1ES/1L Spé D.S. n 3 de Mathématiques Vendredi 12 janvier 2018 Calculatrice autorisée Nom :... Durée : 1 h 45

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1 1ES/1L Spé D.S. n 3 de Mathématiques Vendredi 12 janvier 2018 Calculatrice autorisée Nom :.... Durée : 1 h 45 Le barème est donné à titre indicatif sur 40 points. EXERCICE 1 (16 points) STATISTIQUES Une machine est programmée pour fabriquer une pièce dont le diamètre doit être de 5 cm. Pour cela, l opérateur règle la machine sur cette valeur. On observe toutefois des variations dans les diamètres des pièces fabriquées, ceci est inévitable mais doit rester dans des limites acceptables. Un échantillon de 40 pièces est prélevé en vue de contrôler la machine. Les résultats sont les suivants : Diamètre 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4 Effectif Effectifs cumulés croissants PARTIE A : Calculs (expliquer votre raisonnement) 1) Calculer la moyenne. (On donnera une valeur arrondie du résultat à 0,01 près) 2) Compléter le tableau ci-dessus. Calculer la médiane, puis les quartiles Q1 et Q3. 3) Calculer l écart interquartile et l étendue. 4) Représenter le diagramme en boîte. 5) Déterminer l écart type (à la calculatrice, sans explication). (On donnera une valeur arrondie du résultat à 0,01 près) 6) Quel est le pourcentage de mesures situées dans l intervalle [ x ; x + ]? PARTIE B : Contrôle de qualité. 1) On sait que d un échantillon à l autre les valeurs des différents diamètres ne sont pas identiques. De même la moyenne des valeurs d un échantillon fluctue mais de façon moindre que les valeurs individuelles. On a calculé que, si la machine est bien réglée, la moyenne des diamètres dans un échantillon d effectif 40 doit appartenir à l intervalle [4,88 ; 5,12]. Est-ce le cas ici? Justifier 2) La moyenne pourrait être dans l intervalle acceptable malgré des variations individuelles très importantes, c est-à-dire de grandes chances que la machine fabrique des pièces en dehors des limites tolérées. On a calculé que, si la machine est bien réglée, l écart type des diamètres dans un échantillon d effectif 40 doit être dans l intervalle [0,13 ; 0,25]. Est-ce le cas ici? Justifier 3) Quelle décision doit-on prendre : régler la machine ou poursuivre la fabrication?

2 EXERCICE 2 (8 points) Lectures graphiques Répondre sur le sujet Soit une fonction f définie et dérivable sur [ 7 ; 9]. Soit C f sa représentation graphique dans un repère orthonormal. Elle passe notamment par : le point de coordonnées (2 ; 0,5) et le point de coordonnées (6,5 ; 2). On a tracé également les tangentes à C f aux points d abscisses respectives 5 ; 2 ; 2 ; 6,5. 1) Compléter, par lecture graphique, f( 5).. f( 2).. f ( 5).. f ( 2).. f (2).. 2) Déterminer une équation de la tangente à C f au point d abscisse 6,5. 3) On sait que f ( 3) 2 Tracer sur le graphique la tangente à C f au point d abscisse 3 EXERCICE 3 (11 points) Second degré Une entreprise fabrique et vend x objets par jour avec x compris entre 0 et 150. Le bénéfice journalier B(x), exprimé en euros, est donné par : B(x) x x ) Combien d objets l entreprise doit-elle produire et vendre pour être rentable? 2) L entreprise peut-elle réaliser un bénéfice supérieur ou égal à euros? Interpréter ce résultat. EXERCICE 4 (5 points) Pourcentages Le pouvoir d achat d un individu est le quotient de son salaire mensuel par le prix de ses dépenses usuelles (emprunt, loyer, nourriture,..) En 2014, John gagnait net par mois. 1. Tous les mois, il dépensait : 5% de son salaire pour le remboursement d un emprunt automobile 3 de son salaire restant pour les autres dépenses usuelles. 5 Montrer que le pouvoir d achat de John, arrondi au centième, était de 1, En janvier 2015, le salaire de John a augmenté de 3% et ses dépenses usuelles de 2%. Quel est le pourcentage d évolution de son pouvoir d achat? BONUS : Entre janvier 2015 et janvier 2016, son pouvoir d achat a baissé de 2% et ses dépenses usuelles ont augmenté de 2%. Son salaire a-t-il augmenté, est-il resté stable ou a-t-il diminué depuis janvier 2015? Préciser.

3 1ES/1L Spé Eléments de correction du D.S. n 3 du 12 janvier 2018 Calculatrice autorisée Durée : 1 h 45 EXERCICE 1 (16 points) STATISTIQUES Une machine est programmée pour fabriquer une pièce dont le diamètre doit être de 5 cm. Pour cela, l opérateur règle la machine sur cette valeur. On observe toutefois des variations dans les diamètres des pièces fabriquées, ceci est inévitable mais doit rester dans des limites acceptables. Un échantillon de 40 pièces est prélevé en vue de contrôler la machine. Les résultats sont les suivants : Diamètre 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4 Effectif Effectifs cumulés croissants PARTIE A : Calculs (expliquer votre raisonnement) ) Calculer la moyenne x. (On donnera une valeur arrondie du résultat à 0,01 près) x 4, , ,9 x 4,95 cm ) Compléter le tableau ci-dessus. Calculer la médiane, puis les quartiles Q1 et Q3. Médiane : l effectif total est pair : N 40 N 2 20 donc la médiane est la demi-somme du 20ème terme et du 21 ème terme de la série rangée dans l ordre croissant : Me 4, ,95. Premier quartile : N 4 10 donc Q 1 est la 10 ème valeur de cette série rangée dans l ordre croissant Q 1 4,8 Troisième quartile : 3N 4 30 donc Q 3 est la 30 ème valeur de cette série rangée dans l ordre croissant 3) Calculer l intervalle interquartile et l étendue. Ecart interquartile : Q 3 Q 1 5 4,8 0,2 Q 3 5 Étendue : C est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite, d où e 5,4 4,6 0,8 4) Représenter le diagramme en boite. 5) Déterminer l écart type (à la calculatrice, sans explication). (On donnera une valeur arrondie du résultat à 0,01 près) Grâce à la calculatrice, l écart type est : 0,19 6) Quel est le pourcentage de mesures situées dans l intervalle [ x ; x + ] [ x ; x + ] [4,76 ; 5,14] on dénombre les valeurs allant de 4,8 à 5,1 inclus, Soit % des valeurs. 40 donc il y a : valeurs dans cet intervalle.

4 PARTIE B : Contrôle de qualité. 1) On sait que d un échantillon à l autre les valeurs des différents diamètres ne sont pas identiques. De même la moyenne des valeurs d un échantillon fluctue mais de façon moindre que les valeurs individuelles. On a calculé que, si la machine est bien réglée, la moyenne des diamètres dans un échantillon d effectif 41 doit appartenir à l intervalle [4,88 ; 5,12]. Est-ce le cas ici? Oui car x 4,95 donc x [4,88 ; 5,12]. 2) La moyenne pourrait être dans l intervalle acceptable malgré des variations individuelles très importantes, c est-àdire de grandes chances que la machine fabrique des pièces en dehors des limites tolérées. On a calculé que, si la machine est bien réglée, l écart type des diamètres dans un échantillon d effectif 41 doit être dans l intervalle [0,13 ; 0,25]. Est-ce le cas ici? Oui car 0,19 donc [0,13 ; 0,25]. 3) Quelle décision doit-on prendre : régler la machine ou poursuivre la fabrication? On peut donc poursuivre la fabrication. EXERCICE 2 (8 points) Lectures graphiques Répondre sur le sujet Soit une fonction f définie et dérivable sur [ 7 ; 9]. Soit C f sa représentation graphique dans un repère orthonormal. Elle passe notamment par le point de coordonnées (2 ; 0,5) et le point de coordonnées (6,5 ; 2). On a tracé également les tangentes à C f aux points d abscisses respectives 5 ; 2 ; 2 ; 6,5. 1) Compléter, par lecture graphique, f( 5) 4 f ( 5) 0 f( 2) 1 f ( 2) f (2) 1,5 2 0,75 2) Déterminer une équation de la tangente à C f au point d abscisse 6,5. Or f(6,5) 2 f (6,5) y f (a)(x a) + f(a) avec a 6,5 y f (6,5)(x 6,5) + f(6,5) 3 2,5 1,2 on en déduit : y 1,2(x 6,5) + 2 3) On sait que f ( 3) 2 y 1,2x 7,8 + 2 y 1,2x 5,8 Tracer sur le graphique la tangente à C f au point d abscisse 3 Remarque : f ( 3) 2 f ( 2) donc les tangentes à C f aux points d abscisses respectives 3 et 2 sont parallèles ( car elles ont le même coefficient directeur)

5 EXERCICE 3 (11 points) Second degré Une entreprise fabrique et vend x objets par jour avec x compris entre 0 et 150. Le bénéfice journalier B(x), exprimé en euros, est donné par : B(x) x x ) Combien d objets l entreprise doit-elle produire et vendre pour être rentable? L entreprise sera rentable lorsque B(x) > 0 c est-à-dire lorsque x x 1300 > 0 et x [0 ; 150] a 1 b 140 c 1300 Δ b 2 4ac ( 1) ( 1300) Δ > 0 donc deux racines réelles distinctes x 1 b Δ x 2 b + Δ De plus a 1 donc a < C B x Signe de x x S ] 10 ; 130[ On en déduit que l entreprise est rentable lorsqu elle produit plus de 10 objets et moins de 130 objets, donc entre 11 et 129 objets. Autre B(x) 0 ce qui équivaut à : x x et x [0 ; 150] a 1 b 140 c 1300 Δ b 2 4ac ( 1) ( 1300) Δ > 0 donc deux racines réelles distinctes x 1 b Δ x 2 b + Δ De plus a 1 donc a < x Signe de x x S [10 ; 130] On en déduit que l entreprise n est pas en perte lorsqu elle produit entre 10 objets et 130 objets, 2) L entreprise peut-elle réaliser un bénéfice supérieur ou égal à euros? Interpréter ce résultat. B(x) c est-à-dire lorsque x x et x [0 ; 150] a 1 b 140 c 4900 x x et x [0 ; 150] Δ b 2 4ac ( 1) ( 4900) Δ 0 donc une racine réelle double

6 x 0 b De plus a 1 donc a < 0 x Signe de x x S { 70 } Le bénéfice est égal à lorsque l entreprise produit 70 objets Le bénéfice ne peut pas être strictement supérieur à 3600 On en déduit que est le bénéfice maximal obtenu. EXERCICE 4 (5 points) Pourcentages Le pouvoir d achat d un individu est le quotient de son salaire mensuel par le prix de ses dépenses usuelles (emprunt, loyer, nourriture,..) En 2014, John gagnait net par mois. 1. Tous les mois, il dépensait : 5% de son salaire pour le remboursement d un emprunt automobile 3 de son salaire restant pour les autres dépenses usuelles. 5 Montrer que le pouvoir d achat de John, arrondi au centième, était de 1,61. Dépense pour le remboursement d un emprunt automobile : Autres dépenses usuelles : 3 5 ( ) 0, Donc total des dépenses usuelles : On en déduit le pouvoir d achat : ,61 2. En janvier 2015, le salaire de John a augmenté de 3% et ses dépenses usuelles de 2%. Quel est le pourcentage d évolution de son pouvoir d achat? Soit 2200 le salaire de John en janvier En janvier 2015, le salaire de John a augmenté de 3% donc son salaire en janvier 2015 : ,03 soit Soit 1364 le total des dépenses usuelles en janvier En janvier 2015, ses dépenses ont augmenté de 2% donc ses dépenses en janvier 2015 : ,02 soit 1391,28 Le pouvoir d achat en janvier 2014 est : p ,61 Le pouvoir d achat en janvier 2015 est : p Calcul du taux d évolution : avec valeurs exactes : VF ,28 1, , ,98

7 d où une augmentation d environ 0,98% du pouvoir d achat entre janvier 2014 et janvier 2015 avec des valeurs arrondies à 10 2 près : augmentation de 1,24%!! VF 100 1,63 1,61 1, ,24 soit une BONUS : Entre janvier 2015 et janvier 2016, son pouvoir d achat a baissé de 2% et ses dépenses usuelles ont augmenté de 2%. Son salaire a-t-il augmenté, est-il resté stable ou a-t-il diminué depuis janvier 2015? Préciser. avec les valeurs exactes : Le pouvoir d achat en janvier 2015 est : p ,28 Entre janvier 2015 et janvier 2016, son pouvoir d achat a baissé de 2% donc son pouvoir d achat en janvier 2016 est : p 2 0, , , ,28 1,60 Entre janvier 2015 et janvier 2016, ses dépenses usuelles ont augmenté de 2% donc d 2 1, , ,1056 On a donc : 2220, ,28 s ,1056 et donc s , , ,1056 s ,0936 calcul du taux d évolution : VF , ,04 D où une baisse du salaire de 0,04% par rapport à celui de Janvier avec des valeurs arrondies à 10 2 près : Le pouvoir d achat en janvier 2015 est : p 1 1,63 Entre janvier 2015 et janvier 2016, son pouvoir d achat a baissé de 2% donc son pouvoir d achat en janvier 2016 est : p 2 0,981,63 1,60 Entre janvier 2015 et janvier 2016, ses dépenses usuelles ont augmenté de 2% donc d 2 1, , , ,11 On a donc : s 2 1, ,11 calcul du taux d évolution : VF ,58 s , ,20!! soit une augmentation de 0,2%!!!