Formation Continue Diplomante à Distance Résistance des Matériaux Hypothèses de la Résistance des

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1 Ecole d Ingénieurs / Centre de Recherche Département Mécanique et Comportement des Matériau 941, rue Charles Bourseul BP Douai Cede - France Tél. (33) / Fa (33) Formation Continue Diplomante à Distance Résistance des Matériau Hypothèses de la Résistance des Matériau Said HARIRI hariri@ensm-douai.fr Utilisation Interne 2003

2 2 Table des matières 1 Objet de la Résistance des Matériau 4 2 Pièces prismatiques et poutres 4 3 Contraintes en un point Vecteur contrainte Généralisation: Matrice des contraintes en un point Notion de déformation 12 5 Hypothèses fondamentales de la Résistance des Matériau 14 6 Equations d équilibre en RdM Torseur des forces etérieures de gauche Torseur des forces intérieures ou forces de liaison Equations d équilibre Problème général de la Résistance des Matériau (Poutre) Cas particulier des poutres droites chargées dans leur plan

3 3 Liste des figures 1 Hypothèse Géométrique Décomposition tronçons gauche/droite Tronçon de gauche Vecteur contrainte Fractionnement du système matériel (D) Vecteur déplacement Principe de Barre de Saint Venant Effet du glissement de la force sur son support sur la déformation 17 9 Effet du remplacement d une force répartie par sa résultante sur la déformation Des chargements vectoriellement équivalents conduisent à des déformées différentes Hypothèse de Navier Bernouilli L Abscisse curviligne s 0 définit une section droite par son centre de gravité Repère orthogonal direct, centré en G, pour le tronçon de gauche Poutre droite chargée dans son plan de symétrie

4 4 1 Objet de la Résistance des Matériau La résistance des matériau cherche à déterminer par le calcul les dimensions des organes d une machine ou des éléments d une construction, afin qu ils supportent les efforts auquels ils sont soumis dans les meilleures conditions de sécurité et d économie de matière. Elle permet de résoudre de nombreu types de problèmes, dont deu très importants : déterminer les dimensions d un organe, connaissant la nature du matériau et les efforts auquels il est soumis de telle façon qu aucune région ne subisse de déformations ou de tensions internes eagérées et dangereuses (prédétermination ou dimensionnement) le matériau et les dimensions étant connus, calculer les déformations et la répartition des contraintes pour déterminer les sollicitations maimales que la structure peut supporter (vérification). 2 Pièces prismatiques et poutres Le plus souvent la résistance des matériau fait appel à des hypothèses géométriques, pour obtenir rapidement des résultats eploitables (cf. Fig.1) Section droite y y G G 1 s G z Fibre moyenne Fig. 1 Hypothèse Géométrique

5 5 Hypothèse 1 (Géométrie) La plupart des organes étudiés en R.D.M, sont des pièces prismatiques, ce qui revient à admettre que : les pièces en question sont considérées comme engendrées par une section transversale () appelée section droite de centre d inertie G, se déplaçant normalement à une ligne continue appelée fibre moyenne (ou ligne moyenne) qui est le lieu de G. Toute ligne parallèle à la ligne moyenne est appelée fibre la variation de la section droite s effectue de manière insensible de telle sorte que deu sections droites très voisines puissent être considérées comme très peu différentes l une de l autre Le rayon de courbure de la fibre moyenne est supposé grand devant la plus grande dimension de la section droite et si la fibre moyenne n est pas une courbe plane, son rayon de torsion sera lui aussi supposé grand devant cette dimension. On supposera: R >20 h T >20 h R : rayon de courbure de la ligne moyenne T : rayon de torsion de la ligne moyenne h : la plus grande dimension de la section droite la plus grande dimension h de la section droite est supposée petite devant la longueur L de la poutre (L longueur de la fibre moyenne (5 h <L<30 h)). Cependant, h ne peut être trop petite devant L, sinon d autres hypothèses ne seraient plus valables. (Loi de HOOKE en défaut, les déformations devenant trop importantes). Remarque : Généralement les poutres considérées sont des poutres droites (fibre moyenne rectiligne). De plus, les problèmes considérés sont des problèmes plans (poutres possédant un plan de symétrie longitudinal, les forces etérieures étant toutes situées dans ce plan). 3 Contraintes en un point Une poutre de section [ initiale ( 0 ) et de section finale ( 1 ) est soumise à un torseur Fe ] [ Fe ] [ 0 ] de forces etérieures. Cette poutre est supposée en équilibre statique =.

6 6 Tronçon de gauche y Tronçon de droite G 0 G G 1 z 0 1 Fig. 2 Décomposition tronçons gauche/droite On notera par s l abscisse curviligne le long de la ligne moyenne G 0 G 1 avec (0 s L ). Une section courante () de centre de gravité G, d abscisse curviligne s=s 0, découpe cette poutre en deu tronçons (cf. Fig.2): Le tronçon de gauche constitué des sections comprises entre ( 0 ) et () (ou encore des sections de centre de gravité G d abscisse s telle que (0 s s 0 ) Le tronçon de droite constitué des sections comprises entre () et ( 1 ) (ou encore des sections de centre de gravité G d abscisse s telle que (s 0 s L ) De même on décompose le torseur des forces etérieures en deu : [ Fe ] Torseur des forces etérieures de gauche noté, et qui correspond à la partie g [ Fe ] de appliqué au tronçon de gauche. [ Fe ] Torseur des forces etérieures de droite noté, et qui correspond à la partie [ d Fe ] de appliqué au tronçon de droite. Remarque : comme la poutre est globalement en équilibre statique, on a [ Fe ] [ Fe ] [ Fe ] [ 0 ] = + = (1) g d

7 7 Toute partie de cette poutre est aussi en équilibre statique, donc si on isole par la pensée le tronçon de gauche, il serait en équilibre statique sous l action : [ Fe ] Des forces de gauche de torseur g Des actions du tronçon de droite sur le tronçon de gauche. Ces actions qui étaient intérieures à la poutre globale deviennent des actions eternes pour le tronçon de gauche pris séparément. Ce sont les efforts de contraintes ou efforts internes. Pour l étude statique du tronçon de gauche (ou de droite) on se placera dans un repère (G, e, e y, e z ) orthonormé direct, centré en G, centre d inertie de la section droite. L ae G de vecteur unitaire e est l ae tangent à la fibre moyenne en G. Les aes G y et G z, respectivement de vecteurs unitaires e y et e z, sont dans le plan de la section droite. On les prendra souvent dirigés selon les aes principau d inertie de la section droite (cf. Fig.3). e y G 0 e z G e 0 Fig. 3 Tronçon de gauche 3.1 Vecteur contrainte Les actions du tronçon de gauche sur le tronçon de droite sont des actions de contact, elles se transmettent à travers la surface de séparation (). Classiquement on représente ces actions par une densité surfacique de force notée T (M, e ).

8 8 Définition 1 (Vecteur contrainte) Le vecteur T (M, e ) est par définition le vecteur contrainte au point M(s 0,y,z) de la surface () de normale unitaire sortante e (cf. Fig.4). df Force élémentaire d Vecteur contrainte d T(M,e ) Fig. 4 Vecteur contrainte Remarque : ( Ce vecteur contrainte vérifie : T (M, e d ) F ) = lim d 0 d d F est la résultante élémentaire des actions du tronçon de droite sur le tronçon de gauche transmises à travers la surface élémentaire d de (). où Remarque : On montre en mécanique des milieu continus que cette limite eiste toujours. Dans notre repère de travail, on notera le vecteur contrainte en tout point M(s 0,y,z) par: T (M, e ) = σ (M) e +σ y (M) e y +σ z (M) e z (2)

9 9 Définition 2 (Contrainte normale / contrainte tangentielle) La projection de T (M, e ) sur la normale sortante est par définition la contrainte nomale, notée σ n et le vecteur projection de T (M, e ) sur le plan de la section droite est par définition la contrainte tangentielle (ou contrainte de cisaillement), notée T t (M, e ), sachant que son module est τ = T t (M, e ) = σy 2 + σz 2 On a donc: { σn = e T (M, e ) = σ T t (M, e (3) ) = σ y ey +σ z ez Soit: T (M, e ) = σ n e + T t (M, e ) [ Fe ] Le torseur des actions de contact (ou des forces internes) sera noté éléments de réduction au centre de gravité G de la section droite () : i et a pour une résultante R i = T (M, e ) d = e ( ) ( ) ( ) σ d + e y σ y d + e z σ z d (5) un moment résultant au point G Mi/G t = GM T (M, e ) d = e (y σ z z σ y ) d+ e y (z σ ) d+ e z ( y σ ) d (7)

10 10 Remarque : Lorsque seule la contrainte normale σ n = σ est non nulle, on parle d état uniaial de traction si σ n >0 de compression si σ n <0 Lorsque seule la composante τ est non nulle, on parle d état de cisaillement. Remarque : Les composantes σ, σ y et σ z du vecteur contrainte sont des pressions (force/surface). Dans le Système International on utilise soit le Pa soit le MPa. 3.2 Généralisation: Matrice des contraintes en un point Pour faire apparaître les efforts intérieurs à un système matériel (D) donné, on doit imaginer un fractionnement de (D) qui rend etérieurs pour l une des parties ainsi constituées, des efforts qui primitivement étaient intérieurs. Ainsi, soient (D1) et (D2) deu parties complémentaires de (D), ayant une frontière commune (Σ). En un point M de (Σ) nous désignerons par n= n 1 e +n 2 ey +n 3 ez le vecteur unitaire normal à (Σ) dirigé de (D1) vers l etérieur (cf. Fig.5). Nous envisagerons les actions de (D2) sur (D1) Définition 3 (Actions de D 2 sur D 1 ) Par définition (cette définition étant naturellement suggérée par l epérience): Ces actions sont des actions de contact Elles sont représentées par un champ de force défini sur (Σ), ayant en chaque point de (Σ) une densité surfacique de force notée T. Ce vecteur T ne dépend que du point M et du vecteur normal en M, et non pas de la surface (Σ) elle même. Pour une autre surface (Σ ) différente de (Σ) et ayant au même point M une normale commune avec (Σ), le vecteur T serait le même en ce point.

11 11 (D) (D 2 ) Σ (D 1 ) Σ (D 1 ) M n O e z e y e Fig. 5 Fractionnement du système matériel (D) Les efforts intérieurs sont donc définis par une fonction vectorielle qui ne dépend que du point M et de la normale unitaire à (Σ) au point M. Nous noterons cette fonction vectorielle T (M, n) et nous supposerons qu elle est continue par rapport au coordonnées du point M et du vecteur normal n. Définition 4 (Vecteur contrainte en M de direction n) T (M, n) est par définition le vecteur contrainte au point M et pour la direction n. Définition 5 (Matrice des contraintes) L application qui, en un point M, associe au vecteur unitaire n le vecteur contrainte T (M, n) est linéaire. On lui associe dans le repère de travail une matrice (33) appelée matrice des contraintes, de composantes (σ ij ). Remarque : Par application du principe fondamental de la dynamique, on montre que cette matrice est symétrique.

12 12 Par la suite, on notera: σ σ y σ z [σ ij (,y,z)] = σ y σ yy σ yz σ z σ yz σ zz σ σ y σ z T (M, n) = σ y σ yy σ yz σ z σ yz σ zz n 1 n 2 n 3 σ n 1 + σ y n 2 + σ z n 3 = σ y n 1 + σ yy n 2 + σ yz n 3 σ z n 1 + σ yz n 2 + σ zz n 3 (8) (Pour plus de détails, voir le cours d élasticité) 4 Notion de déformation Un solide occupe à l état initial (ou non déformé) la région (D 0 ) de l espace usuel, rapporté au repère orthonormé (O, e, e y, e z ). Ce solide soumis à un ensemble de sollicitations etérieures se déforme, (c est à dire qu il change de forme et de volume), pour occuper la position (D t ) après déformation. On suppose qu à tout point M de (D 0 ) correspond un et un seul point M de (D t ) (cf. Fig.6). Définition 6 (Vecteur déplacement) Le vecteur MM est appelé le vecteur déplacement. On notera par la suite: U (M) = MM = u(,y,z) e +v(,y,z) e y +w(,y,z) e z (9) Un solide soumis à un ensemble de sollicitations etérieures se déforme, c est à dire qu il change de forme et de volume. Par rapport à un repère orthonormé direct, cette déformation peut être caractérisée par les variations de longueur et de forme. Définition 7 (Déformation1) Pour les variations de longueur, on considère un segment colinéaire à l ae e i de longueur l avant application des sollicitations etérieures. Ce segment aura une longueur l+ l après application des sollicitations etérieures. On notera par ɛ ii la variation relative de longueur selon la direction e i soit: ɛ ii = l/l = variation relative de longueur selon la direction e i

13 13 M (D 0 ) M (D t ) O e z e y e Fig. 6 Vecteur déplacement Remarque : Les ɛ ii sont des quantités algébriques (positives en traction, négatives en compression) Les ɛ ii sont sans dimension. En R.D.M on les suppose très petites et surtout négligeables à l ordre deu. Cette hypothèse, dite hypothèse des petites déformations, est une des hypothèses de base de la R.D.M et de l élasticité linéaire. Les changements de forme sont caractérisés, en plus des ɛ ii, par les variations des angles droits initialement entre les aes du repère de travail. Définition 8 (Déformation2) Considérons deu segments respectivement colinéaires à e i et e j (avec i j ) avant application des sollicitations. Après application des sollicitations etérieures, l angle entre les deu segments n est plus droit, et on notera par 2ɛ ij cette variation d angle. On montre en M.M.C (Mécanique des Milieu Continus) que la connaissance des ɛ ij en tout point de la structure permet de déterminer complètement la déformée (voir cours d élasticité ou de M.M.C).

14 14 On montre, également, dans le cadre de l hypothèse des petites déformations, que la variation relative de volume est égale à: V V = ɛ + ɛ yy + ɛ zz (10) 5 Hypothèses fondamentales de la Résistance des Matériau Hypothèse 2 (Homogénéité et isotropie des matériau) Nous admettons que les matériau utilisés sont homogènes, c est à dire qu ils ont les mêmes propriétés physiques en tout point du solide. isotropes, c est à dire qu ils n ont pas de direction privilégiée en contrainte ou en déformation. C est le cas de la plupart des matériau métalliques. Par contre des matériau fibrés comme le bois ou les composites ne sont pas isotropes (ces notions sont mieu définies en M.M.C ou en élasticité). Remarque : Cette hypothèse n est qu une approimation commode: la plupart des matériau réels (aciers laminés, profilés, béton, béton armé...) ne sont pas parfaitement isotropes et même non homogènes. C est la cause essentielle de la divergence entre les résultats de la théorie et les résultats de l epérience. Lorsque cette divergence est trop importante, par le jeu de coefficients correctifs, le matériau est rendu fictivement homogène (cas du béton armé par eemple). Hypothèse 3 (Principe de continuité) On admet que les composantes: des contraintes σ ij (,y,z) des déformations ɛ ij (,y,z) du vecteur déplacement u(,y,z), v(,y,z), w(,y,z) sont des fonctions continues (de classe au moins C2).

15 15 Hypothèse 4 (Loi de Hooke) Nous admettons que les matériau sont utilisés dans le domaine élastique, ce qui se traduit (vu les hypothèses 2 et 3) par la loi de HOOKE généralisée en ce qui concerne les relations contraintesdéformations. Ces relations, ou lois de comportement, feront l objet d un chapitre spécifique. Compte tenu de ces hypothèses, si plusieurs forces agissent séparément provoquant des petits déplacements, l application simultanée de ces forces provoque un déplacement égal à la somme de ces petits déplacements, ceci d après la linéarité de la relation contraintes-déformations et à condition qu avec la somme des forces appliquées simultanément on reste dans le domaine élastique. C est le principe de superposition. Hypothèse 5 (Action statique des forces) On suppose que les forces etérieures sont appliquées d une façon lente, continue et progressive depuis zéro jusqu à leur intensité maimale de sorte que les déformations se produisent sans vitesse. Cette hypothèse suppose le solide comme étant, à chaque instant de son chargement, en équilibre statique (ou élastostatique) sous l action des forces etérieures et des forces intérieures (contraintes). Cette hypothèse eclue toute action dynamique des forces, tout effet brusque et tout effet de choc: la mise en charge est dite quasi-statique. Dans le cadre de cette hypothèse, et d après le théorème de Clapeyron, le travail d une force F qui déplace son point d application de la longueur L dans le sens de cette force est égal à F L/2 (la démonstration de ce théorème sera donnée dans le chapitre énergie de déformation.) Hypothèse 6 (Principe des dimensions initiales) Lorsqu on écrit les équations de la statique (équilibre de tout ou partie de la structure) on suppose que la structure est non déformée, c est-à-dire que toutes les longueurs ou angles intervenant dans les équations d équilibre sont celles de la structure avant application des charges (les équations de la statique pour décrire l équilibre global d une structure seront écrites sur la structure non déformé).

16 16 II I [F e ] II(a) [F e ] III(a) III II I [F e ] II(b) [F e ] III(b) III II I [F e ] II(c) [F e ] III(c) III Fig. 7 Principe de Barre de Saint Venant Hypothèse 7 (Principe de Barre de Saint Venant) Soit un corps soumis à l action des forces etérieures, et supposons que l on puisse distinguer grossièrement trois zones ou trois régions de ce corps (cf. Fig.7) la zone I est très étendue et ne supporte aucune charge etérieure les zones II et III sont peu étendues et supportent les charges etérieures On admet qu en tout point de la zone I (suffisamment éloignée de la zone d application des charges etérieures) l état des contraintes et des déformations ne dépendent pas du mode de réalisation des forces etérieures appliquées sur les zones II et III. Ainsi, pour les trois cas de chargement proposés sur la figure 7, les trois problèmes de R.D.M. [ concernant la zone I seront identiques à condition que l on ait: Fe ] [ Fe ] [ Fe ] [ Fe ] [ Fe ] [ Fe ] et II (a) = II (b) = II (c) III (a) = III (b) = III (c) Remarque : On peut remplacer un état de chargement etérieur par un autre équivalent vectoriellement au même endroit d application de la charge, mais on ne peut jamais déplacer les forces etérieures même si on garde une équivalence vectorielle. L équivalence vectorielle ou mathématique, n entraîne pas forcement une équivalence physique.

17 17 En particulier: On ne doit jamais faire glisser une force sur son support (cf. Fig.8). Les deu déformées (en lignes pointillées) sont différentes malgré l équivalence des torseurs de forces etérieures. F F Fig. 8 Effet du glissement de la force sur son support sur la déformation On a vu pour le calcul des réactions en statique, qu on pouvait remplacer une force répartie par sa résultante, appliquée au centre de gravité du diagramme de la répartition (cf Fig.9 où la flèche f(déplacement vers le bas) du milieu de la poutre est beaucoup plus grand dans le cas de la charge concentrée). Charge répartie de tau p=f/l Charge concentrée F L L/2 L/2 f Fig. 9 Effet du remplacement d une force répartie par sa résultante sur la déformation Pour le calcul des déformations et des contraintes les deu systèmes de forces équivalents vectoriellement donnent des contraintes et des déformations différentes les unes des autres (cf. Fig.10 où trois chargements vectoriellement équivalents génèrent des déformées différentes).

18 18 R A =F/2 F R B =F/2 α L/2 L/2 α F/2 R A =F/2 R B =F/2 F/2 α L α F/2 F/2 α L α Fig. 10 Des chargements vectoriellement équivalents conduisent à des déformées différentes Hypothèse 8 (Conservation des sections droites - Navier Bernouilli) On admet que les particules de matières situées dans une section droite avant déformation se trouvent encore, après déformation, dans une section droite, c est-à-dire que les molécules d une section droite avant déformation, sont, après déformation, situées dans un plan normal à la fibre moyenne déformée (cf. Fig.11). A B Fibre moyenne avant déformation A B G G G A B Section droite avant et après déformation Fibre moyenne après déformation G A B Hypothèse de Navier Bernouilli vérifiée Hypothèse de Navier Bernouilli non vérifiée Fig. 11 Hypothèse de Navier Bernouilli

19 19 L hypothèse de NAVIER-BERNOUILLI est une hypothèse fondamentale de la R.D.M. Elle est cependant des plus contestables. En effet, elle n est rigoureusement vérifiée que dans quelques cas très particuliers, et d autant mieu vérifiée que h est petit devant L. Pour les poutres droites soumises à la fleion simple, l hypothèse de NAVIER- BERNOUILLI peut être remplacée par l hypothèse de BARRE de SAINT VENANT, qui permet les mêmes déductions mathématiques. Hypothèse 9 (Hypothèse de Barre de Saint Venant) On admet que les contraintes normales dans toute section droite d une poutre fléchie en fleion simple, sont proportionnelles à leur distance verticale de l ae neutre passant par le centre d inertie de la section. BARRE de SAINT VENANT a montré que cette hypothèse est vérifiée rigoureusement dans un très grand nombre de cas de fleion, malgré les déformations des sections droites. MESNAGER a montré qu elle s applique rigoureusement au poutres rectangulaires homogènes uniformément chargées. Les epériences en lumière polarisée ont établi en outre que, pour des poutres de section constante quelconque, elle est eacte toutes les fois que l on considère les sections distantes des forces localisées de plus de la hauteur de la poutre. L hypothèse de BARRE de SAINT VENANT s étend à la fleion composée en supprimant les mots de Centre d inertie, car en fleion composée l ae neutre ne passe pas le centre d inertie de la section Hypothèse 10 (Problème de Barre de Saint Venant) On admet en RDM, que dans toute pièce prismatique, les contraintes et les déformations produites en un point par un système de forces appliquées ne dépendent que des éléments de réduction de ce système, c est-à-dire de sa résultante et de son moment résultant. Cette proposition n est toutefois valable que pour des points suffisamment éloignés des points d application des charges.

20 20 6 Equations d équilibre en RdM 6.1 Torseur des forces etérieures de gauche Définition 9 (Abscisse curviligne) Soit une poutre de fibre moyenne G 0 GG 1 orienté dans un sens arbitraire. On désigne par s l abscisse curviligne sur cette fibre moyenne. Il en résulte qu une valeur s 0 de s définit une section droite par la donnée de son centre d inertie G (cf. Fig.12). G 0 G G 1 s s=0 s=s 0 Fig. 12 L Abscisse curviligne s 0 définit une section droite par son centre de gravité La poutre est ainsi décomposée en deu tronçons : le tronçon de gauche, défini par s <s 0 le tronçon de droite, défini par s >s 0 [ Fe ] Le torseur des forces etérieures appliqué à la poutre apparaît ainsi comme la somme deu torseurs: [ Fe ] : torseur des forces etérieures appliquées au tronçon de gauche. g [ Fe ] : torseur des forces etérieures appliquées au tronçon de droite. d La poutre [ est en équilibre statique. Donc, d après le principe fondamental de la Fe ] [ Fe ] [ 0 ] statique, on a: + = g d

21 21 Définition 10 [ (Torseur des forces etérieures de gauche) Par définition, le torseur est le torseur des forces etérieures de gauche Fe ] au point G. g Il importe de bien remarquer que le torseur des forces etérieures de gauche (ou de droite) en G est une fonction du point G c est-à-dire une fonction de l abscisse curviligne s 0. On définit un repère orthogonal direct (G,,y,z) centré en G tel que (cf. Fig.13): G est l ae tangent à la fibre moyenne, orienté comme celle-ci Gy et Gz sont deu aes du plan de la section droite ( e, e y, e z ) est la base orthonormée associée au système d aes. y G 0 z G s Fig. 13 Repère orthogonal direct, centré en G, pour le tronçon de gauche Le torseur des forces etérieures de gauche a pour éléments de réduction en G: [ Fe ] R g Résultante = g M G (g) Moment résultant par rapport à G Dans la suite de ce cours on décomposera ces éléments de réduction de la façon suivante : R g = N + T avec N= N e et T = T y ey +T z ez (11) M G (g) = C + M avec C= C e et M= M y ey +M z ez (12)

22 22 Définition 11 (Effort normal / effort tranchant) Par définition N est l effort normal et T l effort tranchant. Définition 12 (Moment de torsion / moment de fleion) Par définition C est le moment (ou couple) de torsion et M= M y ey +M z ez est le moment fléchissant (ou moment de fleion). Ces notions, effort normal, effort tranchant, moment de torsion et moment fléchissant jouent un rôle capital en R.D.M. Elles dépendent évidemment de l abscisse section droite considérée. Définition 13 (Eléments de réduction et diagrammes) Les composantes du torseur des forces de gauche (ou de droite) sont aussi appelées éléments de réduction des forces de gauche (ou de droite). Elles sont fonction de l abscisse curviligne s. Les courbes représentatives de ces éléments de réduction en fonction de s, courbes dites diagrammes des éléments de réduction, donnent beaucoup de renseignements utiles au dimensionnement des structures. 6.2 Torseur des forces intérieures ou forces de liaison Nous avons vu que les actions du tronçon de droite sur le tronçon de gauche, sont données par leur densité surfacique de force T (M, e ) = σ e +σ y ey +σ z ez. Leur résultante élémentaire sur l élément de surface d est égale à T (M, e ) d. Le moment de cette résultante élémentaire par rapport à G (centre de gravité de la section ()) est égal à GM T (M, e ) d. La résultante de ces efforts intérieurs est donc égale à: R i = T (M, e ) d = e ( σ d)+ e y ( σ y d)+ e z ( σ z d) (13)

23 23 et leur moment résultant par rapport à G est égal à: M G ( i) = GM T (M, e ) d = e ( ) ( ) ( ) (y σ z z σ y ) d + e y (z σ ) d + e z ( y σ ) d Avec GM= e +y e y +z e z [ Fe ] R i Nous noterons par = i M G (i) le torseur de ces efforts intérieures. (15) 6.3 Equations d équilibre Pour qu une poutre soit en équilibre statique, il faut et il suffit que toute partie de cette poutre le soit. En particulier nous pouvons écrire le principe de la statique pour tout tronçon de gauche. Nous avons vu que ce tronçon est soumis : au torseur des forces de gauche [ Fe ] R g = N e + T y ey + T z ez = g M G0 (g) = C e + M y ey + M (16) z ez au torseur des forces intérieures R i M G (i) (17) L application du principe de la statique au tronçon de gauche donne : [ Fe ] [ Fe ] [ 0 ] + = g d (18) En tenant compte des équations (11), (12), (13) et (15) et par projection de l équation 18 sur les aes de notre repère de travail, nous obtenons les équations d équilibre des poutres soit: Equilibre des forces N + σ d = 0 T y + σ y d = 0 T z + σ z d = 0 (19)

24 24 Equilibre des moments C + (y σ y z σ y ) d = 0 M y + z σ d = 0 M z y σ z d = 0 (20) Ces si équations sont les équations de l équilibre de la poutre; les inconnues en sont les trois fonctions σ (,y,z), σ y (,y,z) et σ z (,y,z). Elles doivent être vérifiées pour toute section droite (). 6.4 Problème général de la Résistance des Matériau (Poutre) En général, une poutre est en équilibre statique sous l action des efforts et moments appliqués et des actions de contact transmises par les appuis avec l etérieur à la poutre (voir le chapitre sur la statique). En R.D.M on décompose le torseur des forces etérieures appliquées à une poutre en deu : Le torseur des forces actives (ou actions). Ce torseur comprend toutes les forces et moments appliqués. En général se sont des données du problème. Le torseur des forces actives appliquées au tronçon de gauche sera noté par : [ Fa ] R a = N a e + T ya ey + T za ez = g M G0 (a) = C a e + M ya ey + M (21) za ez Le torseur des forces réactives (ou réactions). Ce torseur comprend toutes les forces et moments appliqués à la poutre par les appuis. En général se sont des inconnues du problème. Le torseur des forces réactives appliquées au tronçon de gauche sera noté par : [ Fr ] R r = N r e + T yr ey + T zr ez = g M G0 (r) = C r e + M yr ey + M (22) zr ez En tout point G 0, le torseur des forces etérieures de gauche vérifie : [ Fe ] [ Fa ] [ Fr ] = + g g g (23) Soit: N = N a + N r T y = T ya + T yr (24) T z = T za + T zr

25 25 C = C a + C r M y = M ya + M yr (25) M z = M za + M zr Le problème de RDM sera considéré comme résolu lorsque seront connues: Les si composantes N r, T yr, T zr, C r, M yr et M zr fonctions de l abscisse curviligne s 0 Les trois composantes de contrainte σ (s 0,y,z), σ y (s O,y,z) et σ z (s 0,y,z) Le problème le plus général est celui pour lequel les si composantes sont non nulles. Les chapitres suivants seront consacrés au cas ou une seule des composantes est non nulle (sollicitations simples). Ainsi les différentes sollicitations simples sont groupées dans le tableau suivant : N T C M Contraintes Traction simple (si N<0) σ 0 et τ = 0 Compression simple (si N>0) Cisaillement pur σ = 0 et τ Torsion pure σ = 0 et τ Fleion pure σ 0 et τ = Fleion composée σ 0 et τ = Fleion simple σ 0 et τ 0 Ceci avec : T= T, = T y ey +T z ez M= M, = M y ey +M z ez σ = e T ) (M, e et τ = σy 2 + σz 2 = T ) t (M, e Remarque : Lorsque plusieurs sollicitations simples agissent en même temps, on parle de sollicitation composée, par eemple : N et C non nuls : traction -torsion C et M non nuls : torsion -fleion...

26 Cas particulier des poutres droites chargées dans leur plan Une poutre droite est une poutre dont la ligne moyenne est une droite. Dans ce cas l abscisse curviligne s est confondue avec. Les poutres droites sont dites chargées dans leur plan lorsque la poutre et les charges admettent un même plan longitudinal de symétrie. Soit G 0 y le plan de symétrie longitudinal. Dans ce cas le moment de torsion est nul de même que les composantes T z de l effort tranchant et M y du moment de fleion. On posera T=T y et M = M z. De plus lorsque la poutre droite est chargée perpendiculairement à la direction de la fibre moyenne, l effort normal disparaît également. Théorème 1 (Effort tranchant / moment de fleion) En tout point d une poutre droite chargée dans son plan de symétrie, l effort tranchant est égal à l opposé de la dérivée du moment de fleion par rapport à l abscisse du point. T = dm d (26) Ce théorème résulte immédiatement de la définition de T et de celle de M. En effet, en un point G de la ligne moyenne, l effort tranchant est par définition la résultante de toutes les forces etérieures perpendiculaires à ligne moyenne appliquées à gauche de G. Soit, si F i sont les forces concentrées appliqués en i, R la réaction d appui, et si p(ξ) est le tau de charge linéique au point d abscisse ξ (cf. Fig.14): y O R i F i M i ξ G Fig. 14 Poutre droite chargée dans son plan de symétrie T = R + F i ξ p(ξ) dξ (27)

27 27 De même en G, le moment de fleion est le moment par rapport à G de toutes les forces appliquées à la poutre à gauche de G plus tous les moments concentrés appliqués à gauche de G: M = M i F i ( i ) + En dérivant par rapport à, on trouve immédiatement:t = dm d ξ p(ξ)( ξ) dξ (28) (CQFD)