CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS

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1 CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS CHAPITRE 7 RÉPONSES HARMONIQUES DIAGRAMMES DE BODE Amortisseur d un véhicule automobile Schématisation du mécanisme Réponses harmoniques Savoir Savoirs : Rés.-C5 : Performances d un système asservi Rés-C5-S2 : Tracer une réponse temporelle ou fréquentielle Présentation Caractérisation d'un signal sinusoïdal Réponse temporelle d'un système d'ordre à une entrée sinusoïdale Diagrammes de Bode Calcul complexe Dénition Représentation d'un système asservi Réponse harmonique d'un gain Réponse harmonique d'un intégrateur Réponse harmonique d'un intégrateur Réponse harmonique système proportionnel intégral Réponse harmonique d'un dérivateur Réponse harmonique d'un système du premier ordre Tracé réel Tracé asymptotique Réponse harmonique d'un système du second ordre Cas où ξ Cas où ξ < Ce document évolue. Merci de signaler toutes erreurs ou coquilles. CI 2 : SLCI Cours

2 Présentation. Caractérisation d'un signal sinusoïdal On peut définir un signal sinusoïdal sous la forme suivante : f (t ) = A sin(ω t + ϕ) et on note : A : l amplitude de la sinusoïde ; ω : la pulsation en r a d /s ; ϕ : la phase à l origine en r a d. On a par ailleurs : T = 2π : la période de la sinusoïde en s ; ω f = : fréquence de la sinusoïde en H z. T Sinus amplifiés Sinus déphasés Sinus amplifiés et déphasés.2 Réponse temporelle d'un système d'ordre à une entrée sinusoïdale Soit un système du premier ordre de la forme H (p ) =. Le gain de la fonction de transfert est donc de et la constante + τp de temps est de seconde. Calculons la réponse temporelle s (t ) d un premier ordre à une entrée sinusoïdale e (t ) = E 0 sin(ω 0 t ). Dans le domaine de ω 0 Laplace, on a E (p ) = E 0 ω 2. S(p ) s exprime donc sous la forme suivante : 0 + p 2 ω 0 S(p ) = E (p) H (p ) = E 0 ω p K 2 + τp = K E 0ω 0 ω p 2 + τp En réalisant la transformée de Laplace inverse, on obtient : s (t ) = K E t 0 τω + τ 2 ω 2 0 e τ τω 0 cos(ω 0 t ) + sin(ω 0 t ) 0 Dénition Réponse harmonique On appelle réponse harmonique la sortie d un système lorsqu il est soumis à une entrée sinusoïdale. Elle permet de caractériser le comportement dynamique du système. On donne les réponses temporelles pour plusieurs valeurs de la pulsation du signal d entrée (attention : les échelles des abscisses ne sont pas les mêmes sur chacune des figures). 2 CI 2 : SLCI Cours

3 ω 0 = 0, 0 r a d /s T = 0π s ω 0 = 0, r a d /s T = π s ω 0 = r a d /s T = 2π s ω 0 = 0 r a d /s T = 0, 2π s On constate que quand la pulsation du signal augmente, on observe un déphasage entre le signal d entrée et le signal de sortie ainsi qu une atténuation du signal de sortie. 2 Diagrammes de Bode 2. Calcul complexe Lorsque le système est soumis à une entrée sinusoïdale, la variable de la Laplace p est substituée par j ω. H ( j ω) est appelée réponse en fréquence ou réponse harmonique du système. On rappelle que si H ( j ω) = x + j y x 2 + j y 2, alors : on appelle A(ω) = H ( j ω) le module de H (ou le gain de H ) et on a : A(ω) = x 2 + y 2 x y 2 2 Résultat on appelle ϕ(ω) = Ar g (H ( j ω)) l argument de H (ou la phase de H ) et on a : ϕ(ω) = arctan y x arctan y 2 x 2 Remarque On appelle Ad B le gain en décibel et on a : Ad B (ω) = log A(ω) Soit H (p ) une fonction de transfert d ordre : K H ( j ω) = + τ j ω On a alors : K 2 Ad B (ω) = log = log K 0 log + τ 2 ω (τω) 2 Exemple ϕ(ω) = arctan 0 K arctan τω = arctanτω 3 CI 2 : SLCI Cours

4 2.2 Dénition Diagrammes de Bode Dénition Les diagrammes de Bode représentent deux courbes sur deux diagrammes distincts dans des repère semi logarithmiques : la courbe de gain en décibel en fonction de la pulsation ω ; la courbe de phase (en degrés ou radians) en fonction de la pulsation ω Tracé des diagrammes de Bode Le tracé de Bode comprend toujours le diagramme de gain superposé avec le diagramme de phase. Dans le cas d un système du premier ordre, la représentation directe du diagramme de Bode serait la suivante. On remarque de fortes variations de la courbe lorsque ω est petit. En conséquences, on choisit usuellement de représenter les diagrammes de Bode dans un repère semi logarithmique Lien entre la réponse temporelle et le diagramme de Bode Une réponse temporelle pour une pulsation donnée permet de tracer un point dans la courbe de gain et un point dans la courbe de phase. 4 CI 2 : SLCI Cours

5 Pulsation (r a d /s ) 0,0 0, 0 Rapport des amplitudes 0,756 0,7 Décalage temporel (s.) 0 0 0,72 0,4 Gain (d B ) 0 0-2,43-5,39 Déphasage (r a d ) 0 0 0,72,4 Résultat La représentation de la fonction de transfert dans les diagrammes de Bode permet d avoir des informations sur la comportement du système. Attention, suivant les cas, il sera nécessaire de représenter la FTBO ou la FTBF. 2.3 Représentation d'un système asservi Généralement, une fonction de transfert s écrit sous la forme d un produit de fonction rationnelles. Ainsi, notons H ( j ω) = F ( j ω) G ( j ω). On montre que le gain décibel de H est sous la forme : Ad B (ω) = log F ( j ω) + log G ( j ω) et que la phase est sous la forme : Ar g (ω) = Ar g F ( j ω) + Ar g G ( j ω) Ainsi pour tracer le gain et la phase d une fonction de transfert s exprimant sous la forme de produit de fonctions de transfert élémentaire, il suffit de tracer les fonctions de transfert élémentaire dans les diagrammes de Bode puis de les sommer. 5 CI 2 : SLCI Cours

6 3 Réponse harmonique d'un gain Ici H ( j ω) = K. On a : Ad B (ω) = log K ; ϕ(ω) = arctan 0 K = 0. Diagramme de Bode H (p ) = 4 Réponse harmonique d'un intégrateur 4. Réponse harmonique d'un intégrateur Ici H ( j ω) = j ω = j ω. On a : Ad B (ω) = log = logω ; ω ϕ(ω) = arctan ω 0 tend vers π 2. Diagramme de Bode H (p ) = p 6 CI 2 : SLCI Cours

7 4.2 Réponse harmonique système proportionnel intégral Ici H ( j ω) = K j ω = j ω. On a : Ad B (ω) = log K = log K logω ; ω K ϕ(ω) = arctan ω 0 tend vers π 2. Diagramme de Bode H (p ) = p 4.3 Réponse harmonique d'un dérivateur Ici H ( j ω) = j ω. On a : Ad B (ω) = logω = logω ; ϕ(ω) = arctan ω 0 tend vers π 2. Diagramme de Bode H (p ) = p 7 CI 2 : SLCI Cours

8 5 Réponse harmonique d'un système du premier ordre 5. Tracé réel K On a H ( j ω) =. Calculons le gain de la fonction + j ωp de transfert : K 2 Ad B (ω) = log = log K 0 log + τ 2 ω 2 + τ 2ω 2 0 τω ϕ(ω) = arctan arctan K = arctanτω Diagramme de Bode H (p ) = + p 5.2 Tracé asymptotique En 0 Pour le gain, on a lim ω 0 Ad B (ω) = log K. Lorsque ω tend vers 0, Ad B (ω) tend vers une constante, ce qui donne une droite horizontale. Pour la phase, on a lim ω 0 ϕ(ω) = 0. Lorsque ω tend vers 0, ϕ(ω) tend vers une constante, ce qui donne une droite horizontale. En + Pour le gain, on a + : Ad B (ω) = log K logτ logω = log K logω. Cela correspond, dans un diagramme τ semi logarithmique à une droite passant par log K τ en ω = et une pente de - d B par décade. Pour la phase, on a horizontale. lim ϕ(ω) = π. Lorsque ω tend vers 0, ϕ(ω) tend vers une constante, ce qui donne une droite ω + 2 Remarques L intersection des deux asymptotes se détermine en cherchant ω tel que log K = log K τ logω log T = logω ω = τ. Résultat Les asymptotes s intersectent en ω = τ. 8 CI 2 : SLCI Cours

9 Calculons la valeur du gain au passage de ω = τ : Ad B = log K log + log K 3 τ On a donc une atténuation de 3 d B en ω = τ. Par ailleurs, H j = K τ + j = K 2 = K 2 2 Attention Une atténuation de 3 d B n est pas anodine. Elle correspond à une atténuation du signal de près de 30% en régime permanent. Il est possible de calculer la pulsation pour laquelle l asymptote oblique coupe l axe des abscisses. Pour cela, il faut résoudre l équation log K logω = 0. On a alors τ logω = log K τ ω = K τ Gain Gdb Phase rad Adb(ω) Pulsation ω ϕ(ω) Représentation asymptotique et tracé réel 9 CI 2 : SLCI Cours

10 6 Réponse harmonique d'un système du second ordre 6. Cas où ξ Dans ce cas, le dénominateur de la fonction de transfert peut se factoriser sous la forme : H (p ) = K + τ p + τ 2 p. Le tracé de cette fonction de transfert revient à tracer les diagrammes de Bode des fonctions de transfert suivantes : H (p ) = K ; H 2 (p ) = + τ p ; H 3 (p ) = + τ 2 p. On peut alors sommer les 3 fonctions de transfert. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de la fonction de transfert H (p ) = + p + 0p. Gain Gdb Pulsation ω Phase rad CI 2 : SLCI Cours

11 Diagramme de Bode H (p ) = + p + 0p 6.2 Cas où ξ < Les pôles de la fonction de transfert sont complexes conjugués. Le gain est donné par la fonction suivante : 2 Ad B (ω) = log K log ω2 + 4ξ 2 ω2 ω 2 0 ω 2 0 L argument est donné par 2ξ ω ϕ(ω) = arctan ω 0 ω2 ω Gain Gdb 0 40 Adb(ω) ξ = 2 /2 Adb(ω) ξ =0.2 Adb(ω) ξ = Pulsation ω Phase rad ϕ(ω) ξ = 2/2 ϕ(ω) ξ =0.2 ϕ(ω) ξ = Diagramme de Bode H (p) = + 2ξ p + p 2 2 CI 2 : SLCI Cours

12 Phénomène de résonance Le phénomène de résonance s observe lorsque ξ < 2 2. La pulsation de résonance est inférieure à la pulsation propre du système : ω r = ω 0 2ξ 2 À la résonance, l amplitude maximale est de Résultat K A ma x = 2ξ ξ 2 (Attention, sur le diagramme de Bode, on lit log A ma x lorsque ω = ω r. Références [] Jean-Pierre Pupier, SLCI : Réponse harmonique des systèmes du premier et du second ordre. PTSI Lycée Rouvière de Toulon. [2] Joël Boiron, SLCI : Étude générale des systèmes fondamentaux du premier et du deuxième ordre. PTSI Lycée Gustave Eiffel de Bordeaux. 2 CI 2 : SLCI Cours