Fonctions affines. Problèmes du premier degré.

Transcription

1 .. Lycée Louise Michel (Gisors)

2 Reconnaître l expression d une fonction affine, reconnaître une équation de droite Représenter graphiquement une fonction affine, tracer une droite Retrouver l expression d une fonction affine ou d une droite à partir du graphique Déterminer l expression d une fonction affine ou d une droite par le calcul Donner le sens de variation d une fonction affine Déterminer le signe d une fonction affine Résoudre un système et interpréter graphiquement.

3 Définition. Définition Soit f une fonction définie sur R. S il existe deux nombres réels m et p tels que pour tout nombre réel x on ait : alors on dit que f est une fonction affine.

4 Définition. Définition Soit f une fonction définie sur R. S il existe deux nombres réels m et p tels que pour tout nombre réel x on ait : f (x) = mx + p alors on dit que f est une fonction affine.

5 Définition. Définition Soit f une fonction définie sur R. S il existe deux nombres réels m et p tels que pour tout nombre réel x on ait : f (x) = mx + p alors on dit que f est une fonction affine. Par exemple, la fonction f définie sur R par f (x) = 8x 7 est une fonction affine. On a m = 8 et p = 7.

6 Définition. Définition Soit f une fonction définie sur R. S il existe deux nombres réels m et p tels que pour tout nombre réel x on ait : f (x) = mx + p alors on dit que f est une fonction affine. Par exemple, la fonction f définie sur R par f (x) = 8x 7 est une fonction affine. On a m = 8 et p = 7. Si p = 0, alors la fonction est définie par f (x) = mx. On dit alors que f est une fonction linéaire.

7 Représentation graphique. Propriété La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Cette droite a pour équation : y = mx + p

8 Représentation graphique. Propriété La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Cette droite a pour équation : Le nombre p est appelé y = mx + p

9 Représentation graphique. Propriété La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Cette droite a pour équation : y = mx + p Le nombre p est appelé ordonnée à l origine de la droite d.

10 Représentation graphique. Propriété La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Cette droite a pour équation : y = mx + p Le nombre p est appelé ordonnée à l origine de la droite d. Le nombre m est appelé

11 Représentation graphique. Propriété La représentation graphique d une fonction affine est une droite. Cette droite a pour équation : y = mx + p Le nombre p est appelé ordonnée à l origine de la droite d. Le nombre m est appelé coefficient directeur de la droite d. Il mesure l inclinaison de la droite par rapport à l axe des abscisses.

12 Coefficient directeur. Théorème Pour tous nombres x 1 et x 2 distincts, on a : m = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1

13 Coefficient directeur. Théorème Pour tous nombres x 1 et x 2 distincts, on a : m = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 f (x 2 ) y d f (x 2 ) f (x 1 ) f (x 1 ) x 2 x 1 J O I x 1 x 2 x

14 Variation. Théorème Soit f une fonction affine définie sur R par f (x) = mx + p. Si m > 0 alors f est strictement croissante sur R. Si m < 0 alors f est strictement décroissante sur R. Si m = 0 alors f est une fonction constante sur R.

15 Signe. Si m < 0, la fonction est décroissante : p m Si m > 0, la fonction est croissante : + + p 0 m + ++ Les valeurs de la fonction évoluent donc du positif au négatif. x Signe de f (x) p m Les valeurs de la fonction évoluent donc du négatif au positif. x Signe de f (x) p m + 0 +

16 non parallèles à l axe des ordonnées. Définition L équation réduite d une droite D non parallèle à l axe des ordonnées est de la forme :y = mx + p. m est le coefficient directeur de D. Pour tous points A et B distincts du plan, m = y B y A x B x A p est l ordonnée à l origine de D. La droite ci-contre est la droite d équation y = 2x + 3. y B y A 3 J A B x B x A = 2 D y B y A = 4 0 I x A x B

17 parallèles à l axe des ordonnées. Définition On considère une droite D parallèle à l axe des ordonnées (OJ) et c l abscisse d un point de D. On dit que x = c est une équation de la droite D. On note : D : x = c. D J 0 I c

18 parallèles. Propriété Deux droites non parallèles à l axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Autrement dit, si d : y = mx + p et d : y = m x + p, on a : d // d m = m. Et aussi : d et d sont sécantes m m. parallèles (m = m ) sécantes (m m ) d : y = mx + p d : y = m x + p J 0 I y A J 0 y = mx + p y = m x + p I A x A

19 Intersection de deux droites sécantes. Propriété Dans un repère, deux droites d et d d équations y = mx + p et y = m x + p sont sécantes si et seulement si, leurs coefficients directeurs sont différents, c est-à-dire m m. Pour déterminer les coordonnées de ce point d intersection, y = mx + p on résout le système y = m x + p.

20 Intersection de deux droites sécantes. Propriété Dans un repère, deux droites d et d d équations y = mx + p et y = m x + p sont sécantes si et seulement si, leurs coefficients directeurs sont différents, c est-à-dire m m. Pour déterminer les coordonnées de ce point d intersection, y = mx + p on résout le système y = m x + p. Dans un repère, d et d sont les droites d équations y = 3x + 4 et y = 2x , donc d et d sont d sécantes. Les coordonnées de leur point d intersection A vérifient donc le système : y = 3x + 4 y A A y = 2x + 1 soit x = 0,6 et y = 2,2. 0 x A d