E5 Réseaux linéaires en régime

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1 E5 Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé Régime Sinusoïdal Forcé.1 Régime transitoire et régime permanent a Régime libre et régime permanent : L étude d un circuit linéaire conduit à résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du type : d x D dt + D dx 1 dt + D 0x = f(t) (E) Pour un circuit d ordre : D 0 ; pour un circuit d ordre 1 : D = 0. Solution de (E) : x(t) = x G (t) + x P (t). x G solution générale de l équation sans nd membre (équation homogène). Elle dépend des conditions initiales. Elle correspond au régime libre du circuit qui est généralement transitoire ( Cf.1.b)). x P solution particulière de l équation avec nd membre; ce second membre traduit la présence d une source qui impose un régime forcé au circuit. On parle de régime forcé mais aussi de régime permanent ou établi. La nature de la réponse (x P (t)) dépend de l excitation (f(t), source). Par contre, la réponse x P (t) ne dépend pas des conditions initiales. f(t) = cte Régime forcé continu (ou stationnaire) Cf Cours E4. f(t) variable Régime forcé variable. f(t) sinusoïdale Régime sinusoïdal forcé ou régime harmonique Propriété : Si l excitation est harmonique, alors la réponse x P (t) est harmonique et de même pulsation que l excitation : f(t) = F m cos (ωt + ϕ f ) = x P (t) = X Pm cos (ωt + ϕ x ) avec X Pm et ϕ x qui ne dépendent que de l excitation (F m et ϕ f ) seulement. Rq1 : à t = 0, on a : x P (t) = X Pm cos ϕ x Définition : ϕ x s appelle la phase de x P à l origine des temps. Alors que (ωt + ϕ x ) est la phase de x P à l instant t. Rq : Pour que la réponse du circuit x(t) soit sinusoïdale (lorsque le régime forcé est sinusoïdal) il faut que le régime libre du circuit soit transitoire. Alors, x(t) = x G (t) + x P (t) x P (t) et au bout de quelques τ, durée caractéristique du régime transitoire, on a : x(t) = x P (t). b Condition pour que le régime libre soit transitoire : Cf Cours

2 E5 V. Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé V Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé. http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/

3 E5 V. Circuit RLC en régime sinusoïdal forcé V.5 Résonance en tension et «Surtension» On a u C (t) = U Cm e jϕ Ce jωt = U C e jωt. On s intéresse à U Cm (ω) : U C = Z C = 1 jcω.e Z = 1 U Cm (ω) = E m (1 x ) + jcω. E R + j(lω 1 Cω ) = E 1 LCω + jrcω = E 1 x + j x Q ( ) = E m x D Q ϕ C = arg (U C ) = arg N arg D = arg = N D ( 1 x + j x ) Q l y a résonance en tension si U Cm (ω) admet un maximum, c est-à-dire si le carré du dénominateur D admet un minimum : ( ) f(x) = D = (1 x ) + x 1 Q = x4 + Q x + 1 sa dérivée est : ( ) ( ( )) df 1 1 dx = 4x3 + Q x = 4x x + Q 1 Elle s annule pour x = 0 (régime continu ; inintéressant ici), et pour x r = 1 1 Q > 0 (nécessairement positif). Cette valeur non nulle de x r correspond à la pulsation de résonance de la tension : ω r = ω Q (*) dans ce cas où Q > 1 alors : U Cm (max) = E m Q 1 1 4Q La résonance en tension («surtension»), lorsqu elle a lieu (i.e. pour Q > 1 ), se produit à une pulsation inférieure à la pulsation propre (il suffit de regarder (*)). Mais, pour un facteur de qualité élevé, c est-à-dire, pour un faible amortissement, on a ω r ω 0 et alors : U Cm (max) E m Q ( On retrouve, bien entendu, la surtension définie en 5) comme la tension aux bornes du condensateur (ou de la bobine) à la résonance en intensité.) Courbes : http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/

4 V. Puissance en régime sinusoïdal forcé E5 V Puissance en régime sinusoïdal forcé V.1 Puissance moyenne Définition : Pour une grandeur périodique, g(t), la moyenne temporelle est définie par : < g >= 1 T t0 +T t 0 g(t)dt avec t 0 une date quelconque et T la période de g. Appliquons cette définition à la puissance électrique moyenne reçue par un dipôle en régime sinusoïdal, pour un dipôle AB, avec : i = i A B = m cos (ωt + ϕ i ) et u AB = U m cos (ωt + ϕ u ), la valeur moyenne de la puissance électrique reçue par le dipôle vaut : < P >=< i A B u AB >=< m U m cos (ωt + ϕ i )cos (ωt + ϕ u ) > A i u=u AB B Soit : < P >= mum [< cos (ϕ u ϕ i ) > + }{{} < cos (ωt + ϕ i + ϕ u ) > }{{} ] constante 0 car moy. temp. d une fonction sinusoïdale Définition : La puissance électrique moyenne reçue par un dipôle en régime sinusoïdal s écrit : < P >= U m m cos φ avec φ ϕ u ϕ i. Elle s exprime en watts (W), on parle de puissance active. Le cœfficient S = U m m s appelle la puissance apparente (en V.A). Le facteur cos φ s appelle le facteur de puissance. Autres expressions utiles de la puissance active < P > et du facteur de puissance cos φ : On se place en régime sinusoïdal (= harmonique). Soit un dipôle linéaire d impédance : Z = U AB = R(ω) + jx(ω) = Ze jφ = Z(cos φ + j sinφ) avec φ = ϕ u ϕ i. On en déduit : cos φ = R Z On peut aussi utiliser l admittance : Y = On en déduit : cos φ = G Y Si on exprime la puissance apparente S en fonction de Z ou Y : U AB = G + jb = 1 Z e jφ = Y (cos φ j sinφ). U m Z(ω) m U m m = Z m ou encore m Y (ω)u m U m m = Y U m D où < P >= S cos φ s écrit également : < P >= R m = GU m Conséquences : (1) Pour une bobine ou un condensateur, R = 0, donc : < P >= 0. En régime sinusoïdal, en moyenne, une bobine ou un condensateur ne consomme pas d énergie : ils restituent, en moyenne, autant d énergie qu ils en reçoivent. () Un dipôle passif se comporte toujours en récepteur : sa puissance active (= puissance moyenne reçue en régime sinusoïdal) est positive, donc R > 0 et G > 0. les parties réelles de l impédance et de l admittance d un dipôle linéaire passif sont toujours positives. http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ 3

5 E5 V. Puissance en régime sinusoïdal forcé V. Grandeurs Efficaces Définition : pour une grandeur g(t), la valeur efficace est définie par : G eff = < g > a. a. On prend la racine de la valeur moyenne du carré de la grandeur; voilà pourquoi les anglosaxons parle de RMS pour Root (racine), Mean (moyenne) et Square (carré). Cas du régime sinusoïdal : i = m cos (ωt + ϕ i ) eff =< m cos (ωt + ϕ i ) >=< m (1 + cos (ωt + ϕ i)) >= m d où : eff = m et, de même : U eff = Um d où, en régime sinusoïdal : < P >= U m m cos φ = U eff eff cos φ = R eff = GU eff Rq : Les appareils de mesures (multimètres) indiquent la valeur efficace des grandeurs mesurées en position AC ou. En position DC ou =, ils indiquent la valeur moyenne des grandeurs. On distingue deux type de multimètres : - les multimètres TRUE RMS ("à valeurs efficaces vraies") qui peuvent mesurer la valeur efficace de n importe quel signal (sinusoïdal, carré, triangulaire, etc...) - Les multimètres RMS qui, pour évaluer G eff, se contentent de mesurer G m et indiquent G m. La mesure n est alors correcte que pour les grandeurs sinusoïdales!! Bien entendu, il y a une différence de prix... V.3 mportance du facteur de puissance Soit un réseau composé de : - un générateur du réseau de distribution EDF - une installation réceptrice d un usager - une ligne de transport de résistance R. La puissance moyenne reçue (et donc consommée) par l usager vaut : < P cons >= U eff eff cos φ. R ~ EDF U cosf récepteur La puissance moyenne dissipée dans la ligne vaut : < P diss >= 1 R m = R eff. Le coefficient de perte est défini par ρ = < P diss > < P cons > = R eff U eff cos φ = R < P cons > U eff cos φ. Pour réduire ρ il faut : - diminuer R - augmenter U eff (on utilise des lignes à hautes tensions) - augmenter cos φ (en France, la législation impose cos φ > 0, 9 sous peine d amende). Comment peut-on améliorer le facteur de puissance cos φ? En général, l admittance des installations réceptrices est de la forme Y = G + jb, avec B < 0 à cause des bobines des moteurs. 4 http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/

6 V. Puissance Complexe (Hors Programme) E5 On place un condensateur en parallèle avec l installation à "améliorer" : L admittance totale devient : Y = G + j(b + Cω), en prenant C = B, on obtient Y réel, doù : cos φ = 1. ω cosf récepteur On dit qu on a relevé le facteur de puissance. V.4 Transfert de puissance et adaptation d impédance On considère un montage constitué d un générateur de f.é.m. d amplitude complexe E et d impédance interne complexe Z branché sur une impédance d utilisation Z u. Position du problème : On cherche la valeur de Z u pour laquelle la puissance moyenne reçue par Z u est maximale. On dit alors que la charge Z u est adaptée. ~ (E, Z) Z u circuit de l'utilisateur Loi de Pouillet : = E Z + Z u avec Z = R + jx et Z u = R u + jx u. Or, la puissance moyenne reçue par Z u vaut : < P >= 1 R u d où : E < P >= 1 R u (R + R u ) + (X + X u ). Pour R, R u et X fixés, < P > est maximum pour X + X u = 0, soit pour X = X u. Dans ce cas : < P >= E R u (R + R u ) d < P > = E dr u 1 (R + R u ) 4[(R+R u) R u (R+R u )] = E R R u (R + R u ) 3. R u 0 R d < P > dr u + 0 < P > E 8R La puissance maximale reçue par Z u est obtenue pour : X u = X et R u = R C est à dire pour : Z u = Z avec Z le complexe conjugué de Z. lorsque Z u = Z, on dit qu il y a adaptation d impédance. V Puissance Complexe (Hors Programme) A i u=u AB B i = m cos (ωt + ϕ i ) u = U m cos (ωt + ϕ u ) Définition : La puissance complexe reçue par le dipôle est définie par : P = 1 u.i a a. Attention, ce n est pas u.i!!! http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ 5

7 E5 V. Puissance Complexe (Hors Programme) On a alors : P = 1 U me jϕu m e jϕ i = U m m e jφ U m m U m m = cos φ +j sinφ } {{}} {{} puiss. active=p.moy. reçue=<p> puissance réactive P r Re(P) =< P > Exemples : Résistance R : P = 1 u.i = 1 Ri.i = 1 R i = 1 R m < P R >= 1 R m et P r,r = 0. Bobine L : P = 1 u.i = 1 jlωi.i = j Lω i = j Lω m < P L >= 0 et P r,l = Lω m. Condensateur C : P = 1 u.i = jcω i.i = j Cω R i = j Cω m < P C >= 0 et P r,c = 1 Cω m. 6 http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/

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