Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel

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1 Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel I. Travail et puissance d une force 1. Définitions 2. Travail d une force le long d une trajectoire 3. Cas d une force uniforme 4. Cas des forces de frottement II. Théorème de l énergie cinétique 1. Énergie cinétique d un point matériel 2. Théorème de l énergie cinétique III. Forces conservatives et énergie potentielle 1. Définitions 2. Exemples de forces conservatives et énergies potentielles associées IV. Énergie mécanique 1. Définition 2. Théorème de l énergie mécanique 3. Trajectoire bornée ou non bornée pour un système conservatif V. Équilibre d un point matériel dans un champ de force 1. Condition d équilibre problème à un degré de liberté 2. Stabilité de l équilibre 3. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti 4. Oscillateur harmonique linéarisé : approximation harmonique Extrait du programme de 1 ère S et de TS Notions Énergie d un point matériel en mouvement dans le champ de pesanteur uniforme : énergie cinétique, énergie potentielle de pesanteur, conservation ou non conservation de l énergie mécanique. Frottements ; transferts thermiques ; dissipation d énergie. Principe de conservation de l énergie Travail d une force Force conservative ; énergie potentielle Forces non conservatives : exemple des frottements Énergie mécanique Étude énergétique des oscillations libres d un système mécanique Dissipation d énergie Capacités exigibles Connaître et utiliser l expression de l énergie cinétique d un solide en translation et de l énergie potentielle de pesanteur d un solide au voisinage de la Terre. Établir et exploiter les expressions du travail d une force constante (force de pesanteur, force électrique dans le cas d un champ uniforme) Établir l expression du travail d une force de frottement d intensité constante dans le cas d une trajectoire rectiligne Analyser les transferts énergétiques au cours d un mouvement d un point matériel Extrait du programme de BCPST1 Notions Puissance et travail d une force. Théorème de l énergie cinétique. Énergie potentielle et énergie mécanique dans un cas unidimensionnel. Théorème de l énergie mécanique. Mouvement conservatif à une dimension. Position d équilibre ; stabilité. Petits mouvements au voisinage d une position d équilibre stable ; approximation locale par un puits de potentiel harmonique. Capacités exigibles Distinguer force conservative et force non conservative. Démontrer et utiliser le théorème de l énergie cinétique. Établir l expression de l énergie potentielle connaissant la force (dans le cas unidimensionnel). Distinguer le caractère attractif ou répulsif d une force. Utiliser les expressions de l énergie potentielle de pesanteur (dans un champ de pesanteur uniforme) et de l énergie potentielle élastique. Démontrer le théorème de l énergie mécanique. Déduire d un graphe d énergie potentielle la nature de la trajectoire possible : non bornée, bornée, périodique. Déduire d un graphe la position et la nature stable ou instable des positions d équilibre Établir l équation du mouvement à partir de l énergie mécanique. Reconnaître l équation d un oscillateur harmonique non amorti. Relier la période et la dérivée seconde de l énergie potentielle à l équilibre. Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 1

2 Ce qu il faut retenir de ce chapitre Savoirs Travail élémentaire d une force et travail le long d une courbe (connaître les cas particuliers). Puissance d une force. Énergie cinétique. Théorème de l énergie cinétique et de la puissance cinétique. Énergie potentielle et forces conservatives. Définition de l Ep des forces conservatives classiques (de pesanteur, élastiques, d interaction Newtonienne). Théorème de l énergie mécanique. Condition d équilibre et stabilité d un équilibre. Approximation harmonique. Savoir-faire Savoir calculer le travail d une force Utiliser le théorème de l énergie cinétique pour trouver une inconnue. Distinguer force conservative et force non conservative. Établir l expression de l énergie potentielle connaissant la force (dans le cas unidimensionnel). Distinguer le caractère attractif ou répulsif d une force Newtonienne. Utiliser le théorème de l énergie mécanique pour trouver une inconnue ou l équation différentielle du mouvement d un oscillateur. Déduire d un graphe d énergie potentielle la nature de la trajectoire possible Déduire d un graphe la position et la nature stable ou instable des positions d équilibre. Déterminer la position et la nature d équilibres connaissant l expression de l énergie potentielle. Reconnaître l équation d un oscillateur harmonique non amorti. Relier la période et la dérivée seconde de l énergie potentielle à l équilibre. Savoir utiliser l approximation harmonique. Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 2

3 I. Travail et puissance d une force 1. Définitions a. Travail élémentaire Soit un point matériel soumis à une force, on note le vecteur position et le vecteur déplacement élémentaire, entre et, Figure 1 : trajectoire du point M Définition : On appelle travail élémentaire de au cours du déplacement élémentaire : Autre manière de le définir : Le travail est une grandeur extensive (additive) : on peut définir le travail élémentaire de la somme des forces qui s exerce sur le point : b. Rappels sur les produits scalaires - Un produit scalaire est une opération sur deux vecteurs dont le résultat est un scalaire (et non un vecteur). - Définition : - Expression d un produit scalaire à partir des coordonnées des vecteurs : Soient et Entraînons-nous à exprimer le travail élémentaire d une force quelconque en coordonnées cartésiennes et polaires : en coordonnées cartésiennes : en coordonnées polaires : Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 3

4 c. Puissance mécanique d une force Soit un point matériel soumis à une force, on note la vitesse du point dans le référentiel. Définition : On appelle puissance mécanique de la force à un instant : On peut donc écrire : 2. Travail d une force le long d une trajectoire Figure 2 : trajectoire du point M Le travail effectué par la force le long de la trajectoire de jusqu à se calcule de la manière suivante : Il est possible de l exprimer à partir de la puissance mécanique : Propriétés : - On somme les travaux élémentaires sur toute la trajectoire : - A retenir : 3. Cas d une force uniforme Propriété : Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 4

5 Démonstration : Soit une force uniforme dans l espace Exemple : cas de la force de pesanteur uniforme 4. Cas des forces de frottement Propriété : Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 5

6 II. Théorème de l énergie cinétique et de la puissance cinétique 1. Énergie cinétique d un point matériel Soit un point matériel en mouvement dans le référentiel, supposé galiléen pour le mouvement étudié, on note sa vitesse et sa masse. On appelle énergie cinétique de dans : Définition : 2. Théorème de l énergie cinétique a. Énoncé Théorème de l énergie cinétique On étudie le mouvement d un point matériel de masse, de vitesse dans un référentiel galiléen, soumis à la somme des forces extérieures, se déplaçant de vers. La variation d énergie cinétique entre et vérifie la loi suivante : b. Démonstration Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 6

7 c. Lien entre le signe du travail d une force et la variation d énergie cinétique induite Considérons une seule force extérieure appliquée au système, le théorème de l énergie cinétique s écrit : d. Autre version : théorème de la puissance cinétique Théorème de la puissance cinétique : Ce théorème peut aussi s écrire en termes différentiels, on l appelle dans ce cas le théorème de la puissance cinétique : e. Intérêt Le principe fondamental de la dynamique permet de déterminer les équations horaires et l équation de la trajectoire. Avec le théorème de l énergie cinétique, nous n avons qu une équation, donc nous ne pourrons déterminer qu une inconnue à un instant donné (en général la vitesse) mais sans passer par la détermination des équations horaires. Ce qui sera souvent moins fastidieux. Exercices d application 1, 2 et 3 Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 7

8 III. Forces conservatives et énergie potentielle 1. Définitions Force conservative : Remarques : On emploie le terme «conservatives» car ce sont des forces qui lorsqu elles sont seules à s exercer sur le système permet une conservation de l énergie mécanique que l on définira plus loin. Énergie potentielle À toute force conservative on associe une grandeur appelée énergie potentielle uniquement de la position du point considéré, définie telle que : qui dépend Remarques : L énergie potentielle est définie à une constante près, puisqu elle est définie en termes de variation. On dit que la force «dérive» de l énergie potentielle. On utilisera par la suite la définition élémentaire de l énergie potentielle : Exercice d application 4 (question 1) Propriété : Une force conservative est une force qui ne dépend que de la position du point sur lequel elle s exerce : on dit alors que le point se trouve dans un champ de force. Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 8

9 2. Exemples de forces conservatives et énergie potentielle associée a. Énergie potentielle de pesanteur (champ de pesanteur uniforme) On considère le champ de pesanteur terrestre, l axe énergie potentielle de pesanteur et s exprime : Définition : étant orienté vers le haut. L énergie potentielle associée est appelée Démonstration : b. Énergie potentielle élastique Définition : La force de rappel élastique dérive de l énergie potentielle élastique définie de la façon suivante : Remarque : on introduit souvent (changement d origine du repère), ce qui donne : Démonstration : Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 9

10 c. Énergie des forces d interaction newtonienne : en Formule générale des forces d interaction newtoniennes : Si : Si : Exemples : force universelle gravitationnelle force électrostatique de Coulomb Énergie potentielle associée : Démonstration : Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 10

11 IV. Énergie mécanique 1. Définition Document de cours Lycée Hoche BCSPT1A A. Guillerand Énergie mécanique : On appelle énergie mécanique d un système la somme de son énergie cinétique et des énergies potentielles des forces conservatives : 2. Théorème de l énergie mécanique a. Cas particulier d un système soumis uniquement à des forces conservatives On étudie le mouvement d un point matériel de masse, de vitesse dans un référentiel galiléen, soumis forces conservatives, se déplaçant de vers : Ex. d application 4, 5, 6, 7 Conservation de l énergie mécanique pour les systèmes soumis uniquement à des forces conservatives : Démonstration : théorème de l énergie cinétique entre et b. Cas général : théorème de l énergie mécanique Théorème de l énergie mécanique : Démonstration : théorème de l énergie cinétique entre et Remarque : en général les forces non conservatives sont des forces de frottement dont le travail est résistant ( ). Ainsi l énergie mécanique en est plus faible que celle en : il y a une perte d énergie mécanique. Ce théorème est une alternative au théorème de l énergie cinétique, on peut donc l utiliser pour les mêmes applications. Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 11

12 3. Trajectoire bornée ou non bornée pour un système conservatif La connaissance de l énergie mécanique d un système conservatif, qui restera donc constante, et de la valeur de l énergie potentielle en chaque point de l espace, permet de déterminer les trajectoires possibles pour le système. a. Définitions sur l exemple du mouvement d un point matériel le long d un axe sous l action d une force conservative. Soit un point matériel de masse en mouvement le long d un axe soumis à une force, conservative. On peut donc définir son énergie potentielle : Ci-dessous on représente une allure quelconque de l énergie potentielle en fonction de : d d d avec la coordonnée selon d Figure 3 : Allure de l énergie potentielle Condition pour déterminer le domaine spatial du mouvement : Il existe deux cas selon l énergie mécanique du système que l on fournit au départ : et initial Analyse : Figure 4 Remarque : si le système est non conservatif : l énergie mécanique diminuera jusqu à Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 12

13 ou (en admettant qu il n y ait pas d autre extremum par la suite) Figure 5 Analyse : b. Exemple : cas de l interaction gravitationnelle Système : satellite de masse Référentiel : géocentrique supposé galiléen Bilan des forces extérieures : Énergie potentielle : avec Système conservatif : cste Analyse de la courbe d énergie potentielle dans le cas d un satellite en orbite circulaire : Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 13

14 Lacement d un satellite du sol : calcul de la vitesse de libération : On se place dans le cas où un satellite lancé du sol terrestre, avec une vitesse initiale, est susceptible d atteindre un point infiniment éloigné avec une vitesse : il échappe à l attraction terrestre. Calculer la vitesse de libération, c est-à-dire la vitesse minimale d impulsion initiale permettant au satellite d échapper à l attraction terrestre. Remarque : Pour les champs newtoniens avec alors : : état lié : état de diffusion Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 14

15 V. Équilibre d un point matériel dans un champ de force 1. Conditions d équilibre problème à un degré de liberté a. Exemple d un mouvement rectiligne dans un champ de force Soit un point en mouvement rectiligne selon l axe soumis à l action d un champ de force :, avec la coordonnée selon étant une grandeur algébrique dérive d une énergie potentielle telle que : Figure 6 d d d d d Déterminons la condition sur l énergie potentielle à l équilibre : b. Généralisation On étudiera dans la suite des situations où seule une variable de position suffit : une longueur ou un angle ( ou exemple). par 2. Stabilité de l équilibre a. Déplacement autour de l équilibre Soit un petit déplacement algébrique position d équilibre. autour de la On peut approximer la force au voisinage de l équilibre par son développement limité (DL) au premier ordre à l aide de la formule de Taylor. Figure 7 Formule de Taylor donnant une approximation de la fonction au voisinage de : DL au premier ordre de la force au voisinage de : o Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 15

16 b. Étude de la stabilité Figure 8 Définitions : équilibre stable ou instable Il faut donc étudier le signe de : d d - Équilibre stable : - Équilibre instable : Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 16

17 3. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti a. Exemple d oscillateur harmonique : le ressort horizontal Figure 9 Étude de l énergie potentielle et utilisation du théorème de l énergie mécanique : L énergie potentielle du système d étude (la masse au bout du ressort), s écrit : Détermination de la (ou des) positions d équilibre : Étude de la stabilité de l équilibre : Allure : courbe parabolique (avec origine de l en ) Utilisation du théorème de l énergie mécanique pour retrouver l équation différentielle du mouvement : Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 17

18 b. Généralisation : définition d un oscillateur harmonique Soit un oscillateur unidimensionnel de paramètre de position, d énergie potentielle et la position d équilibre stable du système. Définition : oscillateur harmonique Un oscillateur harmonique est un oscillateur unidimensionnel dont le mouvement vérifie l équation différentielle harmonique suivante : et possède une énergie potentielle de type : Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 18

19 4. Oscillateur harmonique linéarisé : approximation harmonique a. Exemple d oscillateur harmonique linéarisé : le pendule simple Figure 10 Étude de l énergie potentielle : L énergie potentielle du système d étude (la masse au bout du fil) est l énergie potentielle de pesanteur, en prenant pour origine Détermination de la (ou des) positions d équilibre : Étude de la stabilité des équilibres : Allure : Conclusion : Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 19

20 Dans le chapitre précédent on a montré qu il fallait effectuer un DL sur pour obtenir une équation différentielle harmonique. De la même façon à l aide d un DL au voisinage de la position d équilibre stable l énergie potentielle pourra se mettre sous la forme d une fonction parabolique typique des oscillateurs harmoniques : Développement limité au 2 ème ordre de au voisinage de l équilibre stable b. Généralisation Soit un oscillateur unidimensionnel de paramètre de position, d énergie potentielle et la position d équilibre stable du système. Approximation harmonique : Si un oscillateur n est pas rigoureusement harmonique, on pourra effectuer l approximation harmonique au voisinage de la position d équilibre stable : avec Si on pose l origine de l énergie potentielle en : Remarque : Pour déterminer l équation différentielle à partir de l énergie potentielle approchée on peut comme précédemment utilise le théorème de l énergie mécanique : Mais attention l énergie cinétique ne s écrira pas toujours.. En particulier dans le cas du pendule simple Mécanique Chapitre 3 : Énergie d un point matériel Page 20