Chapitre 1 - Repérage

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1 Chapitre 1 - Repérage Activité 1 n considère le repère (P,, ) où P désigne Paris, P=P et (P) (P). A. Lire des coordonnées. 1. Donner les coordonnées d Amiens, de Rennes et de Perpignan dans le repère (P,,). (0 ;4) (-8 ;-2) (1 ; -18) 2. dentifier la ou les ville(s) de la carte : a) de coordonnées ( 7 ; 8) ; La Rochelle b) d ordonnée nulle ; Paris, Nancy. c) de même abscisse que Limoges ; Toulouse. d) d ordonnée maximale. Calais. 3. n note (x ; y) les coordonnées d une ville placées sur la carte. dentifier les villes de la carte correspondant à la condition donnée : a) 11< y < 9 Grenoble, Chambéry, Royan. b) x < 0 ET y > 0 Perros-Guirec, Caen, Cherbourg, Rouen, Calais. c) x 10 U x 10 Brest, Perros-Guirec, Strasbourg, Colmar, Nice. d) x = 2 U y = 9 Limoges, Toulouse, Clermont Ferrand, Lyon B. Vrai ou Faux? 1) Si x < 10 alors la ville V(x ; y) est située en Bretagne. Vrai. 2) Si la ville V(x ; y) est en Bretagne alors x < 10. Faux. 3) Si y < 5 alors la ville V(x ; y) est située au sud de Paris. Vrai. 4) La ville V(x ; y) est située au sud de Nantes si y < 8. Vrai

2 - Repère et coordonnées n dit que le plan est muni d un repère lorsque l on a fixé dans ce plan deux axes gradués sécants. 1) Les différents types de repères Dans un plan, on considère trois points non alignés, et. n distingue quatre cas : Le triangle est quelconque Rectangle en socèle en Rectangle isocèle en Le repère (,, ) est quelconque orthogonal normé orthonormé Rem : n travaillera essentiellement (voire exclusivement) avec des repères orthogonaux ou orthonormés. 2) Coordonnées Pour repérer un point du plan dans un repère orthogonal (,, ), on projette ce point orthogonalement sur chacun des deux axes gradués du repère. La graduation correspondant au projeté sur le premier axe est appelée l abscisse du point. La graduation correspondant au projeté sur le deuxième axe est appelée l ordonnée du point. Théorème : Dans un repère orthonormé, tout point M du plan est repéré par un unique couple (x m ; y m) de réels, appelé couple des coordonnées de M. x m est l abscisse de M et y m est l ordonnée de M. Rem : * Si le repère n est pas orthogonal, on projette parallèlement aux deux axes pour lire les coordonnées. * L ordre dans lequel on considère les deux axes, pour établir un repère du plan, est fondamental, puisqu il permet de décider quelle graduation est l abscisse du point, et quelle graduation en est l ordonnée. * n peut aussi trouver la notation M. Exercice 1 1) ndiquer les coordonnées des points A, B et C. A 2) Placer les points : D (3 ; 5), E( 4 ; 6) et F( 1 ; 3). 3) Construire les points A, B et C symétriques respectifs de A, B et C par rapport à l axe des abscisses puis indiquer leurs coordonnées approximative. C B 1) A (3 ; 3), B (7 ; 3), C ( 3 ; 5) // 3) A (3 ; 3), B (7 ; 3), C ( 3 ; 5)

3 Exercice 2 1) Lire dans ce repère les coordonnées des points A, B, C, D, E et F : C D F B A E 2) Lire dans ce repère les coordonnées des points P, Q, R, S, T et U : Q P R T U S 3) Placer dans ce repère les points G (3 ; 1), H ( 2 ; 1), K ( 4 ; 2), L (0 ; 2), M (3 ; 0) et N (1,5 ; 2,5). 4) Placer dans ce repère les points P (4 ; 5), Q ( 7 ; 2), R( 8 ; 3), S (0 ; 3), T (5 ; 1) et U ( 6 ; 2).

4 1) A (2 ; 1), B (5 ; 2), C (2 ; 5), D (7, 4), E (5 ;0), F (0 ; 3) // 2) P (5 ; 3), Q( 6 ; 3), R ( 4 ; 0), S (0 ; 5), T ( 5 ; 3), U (7 ; 3) Exercice 3 Le plan est muni d un repère. n donne les coordonnées des points A et B dans le tableau ci-dessous. K est le milieu de [AB]. 1) Pour chacun des cas, placer A et B puis K et compléter le tableau par lecture graphique. Cas n 1 Cas n 2 Cas n 3 Cas n 4 A (2 ; 0) ( 2 ; 1) ( 6 ; 4) (1,5 ; 4) B (4 ; 6) (2 ; 3) (10 ; 3) (2 ; 3) K 2) Proposer une formule qui permet de calculer l abscisse de K à partir de celles de A et de B. Et pour l ordonnée de K? Exercice 4 K 1 (3 ; 3) ; K 2 (0 ; 1) ; K 3 (2 ; 3,5) ; K 4 (1,75 ; 3,5) a) Dans le repère (,, ), ci-contre, lire les coordonnées des points A,B et C. b) Placer les points D (1,5 ; 0), E( 0,5 ; 2 ) et F ;. c) Quelles sont les coordonnées des points D,, A, B et C dans le repère (D,, A)? 3) Milieu d un segment 1) A(1,5 ;1); B( 1 ; 0,5); C( 0,5 ;1,5) // 2) D(0 ; 0) ; (1 ; 0); A(0 ;1); B(5 ; 0.5); C(4 ;1,5) Dans un repère orthonormé, A(x A ; y A) et B (x B ; y B) sont deux points. Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées (x ; y ) avec : = et =. Rem : L abscisse du milieu d un segment est la moyenne des abscisses des extrémités de ce segment. L ordonnée du milieu d un segment est la moyenne des ordonnées des extrémités de ce segment. Ex : Soient les points G (2 ; 4) et H (3 ; 1). Alors L, milieu de [GH], a pour coordonnées ; = ; = ;. Application 1 Dans le plan muni d un repère (,,), on considère les points A( 1 ; 2), B(7 ; 3), C(9 ; 2) et D(1 ; 3). Montrer que ABCD est un parallélogramme. Calculons les coordonnées des milieux K de [AC] et L de [BD]. n trouve K (4 ; 0) et L (4 ; 0).n constate que les points K et L ont les mêmes coordonnées donc ils sont confondus. C'est-à-dire que ABCD a ses diagonales [AC] et [BD] qui ont le même milieu.abcd est donc un parallélogramme. Conseil : contrôler sur une figure. Exercice 5 Dans un repère orthonormé d origine, on donne les points A( 1 ; 5), B(9 ; 5), C (7 ; 1). a) Calculer les coordonnées du milieu de [B]. (4,5 ; 2,5) b) Calculer les coordonnées du milieu K de [AC]. (3 ; 2) c) Contrôler les résultats au moyen d une figure. Exercice 6 a) Tracer un repère orthogonal (,,) avec = 3cm et = 2cm. b) Placer les points A ( 2 ; 2), B 0 ; et C (3 ; 1). Exercice 7 Dans un repère orthonormé, on considère les points R ( 2 ; 5), S (4,5 ; 0,5), T (3,5 ; 4) et U ( 1 ; 0,4). Le quadrilatère RTSU est-il un parallélogramme?

5 K, milieu de [RS], a pour coordonnées (1,25 ; 2,25) et L, milieu de [TU], a pour coordonnées (1,25 ; 2,2). Comme K L, RTSU n a pas ses diagonales sécantes en un même point. Donc RTSU n est pas un parallélogramme Exercice 8 Dans un repère orthonormé, A ;, B 2 ; et C 1; sont trois points. a) Faire une figure. b) Calculer les coordonnées du milieu de [AB]. c) Les points B et C sont-ils symétriques par rapport au point A? (1,25 ; 17/24) // c) Comme le milieu de [BC] a pour coordonnées (1/2 ; 5/8), A n est pas le milieu de [BC] et B et C ne sont pas symétriques par rapport à A. Exercice 9 Dans un repère orthonormé d origine, on donne les points A (1 ; 7) et B ( 6 ; 3). a) Calculer les coordonnées du point M tel que soit le milieu du segment [AM]. b) Calculer les coordonnées du point N tel que A soit le milieu du segment [BN]. a) M ( 1 ; 7) // b) N (8 ; 11) Exercice 10 Voici un algorithme : Entrées Saisir x A, y A, x B, y B, x C et y C Traitement x prend la valeur y prend la valeur x D prend la valeur 2 x x B y D prend la valeur 2 y y B Sorties Afficher x D et y D 1) Faire fonctionner cet algorithme dans chacun des cas ci-dessous ; tracer un repère orthonormé et placer les points A, B, C et D a. A(2 ; 1), B ( 3 ; 1), C (5 ; 4) ; b. A(2 ; 2), B ( 4 ; 19), C (1 ; 1,5). 2) Conjecturer le rôle de cet algorithme. 3) Prouver cette conjecture. 1a) (7/2 ; 3/2) => D(10 ; 2) // b) (3/2 ; ¼) => D (7 ; 19,5) // 2) D est un point tel que ABCD soit un parallélogramme. Activité 2 1. Placer les points A( 4 ; 1) ; B(3 ; 1) et C( 4 ; 2) dans un repère orthonormé. a) Calculer les distances AB et AC. b) Peut-on calculer la distance BC? Expliquer. 2. Placer les points A( 4 ; 1) ; B(3 ; 1) et C( 4 ; 2) dans un repère non orthonormé. a) Calculer les distances AB et AC. b) Peut-on calculer la distance BC? Expliquer. 1a) AB = 7 UL; AC = 3 UL // b) Théorème de Pythagore => BC = 58 UL// 2a) AB = 7 UL ; AC = 3 UL // b) le théorème de Pythagore ne s applique pas - Distance entre deux points du plan Propriété : Dans un repère orthonormé, A(x A ; y A ) et B(x B ; y B) sont deux points. La distance entre les points A et B est : x x 2 y y 2. AB = A B A B y y B y A A x B x A B M y B y A x A x B x

6 Démonstration : n suppose comme la figure, que x B > x A et y B > y A. n note C le point tel que x C = x B et y C = y A.Dans le triangle ABC rectangle en C, le théorème de Pythagore donne AB² = AC²+BC², 2 2 C'est-à-dire : AB² = (x B x A )² +(y B y A )². Donc AB = x x y y (car AB est positif). A B A B Application 2 : En reprenant les points de l application n 1, calculer la distance AD. Exercice 11 Dans un repère orthonormé, on donne les points : M (4 ; 3), N ( 1 ; 4) et P ( 3 ; 2). Le triangle MNP est il rectangle? MN = 26 ; MP = 74 ; NP = 40 => Contraposée du théorème de Pythagore montre que MNP n est pas rectangle (MP 2 MN 2 + NP 2 ) u, milieu de [MP], a pour coordonnées (½ ; ½) ; Comme N = 14,5 MP/2, MNP n est pas rectangle Exercice 12 Dans un repère orthonormé, on donne les points E (3 ; 2), F( 2 ; 3) et G( 3 ; 2). Calculer les longueurs EF, FG, EG et en déduire la nature du triangle EFG. EF = 26 = FG => EFG isocèle en F ; EG = 52 =>Réciproque de Pythagore & EF ² + FG ² = EG ² => EFG est rectangle en F Exercice 13 Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1 ; 2), B (3 ; 2) et C (7 ; 0). a) Placer ces points. Que peut-on conjecturer quant à la nature du triangle ABC? ustifier la conjecture. b) Déterminer les coordonnées du milieu K de [AC]. Le placer sur le dessin. c) n note D le symétrique du point B par rapport au point K. Calculer les coordonnées de D. d) Reconnaître la nature du quadrilatère ABCD. ustifier. a) AB = BC = 20 => ABC isocèle en B. AC = 40 & réciproque du théorème de Pythagore => ABC est rectangle en B. // b) K(4 ; 1) c) K milieu de [BD] => D (2 x K x B ; 2 y K y B) = (5 ; 4) // d) De c) => ABCD parallélogramme ; Qa) => ABCD est un carré. Exercice 14 Dans un repère orthonormé, on considère les points A ( 3 ; 3), B(1 ; 1), C( 1 ; 2) et D ( 2 ; 4). a) Vérifier par le calcul que C est le milieu de [AB]. b) Tracer le cercle circonscrit au triangle ABD. Quel semble être son centre? c) Démontrer la conjecture précédente. b) C est le centre du cercle circonscrit de ABD // c) CA = CB = CD = 5 Exercice 15 Dans un repère orthonormé, on donne les points A (4 ; 3), B ( 1 ; 0) et K(3 ; 1). 1) Calculer les longueurs AK et BK. 2) En déduire que K appartient à la médiatrice de [AB]. 3) En est-il de même pour L ;3? 1) AK = BK = 17 // 2) Comme K est équidistant de A et B, K appartient à Δ, médiatrice de [AB] // 3) AL = 7/2 BL = => L Δ Exercice 16 1) Dans un repère orthonormé, placer les points A (4 ; 1), B(6 ; 5) et C(0 ; 3). 2) Démontrer que le triangle est isocèle. 3) n note H le pied de la hauteur issue de B. Calculer les longueurs AH et HB. 2) AB = BC = 40 => Par définition, ABC isocèle en B. // 3) Comme B est le sommet principal, la hauteur issue de B est confondue avec la médiane issue de B et H est donc le milieu de [AC] => H (2 ; 1). D où AH = 8 et HB = 32. Exercice 17 Dans un repère orthonormé, on donne les points A (2 ; 2), B (1 ; 4), C( 5 ; 1) et D ( 4 ; 1). 1) Démontrer que ABCD est un parallélogramme. 2) Démontrer, de plus, que ABCD est un rectangle.

7 1) H, milieu de [AC], a pour coordonnées ( 1,5 ; 1,5). K, milieu de [BD], a pour coordonnées ( 1,5 ; 1,5). H = K => Si un quadrilatère a ses diagonales sécantes en leur milieu, alors c est un parallélogramme => ABCD est un parallélogramme. // 2) AC = BD = 50. Un parallélogramme qui ases diagonales de même longueur est un rectangle => ABCD est un rectangle. >>>>>>>> 61 p 165 (a) C est le milieu de [AB] // b) C est le milieu de [MN] => N(7 ; 7)) Exercice 18 Dans un repère orthonormé, on donne les points E ( 2 ; 4), F(5 ; 7), G(8 ; 0) et H (1 ; 3). 1) Démontrer que le quadrilatère EFGH est un losange. 2a) Démontrer que le triangle EFG est rectangle. b) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère EFGH? 1) EF = FG = GH = HE = 58 // 2a) EG = 116 & réciproque du théorème de Pythagore => EFG rectangle en F // b) Un losange ayant un angle droit est un carré => EFGH est un carré. Exercice 19 Dans un repère orthonormé, on donne les points K ( 8 ; 5), L ( 4 ; 5), M (1 ; 3) et P ( 3 ; 7). En calculant uniquement des distances, préciser et démontrer la nature du quadrilatère KLMP. KL = MP = 116 & LM = PK = 29 ; Si un quadrilatère a ses côtés opposés 2 à 2, alors c est un parallélogramme => KLMP est un parallélogramme. KM = LP = 145. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c est un rectangle => KLMP est un rectangle (mais non un carré car KL LM) Exercice 20 Dans un repère orthonormé, on considère deux points A (x A ; y A) et B (x B ; y B). 1) Ecrire un algorithme qui demande les coordonnées de A et B et qui donne en réponse AB. 2) Tester le sur différents points. 1)Entrées Saisir x A, y A et x B, y B. // Traitement : AB prend la valeur ( ) + ( ) //Sortie Afficher AB // 2) Par exemple sur A (2 ;1) et B (3 ;0) Exercice 21 Le sol de cette pièce représentée en perspective cavalière est fait de carreaux carrés de côté 30 cm. n prend un repère orthonormé pour le sol dont l origine est à l angle des deux murs, les axes le long des murs et l unité est le côté d un carreau. 1) Déterminer les coordonnées des sommets du tapis. 2) Déterminer ses dimensions. 3) Vérifier que le tapis est rectangulaire. 1) A(4 ;5), B(8 ; 6), C(6 ; 14), D (2 ; 13). // 2) AB = 17 ; AD = 68 // 3) Milieu [AC] : (5 ; 9,5) ; Milieu [BD] : (5 ; 9,5) => ABCD est un parallélogramme. AC = BD = 85 => ABCD est un rectangle. Exercice 22 Are you good at counting? Let A ( 1 ; 1), B 1 2 ; and C 1 2 ; 3 2 be. What is the nature of ABC? AB = AC = => ABC isocèle en A; BC = & réciproque du théorème de Pythagore => ABC rectangle en A

8 Exercice 23 Dans un repère orthonormé, on donne trois points A ( 8 ; 5), B(64 ; 28,6) et C( 38 ; 19). 1) Calculer les distances AB, AC et BC. 2) Peut-on en déduire que les points A, B et C sont, ou ne sont pas, alignés? 3) Ecrire un algorithme qui demande les coordonnées de trois points et qui précise si les trois points sont alignés ou non. 4) Tester le sur quelques points. 1) AB = 6312,96 ; AC = 1096 ; BC = 12669,76 2) En vérifiant que AB + AC = BC (en évaluant les carrés des 2 expressions : (AB + AC) 2 = 6312, , = 12669,76 = BC 2 ), les 3 points sont bien alignés. 3) Entrées : saisir x A, y A, x B, y B, x C et y C. Traitement : AB prend la valeur ( ) + ( ) ; AC prend la valeur ( ) + ( ) ; CB prend la valeur ( ) + ( ). Comparer les longueurs AB, AC et BC. D prend la valeur la plus grande. E et F prennent les 2 valeurs restantes. Si D (E + F) = 0, alors Réponse prend la valeur oui ; sinon Réponse prend la valeur non. Sortie : Afficher Réponse. Exercice 24 La figure ci-contre est composée d un carré, d un rectangle et d un triangle rectangle. 1) Donner les coordonnées de tous les points de cette figure dans le repère (H, D, B). 2) ù se situe le point K de coordonnées (0,5 ; 0,5)? 3) Exprimer les coordonnées de tous les points dans le repère (F, E, G). 4) Exprimer les coordonnées de tous les points dans le repère (H, B, G). 1) A ( 1 ; 1) ; B (0 ; 1) ; C (2 ; 0) ; D (1 ; 0) ; E (1 ; 1) ; F ( 1 ; 1) ; G ( 1 ; 0) ; H (0 ; 0). // 2) K est le milieu de [HE]. 3) A (0 ; 2) ; B (1/2 ; 2) ; C (1,5 ; 1) ; D (1 ; 1) ; E (1 ; 0) ; F (0 ; 0) ; G (0 ; 1) ; H (1/2 ; 1). 4) A (1 ; 1) ; B (1 ; 0) ; C (0 ; 2) ; D (0 ; 1) ; E ( 1 ; 1) ; F ( 1 ; 1) ; G (0 ; 1) ; H (0 ; 0).

9 Configurations du plan - Rappels