MATHÉMATIQUES. Série : ES Enseignement de spécialité

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1 BAC BLANC 19 MARS 2013 NOM DU LYCEE MATHÉMATIQUES Série : ES Enseignement de spécialité Durée de l épreuve : 3 heures L utilisation d une calculatrice est autorisée. Le sujet comporte 9 pages. Le candidat doit traiter les quatre exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. La page 9 est une annexe à rendre avec la copie. page 1 sur 9

2 Exercice 1 (4 points) Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Question 1 Pour tout n entier naturel, on définit la somme S n = 1 + 0,75 + 0, ,75 n. Lorsque n tend vers + : Réponse A : S n tend vers +. Réponse B : S n n'a pas de limite. Réponse C : S n tend vers 0. Réponse D : S n tend vers 4. Question 2 On veut calculer sur tableur les différentes valeurs de la somme S n = 1 + 0,75 + 0, ,75 n plusieurs valeurs de n entier naturel. pour Sur la feuille de calcul, dans la cellule B4, on doit entrer la formule : Question 3 Réponse A : =B3*0.75 Réponse B : =B3+0.75^A4 Réponse C : =0.75^A4 Réponse D : =B3+0.75*A4 On définit la fonction F sur ] 1 ; + [ par F(x) = x + 2 x 1. Au point d'abscisse 2, la tangente à la courbe représentative de F a pour équation : Réponse A : y = 3x + 6. Réponse B : y = 3x Réponse C : y = 3x 2. Réponse D : y = 3x 6. page 2 sur 9

3 Question 4 On note exp la fonction exponentielle. Soit u une fonction définie sur telle que u(0) = 1, u(1) = 0 et u(e) = 2. On définit alors la fonction G par G(x) = exp( u(x) ). G(0) est égal à : Réponse A : 0 Réponse B : 1. Réponse C : 2. Réponse D : e. page 3 sur 9

4 Exercice 2 (5 points) Une grande entreprise de restauration rapide spécialisée dans le poulet a effectué une enquête de satisfaction auprès d'un échantillon de clients. Parmi ceux-ci, 40 % avaient mangé un Burger au poulet, 35 % avaient mangé un Crunchy au poulet et 25 % avaient mangé un Spicy au poulet. Malheureusement, de nombreux clients ont été malades peu après leur repas. Les pourcentages de malades suivant le plat mangé sont les suivants : Burger au poulet Crunchy au poulet Spicy au poulet 15 % 40 % 60 % Parmi tous les clients sondés, on en choisit un au hasard. Dans la suite de l exercice, on appelle : B l évènement «Le client choisi a mangé un Burger au poulet», C l évènement «Le client choisi a mangé un Crunchy au poulet», S l évènement «Le client choisi a mangé un Spicy au poulet», M l évènement «Le client choisi a été malade». 1. a. Donner sans justification la probabilité P( S ) puis la probabilité que le client choisi ait été malade sachant qu'il avait mangé un Spicy au poulet. b. En déduire que la probabilité P( S M ) vaut 0, Construire un arbre pondéré qui illustre la situation. 3. a. Calculer P( B M ) et P( C M ). b. En déduire la probabilité que le client choisi ait été malade. 4. Déterminer la probabilité que le client choisi ait mangé un Crunchy au poulet sachant qu'il a été malade. 5. On appelle H l évènement «Le client choisi a été hospitalisé». Parmi les clients malades ayant mangé un Burger au poulet, 12 % ont été hospitalisés. Parmi les clients malades ayant mangé un Crunchy au poulet, 20 % ont été hospitalisés. Parmi les clients malades ayant mangé un Spicy au poulet, 30 % ont été hospitalisés. Peut-on estimer qu'il y a plus d'une chance sur 10 que le client choisi ait été hospitalisé? Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. page 4 sur 9

5 Exercice 3 Enseignement de spécialité (5 points) Partie A Sur le site d'angkor, au Cambodge, un guide est habilité à faire visiter les quatre temples suivants : - le Bayon, représenté par la lettre B, - le Preah Khan, représenté par la lettre P, - le Prae Rup, représenté par la lettre R, - Angkor Vat, représenté par la lettre A. Voici un plan simplifié du site présentant les quatre temples et les routes disponibles : Preah Khan Bayon Prae Rup Angkor Vat Dans tout l'exercice, on appellera «chemin» un tronçon de route reliant directement deux temples sans passer par un autre temple. Par exemple, il existe un chemin entre Angkor Vat et le Bayon, on peut le noter A-B. 1. a. Représenter cette carte par un graphe tel que : - les quatre sommets sont B, P, R et A, - une arête relie deux sommets s'il existe un chemin entre les deux temples représentés. b. Écrire la matrice d'adjacence M de ce graphe, en ordonnant les sommets dans l'ordre alphabétique. c. Calculer la matrice M On donne la matrice M 3 = Le guide est chargé d'un groupe qui a payé pour un type de circuit qui permet de parcourir trois arêtes. Le circuit devra commencer et se terminer au Bayon. Combien de tels circuits sont possibles? Écrire tous les circuits possibles. page 5 sur 9

6 Partie B Aux quatre temples de la Partie A, on ajoute : - la Porte de la Victoire, représenté par la lettre V, - le Ta Prohm, représenté par la lettre T, - le Ta Keo, représenté par la lettre K. Voici un plan simplifié du site présentant les temples et les routes disponibles : Le panneau signifie que le chemin reliant la Porte de la Victoire et le temple de Prae Rup est momentanément fermé pour cause de travaux. 1. Les travaux étant en cours, est-il possible d'envisager un circuit empruntant toutes les arêtes une fois et une seule? Si oui, préciser à quel temple un tel circuit peut commencer et à quel temple il peut se terminer, puis proposer un exemple d'un tel circuit. 2. a. Les travaux sont terminés et le chemin reliant la Porte de la Victoire et le temple de Prae Rup est de nouveau ouvert. Justifier qu'il est toujours possible d'envisager un circuit empruntant toutes les arêtes une fois et une seule. Préciser à quel temple un tel circuit peut commencer et à quel temple il peut se terminer, puis proposer un exemple d'un tel circuit. b. Sur le plan donné en annexe, proposer un exemple d'un tel circuit en repassant en couleur les chemins empruntés. page 6 sur 9

7 Taux de gaz dans l'air Exercice 4 (6 points) Partie A Un dépôt de gaz à usage domestique (butane, propane,...) a été étudié de telle sorte que, en cas d'accident du réservoir, l'évolution du taux de gaz dans l'air du dépôt soit modélisée par la fonction f définie sur l intervalle [ 0 ; 10 ] par f(x) = x 0,6 x, où x désigne le nombre de minutes écoulées après l'accident. On donne ci-dessous la représentation graphique de f sur [ 0 ; 10 ]. Temps écoulé (en minutes) 1. a. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction dérivée f ' de f. Préciser laquelle en justifiant la réponse. Courbe A Courbe B Courbe C b. La fonction dérivée f ' de f est définie sur [ 0 ; 10 ] par f '(x) = ( 1 + x ) 0,6 x, où 0,51. Expliquer pourquoi on peut estimer que le taux de gaz dans l'air est maximal au bout d'environ 1,96 minute. En déduire ce taux maximal, arrondi à 0,01 près. page 7 sur 9

8 2. Suivant le taux de gaz dans l'air, le mélange peut présenter un danger d'explosion. La limite inférieure d'explosivité (LIE) est de 20 %. En dessous de cette valeur, le mélange air-gaz est trop pauvre pour exploser. La limite supérieure d'explosivité (LSE) est de 40 %. Au-dessus de cette valeur, le mélange air-gaz est trop riche pour exploser. Estimer par simple lecture graphique pendant combien de temps, après que le taux maximal a été atteint, le mélange air-gaz a été explosif. Partie B Le propriétaire du dépôt de gaz se voit proposer un autre type d'installation. En cas d'accident du réservoir, l'évolution du taux de gaz dans l'air du dépôt serait alors modélisée par la fonction g définie sur l intervalle [ 0 ; 10 ] par g(x) = 2,5 x e x, où x désigne le nombre de minutes écoulées après l'accident. 1. Calculer g(10), arrondi à 0,001 près. 2. Établir que, pour tout nombre réel x de l intervalle [ 0 ; 10 ], g'(x) = 2,5 e x ( 1 x ). 3. a. Résoudre dans l intervalle [ 0 ; 10 ] l'inéquation 2,5 e x ( 1 x ) 0. b. En déduire le tableau de variation complet de la fonction g sur l intervalle [ 0 ; 10 ]. 4. a. Montrer que les équations g(x) = 0,2 et g(x) = 0,4 admettent chacune une solution unique sur l intervalle [ 1 ; 10 ]. b. À l'aide de la calculatrice, donner un arrondi à 0,01 près de chacune de ces deux solutions. Donner une estimation de la durée d'explosivité, après que le taux maximal a été atteint. page 8 sur 9

9 Annexe pour l'exercice 3 à rendre avec la copie Preah Khan Bayon Porte de la Victoire Ta Keo Ta Prohm Prae Rup Angkor Vat page 9 sur 9