Théorème de Boucherot

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1 Page Propriétés de conservation de puissances Courants Monophasés Théorème de Boucherot Que les divers récepteurs d'un circuit soient groupés en série ou en parallèle La puissance active totale est la somme algébrique des puissances actives de chaque récepteur. l en est de même pour la puissance réactive mais ce n'est pas le cas de la puissance apparente

2 Page Propriétés de conservation de puissances Courants Monophasés A Z Z A Z Z Zn Zn B n P P i i n Q Qi i S P ± jq n P i i ± n j Q i i B La puissance consommée dans un circuit est égale à la somme des puissances consommées dans chaque partie du circuit

3 Exercice 6 Exo Propriétés de conservation Courants Monophasés Page 3 j0 30 e f 50 Hz 0Ω R 0 Ω R L R R L 0 mh. 5A +9. 5A (.5) + 0 ( 9.5) W P R + R ( 9.5) AR 3 Q Lω 0 0 π S P + Q 6860 A cos ϕ S P 3

4 Exercice 6 Exo Propriétés de conservation Courants Monophasés Page 3 j0 30 e f 50 Hz 0Ω R 0 Ω R L R R L 0 mh. 5A +9. 5A P 6440W Q 390AR S S S A A 4

5 Exo 5 Page 3 Exercice 5 3- Puissances Courants Monophasés j0 30 e f 50 Hz 0Ω R 0 Ω R L 0 mh R 30e 0 j0. 5 e j0 A L R R 30 j0 j0 e 30e 9. e j e 5 ( 0 + j6.8) e j3. 8 A j3.8 A ( ϕ cosϕ + cosϕ ) + ( sinϕ sin ) 5

6 ak7 Exercice 7 Exo 7 4- Méthode d études des circuits Courants Monophasés Page 3 r x Z 0 α ϕ ' r ϕ ϕ jx cos sin α α ' + r r sin cos ϕ + x ϕ + x cos sin ϕ ϕ + r cos α ' + + jx j sin α Si α 0 ' ' + r r cos cos ϕ + ϕ + x x sin sin ϕ ϕ r cos ϕ + x sin ϕ 6

7 Page 3 4- Méthode d études des circuits Courants Monophasés ' r x c C Z Bilan des puissances réactives mises en jeu Puissance réactive de la charge: Q P * tan ϕ Puissance réactive souhaitée: ' ' ' Q P tan Q Q < 0 * ϕ ' Puissance réactive du condensateur: Q c Q Q C ω ' P (tan ϕ C Capacité du condensateur du condensateur: ω tan ϕ ) 7

8 Page 3 4- Méthode d études des circuits Courants Monophasés Pour l étude d un circuit linéaire, comportant plusieurs dérivations. Si tous les éléments sont données par leurs impédances, la méthode suivante s applique automatiquement.. On fixe la tension 3. On calcule 3. On se sert du rapport réelle / calculée pour corriger toutes les grandeurs électriques B 3 Z P,Q Z P,Q 3 Z3 P 3,Q 3 8

9 Exercice 8 Exo 8 4- Méthode d études des circuits Courants Monophasés Page 3 jlω R 0 A jl ω R B 0 3 jωc C C jωc R ,50 Hz ; R R Ω; 400 Ω; L ω L ω Ω; 0Ω 3 C ω C ω R 9

10 Exercice 8 En aval du point B Exo 8 4- Méthode d études des circuits jlω R 0 A Courants Monophasés jlω R B 0 3 Page 3 S 3 00 P AvB 000W R 0 3 Q AvB 0 AvB P AvB + Q AvB 3 * 3 000A jωc C R 3 3 jωc 40 ; R R Ω ; 400Ω ; L ω L ω Ω; 3 0Ω Cω C ω R C S AvB 3 3 0A 0

11 Exercice 8 En amont du point B Exo 8 4- Méthode d études des circuits jlω R 0 A Courants Monophasés jlω R B 0 3 Page 3 P AmB P B + P AvB 000 W Q AmB Q B+ Q AvB 00AR jωc C C jωc R Q B C ω 00AR ; R R Ω ; 400Ω ; L ω L ω Ω; 3 0Ω Cω C ω R S AmB P AmB + Q AmB 3 * 00 A S AmB 3 0A

12 Exo 8 Page 3 Exercice 8 En aval du point A 4- Méthode d études des circuits jlω R jωc A 0 C jlω R B 3 0 C jωc R 3 3 P AvA P AmB+ R *0 00W 40 ; R R Ω ; 400Ω ; L ω L ω Ω; 3 0Ω Cω C ω R Q AvA Q AmB+ L ω 00 + *0 00AR S AvA P + Q * AvA AvA S 0 AvA 0 0

13 Exercice 8 En amont du point A 4- Méthode d études des circuits jlω R P AmA P A+ P AvA 00W QAmA QA+ QAvA AR 0 Q A Cω 0AR 400 Exo 8 Page 4 jωc A 0 C jlω R jωc R ; R R Ω ; 400Ω ; L ω L ω Ω; 3 0Ω Cω C ω R B 3 0 C S AmA P AmA + Q AmA * 00A 0A S AmA 3

14 Exercice 8 Au niveau de la source 4- Méthode d études des circuits P S P AmA + R 00 + *0 00W jlω R jωc A 0 C jlω R B 3 0 C jωc R 3 3 Page 4 40 ; R R Ω ; 400Ω ; L ω L ω Ω; R3 0Ω Cω Cω 0 + *0 AR Q S Q AmA+ L ω 90 S S PS + QS * A S S 4

15 Page 4 4- Méthode d études des circuits Courants Monophasés En utilisant la méthode vue précédemment, on calcule la tension aux bornes de la source et on se sert du rapport ( ) réelle pour corriger les tensions et les courants ( ) calculée Pour toutes les puissances, on utilise le rapport au carré. ( ) ( ) réelle réelle ( 3 ) réelle ( )( 3 ) ( fixée 3 ) réelle ( )( 3 ) calculée ( ) ( ) calculée calculée ( réelle ( ) ( P ) calculée ( P 3 ) réelle 3 ( ) calculée ( ) réelle ( ) ( Q ) calculée ( Q 3 ) réelle 3 ( ) calculée ) 5

16 Exo 9 Page 4 Exercice 9 4- Méthode d études des circuits Courants Monophasés d après nos calculs on trouve égale à, or la valeur réelle de est égale à 40, d où la nécessité de corriger les grandeurs et 40 calculées par le rapport et les grandeurs P, 40 Q et S par, on trouve donc 3 (40/)*007,9 6

17 Exercice 8 Exo 8 4- Méthode d études des circuits Courants Monophasés Page 3 Correction: En aval du point B P 40 AvB W Q 0 AvB S 40 AvB A P AvB R 0 ( 0.85) W A 3 3 7

18 Page 4 Exercice 8 Correction: Au niveau de la source S S 4- Méthode d études des circuits jlω R jωc A 0 C jlω R B 3 0 C jωc R ; R R Ω ; 400Ω ; L ω L ω Ω; 3 0Ω Cω C ω R 8

19 Exercice 5a Méthode d études des circuits Courants Monophasés Page 3 On considère le circuit ci-dessous, calculer le courant r x Z r Z 0.35 Ω x (.96 + j 6.8 ) 53.3 e j 6.3 cos ϕ 0.9 AR ;.Ω Ω ( r + R) + j( x + X ) j e 3.3+ j e j 5.73e j e j5.8 A 9

20 Page 3 Exercice 5a Méthode d études des circuits Courants Monophasés Pour améliorer le facteur de puissance, et obtenir cos ϕ ' on place aux bornes de la charge un condensateur Z li (0.35+j.) A ' A Z li mpédance de la ligne A ' ' AN A AN C x ' A N Z N cos ' ϕ

21 Page 3 Exercice 5a Méthode d études des circuits Courants Monophasés Calculez les grandeurs suivantes: La puissance active P de la charge P R W La puissance reactive Q de la charge Q X AR

22 Page 3 Exercice 5a Méthode d études des circuits Courants Monophasés Puissance reactive Q ' après compensation : Q ' S' P Puissance reactive du condensateur : ' ( 0000) AR Q c Q Q AR

23 Page 3 Exercice 5a Méthode d études des circuits Courants Monophasés Réactance d un condensateur X cx ( ) ( ) ' A N 0. 6 Q 87 cx Ω La valeur de capacité du condensateur C x π * f * X µ cx π * 50 * F 3

24 Page 3 Exercice 5a Méthode d études des circuits Courants Monophasés La nouvelle valeur du courant de ligne: ' PA 0000 A 9. 6A ' ' *cosϕ 385.6*0.95 A N Conclusion: Consommation avant compensation 96.3A Consommation avant compensation 9.6A 4

25 Exercices. Calculer et puis en prenant U pour origine des arguments. U 48 f 50Hz R 50Ω 00mH C 0µF j5.5 ( 50 + j6.8) 80. e Ω Z 3 U R C Z j 38e j38 38 j 90 Ω L 5

26 Exercices U Z U e 48 j0 j e A j5.5 Z 80.3e 598 j5.5 Z ( + ) Ω + 50 j e U e 48 j0 j90 0. e A j90 Z 38e Z j 38 e j Ω j e j e + j 90 ( j ) + j j e j A 48 + j 0 U e + Z e j j 40.4 Ce récepteur est-il inductif ou capacitif? e Ce récepteur est globalement inductif ϕ 40.4 > Ω

27 Exercices Faire un diagramme vectoriel U j0 U e e j5.5 Z 80.3e j0 U e e j90 Z 38e e j90 j A A j5.5 A j5.5 ( 50 + j6.8) 80. e Ω Z 3 Z j 38e j38 38 j 90 Ω 7

28 Exercices A la fréquence f, le module de l impédance complexe d un condensateur de capacité C 5 µf est proche de 7 Ω. Quelle est la valeur de la fréquence f? Z C. ω Cx π f soit f 50 Hz 6 π x CZ π x 5.0 x7 8

29 Exercices Un dipôle soumis à la tension : u(t) 4.. sin(34. t + 0,54) est traversé par un courant d intensité : i(t) 0,7.. sin(34. t -,047) Ce dipôle est : R, L ou C? ϕ 0,54 - (-,047),57 rad 80 ϕ,57 x 90 π C est donc une inductance pure. U 4 Z L. ω 3,5 Ω 0,7 3,5 3,5 Soit L 0, H ω 34 9

30 Exercices Pour un circuit R, Lw parallèle, tracez la représentation vectorielle de et donnez les expressions de sa valeur efficace et de son déphasage ϕ B B R R 0 B R ϕ R + B + 5 ω( ) Lω L ϕ tan ( Q ) tan ( B ) tan ( Lω ) tan ( R ) P R R( ) Lω ϕ R R 30

31 Exercices Calculer l impédance équivalente Z? R 3 Z R3 0Ω Z (0+ j5) Ω Z R3 // Z R3 * Z R3 + Z 0* ( (0 + j5) j5) (6.8 + j.4) Ω 7.e j9.4 Ω 3

32 ASPECTS PRATQUES Courants Monophasés Le wattmètre dispose d un circuit courant et d un circuit tension ( donc à quatre bornes), comme l indique la figure. 3

33 ASPECTS PRATQUES Courants Monophasés Transport de l énergie électrique L objectif est le transfert d une puissance donnée sur une distance importante en considérant une efficacité optimale. Diminuer le plus possible les pertes à effet joule essentiellement dans la ligne 33

34 ASPECTS PRATQUES Courants Monophasés Transport de l énergie électrique Utilisation des matériaux de faible résistivité 34

35 ASPECTS PRATQUES Courants Monophasés 35

36 ASPECTS PRATQUES Courants Monophasés 36

37 ASPECTS PRATQUES Courants Monophasés 37

38 ASPECTS PRATQUES Courants Monophasés 38

39 ASPECTS PRATQUES Courants Monophasés 39

40 ASPECTS PRATQUES Courants Monophasés 40

41 Nombres complexes Rappels sur les nombres complexes.. Forme algébrique d un complexe A tout couple (x, y) /R, on associe le nombre complexe Z a + j b 4

42 Nombres complexes Un nombre complexe Z s écrit : Z a + jb avec j On appelle a la partie réelle de Z et b la partie imaginaire On représente le lieu de Z sur un plan complexe (figure ) b Z 0 ϕ figure a R 4

43 Nombres complexes Le module de Z s écrit Z a + l représente la distance du centre 0 du plan complexe au lieu de Z b L argument ϕ de Z se calcule simplement d après la figure : tg ϕ a b donc ϕ arctag( ) a b. 43

44 Nombres complexes.. Nombre conjugué On appelle * Z nombre complexe conjugué de Z le complexe défini par : Z * Re( Z ) j( Z) Par exemple :. * 3 j alors Z 3 j4 Si Z

45 Nombres complexes.3. Forme trigonométrique Z Z (cosϕ + j sinϕ) Re ( Z) Z cosϕ m ( Z) Z sinϕ a b cosϕ sinϕ a Z b Z 45

46 Nombres complexes.4. Forme exponentielle d un complexe Soit Z, R ρ tels que Z ρ et argument de ϕ Z Attention! Par convention, la forme exponentielle est Z jϕ Z e Soit Z 3e j ϕ, cette écriture est correcte mais il ne faut pas en déduire que Z 3 Mais Z 3 et argument Z ϕ + π 46

47 Nombres complexes Exemple. Addition ou soustraction Z Z ϕ 0 figure ϕ ϕ Z R 47

48 Nombres complexes Considérons la somme ou la différence de deux nombres complexes : Z Z + Z ( a + jb) + ( c + jd) ( a + c) + j( b + d) Z ( a + c) + ( b + d) Le module de Z s écrit alors : L argument ϕ de Z se calcule simplement d après la figure : b + d a + c donc ϕ arctag( ) On additionne ou on soustrait deux nombres complexes en additionnant ou en soustrayant séparément leurs parties réelles et leurs parties imaginaires. tgϕ b + d a + c 48

49 Nombres complexes Exemple. Multiplication Z Considérons le produit de deux nombres complexes On obtient : Z Z * Z a+ jb)*( c+ jd) a + b * c + d (cos( ϕ + ϕ ) + jsin( ϕ + ϕ )) ( Cela revient à dire que pour multiplier deux nombres complexes l un par l autre, on fait le produit de leurs modules et la somme de leurs arguments 49

50 Nombres complexes Exemple3. Division Considérons le rapport de deux nombres complexes : Z Z Z a c + + jb jd Le module de Z s écrit alors : Z A + B a c + b + d Le module du rapport de deux nombres complexes est égal au rapport des modules. L argument de Z s écrit : b d ϕ arctg( ) arctg( ) a c L argument du rapport de deux nombres complexes est égal à la différence des arguments. 50