec deux côtés du triangle(ici [] et []). Triangle rectangle isocèle Il y a deux côtés égaux. Il y a un angle droit. Il y a deux angles égaux. 9

12 rc 2 rc 1 onstruire le segment [] à la règle. onstruire les arcs 1 et 2 de même longueur que [] pour le triangle équilatéral. rc 2 rc 1 Triangle équilatéral onstruire les arcs 1 et 2 d une longueur égale à [] et []. Marquer le point et tracer [] et []. Triangle isocèle arc 1 (R = 3 cm) arc 2 ( R = 5 cm) onstruire le segment [] = 6 cm à la règle. onstruire l arc 1 de rayon 3 cm. onstruire l arc 2 de rayon 5 cm. Triangle quelconque [] = 6 cm ; [] = 3 cm ; [] = 5 cm Marquer le point et tracer [] et [] onstruire le segment [] à la règle. équerre Triangle rectangle en : [] = 5 cm ; [] = 3 cm onstruire la droite perpendiculaire à [] passant par. Marquer le point (mesure à la règle ou au compas), tracer [] et []. onstruire le segment [] à la règle. onstruire la droite perpendiculaire à [] passant par. équerre Marquer le point (mesure à la règle ou au compas), tracer [] et []. Triangle rectangle isocèle : [] = [] = 3 cm 10

13 Les quadrilatères sont des polygones à 4 angles et côtés. ertains d entre eux sont remarquables et ils sont reconnaissables par leurs diagonales, les angles droits et la longueur de leurs côtés : les trapèzes ; les parallélogrammes ; les rectangles ; les losanges ; les carrés. Ils faut les reconnaître car avec les triangles, ils permettent de décomposer des figures géométriques complexes en un ensemble de figures plus simples. xes de symétrie iagonales es quadrilatères quelconques Un trapèze quelconque Un trapèze rectangle Un trapèze isocèle Un parallélogramme Un rectangle Un cerf volant Un losange Un carré 11

14 Nom du quadrilatère Nombre de côtés de même longueur Nombre de paires de côtés parallèles Nombre d angles droits Nombre d axes de symétrie iagonales de même longueur (oui / non) iagonales se croisant en leur milieu (oui / non) iagonales Perpendiculaires (oui / non) Quadrilatère quelconque Trapèze quelconque non non non non non non Trapèze rectangle non non non Trapèze isocèle oui non possible erf volant maximum 1 non non oui Parallélogramme oui oui non Rectangle oui oui non Losange non oui oui arré oui oui oui 12

15 Pour tracer des quadrilatères, il faut utiliser les outils de bases : règle, équerre, rapporteur et compas. onsigne : tracer un rectangle de petit côté 3 cm et 5 cm de grand côté. La méthode est identique pour le carré. arc de 3 cm = arc de 5 cm = 1 je construis [] = 3 cm 2 je construis [] = 5 cm 3 je trace l arc de 3 cm en pointant mon compas en. 4 je trace l arc de 5 cm en pointant mon compas en. 5 les deux arcs se croisent au point. 6 je trace le rectangle Même chose pour un losange. Même chose pour un parallélogramme Il faut savoir construire ces figures simples pour reproduire des figures plus complexes (voir «reproduction de figure» page ) La construction avec la règle et le compas est beaucoup plus précise que celle avec l équerre. Les longueurs mesurées et tracées avec le compas sont bien plus nettes. 13

16 entre orde iamètre Rayon M Le cercle est une ligne courbe fermée. Tous les points qui se trouvent sur le cercle sont à la même distance du point : ce point est le centre du cercle. est l endroit où il faut planter le compas. Quand tu écartes les bras du compas, tu mesures le rayon. Le diamètre est deux fois plus grand que le rayon. La longueur du tour du cercle s appelle la circonférence. Pour la calculer, on utilise un drôle d objet : le nombre PI (Π). Π vaut à peu près 3,14. irconférence = 2 x Rayon R x Π = 2 x R x Π Exemple : un cercle a un rayon R = 3 cm. Sa circonférence mesure = 2 x R x Π = 2 x 3 x 3, 14 = 18, 84 cm R rc de cercle Un arc de cercle est un morceau de cercle. n s en sert pour tracer les médiatrices et les bissectrices, pour marquer des longueurs égales au rayon R. Un disque est une surface limitée par un cercle : le disque est un «cercle plein». Le cercle permet de tracer de nombreux polygones réguliers. En reportant 3 fois le diamètre sur le cercle : Le triangle équilatéral En reportant 6 fois le rayon sur le cercle : L hexagone régulier En traçant deux diamètres perpendiculaires : Le carré 14

17 es solides qui roulent... La sphère Le cylindre Le cône Le cube Le pavé droit (parallélépipède) Le prisme triangulaire Le prisme hexagonal Le pyramide à base triangulaire (tétraèdre) Le pyramide à base carrée 15

18 Un sommet Une face Une arête Si on coupe un solide en suivant certaines arêtes, on peut le développer (c est à dire l ouvrir à plat) : on obtient un patron du solide. Le cube possède 11 patrons différents. En les repliant et en scotchant les arê- Un jeu intéressant : en regardant les patrons, essayer de le replier dans la tête et trouver les côtés qui vont se toucher pour former une arête (on les colorie alors de la même couleur ) Voici le résultat pour le tétraèdre sur les deux patrons : Tétraèdre Les deux patrons du tétraèdre Et tu peux faire la même chose avec les autres solides réguliers... 16

19 Suivre un programme de construction Un programme de construction est découpé en plusieurs étapes. Il faut bien connaître le vocabulaire de la géométrie et suivre les étapes dans l ordre. Exemple : 1 construire un carré de 2 cm de côté. 2 placer le point I milieu de [] 3 placer le point J milieu de [] 4 tracer les segments [IJ] ; I I I J J Il faut toujours lire le programme de construction en entier et tracer la figure à main levée (en respectant à peu près les longueurs, sur le papier quadrillé de ton cahier : 1 carreau correspond à peu près à 1 cm), pour voir à quoi la figure finale devra ressembler. Reproduire une figure est souvent plus complexe que de suivre un programme de construction car il faut analyser la figure : la découper en figures simples, que l on sait tracer. voir des points ou des segments qui ne sont pas marqués (centre de cercle, de carré, milieu de segment, quadrilatères non finis ). voir si des segments sont parallèles ou perpendiculaires (utiliser l équerre). vérifier que des segments sont de même longueur (utiliser le compas). L échelle n est pas fixée : la figure que tu traces peut être plus grande que le modèle. 17

20 es 2 segments sont sur la même droite (vérifier avec la règle). Les centres des demi-cercles sont les milieux des côtés. es deux côtés semblent de même longueurs et parallèles. Ils appartiennent à un parallèlogramme. La base de la figure est un carré (vérifier les angles droits avec l équerre et les longueurs des côtés avec le compas) Tracer légèrement les diagonales pour trouver le centre du carré. Prolonger la diagonale et marquer le point avec le compas. Effacer les parties «inutiles». ppuyer sur les traits «utiles». onstruire le côté «utile» du parallélogramme (en utilisant le compas). Tracer les arcs de cercles. Marquer les milieux des deux côtés (les trouver au compas en traçant la médiatrice, ou à la règle). Effacer les arcs de cercle. 18