Géométrie vectorielle

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1 Géométrie vectorielle Table des matières 1 notion de vecteur et vecteurs égaux activités corrigé activités a retenir exercices corrigés exercices somme de vecteurs activités corrigé activités a retenir exercices interrogation multiplication d un vecteur par un nombre réel activités corrigé activités à retenir exercices interrogation vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points activités corrige activités à retenir exercices corrigés exercices interrogation évaluations 34 6 devoir maison corrigé devoir maison corrigé devoir maison tp tp corrigé tp annexes 42 9 logique ctivité 1 : (cause ou conséquence )

2 1 notion de vecteur et vecteurs égaux 1.1 activités activité 1 : (vecteurs égaux, colinéaires, opposés) s il n est pas nul, un vecteur est représenté par une flèche. (par exemple v = ci dessous) origine : le point... on dit que le vecteur extrémité : le point... a pour : direction : la droite... sens : du point... vers... longueur (ou norme) : la longueur... un vecteur est définit par la donnée de : sa direction, son sens et sa longueur. pour reconnaître : directions sens longueurs deux vecteurs colinéaires parallèles deux vecteurs opposés parallèles opposés égales deux vecteurs égaux parallèles identiques égales.trouver dans la figure ci dessous : (réponses à rédiger à droite de la figure) r F deux vecteurs colinéaires : w P O K N t M z E u x G J y L R v deux vecteurs opposés : deux vecteurs égaux : H Q I.construire dans la figure ci dessus : a. le point S tel que : KL = SR et construire SR b. le point T tel que : QT = PO = OP et construire QT c. le point U tel que : QU = PO et construire QU I activité 2 : (vecteurs et parallèlogrames). On sait que est un parallèlogramme de centre I a. en déduire 10 couples de vecteurs égaux et 2 couples de vecteurs non égaux = = = =... = = = = = = compléter les phrases suivantes pour quelles soient vraies : si EFGH est un parallélogramme alors EF =... si I est le milieu du segment [] alors I =... si KL = MN et K,L et M non alignés alors... et FG =... et I =... si PR = OP alors le point... est le milieu du segment... est un parallélogramme

3 activité 3 : (vecteurs et translation) le point a pour image par la translation de vecteur u = u on note : t u : ou encore t u () = (comme pour les fonctions) I. construire les points,e,fetg tels que les conditions 1, 2, 3 et 4 soient respectées. 1.par la translation de vecteur, a pour image 3. E est l image de par la translation de vecteur 2. t : G 4. t () = F II. pour chacune des conditions, donner deux vecteurs nécessairement égaux. on a 1. donc :... =... on a 2. donc :... =... on a 3. donc :... =... on a 4. donc :... =... III. émontrer que E est un parallélogramme à partir des hypothèses 1, 2, 3, 4. (rédaction sur le cahier) activité 4 : (vecteurs égaux) EF est un hexagone régulier. 1. compléter les égalités par un vecteur afin qu elles soient vraies. =... ; OF =... ; F =... ; F =... F O 2. donner tous les vecteurs égaux à F :... E activité 5 : (vecteurs et parallélogrammes) on sait que : EG et HF sont des parallélogrammes avec G, et F non alignés. 1. faire une figure. 2. démontrer que GFHE est un parallélogramme en utilisant les vecteurs égaux.

4 1.2 corrigé activités corrigé activité 1 : (vecteurs égaux, colinéaires, opposés) s il n est pas nul, un vecteur est représenté par une flèche. (par exemple v = ci dessous) origine : le point on dit que le vecteur extrémité : le point a pour : direction : la droite () sens : du point vers le point longueur (ou norme) : la longueur un vecteur est définit par la donnée de : sa direction, son sens et sa longueur. pour reconnaître : directions sens longueurs deux vecteurs colinéaires parallèles deux vecteurs opposés parallèles opposés égales deux vecteurs égaux parallèles identiques égales.trouver dans la figure ci dessous : (réponses à rédiger à droite de la figure) r F deux vecteurs colinéaires : w P O K et S N et KL t M z et EF E et GH u L deux vecteurs opposés : G J R et y v EF et GH x deux vecteurs égaux : OP et MN H = T Q I = U KL et GH.construire dans la figure ci dessus : a. le point S tel que : KL = SR et construire SR b. le point T tel que : QT = PO = OP et construire QT c. le point U tel que : QU = PO et construire QU I corrigé activité 2 : (vecteurs et parallèlogrames). On sait que est un parallèlogramme de centre I a. en déduire 10 couples de vecteurs égaux et 2 couples de vecteurs non égaux = I = I = I = I = I = I = I = I = = I I.compléter les phrases suivantes pour quelles soient vraies : H G si EFGH est un parallélogramme alors EF = HG et FG = EH E F si I est le milieu du segment [] alors I = I et I = I I M N si KL = MN et K,L et M non alignés alors KLNM est un parallélogramme K L si PR = OP alors le point P est le milieu du segment [OR] O P R

5 corrigé activité 3 : (vecteurs et translation) le point a pour image par la translation de vecteur u = u on note : t u : ou encore t u () = (comme pour les fonctions) I. construire les points,e,fetg tels que les conditions 1, 2, 3 et 4 soient respectées. 1.par la translation de vecteur, a pour image 3. E est l image de par la translation de vecteur 2. t : G 4. t () = F II. pour chacune des conditions, donner deux vecteurs nécessairement égaux. on a 1. donc : = F on a 2. donc : = G G E on a 3. donc : = E on a 4. donc : = F III. émontrer que E est un parallélogramme à partir des hypothèses 1, 2, 3, 4. 1.par la translation de vecteur, a pour image = = E 3.E est l image de par la translation de vecteur = E E parallélogramme corrigé activité 4 : (vecteurs égaux) EF est un hexagone régulier. 1. compléter les égalités par un vecteur afin qu elles soient vraies. = FO OF = O ; F = E ; F = F F O 2. donner tous les vecteurs égaux à F : F = EO = O = E

6 corrigé activité 5 : (vecteurs et parallélogrammes) on sait que : EG et HF sont des parallélogrammes avec G, et F non alignés. 1. figure G E F 2. démontrer que GFHE est un parallélogramme en utilisant les vecteurs égaux. H EG parallélogramme HF parallélogramme = GE = FH GE = FH GF HE parallélogramme

7 1.3 a retenir définition 1 : (même direction ou colinéaires) Quels que soient les points et, et ont même direction ()//() (parallèles) définition 2 : (même sens) Quels que soient les points et, et ont même direction et et ont même sens le sens "de vers " est "le même" que le sens "de vers " définition 3 : (opposés) Quels que soient les points et, et ont même direction et et le sens "de vers " sont opposés est "le sens contraire " du sens "de vers " et et ont même longueur définition 4 : (même norme) Quels que soient les points et, et ont même norme = ( la norme d un vecteur est sa longueur) définition 5 : (égalité de vecteurs) Quels que soient les points et, = et ont même direction et ont même sens et ont même norme propriété 1 : (égalité de vecteurs et parallélogramme) quels que soient les points,,, et non alignés est un parallélogramme = (attention à l ordre des lettres) démonstration : (laissée en exercice) propriété 2 : (égalité de vecteurs et milieu d un segment) quels que soient les points, et I I = I I est le milieu du segment [] (attention à l ordre des lettres) I

8 démonstration : (laissée en exercice) 1.4 exercices exercice 1 : est un triangle quelconque, est le milieu du segment [] I est un parallèlogramme, J est un parallèlogramme 1. faire une figure 2. que semble t-il pour les points I et J? 3. démontrer que I = J et que I = J (pour cela : recopier et compléter le schéma de démonstration ci dessous puis rédiger un texte de démonstration) = m[] = = I I plgm = I I = J I = J J plgm = J exercice 2 : est un triangle quelconque, est le milieu du segment [M] R est un parallèlogramme, MP est un parallèlogramme 1. faire une figure 2. que semble t-il pour le point par rapport au segment [PR]? 3. démontrer que P = R et que est le milieu du segment [PR] (pour cela : recopier et compléter le schéma de démonstration ci dessous puis rédiger un texte de démonstration) = m[m] = M M = R MR plgm M = R R plgm = R R = P MP plgm M = P = m[pr]

9 4. conclure

10 1.5 corrigés exercices

11 2 somme de vecteurs 2.1 activités activité 1 : construction d une somme de deux vecteurs soient u et v deux vecteurs non nuls, la somme des vecteurs u et v est un vecteur noté w = u + v pour représenter w = u + { (1) on représente v au bout de u v : (2) on joint d une flèche, l origine de u à l extrémité de v 1. représenter w = u + v ainsi que v + u et comparer ces deux vecteurs. u v 2. placer le point tel que = u + v u v 3. placer le point tel que = u + v et faire une remarque u v 4. placer le point tel que = u + v u v activité 2 : somme de deux vecteurs et relation de hasles EF est un hexagone régulier. 1. compléter les égalités afin qu elles soient vraies. (dans une somme on peut remplacer n importe quel vecteur par un vecteur égal) + =... + O =... + =... + O + F =... + O + F =... + O =... + F =... + E =... F E O + + =... O + OF = compléter les égalités afin qu elles soient vraies. E = F+... E F = FO+... O = O+... E =... + OE F =... + O =... + E = F = F... + F... O = O... + O...

12 activité 3 : somme de deux vecteurs, parallélogrammes et milieux 1. compléter les propriétés suivantes : propriété quels que soient les points,, et avec, et non alignés est un parallélogramme = (attention à l ordre des lettres) propriété quels que soient les points, et I avec I est le milieu du segment [] I...+ I... = 0 2. on sait que : I est un triangle quelconque. est le milieu du segment [M] est le milieu du segment [N] R est un parallélogramme MPN est un parallélogramme a. faire une figure b. que semble t-il pour par rapport au segment [PR]? c. montrer que R + P = 0 et que est le milieu de [PR] en utilisant les hypothèses ainsi que les propriétés 3 et 4 (utiliser le schéma de démonstration ci dessous)

13 2.2 corrigé activités corrigé activité 1 : construction d une somme de deux vecteurs soient u et v deux vecteurs non nuls, la somme des vecteurs u et v est un vecteur noté w = u + v pour représenter w = u + { (1) on représente v au bout de u v : (2) on joint d une flèche, l origine de u à l extrémité de v 1. représenter u + v ainsi que v + u et comparer ces deux vecteurs. u v v + u il semble que : v v + u = u + v u + v u 2. placer le point tel que = u + v u u v v 3. placer le point tel que = u + v et faire une remarque u u u + v = 0 et v v 4. placer le point tel que = u + v v u u u + v v = corrigé activité 2 : somme de deux vecteurs et relation de hasles EF est un hexagone régulier. 1. compléter les égalités afin qu elles soient vraies. (dans une somme on peut remplacer n importe quel vecteur par un vecteur égal) + = + + O = O = = O + F = + O + F = + O = + F = + E = O 0 F E O + + = O + OF = 0 2. compléter les égalités afin qu elles soient vraies. E = F+ F = O = FE FO+ O O+ E = F = O = O + OE F + O + E = F + O F = F + FO O = O +

14 corrigé activité 3 : somme de deux vecteurs, parallélogrammes et milieux 1. compléter les propriétés suivantes : propriété quels que soient les points,, et avec, et non alignés est un parallélogramme = + (attention à l ordre des lettres) propriété quels que soient les points, et I avec I est le milieu du segment [] I+ I = 0 2. on sait que : I est un triangle quelconque. est le milieu du segment [M] est le milieu du segment [N] R est un parallélogramme MPN est un parallélogramme R a. figure M P N b. il semble que soit le milieu du segment [PR] c. montrer que R + P = 0 et que est le milieu de [PR] en utilisant les hypothèses ainsi que les propriétés 3 et 4 (on utilise le schéma de démonstration ci dessous) R plgm + = R R+ P = + + M + N MPN plgm M + N = P R+ P = + M + + N = m[n] + N = 0 R+ P = = 0 = m[m] + M = 0 = m[pr]

15 2.3 a retenir définition 6 : (somme de vecteurs ) quels que soient les points,, et soit E un point quelconque soit X tel que EX = soit F tel que XF = E X le vecteur EF est appelé "vecteur somme" de et et on note : EF = + F propriété 3 : (commutativité de la somme de vecteurs) quels que soient les points,, et + = + démonstration : (cette propriété est admise) propriété 4 : (somme de vecteurs et parallélogramme) quels que soient les points,, et avec, et non alignés est un parallélogramme = + (attention à l ordre des lettres) démonstration : (cette propriété est admise) propriété 5 : (milieu et somme de vecteurs) quels que soient les points, et I avec I est le milieu du segment [] I+ I = 0 (attention à l ordre des lettres) I démonstration : (cette propriété est admise) propriété 6 : (relation de hasles) quels que soient les points, et + = démonstration : (cette propriété est admise) remarques : i. = =... = 0 est appelé le vecteur nul, il n a pas de direction et pas de sens.

16 2.4 exercices exercice 3 : a. simplifier au maximum : i. u = EF + FH + H + E ii. u = iii. v = + iv. w = P P b. soient les points,, et E : en utilisant le relation de hasles, montrer que E = E + c. on sait que : O = O + OF et O = O+ FO montrer que O+ O = 0 et en déduire une conséquence pour les point, et O d. E est un parallélogramme démontrer que E + = exercice 4 : est un triangle M est un parallélogramme MP est un parallélogramme 1. faire une figure 2. démontrer que M + MP = 0 3. qu en déduire pour M relativement à [P] (la démonstration pourra être présentée par un schéma, puis rédigée en toutes lettres)... plgm MP =... M + MP =......

17 2.5 interrogation

18 3 multiplication d un vecteur par un nombre réel 3.1 activités activité 1 1. construire les vecteurs suivants : a. v = 2 u d origine u b. w = 3 u d origine c. x = 2 3 u d origine d. y = 3 2 u d origine 2. trouver le nombre qui manque a. z =... u z t b. t =... u activité 2 T S R Q M P trouver le nombre qui manque : a. M =... b. P =... c. Q =... d. R =... e. S =... f. T =... g. M =... h. =... i. PS =... j. Q =... k. P =... l. T =... activité 3 placer les points X,Y,Z,T,U,V et W à partir des égalités vectorielles ci dessous a. X = 3 b. Y = 3 c. Z = e. V = 4 4 f. W = X 3 g. T = 3 2 h. U = 2 X 3 activité 4 u est horizontal, de gauche à droite, de longueur 6 cm et 4 v = u 3 déterminer le vecteur v en direction, sens et longueur

19 3.2 corrigé activités corrigé activité 1 1. construire les vecteurs suivants : a. v = 2 u d origine b. w = 3 u d origine c. x = 2 3 u d origine u 2 u 3 2 u 3 u d. y = 3 2 u d origine 2. trouver le nombre qui manque 3 2 u a. z = 1 3 u z b. t = 2 3 u t corrigé activité 2 T trouver le nombre qui manque : a. M = 2 S R Q M P e. S = 2 i. PS = 6 b. P = 4 c. Q = 1 2 d. R = 1 f. T = 3,5 g. M = 1 h. = 1 1 j. Q = 2 k. P = 3 l. T = 4,5 corrigé activité 3 Y T V Z U X placer les points X,Y,Z,T,U,V et W à partir des égalités vectorielles ci dessous W a. X = 3 b. Y = 3 c. Z = e. V = 4 4 f. W = X 3 g. T = 3 2 h. U = 2 X 3 corrigé activité 4 u est horizontal, de gauche à droite, de longueur 6 cm et 4 v = u 3 déterminer le vecteur v en direction, sens et longueur v a la même direction que celle de u v a le sens contraire de celui de u v = 4 3 u = 4 6 = 8 cm 3

20 3.3 à retenir définition 7 : (produit d un vecteur par un nombre) quels que soient les points et, quel que soit le nombre réel non nul k R soit un point quelconque soit tel que : a pour direction la direction de { a pour sens { a pour longueur E = 2 EF = 2 le sens de si k > 0 le sens contraire de celui de si k < 0 la longueur de multipliée par k si k > 0 la longueur de multipliée par k si k < 0 le vecteur est appelé "vecteur produit" de par k et on note : = k F 3.4 exercices exercice 5 : (a) placer tous les points sur le segment de droite ci dessous sachant que : = 1 ; = 1 ; E = 1 ; I = 4 ; J = 1,5 ; K = 2 ; G H F (b) compléter les égalités par les nombres qui manquent en vous aidant de la droite ci dessus : F =... ; G =... =, H =..., FH =... exercice 6 : (a) Soit le segment de droite [] ci dessous On a pour seul indice que le point G est tel que : G+ G = 0 Préciser où se trouve alors le point G et placer celui ci (b) Soit le segment de droite [] ci dessous On a pour seul indice que le point G est tel que : G+2 G = 0 i. démontrer que l on a alors G = 2 3 ii. placer alors le point G sur le segment ci dessus (c) On sait que = 14cm et que 3 G+4 G = 0 Exprimer G en fonction de puis faire une figure

21 3.5 interrogation

22 4 vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points. 4.1 activités activité 0 : j i Le carré et le rectangle contiennent les 4 mêmes pièces (à vérifier) donc le carré et le rectangle ont la même aire donc 8 8 = 13 5 donc 64 = 65 donc 0 = 1 où est l erreur? ide : (a) exprimer les vecteurs et en fonction des vecteurs i et j (non colinéaires) (b) chercher s il existe un coefficient de proportionnalité entre les deux vecteurs et (c) les vecteurs et sont-ils colinéaires? (d) les points, et sont-ils alignés? (e) où est l explication du paradoxe ci dessus?

23 activité 1 : (a) si v = k u que peut-on dire des directions de u et v? que dire de u et v? (b) on admettra la propriété suivantes : quels que soient les vecteurs non nuls u et v u et v sont colinéaires il existe un réel non nul k R tel que v = k u i. soient i et j deux vecteurs non nul et non colinéaires montrer dans chaque cas que les vecteurs u et v sont colinéaires.. u = 3 i +3 j et v = i + j. u = 5 i 15 j et v = 10 i 30 j. u = 4 i +6 j et v = 6 i +9 j. u = 8 i 12 j et v = 20 i +30 j E. u = 3 i 4 j et v = 9 i 12 j ii. soient i et j deux vecteurs non nul et non colinéaires montrer que les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires en utilisant un raisonnement par l absurde (supposer qu ils sont colinéaires, exprimer i en fonction de j et conclure). u = i + j et v = 2 i + j activité 2 (a) Soient les points et si les vecteurs et sont colinéaires, que dire des droites () et ()? (b) soient OI et OJ deux vecteurs non colinéaires déterminer dans chaque cas si les droites () et () sont parallèles en justifiant. (raisonner par l absurde si nécessaire) i. = OI + OJ et = 2OI +2OJ ii. = 2OI 4OJ et = OI +2OJ iii. = 15OI 12OJ et = 10OI +8OJ iv. = 2OI +3OJ et = 4OI +7OJ activité 3 : (a) si les vecteurs et sont colinéaires, que dire des points, et? (b) déterminer dans chaque cas si les points, et sont alignés en justifiant. raisonner par l absurde si nécessaire. 1 i. = OI +3 OJ et = OI +6 OJ 2 2 ii. = OI 2 OJ et = 4 OI 12 OJ 3 3 iii. = OI + OJ et = 5 OI 3 OJ 5 iv. = 4OI +6OJ et = 12OI +21OJ

24 4.2 corrige activités corrigé activité 0 : j i (a) exprimer les vecteurs et en fonction des vecteurs i et j (non colinéaires) on lit sur le dessin ci dessus : = 8 i +3 j = 13 i +5 j (b) chercher s il existe un coefficient de proportionnalité entre les deux vecteurs et (on admettra que les vecteurs et sont proportionnels si leurs coefficients en i et j sont proportionnels) d une part : 13 8 = 1,625 d autre part : 5 3 1, donc donc et ne sont pas proportionnels (c) les vecteurs et ne sont pas colinéaires (d) les points, et ne sont pas alignés (e) l explication du paradoxe ci dessus est qu il y a un carreau de caché dans la diagone []

25 corrigé activité 1 : (a) si v = k u, on peut dire que u et v on même direction et que u et v sont colinéaires (b) on admettra la propriété suivantes : quels que soient les vecteurs non nuls u et v u et v sont colinéaires il existe un réel non nul k R tel que v = k u i. soient i et j deux vecteurs non nul et non colinéaires montrer dans chaque cas que les vecteurs u et v sont colinéaires.. u = 3 i +3 j et v = i + j u = 3( i + j ) u = 3 v u et v sont colinéaires. u = 5 i 15 j et v = 10 i 30 j v = 2(5 i 15 j ) v = 2 u u et v sont colinéaires. u = 4 i +6 j et v = 6 i +9 j 6 4 = 1,5 et 9 6 = 1,5 v = 1,5 u u et v sont colinéaires. u = 8 i 12 j et v = 20 i +30 j 20 = 2,5 et = 2,5 v = 2,5 u u et v sont colinéaires E. u = 3 i 4 j et v = 9 i 12 j v = 3(3 i 4 j ) u = 3 v u et v sont colinéaires

26 ii. soient i et j deux vecteurs non nul et non colinéaires montrer que les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires en utilisant un raisonnement par l absurde (supposer qu ils sont colinéaires, exprimer i en fonction de j et conclure). u = i + j et v = 2 i + j supposons que u et v soient colinéaires il existe un réel k 0 tel que v = k u on remarque que k 2, k 1 on a donc 2 i + j = k( i + j ) 2 i + j = k i +k j 2 i k i = k j j (2 k) i = (k 1) j k 1 i = j (k 2, k 1) 2 k donc i et j sont colinéaires ce qui contredit l énoncé conclusion : u et v ne sont pas colinéaires

27 corrige activité 2 (a) Soient les points et si les vecteurs et sont colinéaires, que dire des droites () et ()? si les vecteurs et sont colinéaires les vecteurs et ont même direction les droites () et () sont parallèles (b) soient les points O, I et J non alignés déterminer dans chaque cas si les droites () et () sont parallèles en justifiant. (raisonner par l absurde si nécessaire) i. = OI + OJ et = 2OI +2OJ = 2 et sont colinéaires les droites () et () sont parallèles ii. = 2OI 4OJ et = OI +2OJ 1 2 = 0,5 et 2 4 = 0,5 = 1 2 et sont colinéaires les droites () et () sont parallèles iii. = 15OI 12OJ et = 10OI +8OJ = 2 3 et 8 12 = 2 3 = 2 3 et sont colinéaires les droites () et () sont parallèles iv. = 2OI +3OJ et = 4OI +7OJ on raisonne par l absurde supposons que et soient colinéaires il existe un réel k 0 tel que = k on remarque que k 2, k 7 3 on a donc 4 OI +7 OJ = k(2 OI +3 OJ) 4 OI +7 OJ = 2k OI +3k OJ 4 OI 2k OI = 7 OJ +3k OJ (4 2k) OI = (3k 7) OJ OI = 3k 7 OJ (k 2, k 7 4 2k 3 ) donc OI et OJ sont colinéaires ce qui contredit l énoncé donc et ne sont pas colinéaires donc () et () ne sont pas parallèles

28 corrige activité 3 : (a) si les vecteurs et sont colinéaires, que dire des points, et? () et () sont parallèles, et sont alignés. (b) déterminer dans chaque cas si les points, et sont alignés en justifiant. raisonner par l absurde si nécessaire. 1 i. = OI +3 OJ et = OI +6 OJ 2 = 1 2 et sont colinéaires les points, et sont alignés. 2 ii. = OI 2 OJ et = 4 OI 12 OJ 3 = 1 6 et sont colinéaires les points, et sont alignés. 3 iii. = OI + OJ et = 5 OI 3 OJ 5 = 1 5 et sont colinéaires les points, et sont alignés. iv. = 4OI +6OJ et = 12OI +21OJ on raisonne par l absurde supposons que et soient colinéaires il existe un réel k 0 tel que = k on remarque que k 3, k 21 6 on a donc 12 OI +21 OJ = k(4 OI +6 OJ) 12 OI +21 OJ = 4k OI +6k OJ 12 OI 4k OI = 21 OJ +6k OJ (12 4k) OI = (6k 21) OJ OI = 6k 21 OJ (k 3, k k 6 ) donc OI et OJ sont colinéaires ce qui contredit l énoncé donc et ne sont pas colinéaires donc () et () ne sont pas parallèles donc, et ne sont pas alignés

29 4.3 à retenir propriété 7 : (vecteurs colinéaires) quels que soient les vecteurs non nuls u 0 et v 0 u et v sont colinéaires il existe un réel non nul k R tel que v = k u démonstration (cette propriété est admise) propriété 8 : (droites parallèles) quels que soient les points et les droites () et () sont parallèles et sont colinéaires démonstration (cette propriété est admise) propriété 9 : (points alignés) quels que soient les points et les points, et sont alignés et sont colinéaires 4.4 exercices démonstration (cette propriété est admise) exercice 7 : : (39bis page 239) est un triangle et M est le point tel que M = 3 +4 M (a) essayer de faire une figure et remarquer qu il n est pas aisé de placer le point M car il apparaît dans deux vecteurs (b) i. en utilisant la relation de hasles, démontrer que : M = 3 +4 M M = ii. construire grâce à cette nouvelle égalité le point M sur la figure exercice 8 : : (41bis page 239) est un triangle. et E sont des points tels que 2 = et E = (a) faire une figure. (b) que semble t-il pour les droites () et (E)? 3 (c) i. en utilisant la relation de hasles et les hypothèses, démontrer que : E = 2 ii. de même, montrer que : = 2 3 iii. démontrer que 3 E = 2 iv. qu en déduire pour les vecteurs E et? puis pour les droites (E) et ()?

30 4.5 corrigés exercices exercice 7 : (39bis page 239) est un triangle et M est le point tel que M = 3 +4 M (a) M = 3 +4 M M = 3 +4( M + ) M = 3 +4 M +4 M 4 M = M = 3 +4 (hasles) (distributivité) (résolution) (résolution) 1 3 (3 M) = 1 3 (3 +4 ) (résolution) M = M = (résolution) (b) on construit grâce à cette nouvelle égalité le point M sur une figure. 4 M 3

31 exercice 8 : : (41bis page 239) (a) figure. est un triangle. et E sont des points tels que 2 = et E = E E (b) () et (E) semblent parallèles (c) i. en utilisant la relation de hasles et les hypothèses, démontrons que : 3 E = 2 E = + E (hasles) E = (Hypothèses) E = 3 + (ommutativité) 2 E = 3 (vecteurs opposés) 2 ii. de même, montrons que : = 2 3 = + (hasles) = + (vecteurs opposés) = 2 + ( Hypothèses) 3 = 2 (ommutativité) 3 iii. démontrons 3 E = 2 3 d une part : 2 1 = 3 2 d autre part : 1 2 = 1 = = 3 2 donc E = 3 2 iv. on en déduit que les vecteurs E et sont colinéaires donc les droites (E) et () sont parallèles

32 4.6 interrogation

33 5 évaluations

34 6 devoir maison

35 6.1 corrigé devoir maison 1

36 6.2 corrigé devoir maison 2

37 7 tp 7.1 tp 1

38 tp : logiciels et vecteurs nom, prénom :... buts : utiliser le logiciel géogebra conjecturer des résultats faire des démonstrations de certaines conjectures situation : on construit au hasard un quadrilatère quelconque on construit le quadrilatère des milieux EFGH bien que ait été construit au hasard, il semble que EFGH ne soit pas quelconque, qu en est-il vraiment? H E G F 1. lancer le logiciel geogebra 2. construire un quadrilatère quelconque (utiliser le menu) (polygone, puis cliquer dans la figure à 4 endroits et fermer le polygone en cliquant sur le premier point) 3. construire le milieu E du segment [] ( 4. construire de même les milieux F, G et H de respectivement [], [] et [] dans cet ordre 5. construire le quadrilatère EFGH 6. sélectionner le point puis le déplacer et observer le quadrilatère EFGH (quelle semble toujours être la nature de EFGH? : construire le segment [] ( 8. afficher les longueurs des segments [] et [EF] ( 9. entrer dans la barre de saisie (en bas) la commande : rapport = e/i quel résultat obtient-on à gauche dans la barre d algèbre? : rapport =... à quoi correspond ce nombre concrètement? : construire les vecteurs et EF dessiner ci contre le bouton à trouver dans le menu déplacer le point et observer les vecteurs et EF les vecteurs et EF semblent-ils colinéaires?... quel semble-être le rapport de proportion entre et EF? : EF = compléter le schéma de démonstration E milieu de [] F milieu de [] G... H... EF = 1/2 et (EF)//() théorème de la droite des... théorème... HG=... dans EF =... HG =... EF =... EFGH...

39 13. trouver le bouton qu il faut dans le menu et tracer la droite () 14. déplacer le point pour que les points E,F,G et H soient alignés 15. activer la trace de ( clic droit sur puis cocher "Trace activée") 16. déplacer le point de façon telle à ce que les points E,F,G et H restent alignés et observer la trace laissée par préciser au maximum quel semble être le lieu géométrique décrit par? (cercle, droite, courbe quelconque,... ) : (a) démontrer ci dessous (par un schéma de démonstration) que : si E,F,G et H sont alignés alors et sont colinéaires (aide : montrer que si E,F,G et H sont alignés alors HE et EF sont colinéaires) (b) en déduire que est sur la parallèle à () passant par 18. réciproquement, démontrer ci dessous (par un schéma de démonstration) que : si est sur la parallèle à () passant par alors E,F,G et H sont alignés 19. en déduire le lieu décrit par et construire ce lieu en trouvant les boutons à utiliser avec géogébra

40 7.2 corrigé tp1

41 8 annexes

42 u = E - E u = E + E u = E + E u = + E + E u = E + E u = u = 0

43 9 logique 9.1 ctivité 1 : (cause ou conséquence ) 1. compléter les phrases ci dessous ( utiliser chaque môt ou combinaison de môts de la liste une et une seule fois) Liste : car / donc / par conséquent / du fait que / vient de ce que / sachant que / est la conséquence de / d où / résulte de ce que / par conclusion / alors (a) u et v ont même direction... u et v ont même sens (b) u et v ont des sens opposés... u et v ont même direction (c) u et v ont des sens opposés... u et v sont opposés (d) =... ()//() (e) ()//()... (f) =... = = (g) =... = (h) =... est un parallélogramme (i) est un parallélogramme... = (j) I est le milieu de []... I = I (k) I = I... I est le milieu de [] 2. classer les môts ou combinaisons de môts de la liste ci dessous dans les catégories Liste : car... / donc... / par conséquent... / du fait que... / vient de ce que... / sachant que... / est la conséquence de... / d où... / résulte de ce que... / par conclusion... / alors... mais aussi... / dont... introduit une conséquence introduit une cause aucune des deux

44 = k = k E = k F = k G = k H = k K = k L = k