Devoir Commun 2 de Mathématiques- 2 nde

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1 Devoir Commun de Mathématiques- nde Durée : h La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Certaines parties d exercice sont à traiter uniquement par les élèves ne souhaitant pas aller en S, et d autres parties d exercices sont à traiter uniquement par les élèves souhaitant aller en S. Préciser votre choix : Non S S Vous devrez choisir entre les exercices 4 et 5 et en traiter un seul parmi ceux-ci. Préciser votre choix (une fois l exercice choisi): Exercice 4 Exercice 5 Exercice Dans cet exercice, toutes les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible. Dans une fête foraine, un stand propose trois jeux à l'aide d'une roue circulaire, et d'une flèche indiquant la position d'arrêt de la roue. Cette roue est partagée en trois secteurs identiques, de couleurs respectives rouge (R), verte (V), et bleue (B). Partie A : Etude d un premier jeu On lance la roue et on gagne si elle s arrête sur la couleur rouge. Quelle est la probabilité p de gagner? Partie B : Etude d un second jeu On lance deux fois successivement la roue, et on note les deux couleurs obtenues. ) Recopier et compléter l'arbre ci-contre: ) On admet que les issues sont équiprobables. On note A : l'événement "la couleur rouge sort au moins une fois" B : l'événement "la première couleur qui sort est le bleu" Calculer les probabilités P (A), P (B) 3) Exprimer par une phrase l événement A B. 4) Calculer P (A B). 5) On gagne lors de ce second jeu lorsque la couleur rouge sort au moins une fois, ou si la première couleur qui sort est le bleu. On note G cet évènement. er lancer nd lancer issue R V RV... a) Exprimer l évènement G en fonction des évènements A et B. b) Calculer P(G). Partie C : Etude d un troisième jeu On lance deux fois la roue. On gagne lors de ce troisième jeu si au moins une des deux conditions suivantes est vérifiée : - la couleur rouge ne sort pas lors des deux lancers. - la première couleur n est pas le bleu. On note F cet évènement. ) Exprimer l évènement F en fonction des évènements A et B. ) Calculer P( A ) et P ( B ). 3) Déterminer P( A B ) et en déduire P(F). Partie D : Quel est, entre ces trois jeux, le plus avantageux pour le joueur, c'est-à-dire celui qui lui donne la plus grande chance de gagner?

2 Exercice Une fonction polynôme de degré, notée f est définie sur l intervalle [- ; 5]. Elle a pour représentation graphique, la courbe ( C ) ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthogonal. Partie A : Etude graphique ( non S ) ) Déterminer, par lecture graphique, la valeur du maximum M de la fonction et la valeur de x pour laquelle il est atteint. ) Dresser le tableau de variations de la fonction f. 3) Résoudre graphiquement l inéquation f ( x) 0 4) Résoudre graphiquement l équation f ( x ) = 6 (vous laisserez les traits de construction apparents). 5) Donner le tableau de signes de la fonction f. y Partie B : Etude algébrique (pour tous les élèves) La fonction f représentée graphiquement ci-contre, est définie sur l intervalle [- ; 5] par : f ( x) = x + 8x ) Préciser, par un calcul, si le point A(- ; -0) appartient à la courbe C. ) Justifier que pour tout réel x, on a : f ( x) = x( 4 x) 3) Démontrer que f ( x ) peut aussi s écrire : ( x ) f ( x) = ) Etudier, à l aide d un tableau, le signe de l expression x( 4 x) -4 5) En déduire les solutions de l inéquation f ( x) 0 dans -5 l intervalle [- ; 5]. 6) Démontrer que f ( x) 8 ; vous utiliserez l expression de f ( x ) la mieux adaptée. 7) En déduire le maximum M de la fonction f et la valeur de x pour laquelle il est atteint Partie C : Etude d un problème concret (Uniquement pour les élèves demandant une ère S) Dans l angle droit d un terrain triangulaire, on souhaite construire un enclos de forme rectangulaire avec une aire la plus grande possible. Les dimensions du terrain sont telles que : AB = 8m et AC = 4m. Les points M, N et P appartiennent respectivement aux segments [AB], [BC] et [AC] de telle sorte que AMNP soit un rectangle. On appelle x la longueur AP, en mètres. ) Dans quel intervalle varie x? PN CP ) Justifier l égalité : = AB CA 3) En déduire, en fonction de x, la longueur PN. 4) Montrer que l aire f ( x) du rectangle AMNP est donnée par : f ( x) = x + 8x 5) En utilisant les résultats de la partie B, Montrer que l aire du rectangle AMNP admet un maximum et donner la valeur de ce maximum ainsi que la position correspondante du point P sur le segment [AC].

3 Exercice 3 : Dans un repère orthonormal, on considère les points A ( 3 ; ) B ( 5 ; ) et C ( ; 4 ). La figure sera complétée au fur et à mesure de l exercice. Partie A : pour tous les élèves ) a) Placer les points A, B, C. b) Déterminer par le calcul les coordonnées ( x, y ) du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. ) a ) Calculer les valeurs exactes des distances AB, AC. On admettra par la suite que BC = 3. b ) Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier la réponse. Que peut-on en conclure sur la nature du quadrilatère ABCD? Justifier. 3 ) Soit I le milieu de [ A B ]. a ) Calculer les coordonnées de I. b ) Placer le point E tel que CE= CA+ CB ( laisser les traits de construction ) Partie B :( Uniquement pour les «non S») ) Calculer les coordonnées des vecteurs CA, CB, CA+ CB, CI et CI Justifier que CA+ CB= CI. 5 ) Soit T 4; 3. Placer T et montrer que les droites ( A T ) et ( B C ) sont parallèles. 3 ) Soient les points F ; 3 et 7 9 K ; Placer les points F et K et démontrer que les points C, F et K sont alignés. Partie C ( Uniquement pour les élèves demandant une ère S ): 5 ) Soit T 4; 3. Placer T et montrer que les droites ( A T ) et ( B C ) sont parallèles. ) a ) Que peut on dire du vecteur IA+ IB? Justifier la réponse. b ) En utilisant la relation de Chasles et en utilisant le a ), démontrer l'égalité CA+ CB= CI 3 ) Soient F et K les points définis par CF= CD+ DA 3 et CK= AB+ AD. 3 a ) Placer les points F et K sur le dessin précédent ( laisser les traits de construction ). b ) Exprimer CK en fonction de CF. Que peut-on en conclure concernant les points C, F et K?

4 Vous devez traiter uniquement l un des deux exercices 4 ou 5. Exercice 4 Partie A : Cette partie est un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiple) Pour chacune des trois questions, il n y a qu une seule bonne réponse. Entourer la bonne réponse. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point. L absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Voici la représentation en perspective cavalière d un pavé droit ABCDEFGH tel que AB = 6cm, BC = BF = 4 cm. I est le milieu du segment [AB] et J est le milieu de [BG]. ) Les droites (DI) et (BF) sont : a. coplanaires et sécantes. b. non coplanaires. c. coplanaires et parallèles. ) Que peut-on dire de la droite (AG)? a. elle est sécante avec la droite (EF). b. elle est coplanaire avec la droite (BE). c. elle est parallèle à la droite (IJ). 3) Le plan (HGI) et le plan (ACD) sont : a. parallèles. b. sécants selon le point I. c. sécants selon la droite (AB). 4) Le volume de la pyramide ABCF est : a. 8cm 3 b. 6 cm 3 c. 4 cm 3 5) Un patron de la pyramide ABCF est a. b. c. Partie B : ABCDEF est un prisme droit. Le point I appartient au segment [DF] et le point J appartient au segment [DE] de façon que (IJ) et (EF) ne sont pas parallèles. Le point K est le centre de la face BCFE. ) Déterminer et construire l intersection des plans (FEI) et (ABD). ) a. Justifier que (IJ) et (EF) sont sécantes en un point N. Placer N. b. Déterminer et construire l intersection des plans (IJK) et (BEF)

5 Exercice 5 Partie A : Cette partie est un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiple) Pour chacune des trois questions, il n y a qu une seule bonne réponse. Entourer la bonne réponse. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; L absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. ) Parmi ces trois équations de droites, laquelle a pour coefficient directeur 3 et pour ordonnée à l origine 4? a. y = 3 x b. y = 3x c. y = x 3 ) La droite parallèle à l axe des ordonnées passant par le point de coordonnées ( ; ) a pour équation a. y = b. x = c. y = x+ 3) La droite (AB) représentées ci dessous a pour équation : a. y = 4x + b. y = x 4 c. y = x + 4 4) La droite d équation y = 4x + 5 est a. parallèle à la droite D d équation y = x + 5 et sécante à la droite D d équation y = 4x +. b. sécante à la droite D d équation y = x + 5 et parallèle à la droite D d équation y = 4x +. c. parallèle à la droite D d équation y = x + 5 et parallèle à la droite D d équation y = 4x +. 5) Le couple ( ;3) est solution de : 3x y = 3 a. b. x + y = 5 x y = 4 x + 3y = c. x + y = 7 x y = Partie B : Dans le plan muni d un repère, on considère les points A( 3;5), B(; 3) et C(; 4). ) Placer les points dans le repère. La figure sera complétée au fur et à mesure. ) Déterminer par le calcul une équation de la droite (AB). 3) Les points A, B et C sont-ils alignés? justifier. 4) On considère la droite d équation (d) y = 5x y = x a. Résoudre le système. y = 5x b. Donner les coordonnées du point d intersection des droites (AB) et (d).