Options implicites d un contrat d assurance-vie en euros

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1 Petit déjeuner de l AFGAP Options implicites d un contrat d assurance-vie en euros Hélène Denis 7 avril 2005

2 Introduction Insuffisance de la provision mathématique à refléter les engagements de l assureur. Construction d un modèle de contrat qui prenne en compte certaines contraintes applicables aux contrats d assurance-vie en euros. Sous ces contraintes: Forme des options implicites; Moyen de les financer et de les couvrir. Plan: Une génération de contrats; Plusieurs générations de contrats.

3 Une unique génération de contrats Cadre de la modélisation Un premier cas simple: revalorisation in fine de la provision mathématique Revalorisation annuelle du contrat Modèle à revalorisation annuelle amendé

4 Cadre de la modélisation Tous les contrats: sont identiques; ont la même date d effet; sont de durée fixe/ pas de rachat avant le terme du contrat. Options implicites liées au taux minimum de revalorisation annuelle de la provision mathématique, matique, le taux technique du contrat.

5 Cadre de la modélisation Côté passif Durée du contrat: 8 ans; pas d aléa viager Taux technique: R techn Côté actif Actif de l assureur: A t Deux actifs peuvent être échangés sur un marché parfait Un actif sans risque (r); Un actif risqué (St) Participation aux bénéfices δ fois la différence entre les produits financiers générés g s et les intérêts techniques.

6 Revalorisation in fine de la provision mathématique Montant versé à l assuré au terme du contrat: Paiement reçu par l actionnaire au terme du contrat:

7 Revalorisation in fine de la provision mathématique Traduction graphique:

8 Revalorisation in fine de la provision mathématique Interprétation: échange d options entre l assureur et l assuré à la date initiale L assuré acquiert auprès de l assureur une option de vente de prix d exercice la revalorisation minimale du contrat, exerçable au terme du contrat; L assureur acquiert auprès de l assuré une proportion (1-δ) ) de l option l d achat d de mêmes caractéristiques. ristiques.

9 Revalorisation in fine de la provision mathématique Par absence d opportunité d arbitrage, pour toute date t: Options de revalorisation minimale et de rétention de participation bénéficiaire:

10 Revalorisation in fine de la provision Application numérique mathématique Dynamique d actif de type Black-Scholes; actif de l assureur composé uniquement d actif risqué r=5% =3% R techn =3% δ=85%

11 Revalorisation in fine de la provision mathématique Financement des options Rétablissement de l équilibre ex ante du contrat; Financement par des prélèvements par l assureur; Introduction d un bilan ad-hoc hoc,, «hors fonds du contrat», destiné à faire figurer les options détenues par l assuré et l assureur, ainsi que les prélèvements destinés à les couvrir.

12 Revalorisation in fine de la provision mathématique Taux de prélèvement sur encours qui rétablit l équilibre ex-ante du contrat:

13 Revalorisation in fine de la provision mathématique Couverture des options Bilan hors fonds du contrat en 0 avant couverture Réplication de Put-(1 (1-δ)Call.

14 Revalorisation annuelle du contrat Dynamique de la revalorisation du contrat: La valeur finale du contrat dépend de toute la trajectoire de l actif entre la date initiale et le terme du contrat

15 Revalorisation annuelle du contrat Valeur du contrat du point de vue de l assuré: Présence d une d option exotique portant sur le sous- jacent A. Expression des options échangées Deux points de vue peuvent être considérés Ajustement à toute date de l actif l et du passif; Ajustement de l actif l et du passif au terme du contrat.

16 Revalorisation annuelle du contrat Pour chacun de ces deux points de vue, décomposition de la valeur du contrat en options implicites Valeur initiale du contrat identique Différence dans le prix des garanties Valeur du contrat Volatilité actif risqué Valeur de la garantie de revalorisation minimale Vassuré VassuréRevaloFin Gar0 avec ajsut. GaR0 sans ajsut Volatilité actif risqué

17 Modèle à revalorisation annuelle amendé Une écriture de la participation bénéficiaire prenant en compte les contraintes réglementaires; Introduction d obligations dans l actif de l assureur; Comptabilisation au coût historique et non distribution aux contrats des plus-values latentes de l actif Définition d une règle de réalisation des plus-values

18 Modèle à revalorisation annuelle Résultats obtenus amendé Valeur du contrat en % 90% 95% 100% taux de participation bénéficiaire actions: 15%; seuil de réalisation des PV:15% actions: 30%; seuil de réalisation des PV=15% actions=15%; seuil de réalisation des PV=10% actions=30%; seuil de réalisation des PV=10%

19 Modèle à revalorisation annuelle amendé Financement et couverture des options Décomposition du contrat en transactions successives nouées fictivement à chaque date entière Échange de positions dérivd rivées aux dates 0 à 7, et dénouement aux dates 1 à 8. Plus de correspondance entre les titres échangés s et les options attachées au contrat; La stratégie de couverture est mise en place au début d de chaque exercice pour l annl année à venir.

20 Modèle à revalorisation annuelle Résultats amendé le taux de prélèvement sur encours calculé au début de chaque exercice pour l exercice à venir dépend de la date à laquelle on se place. majorant du taux de prélèvement sur encours ne dépend pas du temps la stratégie de couverture : sur réplication des options échangées.

21 Modèle à revalorisation annuelle amendé Taux de prélèvement sur encours Minorant des sommes reçues en t+1 par l assureur Détermination d un taux de prélèvement sur encours indépendant de la date à laquelle on se place Assure à l assureur un revenu positif à toutes les dates. σ=14%

22 Plusieurs générations de contrats Un premier modèle Introduction de taux techniques variables Introduction de souscriptions et rachats aléatoires

23 Un premier modèle Hypothèses de la modélisation Modèle mono générationnel amendé; Introduction de la provision pour participation aux bénéfices (distribution différée d une partie de la participation bénéficiaire de l année); Règle de dotation et d utilisation de la provision de participation bénéficiaire Souscriptions nouvelles et sorties au début de chaque exercice comptable (déterministes); Taux de revalorisation identique pour toutes les générations de contrats.

24 Un premier modèle Sous ces hypothèses: Possibilité de construire des cantonnements fictifs cadre mono générationnel amendé; Isolement de chaque génération de contrats conditionnellement à la situation prévalant en début d exercice; Provision de participation aux bénéfices pas de modification des résultats obtenus

25 Taux techniques variables Taux techniques variable entre les différentes générations de contrats:

26 Taux techniques variables Plus de possibilité de «cantonnement fictif» Pas d accès aux options implicites dont se compose une génération de contrats; Néanmoins, pas de nécessité de connaître les options implicites qui interviennent pour mettre en place une stratégie de couverture de ces options; Le taux de prélèvement n est pas constant dépend de la date où on se trouve par l intermédiaire de la courbe des taux. NB: Introduction de la réserve de capitalisation.

27 Rachats et souscriptions aléatoires Apparition de nouveaux risques pour l assureur: Risque de «marché»:: Nécessité de réaliser des placements en situation de moins-value; Risque de «volume»:: diminution de la taille du bilan : risque lié au comportement conjoint des rachats et souscriptions nouvelles

28 Rachats et souscriptions aléatoires Risque de marché Réalisé si 1. Les flux (sorties-entrées) entrées) absorbent toutes les liquidités disponibles, de sorte que l assureur se trouve dans l obligation de procéder à la vente d obligations; 2. Les placements ainsi réalisés dégagent une moins- value par suite d une augmentation des taux; 3. La moins-value ne peut être absorbée par une reprise à la réserve de capitalisation, par suite d un montant insuffisant de celle-ci. ci.

29 Rachats et souscriptions aléatoires Résumé Risque lié aux rachat et aux souscriptions aléatoires risque global lié à un manque de liquidités disponibles; couverture parfaitement indépendante de celle du risque de revalorisation minimale. Couverture effectuée au moyen d un second prélèvement sur encours s ajoute à celui qui est utilisé pour le risque de revalorisation minimale.

30 Rachats et souscriptions aléatoires Lois de comportement Rachat: : comparaison du taux servi et d un taux de marché (1 an) avec un phénomène de «latence» + une fonction déterministe, ne dépendant pas des conditions des marchés financiers (cf. incitations fiscales) Souscriptions: mais calibration très difficile

31 Conclusion Une modélisation graduelle permettant de saisir l impact de certaines contraintes sur la forme des options implicites attachées aux contrats: Stratégie d allocation d actifs; Règle de réalisation des plus-values; Règle de distribution de la participation bénéficiaire; Plusieurs générations de contrats; Rachats et souscriptions aléatoires.

32 Conclusion Les risques relatifs à la revalorisation des contrats d une part,, et les risques liés aux comportements de rachat et de souscription peuvent être étudiés et couverts séparément. La couverture par l assureur des risques auxquels il est exposé repose sur la réplication de la somme globale des titres et options ons échangées avec l assuré. Dans les cas complexes, sur réplication Des raffinements possibles: Impact de la mortalité; Impact des fonds propres Possibilité d ajout de contraintes liées au respect de la marge de solvabilité Pas de remise en cause des résultats obtenus.

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