Ondes transversales le long d une corde tendue

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1 1 Chapitre 1 Ondes transversales le long d une corde tendue 1.1 Corde infinie Considérons une corde tendue, rectiligne selon la coordonnée, et de longueur infinie. Nous allons étudier la propagation d un faible ébranlement le long de la corde. Supposons que cet ébranlement se produit suivant l axe Équation d ondes Etudions l équation du mouvement de cette corde. Nous dénoterons par la tension à laquelle est soumise la corde. On considère un segment très court de cette corde, de longueur et centré en. La masse du segment est donnée par : (1.1) où est la densité linéique de masse de la corde, c est-à-dire la masse par unité de longueur (kg/m). Dans une situation hors-équilibre, le segment n est plus droit, il présente une courbure. Nous considérons des mouvements d oscillation de la corde de petite amplitude, si bien qu on peut faire l approximation : tg!"# $ % (1.2) % et de même pour avec : % % tg &'"# $ % (1.3) Cette approximation néglige aussi l allongement du segment, et considère donc la tension comme constante. La force appliquée sur le segment dans la direction est la résultante de la force appliquée au point )( * + (qui est une force appliquée vers le bas et égale en module à ) et de la force appliquée au point-, * + (qui est vers le haut et égale à % ). Si on utilise ces approximations, la force totale dans la direction est donc :.0/ &" $ % ( 21 3!"# $ % (1.4)

2 = = ; 6 P Q Q ; P 6 = 2 CHAPITRE 1. CORDE Nous pouvons appliquer maintenant la loi fondamentale de la dynamique au segment 5 6. La force dans la direction7 doit être égale au produit de la masse5 8 du segment par l accélération de celui-ci. Donc : 9 :;'< = ; <?@BA C#D 6-E5 6 F G HI C0D 6JIK5 6 F G H (1.5) 5 6 L avec : ;= C0D 6 H? ; (1.6) 6 Si on prend la limite5 6JMON on a : 9 :;< = ;'< = ; <?@ < (1.7) Si on définit : P Q 9 F (1.8) qui a la dimension d une vitesse, on constate que : qui est l équation d ondes de la corde avec ; < = < IUT P < P Q ; < = ; <? N (1.9) la vitesse de phase de l onde Solution générale de l équation d ondes à une dimension Si on effectue le changement de variables : l équation d ondes s écrira : qui a comme solution générale qu on peu également écrire : V? P Q IK6 F? P Q EW6 F (1.10) IOX P ;< = < ; V ; P? N (1.11) =? C#D V H0EKY D H, si bien qu en utilisant (1.10), on aura : D 6Z H? P Q P Q C#D IK6 F H0EKY D EW6 F H (1.12) D 6Z H?\[ D 6)I P Q P Q H0EW] D 6E P Q P Q P Q H (1.13) On observe que la solution la plus générale est la somme d une onde qui se propage sans déformation dans le sens des6 positifs (le terme en C0D I^6 F H ou en[ D 6-I H ) et d une onde qui se propage sans déformation dans le sens des 6 négatifs, (le terme eny D E6 F H ou en ] D 6JE H ). Comme est un déplacement perpendiculaire à la direction de propagation de l onde, on dit que l onde est transversale. P Q

3 g 1.1. CORDE INFINIE Condition initiales du mouvement Les conditions initiales du mouvement sont données en général par le déplacement et la vitesse de la corde à l instant_`\a. Si on dénote parbc d e f etbc g d e f ces deux données, on aura en utilisant (1.13) : b#c d e f`\h d e f0ijkd e f lmg b#c d e f`n osp0q r h r e isr j (1.14) r et Un cas particulier c est celui où la vitesse initiale de la corde est nulle ( b#cj`\a g ). Dans ce cas, r h r e ùr j (1.15) r e et donc jkd e fk`vh d e f-i2w. On obtient alors, à partir de la première des équations (1.15), h d e fk` d b#c d e fqkw)f x y et : bd ez_ f` { y}b#c d e)q~n o _ f0iwb#c d eisn o _ f (1.16) ce qui correspond à deux ondes identiques se déplaçant en sens opposées à partir de la perturbation initiale. Pour produire une onde qui se déplace dans une seule direction, par exemple bd ez_ f-` h d e)qkn o_ f, il faut imposer les conditions initialesbc d e f et : bc d e f` q-n o r b#c (1.17) r e Ondes progressives harmoniques On peut considérer des solutions particulières de l équation d ondes de la forme : bd ez_ f`b ƒ } d _' e x n o f'i 0 (1.18) On peut aussi les écrire sous la forme : bd ez_ f`b ƒ d _0 WˆeiW #f (1.19) avecˆ ` x n o le nombre d onde, ou alors : bd ez_ f`b ƒ4 }y Šd 4_0 e x Œf0iW # (1.20) où on a défini la fréquence ` x y Š et la longueur d onde Œ `\y Š0x ˆ Principe de superposition L équation des ondes est linéaire, c est-à-dire qu il n apparaît que la puissance 1 de b (il n y a pas de terme en b, par exemple). Une propriété très importante des phénomènes linéaires est celle de la superposition : si bž etb sont des solutions physiques acceptables de l équation qui régit le problème, alors une combinaison linéaire à coefficients constants du type :b` )bž#iw)b est aussi une solution acceptable.

4 4 CHAPITRE 1. CORDE Représentation complexe Il est très utile d utiliser la notation complexe: 4 š0 œ (1.21) avec, ~ ž (1.22) Avec cette notation, la grandeur physique est donnée par la partie réelle de Ondes stationnaires Comme exemple d application de la notation complexe et du principe de superposition, considérons deux ondes de même fréquence et de même direction de propagation, d amplitudes )Ÿ et J, et de phases Ÿ et. L onde somme sera alors: B Ÿ# 4 œ 4 œ \ J B 4ª «K (1.23) et on conclut que la superposition de deux ondes harmoniques de même fréquence, et qui se propagent dans la même direction, donne une autre onde harmonique progressive de même fréquence. L amplitude et la phase de l onde totale, peuvent s obtenir à partir de l équation : K ž Ÿ )Ÿ ž± J ' ž4² (1.24) si bien que : B S³ Ÿ W )Ÿ J 4ª Ÿ (1.25) et )Ÿ'ª arctg µ Ÿ J0ª )Ÿ ª Ÿ J' ª (1.26) Si par contre, on superpose deux ondes harmoniques de même fréquence mais se propageant dans des directions contraires, le résultat est tout autre. En effet, dans ce cas : B Ÿ œ œ 4 (1.27) et on ne pourra plus l écrire comme une onde progressive simple. )Ÿ- Un cas particulier important se produit quand les deux amplitudes sont identiques. Si on note :, on a : B 4ª Ÿ ¹ 4 º0 ž ± ºž ²» (1.28) et donc : 2 ª ¼ 4ª «(1.29) où on a défini ¼ B Ÿ ¹ B Ÿ ¹ (1.30) Ce mode de vibration est très différent d une onde progressive puisque tous les points de la corde vibrent en phase avec des amplitudes différentes. En particulier, il existe une série de points: ½ 2¾ \À ¹ 4Á ¼ 0Â À ~ \ÃÄ Å À Ä Å Ä... (1.31) où l amplitude de vibration est constamment nulle. On dit dans ce cas que l onde est stationnaire et que les points ½ sont les nœuds de l onde. Entre chaque nœud existe un ventre où l amplitude de vibration est maximum et égale à. On note aussi que l intervalle entre deux nœuds est égal à une demi-longueur d onde (Æ ¹ ).

5 Ý Ý Ý Ù 1.2. CONDITIONS AUX LIMITES Conditions aux limites Corde fixe aux deux extrémités Pour une corde qui est fixe en un pointç È, la condition à imposer est évidemment : ÉÊ Ç È ËÌ ÍÎ\Ï (1.32) Considérons une corde de longueur fixe aux pointsç)î\ï etçkî\. On a ÉÊ ÇËÌ ÍÎ Ñ Ê Ì#ÒKÇ Ó Ô Õ4Í0Ö Ê Ì0ÖWÇ Ó Ô Õ Í. La condition ÉÊ ÇkÎ\Ï4ËÌ ÍÎ\Ï implique : Ñ Ê Ì Í'Ö Ê Ì ÍÎ\Ï, c est-à-dire que ÎBÒÑ et ÉÊ ÇËÌ ÍÎ Ñ Ê Ì#ÒSÇ Ó Ô Õ ÍÒWÑ Ê Ì'ÖÇ Ó Ô Õ Í (1.33) La condition ÉÊ Ç ÎB-ËÌ Í-ÎBÏ implique Ñ Ê ÌÒWÓ Ô ÕÍ-Î2Ñ Ê Ì0ÖÓ Ô Õ4Í. et donc Ñ Ê Ø Í est périodique avec la périodeù Î\Ú Ó Ô Õ Théorème de la série de Fourier Toute fonction périodique de période Ù peut se décomposer sous la forme (Théorème de la série de Fourier) : Ñ Ê Ø ÍÎÜÛ Þß0àá â Þ ã ä4å#æ Ú ç Ø En reportant ce développement dans (1.33) on obtient, avecù\î\ú Ó Ô Õ, ÉÊ ÇËÌ ÍÎîÛ Þß#à á Ú â Þ2å éêkæ ç0ô Õ Ì å éê æ ç0ç ÒSÚè ÞBã ä4åæ ç'ô Õ Ì ÖWè ÞBå éêkæ Ú ç Ø Ùìë Ö âí (1.34) å éê æ ç#ç ë (1.35) et avec le changement de notationï Þ ÎBÒÚ è Þ etð Þ Î\Ú â Þ : ÉÊ ÇËÌ ÍÎÜÛ Þß0àá ï Þ ã ä åæ ç0ô Õ Ì Öð Þ2å éê æ ç0ô Õ Ì ñë å éê æ ç0ç (1.36) Modes propres de vibration de la corde Considérons un terme de la somme (1.36) : É Þ Ê ÇËÌ ÍÎ á ï ÞBã ä åæ ç0ô Õ Ì Öð ÞBå éê æ ç'ô Õ Ì ñë å éê æ ç#ç Î\ò Þ ã ä4å Ê ó Þ Ì0ÖWô Þ Í å éê Ê õ Þ Ç Í (1.37) avec ó Þ Î æ ç0ô Õ4Ó et õ Þ Î æ ç#ó. Cette perturbation est une onde stationnaire qu on appelle un mode propre de vibration de la corde. Les nœuds de vibration sont les points d amplitude nulle Ç ö^îb 0Ó æ, avec \Îùø ËÚËúúúËæ Ò ø, séparés par û Þ Ó Ú~ÎüÓ æ. Pour æ Î ø (mode fondamental) il n y a pas de nœud. Pour un harmonique æùý ø le nombre de nœuds est æ ÒWø.

6 5 - E CHAPITRE 1. CORDE Décomposition d un mode propre en ondes progressives A partir de l équation précédente on peut écrire : þ ÿ ÿ ÿ ÿ! " # $ (1.38) et on constate que les modes propres d une corde s obtiennent par superposition de deux ondes progressives se propageant dans des directions opposées, de même fréquence, même amplitude et en opposition de phase Conditions initiales du mouvement Les coefficients% ÿ et& ÿ sont déterminés par les conditions initiales du mouvement. Supposons qu à ' þ( þ( nous imposions à la corde une certaine forme et une vitesse ). Dans ce cas nous aurions les conditions initiales suivantes : þ* ',+ ÿ./ % ÿ ÿ þ( (1.39) et 0 0 þ. ( 2+ ÿ.!/ & ÿ430ÿ ÿ þ( ) (1.40) On doit inverser ces équations pour obtenir les coefficients % ÿ et& ÿ. La méthode (analyse de Fourier) ÿ ' consiste à les multiplier par et les intégrer entre et5. Si on utilise les intégrales : 6"7 ( 98:<; 98?!; B "C 5= 5@=4A 5 D E si:? ; ' si:gf? (1.41) on obtient : % ÿ E 6"7 ( þ( B:<; A & ÿ 6"7 :<;H ( þ( A ) :<; 5 (1.42) 1.3 Corde inmérsée dans un milieu élastique : vitesse de groupe et dispersion Supposons que la corde subit perpendiculairement à une force élastique de constante de force par unité de longueur IBJ. Ceci est une modélisation simple du milieu dans lequel se trouve plongée la corde. L équation de la dynamique (1.7) s écrit maintenant : K 0L þ J 0 L NM 0L 0 þ L I J þ (1.43) et l équation d ondes est alors : 0L 0 þ 0L LPO H Q L þ RS 0 L IM J þn ' (1.44)

7 c q ˆ c l m X X 1.3. CORDE DANS UN MILIEU ÉLASTIQUE 7 où on a dénoté par T UV W"XY"Z [ \ ] (1.45) la vitesse de phase en absence de milieu élastique. Ydc a b be bf ^ _ b e g (1.46) aihkj m<n l n o p h l j n (1.47) n ` n b q n ` b4rts e b n b q n o b"r ^ _ b e b Yu m b q (1.48) Note : Cette équation apparaît aussi dans un tout autre contexte. Pour une particule relativiste de masse au repos^<_ en mouvement libre selon`, l énergie est donnée par : où est son impulsion. Si on applique les postulats de quantification : alors l équation donnant l évolution de la fonction d onde du système est : qu on connaît sous le nom d équation de Klein-Gordon Solutions harmoniques et vitesse de phase On peut vérifier aisément que (1.12), avec v et w quelconques, n est plus solution de l équation (1.44). YNx y z { }~! ƒ Par contre, les fonctions harmoniques : (1.49) sont des solutions particulières avec : Y T U V WSX V s r ˆ b b (1.50) où on a définit : Y"Z Š ] \ ] (1.51) Œ Œ On note que si ˆ il n y a pas de propagation puisque devient imaginaire et l onde est une superposition d exponentielles croissantes et décroissantes. La corde agit donc comme un filtre passehaut : seules les fréquences supérieures à la fréquence de coupure ˆ peuvent set propager UY librement. La vitesse de phase pour une onde monochromatique est défini alors par :, et on obtient alors : T U V Ẍ Y T U V WSX T UV W"X V s r ˆ b b (1.52) "Žk Y et on note que cette vitesse tend vers pour ˆ et qu elle devient infinie pour Une solution générale pourrat être écrite comme une superposition d ondes du type (1.49) avec différentes fréquences, mais on remarque que ces ondes ont des vitesses de phase qui dépendent de la fréquence : les différentes ondes monochromatiques se propagent avec des vitesses différentes. On dit alors qu il y a dispersion. ˆ.

8 œ Å 8 CHAPITRE 1. CORDE Propagation d un paquet d ondes : vitesse de groupe avec Considérons une corde infinie et une superposition d ondes du type : " S iš Bœ ž Ÿ ž (1.53). Si œ est une fonction centrée en ª avec une largeur «Œ!ª, on a un ª ª ª ±!ª et : ± ³² š š µ ³² š ž! (1.55) š µ žÿ µ ž µ d ± (1.56) " ± S iš œ žÿ ž µ ž ¹ º (1.57) paquet d ondes quasi-monochromatique ou ondelette. Dans ce cas, on peut développer l argument de l exponentielle autour de la valeurª et écrire en première approximation : B * (1.54) où on a défini ª qu on appelle vitesse de groupe. Si on remplace ce développement dans (1.53) on obtient : où : On constate que l onde est décrite par un facteur de phase qui se déplace avec la vitesse de phase à la fréquence centrale du paquet, multipliée par un facteur qui se propage avec la vitesse de groupe. En utilisant (1.50) on montre que : ±» ¼S (1.58) et donc cette vitesse varie entre 0 (pour ¼" (pour"¾k½ ) Paquet gaussien ½ ) et Pour le cas particulier d un paquet gaussien avec : À Á Â Ã ž ž µ Ä Å Ä (1.59) et«" k ½, on obtient : d ± ž! ž ¹ º Ä Ä» (1.60) si bien que : * ÆÇÈ NÉ ÊË!ª d ž! ž ¹ º Ä» Å Ä (1.61) où «" ± «. Donc, l onde est décrite dans ce cas par une enveloppe gaussienne de largeur «qui se propage à la vitesse de groupe, multipliée par une fonction harmonique de fréquence!ª qui se propage à la vitesse de phase. Pour le transport d énergie et d information il est bien clair que c est la vitesse de groupe qui a un sens physique. Bien entendu, pour le cas sans dispersion indépendant de, la vitesse de groupe est égale à la vitesse de phase. avec

9 Ò Ò å 1.4. ANALOGUE MÉCANIQUE DE LA POLARISATION EN OPTIQUE Étalement du paquet On remarque sur (1.56) et (1.57) que l enveloppe se propage sans changement de forme. En fait, ceci est le résultat d avoir développé (1.54) seulement jusqu au premier ordre. Une meilleure approximation serait : ÌÍÎdÏÌ Ñ ÒBÓNÌÔ ÍÎdÏ Ô ÒÖÕÌdÎdÌ!Ô Ñ ÍÎ Ò Ø ÑÎNÌdÎdÌ!Ô Ñ Ù Ú Û Ù Ì Ü ÛÏ Ù Ñ ÝÞ (1.62) et on a alors un étalement du paquet. C est le phénomène de dispersion dû au fait que les différentes composantes monochromatiques se déplacent avec des vitesses différentes et elles se déphasent. 1.4 Analogue mécanique de la polarisation en optique On a supposé jusqu ici que le déplacement de la corde s opéré dans la direction ßÈà. Bien évidemment, on peut également faire vibrer la corde dans la direction ßÈá et plus généralement dans une combinaison quelconque de ces deux mouvements. Si les mouvements selonßèà etßèá sont en phase on aura : âã Ò äí ÑåNæ ãbç èé ÌÍÎdÏ Ò*ÕSêÑ ë âì Ò äí ÑåNæ ì ç è é ÌÍÎdÏ ÒÖÕNêÑ (1.63) et æ le mouvement de la corde s effectuera dans un plan qui forme un angle í avec î à, avec ì Ü æ ã ï ð ñ*í. C est la polarisation dite linéaire. Si les mouvements selonßèà etßèá sont déphasés deò Ü Ú on a : âã Ò äí Ñ ånæ ã ç è é ÌÍÎdÏ ÒÖÕNêÑ ë âì Ò äí Ñ ånæ ìbé óñ ÌÍÎ"Ï ÒÖÕSêÑ (1.64) et la polarisation est dite elliptique.