TD3 : Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires

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1 Licence 3ème année, option Mathématiques M55, Analyse numérique matricielle TD3 : Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires Dans cette série d exercices, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1 Exercice 1 1 Donner la complexité de la somme de deux matrices de M m,n (K) 2 a) Donner la complexité du produit d une matrice de taille m n et d un vecteur de taille n b) Montrer que la résolution d un système linéaire utilisant l algorithme de descente avec comme second membre le j-ème vecteur de la base canonique demande (n j) 2 + O(n) opérations algébriques En déduire que le calcul de toutes les colonnes de l inverse d une matrice nécessite 2n 3 +O(n 2 ) opérations algébriques Comparer avec le produit de deux matrices dans M m,n (K) Exercice 2 Soient P = e T p(1) e T p(n) une matrice de permutation et A M n (K) Montrer que P est orthogonale Donner les éléments de P A et de AP T Exercice 3 [ ] B X 1 Soit M n+m (K) où B M n (K) et C M m (K) Montrer que A est C inversible si, et seulement si B et C sont inversibles Montrer que dans ce cas, [ ] A 1 B 1 B 1 XC 1 = C 1 2 Montrer que l inverse d une matrice triangulaire supérieure (respectivement inférieure) est aussi une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure) Exercice 4 Soit A M n (R) une matrice admettant une factorisation L U (L triangulaire inférieure à diagonale unité et U triangulaire supérieure inversible) L objectif de cet exercice est de proposer un algorithme de calcul de L et U différent de la méthode d élimination de Gauss vue en cours

2 1 Étude d un exemple En identifiant successivement les termes de A et de LU (en suivant l ordre : ligne 1, colonne 1, ligne 2, colonne 2, ligne 3), déterminer les coefficients inconnus l ij et u kp vérifiant : = 1 l 21 1 l 31 l 32 1 u 11 u 12 u 13 u 22 u 23 u 33 2 Étude du cas général En appliquant la même technique d identifications successives, montrer que les coefficients de L et de U sont donnés par : pour k = 1 n, k 1 u kj = a kj l kp u pj l ik = 1 u kk (a ik k 1 l ip u pk ) pour j {k,, n}, pour i {k+1,, n} 3 Déterminer le nombre d opérations (additions et multiplications) nécessaires pour calculer la factorisation LU de A On se contentera de préciser le terme de plus haut degré en fonction de n 4 Donner un exemple de matrice de taille 2 2 où la méthode décrite en question 2 n est pas applicable 5 [Scilab] Étant donnés la matrices A, les matrices L et U de la décomposition LU, et un coefficient k {2,, n}, donner une instruction en Scilab qui permet de vérifier (sans utilisation de boucle) la condition : k 1 u kj = a kj l kp u pj pour j {k,, n} Exercice 5 Devoir à faire à la maison, à rendre pour le lundi 13/1 au plus tard Soient a = (a 2,, a n ) R n 1, b = (b 1,, b n ) R n et c = (c 1,, c n 1 ) R n 1 On considère la matrice tridiagonale A M n (R) suivante : b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 an 1 b n 1 c n 1 a n b n 1 Soit δ k le déterminant de la k-ième sous-matrice principale (avec δ = 1) a) Montrer que : δ 1 = b 1, δ k = b k δ k 1 a k c k 1 δ k 2, pour k {2,, n} b) Sous quelle condition sur la suite {δ k } 1 k n la matrice A admet une factorisation LU

3 On suppose par la suite que A admet une factorisation LU (avec L triangulaire inférieure à diagonale unité et U triangulaire supérieure) 2 On dit qu une matrice M = [m ij ] est à propagation au plus k si m ij = pour i j > k a) Montrer qu en général, si on a la décomposition LU et la propagation de A qui est au plus k, alors les propagations de L et de U sont au plus k Indication Utiliser les résultats de l exercice 4, question 2/ b) En déduire dans notre cas que les matrices L et U sont de la forme : 1 u 1,1 u 1,2 l 2,1 1 u 2,2 u 2,3 L = l 3,2, U = un 1,n l n,n 1 1 u n,n c) Montrer que les coefficients des matrices L et U sont donnés par : l i,i 1 = a i δ i 2 /δ i 1 u i,i = δ i /δ i 1 2 i n 1 i n u i,i+1 = c i 1 i n 1 3 On pose i = δ i 1 δ i pour i = 1,, n Montrer que la résolution du système linéaire A x = z où z R n, en résolvant d abord L y = z, revient à construire (successivement) les suites : 1 = 1/b 1, k = 1/ (b k a k c k 1 k 1 ), k = 2,, n y 1 = z 1, y k = z k a k k 1 y k 1 k = 2,, n x n = n y n, x k = k (y k c k x k+1 ), k = n 1,, 1 4 Faire le compte des opérations nécessaires pour résoudre un système tridiagonal par cette méthode 5 [Scilab] étant donnée un nombre k et une matrice A, écrire une instruction qui vérifie que la matrice A est à propagation au plus k Exercice 6 Soit (a ij ) 1 i,j n M n (R) et A k = (a ij ) 1 i,j k M k (R) la sous-matrice principale de A de taille k On suppose que A est symétrique définie positive 1 Montrer que, pour tout 1 k n, A k est symétrique définie positive On se propose ici de démontrer que pour tout 1 k n, il existe une unique matrice triangulaire inférieure à diagonale strictement positive B k M k (R) telle que A k = B k (B k ) t 2 Montrer l existence, puis calculer la matrice B 1 3 On suppose que l existence et l unicité de B k M k (R) telle que A k = B k (B k ) t

4 a) Montrer que B k+1 est nécessairement de la forme B k+1 = B k Y α avec Y M 1,k (R), vecteur ligne, et α R + b) Quelles équations doivent vérifier Y et α pour avoir A k+1 = B k+1 (B k+1 ) t? c) En utilisant que A k+1 est définie positive, montrer que ces équations admettent un unique couple solution : Y M 1,k (R) et α R +? 4 Quel résultat du cours vient-on de redémontrer? 5 [Scilab] Donner une instruction qui à partir un vecteur ligne Y et un coefficient a complète la matrice B en la matrice : B Y a Exercice 7 Soit A une matrice tridiagonale, A M n (R), définie par : 2 + c c 2 1, avec c i, 1 i n c n c n 1 Soit v R n un vecteur quelconque Montrer que : v t Av = n c i vi 2 + {v1 2 + vn 2 + i=1 n (v i v i 1 ) 2 } i=2 2 En déduire que A admet une factorisation de Cholesky 3 Dans le cas où c i = pour tout 1 i n, montrer que la matrice B telle que BB t est bidiagonale et donnée par : i + 1 i B i,i = 1 i n, B i+1,i = 1 i n 1 i i [Scilab] Décrire et expliquer les résultats des trois lignes suivantes : n =8; v= sqrt ((2: n +1)/(1: n)) s =1: n +1:( n^2 -n -1) B= diag (v); B(s +1)= -1 /B(s) Et si on remplace n^2-n-1 par n^2-1 dans la deuxième ligne?

5 Exercice 8 Soit N 3 On se donne trois vecteurs a = (a 1,, a N ) R N, b = (b 1,, b N 1 ) R N 1 et c = (c 1,, c N 1 ) R N 1 On considère alors la matrice (dite flèche ) A M N (R) suivante : a 1 b 1 a 2 b 2 a N 1 b N 1 c 1 c 2 c N 1 a N On suppose que A est inversible et que tous les coefficients de a sont non nuls 1 Démontrer que la factorisation LU de A existe 2 Expliciter les matrices L et U telles que LU 3 En déduire à quelle condition (sur a, b et c) la matrice A est inversible 4 On suppose désormais que b = c Montrer que A admet une factorisation LDL t avec L triangulaire inférieure à diagonale unité et D matrice diagonale 5 [Scilab] Étant donnés les trois vecteurs lignes a, b et c, donner une instruction en Scilab qui permet de construire la matrice A Exercice 9 (Factorisations LU, LDL T et de Cholesky : exemple) On considère la matrice : Déterminer la matrice triangulaire inférieure L avec des 1 sur la diagonale et la matrice triangulaire supérieure U telles que LU 2 On note D la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont ceux de U, et V =D 1 U a) Vérifier que : V =L T b) Comment utiliser les matrices L et D pour résoudre un système linéaire de matrice A? c) Quelles propriétés de la matrice D assurent que l on peut écrire D = où est une matrice diagonale à coefficients diagonaux réels strictement positifs? d) [ Factorisation de Cholesky ] Montrer que BB T pour B = L, puis conclure que la matrice A est symétrique définie positive e) En déduire la matrice B (valeurs numériques) 3 [Scilab] Étant données les matrices L et U de la décomposition LU de A, donner une instruction en Scilab qui donne la matrice B de la factorisation de Cholesky de A