FONCTIONS (exercices) Généralités et fonctions affines

Transcription

1 FONCTIONS (exercices) Généralités et fonctions affines Exercice 1 : Pour chaque situation, indiquer quelle est la variable et son ensemble de définition, et la grandeur étudiée en fonction de cette variable : 1. Au marché, M. Dupont achète entre 2 et 3 kg de pommes et paye en euros. 2. Un laboratoire de biologie étudie la prolifération des bactéries d une culture suivant l heure de la journée. Exercice 2 : On a -2x+3y = Exprimer x en fonction de y. 2. Exprimer y en fonction de x. Exercice 3 : x et y désignent des réels strictement positifs. Un rectangle de dimensions x et y en cm a pour aire 25 cm Exprimer y en fonction de x. 2. On définit une fonction en associant à la dimension x l autre dimension y. Quel est l ensemble de définition de cette fonction? Exercice 4 : Parmi les graphiques donnés ci-après, déterminer ceux qui représentent des fonctions. Préciser alors le domaine, l image, les racines éventuelles, la croissance et les extrema éventuels. 1

2 Exercice 5 : ABCD est un carré de côté 5. L,M,P et Q sont respectivement les points des segments [AB], [BC], [CD] et [DA] tels que : AL=BM=CP=DQ=x. On admet ici que le quadrilatère LMPQ est un carré. 1. a. Quelles sont les valeurs possibles pour x? b. Exprimer PM 2 en fonction de x. En déduire l aire A du quadrilatère LMPQ en fonction de x. 2. On note f la fonction qui à x associe A. a. Quel est l ensemble de définition de cette fonction? b. Calculer les images par f des réels 0 ;1 ; 2,5 et 5. 2

3 Exercice 6 : 1. f est la fonction définie sur IR par f(x)= -x 2 +3x-5 Calculer l image par f des réels 4 et g est la fonction définie sur IR par g(x)= 2x-3 x Calculer l image par g des réels 2 et 1 2. Exercice 7 : La courbe ci-dessous représente une fonction f définie sur l intervalle [-6 ;6] 1. Lire graphiquement l image par f : de -5, de -3, de 3, de Lire graphiquement les antécédents par f : de 4, de -1, de -2 Exercice 8 : f est la fonction définie par f(x)=x 2 5. Quels sont les nombres réels qui ont pour image : 4 ; -5 ; 0. Exercice 9 : f est la fonction définie sur ]-1 ;+ [ par f(x)= x+1 x-1. ( C ) est la courbe représentative de f dans un repère du plan. Pour chacun des points, dire s il appartient ou non à la courbe ( C ). A(2 ;3) B(1 ;0) C(4 ; 5 3 ) D(-2 ;1 3 ) E(3 ;5) F(2,1 ; 2,8) 2 Exercice 10 : f est la fonction définie sur ]-1 ;+ [ par : f(x)= 2x-3 x+1 Dans un repère, ( C ) est la courbe représentative de f. 1. Déterminer les coordonnées du point d intersection de ( C ) : a. avec l axe des ordonnées b. avec l axe des abscisses 2. Existe-t-il des points de la courbe ( C ) qui ont pour ordonnée 1? Exercice 11 : Voici le tableau de variation d une fonction : 1. Quel est l ensemble de définition de f? 3

4 2. Indiquer le sens de variation. 3. Tracer une courbe susceptible ( C ) de représenter graphiquement la fonction f dans un repère. Exercice 12 : 1. Quel est l ensemble de définition de f? 2. La fonction f est-elle : a. croissante sur [-2 ;2]? sur [0 ;1]? b. décroissante sur [3 ;10]? sur [-2 ;1]? 3. Donner f(0), f(-2), f(0,5) ; 4. Tracer une courbe ( C ) susceptible de représenter graphiquement la fonction f dans un repère. Exercice 13 : Voici des informations concernant une fonction f définie sur l intervalle [-1 ;5] f(-1)=f(5)=0 ; f(2) =3 ; f(4)=-2 f est croissante sur [-1 ;2] et sur [4 ;5] f est décroissante sur [2 ;4] 1. Dresser le tableau de variation de f. 2. Tracer une courbe susceptible de représenter graphiquement la fonction f dans un repère. Exercice 14 : f est une fonction et (C ) est sa représentation graphique. Traduire par des égalités (du type y=f(x) chacune des phrases suivantes : 1. (C) passe par le point de coordonnées (-2 ;5). 2. (C) coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée (C) coupe l axe des abscisses aux points d abscisses respectives -2 et 3. Exercice 15 : On a représenté ci-dessus une fonction f définie sur [-5 ;4] 1. Résoudre graphiquement l équation f(x)=1 2. Résoudre graphiquement l inéquation f(x) 1 4

5 Exercice 16 : On a représenté ci-dessus une fonction f définie sur [-5 ;5] 1. Résoudre graphiquement l équation f(x)=2 2. Résoudre graphiquement l inéquation f(x) 3 Exercice 17 : Déterminer graphiquement le signe des fonctions : Exercice 18 : On donne les représentations graphiques de deux fonctions f et g définies sur [-5 ;3] Déterminer l ensemble des réels x tels que : 1. La courbe de f est au-dessus de la courbe de g 2. f(x)=g(x) 3. f(x)<g(x) 5

6 Exercice 19 : On donne les représentations graphiques de deux fonctions f et g définies sur [-6 ;6] Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes : 1. f(x) 0 2. g(x)<0 3. g(x) 4 4. f(x)=g(x) 5. f(x) g(x) Exercice 20 : 1. Parmi les fonctions suivantes, reconnaître les fonctions linéaires : f 1 : x 3 1 x f 2 : x 2 x f 3 : x 3 x ² f 4 : x x 1 f 5 : x x 2 f 6 : x - 3 x 2. Parmi les fonctions suivantes, reconnaître les fonctions affines : f 1 : x 2x + 3 f 2 : x 3 2 x f 3 : x 3 1 x f 4 : x 5 x f 5 : x 5 x f 6 : x 2x 3 4 Exercice 21: Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g et h sur un même graphique à l aide des données : f(1)=2 et f(-1)=4 et f est affine g est constante et g(0)=0 h est linéaire et h(2)=6 6

7 Exercice 22: Voici une série de fonctions, coder chacune d elles en utilisant la notation f : x f ( x ) ; repérer celles qui sont linéaires et celles qui sont affines ; représente graphiquement ces fonctions. Exercice 23 : f 1 associe le côté c d un carré à son périmètre f 2 associe le côté c d un carré à son aire f 3 associe la base b d un triangle de hauteur 3 à son aire f 4 associe la largeur l d un rectangle de longueur 10 à son aire f 5 associe le rayon r d un cercle à son périmètre f 6 exprime le périmètre d un rectangle de longueur 8 en fonction de sa largeur l f 7 exprime l aire d un rectangle de longueur 9 en fonction de sa largeur l f 8 exprime l aire d un trapèze de hauteur 4 et de petite base 3 en fonction de sa grande base B f 9 exprime l aire d un cercle en fonction de son rayon r. f 1 : x 3 x f 2 : x - x f 3 : x 2 x + 3 f 4 : x 3 f 5 : x 3 5 x f 6 : x 2 x Préciser le «type» de chacune de ces fonctions et les représenter graphiquement. Exercice 24 : Représenter graphiquement les fonctions données ci-après. Pour chacune d entre-elles - préciser le sens de variation - déterminer algébriquement les coordonnées des points d intersection du graphique avec les axes du repère puis vérifier graphiquement. I ) f ( x) = 3x 5 II ) f ( x) = 2x + 1 III ) f ( x) = 5 7

8 Exercice 25 : On donne le graphique de la fonction f. Complétez. a) dom f =.. b) im f =.. c) le zéro de f est d) f(0) =. e) l antécédent de -2 est. f) l image de 2 1 est g) le réel qui a, par f, 2 pour image est. h) l ensemble des réels qui ont, par f, une image strictement négative est... Exercice 26 : Le salaire d un vendeur est composé d un fixe de 970 euros et d une commission égale à 4% du montant x en euros des ventes réalisées dans le mois. 1. Exprimer le salaire du vendeur en fonction de x. 2. Calculer le montant des recettes qui lui assurerait un salaire de 1500 euros. 8

9 Exercice 27 : Un particulier a des marchandises à faire transporter. Un premier transporteur lui demande 460 au départ et 3,5 par kilomètre. Un second transporteur lui demande 1000 au départ et 2 par kilomètre. Pour quelles distances à parcourir est-il plus avantageux de s adresser au second transporteur? Exercice 28 : Exercice 29 : 9

10 Exercice 30 : ( petite base + grande base) hauteur RAPPEL AIRE D UN TRAPEZE : 2 La figure ci-dessous est une vue de la surface au sol d une pièce d une maison d habitation. Une partie sera recouverte de parquet (le salon) et l autre de carrelage (la salle de séjour). A x M B salon salle de séjour D H x G C ABCD est un trapèze rectangle tel que : AB = 6 m ; BC = 5 m ; CD = 10 m M est un point du segment [AB] ; on pose AM = x. (x est une distance exprimée en mètres ; 0 < x < 6 et AMGD est un trapèze rectangle. 1. Exprimer, en fonction de x, l aire de MBCG (salle de séjour) et celle de AMGD (salon). 2. a. Pour quelle valeur de x les deux aires sont-elles égales? b. Quelle est alors la valeur de chaque aire? 3. On se propose de représenter graphiquement cette situation à l aide de deux fonctions affines f et g, f définie pour l aire de AMGD, g définie pour l aire de MBCG. Exprimer f et g en fonction de x Sur une feuille quadrillée, construire un repère orthogonal : - L origine est placée en bas à gauche. - En abscisse, prendre 2 cm pour une unité (2 cm pour 1 m). - En ordonnée, prendre 1 cm pour une 2 unités (1 cm pour 2 m 2 ). Représenter les fonctions f et g. b. Par lecture graphique, retrouver la valeur de x telle que f(x) = g(x) et l aire correspondante. Mettre en évidence ces valeurs sur le graphique (pointillés, couleurs ). 4. Pour le reste du problème, on prendra x = 1. a. Par lecture graphique ou par le calcul, déterminer l aire du salon AMGD et celle de la salle MBCG. b. Le salon AMGD est revêtu de parquet au prix initial de 100 le m 2. L artisan accorde un rabais de 5 %. Calculer le prix global après rabais pour le parquet. c. La salle MBCG est recouverte de carrelage. L artisan accorde également un rabais de 5 %. Le montant global après rabais pour le carrelage est de Calculer le prix pour un m 2 de carrelage avant rabais. Exercice 31 : On rappelle que l'aire d'un triangle quelconque est obtenue à l'aide de la formule de calcul suivante : 10

11 Aire = 1 2 ( longueur d'un côté longueur de la hauteur correspondante. ) I. Soit LAC un triangle rectangle en A. On donne : LA = 9 cm ; AC = 12 cm. [ AH ] est la hauteur issue de A.. a. Calculer l'aire du triangle LAC. b. Montrer que : LC = 15 cm. c. En exprimant différemment le calcul de l'aire du triangle LAC, montrer que : AH = 7, 2 cm. II. On place un point M sur le côté [ LC ] du triangle LAC et on note x la distance LM, exprimée en cm ( 0 < x < 15 ). 1. Exprimer en fonction de x la longueur MC. 2. Le segment [ AH ] peut être considéré comme hauteur à la fois du triangle MAC et du triangle LAM. a. Montrer que l'aire du triangle LAM, exprimée en cm 2, est 3, 6 x. b. Montrer que l'aire du triangle MAC, exprimée en cm 2, est 54 3, 6 x. 11

12 III. c. Pour quelle valeur de x les deux triangles LAM et MAC ont-ils la même aire? Quelle est alors cette aire? Le plan est muni d'un repère orthogonal. On choisira l'axe des abscisses parallèle au grand côté de la feuille de papier millimétré. Sur l'axe des abscisses, l'unité est le centimètre, sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 10 unités. 1. Tracer la représentation graphique des fonctions f et g définies par : f( x ) = 3, 6 x et g( x ) = 54 3, 6 x. 2. Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle MAC est égale à 36 cm 2 en faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles. 3. Soit K le point d'intersection des deux droites obtenues. Exercice 32 : a. Déterminer graphiquement les coordonnées du point K. b. En utilisant les résultats obtenus à la question II 2-c : - Que représente l'abscisse du point K? - Que représente l'ordonnée du point K? Un club de football dont l'équipe joue en championnat propose plusieurs tarifs d'entrée au stade pour les spectateurs. Tarif1 : Le spectateur paie 10 par match auquel il assiste. Tarif2 : Le spectateur paie un abonnement annuel de 40, puis 5 par match auquel il assiste. Tarif3 : Le spectateur paie un abonnement annuel de 150 et bénéficie de la gratuité pour tous les matchs auxquels il assiste. L équipe participe à 30 matchs dans l'année. 1. a) Quel est le tarif le plus avantageux pour un spectateur assistant à 8 matchs? b) Quel est le tarif le plus avantageux pour un spectateur assistant à 14 matchs? c) Quel est le tarif le plus avantageux pour un spectateur assistant à 24 matchs? 2. Soit x le nombre de matchs auquel assiste un spectateur dans l'année. a) Soit P 1 le prix payé pour x matchs au tarif1. Exprimer P 1 en fonction de x. b) Soit P 2 le prix payé pour x matchs au tarif 2. Exprimer P 2 en fonction de x. c) Soit P 3 le prix payé pour x matchs au tarif 3. Exprimer P 3 en fonction de x. 12

13 3. Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on choisit les unités graphiques suivantes : sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 2 matchs ; sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 20. Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions P 1, P 2, P 3 : 4. À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes (laisser apparents les pointillés qui ont permis la lecture) : Quel est le tarif le plus avantageux pour assister à 8 matchs? Quel est le tarif le plus avantageux pour assister à 14 matchs? Quel est le tarif le plus avantageux pour assister à 24 matchs? 5. Résoudre les inéquations suivantes : 10 x < 5 x + 40 et 5 x + 40 < 150 Interpréter les résultats obtenus. Exercice 33 : Etudier le signe des expressions suivantes : 1 1) x + 2) x ) x 5 5) 1,5 x 4 2 3) 2x + 4 6) 15x )( x + 3)( x + 2) 8)( 2x 9)( 3x + 4) 9) 2x(5x + 6)( 3x + 1) x 1 10) x + 2 2x 1 11) 2x + 1 3x 12) 5 x ( x + 6)( x 4) 13) x 1 x 14) ( 3x + 1)(2x 1) (5x + 7)( 4x 8) 15) ( x + 3)(2x + 3) 13