MATHEMATIQUES TES Sujets des devoirs

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1 MATHEMATIQUES TES Sujets des devoirs DS 25 /09/203 page2 DV 08/0/203 page 5 DS 3//203 page 6 DV 28//203 page 0 DS 8/2/203 page BBlanc 6/0/204 page 5 DV 29/0/204 page 20 DV 8/02/204 page 2 DS 9/03/204 page 22 DV 4/04/204 page 26 DS 4/05/204 page 27 A.Berger TES Bleue / 32

2 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 25/09/203 3 H CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Inscrivez le nom de votre enseignant. EXERCICE I : (6,5 points) La courbe ci-dessous représente une fonction définie et dérivable sur 2 ;. Elle est notée. La fonction dérivée de est notée. On précise que : La droite T est la tangente en A à en son point d abscisse 3. L axe des abscisses est tangent à en 5;0. Le point ; 3,6 est sur la courbe. Rappel : le réel désigne le coefficient directeur de la tangente à au point de coordonnées ;. Aucune justification n est demandée dans les questions et 2 Donner : a) Le tableau de variation de la fonction. On mettra aussi la ligne. b) Le tableau de signe de c) Les valeurs suivantes : 3 ; 5 d) L ensemble de solutions sur de l inéquation 0. e) L équation de la tangente à C f en son point d abscisse 5. f) L équation de la droite T. g) L intervalle image par la fonction de 2 ;5, puis de 2 ; A.Berger TES Bleue / 32

3 2 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? a) Le réel 0 admet exactement un antécédent par la fonction. b) Le réel admet deux images par la fonction. 3 Les réponses seront justifiées. a) Résoudre l équation 2 b) Résoudre l inéquation >2. 4 L une des courbes C, C 2 est la représentation de la dérivée de la fonction. Dire laquelle en justifiant votre choix. y 2 y x 3 2 C C x EXERCICE II : (6,5 points) Une entreprise produit et vend des crayons. Sa production journalière est comprise entre 000 et 0000 crayons. On désigne par le nombre de milliers de crayons fabriqués chaque jour. Le bénéfice journalier, exprimé en euros est donné par = +9 " +0 pour [ ;0] Calculer. Interpréter pour l entreprise. 2 a) Calculer, puis étudier son signe. b) En déduire le sens de variation de la fonction. 3 a) Dresser le tableau de variation de la fonction b) En déduire le nombre de crayons à produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal. Préciser ce bénéfice maximal. 4 a) Montrer que l équation =0 admet une unique solution dans l intervalle [6;0], on la note $. b) Déterminer un encadrement de $ d amplitude 0,0. c) Dresser le tableau de signe de sur l intervalle [ ;0]. d) En déduire le nombre de crayons que l entreprise doit produire et vendre pour que le bénéfice soit positif. On donnera la réponse à 0 crayons près. A.Berger TES Bleue / 32

4 EXERCICE III : (7 points) Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d objets, avec 5 ;00 ) Le coût de production unitaire % exprimant le coût de production par objet est exprimé en euros par : %0 900 pour 5 ;00 On donne sa représentation graphique dans le repère annexe ci-dessous. a) On note % la fonction dérivée, calculer % On montrera que :% *+,*-, b) Etudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variation de la fonction %. c) Déterminer pour quelle production le coût unitaire est minimum. 2 ) Chaque objet est vendu 90. Déterminer graphiquement le nombre d objets que l on doit fabriquer chaque jour pour que l entreprise réalise un bénéfice. On illustrera le graphique en laissant apparents les traits de construction. 3 ) a) Montrer que le coût total de fabrication est : / ²0 900, pour 5 ;00 b) Montrer que le bénéfice total de l entreprise pour objets fabriqués et vendus quotidiennement est " c) Retrouver par le calcul le nombre d objets que l on peut fabriquer chaque jour pour que l entreprise réalise un bénéfice. d) Etudier les variations de la fonction B. Puis déduire pour quelle production le bénéfice total est maximal et calculer ce bénéfice. *² A.Berger TES Bleue / 32

5 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 08/0/203 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : (7 points) On donne la courbe représentative d une fonction définie sur [ 3 ;7 Par lecture graphique (sans justification) Donner les valeurs suivantes : 0 ; 0 ;5 ; 5 2 Déterminer une équation de la tangente en D. 3 Déterminer une équation de la tangente en B. 4 Quelle est la position de la courbe par rapport à sa tangente au point d abscisse 2? 5 Préciser la convexité de la fonction. EXERCICE II : (2 points) Retrouver les deux affirmations vraies. Aucune justification n est demandée. Sur votre copie, vous reportez les affirmations choisies. Pour toute fonction définie, dérivable et convexe sur 5;5, On peut affirmer : (a) la tangente à au point d abscisse 0 est située en dessous de sur 5;5 (b) n a pas de point d inflexion. (c) est positive sur 5;5. (d) change de signe sur 5 ;5 EXERCICE III : (8 points) On considère la fonction définie sur 0 ;0 par 5 " 75. Calculer et. 2 a) Etudier la convexité de la fonction. b) La courbe admet-elle un point d inflexion? 3 Dresser le tableau de variations de la fonction. 4 Dresser le tableau de variations de la fonction. EXERCICE IV : (3 points) On considère la fonction définie sur ;0 par "*+ En utilisant au mieux les informations données sur la copie d écran ci-dessous, étudier la convexité de la fonction. A.Berger TES Bleue / 32

6 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 3//203 3 H CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Inscrivez le nom de votre enseignant. EXERCICE I : (5 points) sujet national203 dévoilé Un industriel étudie l évolution de la production des jouets sur la machine VPOOO de son entreprise. En 2000, lorsqu il l a achetée, elle pouvait produire jouets par an. Du fait de l usure de la machine, la production diminue de 2% par an. On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l année par une suite % 3. On a donc %, = a. Montrer que la suite % 3 est géométrique.. b. En déduire que pour tout entier naturel 2 : % 3 = , c. Déterminer le sens de variation de la suite % a. Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005? 2. b. Déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à c. Cet industriel décide qu il changera la machine lorsqu elle produira moins de jouets par an. Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de l algorithme ci-dessous afin qu il permette de déterminer le plus petit entier naturel n tel que % 3 < Variables : 7 est un réel 2 n est un entier naturel 3 4 Initialisation : Affecter à A la valeur Affecter à n la valeur Traitement : Tant que prend la valeur prend la valeur 0 Fin Tant que 2 Sortie : Afficher n 3. a. Exprimer +0,98+0,98 " + +0,98 3 en fonction de b. On pose 3 =%, +% +% " + +% 3 Montrer que 3 = , c. En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les 5 premières années de production. A.Berger, TES Bleue 203/204 6 / 32

7 EXERCICE II : (3 points) La population d une ville côtière augmente de 580 habitants chaque année. En 202, cette population est de habitants. On note : 3 la population en On considère l algorithme : Variables : ; est un réel n est un entier naturel Initialisation : Affecter à P la valeur Affecter à n la valeur 0 Traitement : Pour < allant de à 5 2 prend la valeur 2 ; prend la valeur ; 580 FinPour Sortie : Afficher ; En détaillant les calculs, donner l affichage obtenu. Interpréter. 2. a. Justifier que : b. Retrouver l affichage obtenu à l algorithme. 2. c. Déterminer à partir de quelle année la population de cette ville dépassera habitants. EXERCICE III : (8 points) Dans le plan muni d un repère orthogonal, on a tracé la courbe représentative de la fonction f définie et dérivable sur l intervalle ;8 ainsi que les tangentes à la courbe aux points 73,5 ;04,75 et 6 ;26. La tangente en à la courbe passe par l origine du repère. On note la fonction dérivée de la fonction et la dérivée seconde de la fonction. A.Berger, TES Bleue 203/204 7 / 32

8 PARTIE A À partir du graphique et des renseignements fournis :. Déterminer 3,5) et (6). 2. Déterminer (3,5). Sur quel intervalle la fonction semble-t-elle convexe? concave? PARTIE B La fonction est définie pour tout réel x élément de l intervalle [ ;8] par ()= 0,5 " Calculer () et (). 2. Étudier les variations de la fonction. 3. Étudier la convexité de la fonction. 4. Que représente le point 7 pour la courbe? PARTIE C Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 8 milliers d articles. La fonction modélise sur l intervalle [ ;8]le coût total de production exprimé en milliers d euros, où désigne le nombre de milliers d articles fabriqués. On note > () le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. On note > () le coût moyen de production en milliers d euros pour milliers d articles fabriqués. > est la fonction définie sur l intervalle [ ;8] par : > ()=² 0, On admet que la fonction > est dérivable sur l intervalle [ ;8] et on appelle > sa fonction dérivée.. a. Calculer > () Vérifier que pour tout x de l intervalle [ ;8] : > ()= ( 6)(2" +,5+9) ". b. Etudier le signe de > (). 2. Dresser le tableau de variations de la fonction > sur [ ;8]. 3. Quel doit être le prix de vente minimal d un article pour que l entreprise réalise un bénéfice? 3. Quel doit être le prix de vente minimal d un millier d articles pour que l entreprise puisse espérer réaliser un bénéfice? on précisera le nombre d articles à vendre. A.Berger, TES Bleue 203/204 8 / 32

9 EXERCICE IV : (4 points) Soit une fonction deux fois dérivable sur [ 2,5 ;3]. On note sa dérivée et sa dérivée seconde. La courbe représentative de la fonction dérivée? est donnée ci-contre. Les points de coordonnées ( 2,5 ; 3), ( ;,4) et (3 ;0,25) sont des points de cette La droite T est tangente à la au point d abscisse 0. Aucune justification n est demandée pour les questions et 2-2 T - y Courbe de f ' 2 3 x. Par lecture graphique :. a. Dresser le tableau de variation de la dérivée.. b. Dresser le tableau de signe de () Par lecture graphique : 2. a. Déterminer les réels tels que ()=0. 2. b. Déterminer les réels tels que ()=0. 2. c. Déterminer (0). 3. Une des quatre courbes C, C2, C3 et C4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde. y y 2 C x - C x -2 - y 3 y C x C x a. Déterminer la courbe qui représente la fonction et celle qui représente la fonction dérivée seconde. 3. b. Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est convexe ou concave. 3. c. La courbe représentative de la fonction admet-elle un point d inflexion? A.Berger, TES Bleue 203/204 9 / 32

10 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 28//203 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : (2 points) Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à 0 +" près. Un site touristique dont le billet d entrée coûte 4 propose deux possibilités de visite, une visite à pied sans frais supplémentaire ou une visite en car avec frais supplémentaires de 3 par personne. Une buvette est installée sur le site. On y vend un seul type de boisson au prix de 2 l unité. NOM : On suppose qu à la buvette un touriste achète au plus une boisson. Un touriste visite le site. On a établi que : la probabilité pour qu il visite à pied est 0,3. la probabilité qu il achète une boisson sachant qu il visite en car est 0,8. la probabilité qu il achète une boisson sachant qu il visite à pied est 0,6. On note : l événement «le touriste visite en car» ; l événement «le touriste achète une boisson».. Représenter la situation par un arbre pondéré. 2. a. Quelle est la probabilité que le touriste visite à pied et achète une boisson? 2. b. Montrer que :=0, Le touriste achète une boisson. Quelle est la probabilité qu il ait visité à pied? 4. On appelle d la dépense (entrée, transport éventuel, boisson éventuelle) associée à la visite du touriste. 4. a. Etablir la loi de probabilité de d. On complètera le tableau suivant en justifiant les probabilités. Valeurs de A Probabilité 4. b. Calculer l espérance mathématique de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner? EXERCICE II : (8 points) Une association s adresse à une agence de voyage pour organiser un séjour de vacances pour ses 20 adhérents. On constate que, parmi ces adhérents : 30% ont moins de 40 ans ; un tiers souhaite séjourner en Amérique ; 40% souhaitent séjourner en Europe, et parmi eux, 75% ont plus de 40 ans ; 47 adhérents âgés de plus de 40 ans souhaitent séjourner en Afrique.. Compléter le tableau suivant : Nombre d adhérents souhaitant séjourner en Europe Nombre d adhérents âgés de moins de 40 ans Nombre d adhérents âgés de plus de 40 ans Nombre d adhérents souhaitant séjourner en Afrique Nombre d adhérents souhaitant séjourner en Amérique Dans les questions suivantes, on donnera les résultats sous forme de fraction irréductible. On choisit au hasard un adhérent de l association. On suppose que tous les adhérents ont la même probabilité d être choisis. 2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : A : «l adhérent souhaite séjourner en Afrique» B : «l adhérent est âgé de plus de 40 ans» 3. Calculer la probabilité de chacun des évènements 7 et 7 4. Calculer la probabilité que l adhérent souhaite se rendre en Afrique sachant qu il est âgé de plus de 40 ans. A.Berger TES Bleue 203/204 0 / 32

11 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 8/2/203 3 H CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Inscrivez le nom de votre enseignant. EXERCICE I : (5,5 points) d après Amérique du Nord Juin 200 Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d appareil photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil. Il a constaté, lors d une précédente promotion, que : 20 % des clients achètent l appareil photo en promotion. 70 % des clients qui achètent l appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion. 60 % des clients n achètent ni l appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion. On suppose qu un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire en promotion. Un client entre dans le magasin. On note A l évènement : «le client achète l appareil photo en promotion». On note C l évènement : «le client achète la carte mémoire en promotion».. a. Donner les probabilités :7 et :7 b. Un client n achète pas l appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu il n achète pas non plus la carte mémoire en promotion. 2. Construire un arbre pondéré représentant la situation. 3. Montrer que la probabilité qu un client achète la carte mémoire en promotion est 0, Déterminer la probabilité qu un client achète l appareil photo en promotion, mais n achète pas la carte en promotion. 5. Le commerçant fait un bénéfice de 30 sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4 sur chaque carte mémoire en promotion. a. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. Aucune justification n est demandée. Bénéfice par client en euros 0 Probabilité d atteindre le bénéfice 0,6 b. Pour 00 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa promotion? 6. Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements d achat sont indépendants. Déterminer la probabilité qu au moins un de ces trois clients n achète pas l appareil photo en promotion. A.Berger TES Bleue 203/204 / 32

12 EXERCICE II : (5 points) Le marché de la musique enregistrée se divise en deux grands domaines : le marché physique (supports matériels comme les CD) et le marché dématérialisé (téléchargements). Le tableau suivant indique les montants des ventes, en millions d euros, correspondant au marché physique et au marché total de l année 2006 à l année 20. Année Marché physique Marché total Source : Snep (Syndicat national de l édition phonographique) Juin 202 Les deux parties sont indépendantes. Partie A : Taux d évolution Dans cette partie, les réponses seront données sous forme de pourcentages arrondis à 0,0 près.. Quelle part du marché total le marché physique représente-t-il en 20? 2. Calculer le taux d évolution global du marché physique entre 2006 et 20. Partie B : Étude du marché physique On suppose que chaque année à partir de 20, le marché physique connaît une baisse de 20%. On note E 3 le montant, en millions d euros, des ventes en France correspondant au marché physique de l année Ainsi, E, = 43.. a. Calculer E. b. Démontrer que la suite (E 3 ) est une suite géométrique. c. Exprimer E 3 en fonction de Dans la feuille de calcul d un tableur, on souhaite déterminer les premiers termes de la suite (E 3 ) Quelle formule peut-on écrire en C3, qui, par recopie vers le bas, donnera le contenu des cellules de C3 à C5? 3. Si la tendance reste la même, quel sera le montant du marché physique en 2020? Arrondir le résultat au million d euros près. A B C Année Rang 2 E a. Déterminer le sens de variation de la suite (E 3 ). 4. b. En quelle année prévoit-on, d après ce modèle, un montant du marché inférieur à 50 millions d euros? A.Berger TES Bleue 203/204 2 / 32

13 EXERCICE III : (5 points) On considère la fonction définie sur [0 ;3] par ()=(2 ).F * +3. a. Montrer que ()=( +)F *. b. Etudier le signe () 2. Dresser le tableau de variation de la fonction. 3. Montrer que l équation ()=0 admet une unique solution dans [ ;3 ] ; on la nomme α. 4. On considère l algorithme suivant : Entrée : P est un réel strictement positif Initialisation : Donner à X la valeur 2 et à Y la valeur 3 Traitement : Tant que Y > 0 : Donner à X la valeur X +P Donner à Y la valeur f (X) (f étant la fonction définie précédemment) Sortie : Afficher X P et X 4. a. On entre une valeur de P égale à 0,. Faire fonctionner l algorithme, on fera un tableau sur la copie avec autant de colonnes que nécessaire. initialisation Traitement ere étape 2 ème étape X = X = X = Y= Y = Y= Quelles sont les valeurs affichées en sortie? Que peut-on en déduire pour $? 4. b. On a fait fonctionner l algorithme avec une certaine valeur de P. On a obtenu en sortie les nombres 2,30 et 2,3. Quelle valeur de P avait-on choisie en entrée? 5. Déterminer le signe de la fonction sur [0 ;3] EXERCICE IV : (4,5 points) Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un vaccin. Sa capacité de production, sur une semaine, lui permet de réaliser entre 0 et 7 litres de ce produit. On note () le bénéfice hebdomadaire (en euros) réalisé par le laboratoire pour une production d un volume x de vaccin exprimé en litres, On appelle B la fonction définie pour tout x de l intervalle [0 ; 7] qui à x associe (). La courbe représentative de la fonction est donnée en annexe. Partie A : Lecture graphique Avec la précision permise par le graphique :. Déterminer le(s) volume(s) hebdomadaire(s) nécessaire(s) pour que le bénéfice hebdomadaire soit égal à 400 euros. 2. Déterminer pour quels volumes hebdomadaires produits, le laboratoire est bénéficiaire. Partie B : Étude du bénéfice hebdomadaire On admet que B est la fonction définie pour tout nombre réel x de l intervalle [0 ; 7] par : () = +6 " On notera B la fonction dérivée de la fonction B.. a. Déterminer pour tout x appartenant à l intervalle [0 ; 7], l expression de B (x). b. Vérifier que, pour tout x appartenant à l intervalle [0 ; 7], () = ( 3 +30)( +6). c. Étudier le signe de B (x) pour tout x appartenant à l intervalle [0 ; 7]. d. En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l intervalle [0 ; 7]. 2. Déterminer le volume hebdomadaire à produire pour obtenir un bénéfice maximal. A.Berger TES Bleue 203/204 3 / 32

14 NOM : Annexe exercice IV y bénéfice en euros x N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 203/204 4 / 32

15 BAC BLANC MATHEMATIQUES TERMINALE ES - L 6 /0/204 3 HEURES une seule calculatrice autorisée - le prêt est interdit La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le sujet est composé de 4 exercices et comporte 5 pages. Aucune page n est à rendre Chacun traite les 4 exercices qui le concernent selon sa spécialité. Exercices I III IV communs à tous les candidats Exercice II : page 2/5 TES spécialité Maths page 3/5 TES non spécialité Maths et TL spécialité Maths EXERCICE I : (5,5 points) On considère la fonction définie sur par =F +* + On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormé du plan et la fonction dérivée de.. a. Montrer que, pour tout réel x, =F +* b. En déduire le sens de variation de sur. 2. a. Montrer que l équation = 0 admet une unique solution $ sur l intervalle [ ; 0]. b. Donner un encadrement de $ à 0 + près. 3. Montrer que l équation réduite de la tangente T à au point d abscisse 0 est : G=+ 4. L objectif de cette question est de déterminer la position relative de par rapport à T. À l aide d un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel, l expression et le signe de où désigne la dérivée seconde de. Instruction Réponse = exp + F +* + 2 =AéK<LéF MFNO2AF[] F +* 2 3 résoudre[f +* 2] 0 2 En exploitant les résultats du calcul formel : a. Déterminer le sens de variation de la dérivée de la fonction sur R. b. Déterminer l intervalle de sur lequel la fonction est convexe, puis celui sur lequel elle est concave. c. En déduire la position relative de par rapport à T sur l intervalle ] ; 2]. N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 203/204 5 / 32

16 EXERCICE II : (5 points) TES - SPECIALITE Une usine fabrique trois articles A, B et C. Chacun de ces trois articles est obtenu à partir de quatre produits différents P, P 2, P 3 et P 4. La fabrication de chacun des produits nécessite trois ressources : du travail (T) ; des matières premières (M) et de l'énergie (E). Les deux tableaux suivants présentent les quantités de produits utilisés pour produire chaque article A, B ou C et les coûts des ressources, exprimés en euros, nécessaires à la fabrication de chaque produit. P P 2 P 3 P 4 A B C T M E P P P P On considère les matrices suivantes F = et R = a. Calculer le produit ;=R S.. b. En déduire le coût de l'énergie (E) nécessaire à la fabrication d'un article B. 2. Calculer le produit %=; TU et donner une interprétation du résultat. 3. Calculer le produit V= ; et donner une interprétation du résultat. 4. À l'aide d'un produit de matrices, calculer le coût total de la production de quatre articles A, trois articles B et huit articles C. 5. À la fin d'une journée, on a constaté que la dépense pour la fabrication de ces trois articles a été de : euros pour le travail (T) ; euros pour les matières premières (M) ; euros pour l'énergie (E). Déterminer le nombre d'articles A, B et C qui ont été fabriqués au cours de cette journée. N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 203/204 6 / 32

17 EXERCICE II : (5 points) TES NON SPECIALITE et TL Une association humanitaire recherche une entreprise de forage pour creuser un puits, en plein désert, afin d atteindre une nappe d eau annoncée à 9 mètres de profondeur par un spécialiste. Partie : Les tarifs de l entreprise, convertis en euros, sont les suivants : 00 pour le premier mètre creusé, 40 pour le suivant, et ainsi de suite en augmentant le prix de chaque nouveau mètre creusé de 40. On appelle W le nombre de mètres creusés et X W le prix du W Yè[\ mètre creusé Ainsi E =00 On considère l algorithme suivant : Variable ] entier naturel % et sont des réels Entrée Saisir ] Initialisation % prend la valeur 00 prend la valeur 00 Traitement Pour ^ allant de 2 à ] % prend la valeur %+40 prend la valeur +% Fin pour Affichage Afficher % Afficher Le faire fonctionner pour ]=4 en utilisant le tableau suivant que l on recopiera. ^ % initialisation Donner les deux valeurs affichées à la fin et les interpréter pour le forage du puits. 2. a. Quelle est la nature de la suite E 3? On justifiera la réponse. 2. b. Calculer E, 2. c. Calculer le coût total pour un puits de 0 mètres de profondeur. On pourra utiliser la formule suivante donnant la somme des 2 premiers termes d une suite arithmétique de premier terme E : =E +E " + +E 3 = 2 2 E +E 3 Partie 2 : L État accorde une subvention à l association pour le forage de ce puits. Cette subvention, convertie en euros, est de 60 au départ pour le premier mètre creusé, augmentée de 35% par mètre creusé supplémentaire. On appelle _ W le montant, en euros, de la subvention accordée pour un puits profond de W mètres. Ainsi L =60. Calculer le montant de la subvention accordée pour un puits profond de 2 mètres. 2. Justifier que L 3 est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 3. Exprimer L 3 en fonction de Montrer que le montant de la subvention accordée pour un puits de 0mètres de profondeur est d environ En utilisant les résultats des questions précédentes et de la partie, calculer ce que devra réellement payer l association pour le forage du puits de 0 mètres de profondeur. N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 203/204 7 / 32

18 EXERCICE III : (5,5 points) Un chalutier se rend sur sa zone de pêche. La probabilité qu un banc de poissons soit sur cette zone est de 0,7. Le chalutier est équipé d un sonar pour détecter la présence d un banc de poissons. Si un banc est présent, le sonar indique la présence du banc dans 80 % des cas. S il n y pas de banc de poissons dans la zone de pêche, le sonar indique néanmoins la présence d un banc dans 5 % des cas. On note : B l évènement : «il y a un banc de poissons sur zone» et B l évènement contraire de B ; S l évènement : «le sonar indique l existence d un banc de poissons» et S l évènement contraire de S.. Reproduire et compléter l arbre pondéré suivant. (Le détail des calculs n est pas demandé.) 0,7 B S S 2. Déterminer la probabilité : qu il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte. 3. Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d un banc de poissons (réel ou fictif) est 0, Lors d une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l une des trois situations suivantes : Situation : un banc de poissons est présent sur la zone et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche est fructueuse. Dans ce cas le pêcheur gagne euros. Situation 2 : il n y a pas de banc de poissons sur zone mais le sonar en signale un. Le filet est lancé pour rien. Dans ce cas le pêcheur perd 500 euros. Situation 3 : le sonar ne détecte aucun banc de poisson (qu il y en ait ou pas). Le filet n est pas lancé et le bateau rentre au port à vide. Dans ce cas le pêcheur perd 300 euros. 4. a. Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire G donnant le «gain» (positif ou négatif) réalisé. Justifier. Valeurs du gain Probabilité 4. b. Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir? 5. Le pêcheur prévoit d effectuer dix sorties successives sur la zone de pêche. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de sorties pour lesquels le sonar indique la présence d un banc de poissons (réel ou fictif). a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Déterminer la probabilité que, pour exactement 4 sorties, le sonar indique la présence d un banc de poissons (réel ou fictif). On donnera la valeur approchée arrondie au millième de ce résultat. N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 203/204 8 / 32

19 EXERCICE IV : (4 points) On considère une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ 2 ;4 On note la fonction dérivée de la fonction. La courbe tracée ci-dessous, représente la fonction dans le plan muni d un repère orthonormal d unité graphique 2cm. La courbe passe par les points 0;2 et 7 ;F. Elle admet au point 7 une tangente parallèle à l axe des abscisses. La tangente (T) au point à la courbe passe par le point `2 ;0. T y 3 A 2 B C f x. En utilisant les données graphiques, donner sans justifier :. a. Le nombre de solutions sur l intervalle 2 ; 4 de l équation f ( x ) =, puis un encadrement d amplitude 0,25 des solutions éventuelles.. b. La valeur de. c. Le signe de la dérivée de la fonction sur l intervalle 2 ;4. 2. Donner en justifiant : 2. a. La valeur de b. Celle des trois courbes (C ), (C 2 ) et (C 3 ) données ci-dessous qui représente la fonction dérivée de la fonction. (C ) (C 2 ) (C 3 ) N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 203/204 9 / 32

20 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 29/0/204 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT Dans un village, l'association de gymnastique volontaire possédait 50 adhérents en Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit 8 nouvelles adhésions et que 5 % des anciens inscrits ne renouvellent pas leur adhésion. NOM : On note 3 le nombre d'adhérents pour l année n ; on a donc, =50. Exprimer 3- en fonction de 3, pour tout entier naturel n. 2 Soit la suite E 3 définie par E 3 = 3 20 pour tout 2 0. a) Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) Exprimer E 3 en fonction de 2. en déduire que, pour tout entier naturel 2, 3 = ,85 3. c) Déterminer le nombre d adhérents en 204. On donnera la valeur approchée par défaut. d) Déterminer la limite de la suite 3 quand n tend vers l'infini, interpréter ce résultat. 3 a) Montrer que pour tout entier naturel 2, on a : 3-3 =0,5 0,85 3 b) En déduire le sens de variation de la suite 3. c) Déterminer à partir de quelle année, l association aura au moins 00 adhérents. 4 On veut estimer le montant des cotisations reçues de 2008 à 204. a) A l aide d un tableau Excel, on veut déterminer le nombre total de cotisations reçues durant cette période. Compléter au mieux, initialisation ou formules de calcul, les cellules A2 B2 C2 A3 B3 C3 et C2. A B C année n a n Total : On obtient un total de 520 cotisations reçues durant cette période. b) On admet que la cotisation moyenne est de 80 par an. Quel est le montant des cotisations reçues de 2008 à 204? 5 Chaque semaine 60% des adhérents s'inscrivent pour h de gymnastique et 40% pour 2h de gymnastique. a) Montrer que le nombre ] d'heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l'année n est ]= ,85 3 b) Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes. On veut déterminer à partir de quelle année l'association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer qu'alors n doit vérifier l'inéquation 98 0,85 n < 8. Déterminer à la calculatrice, sans justification, le plus petit entier 2 solution de cette inéquation. Conclure. N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 203/ / 32

21 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 8/02/204 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : (4 points) On considère la fonction définie sur a ;5b par : " = +2 c2. La courbe (C) donnée ci-dessous est la représentation graphique de dans un repère orthogonal. y x -. Calculer et étudier son signe. 2. Dresser le tableau des variations de. 3. a. Calculer 3. b. Justifier que l équation =0 admet sur [3 ;4] une solution unique α ; puis donner une valeur approchée à 0 +" près par défaut de α. 3. c. En déduire le signe de () suivant les valeurs de dans a " ;5b. 4. On appelle d la fonction définie sur a ;5b par : " d()=.e +2 c2 f 2 4. a. Calculer d () et vérifier que d ()=() pour tout a " ;5b 4. b. Déterminer le sens de variation de la fonction d sur a " ;5b EXERCICE II : (6 points) On considère la fonction définie sur ] 0 ; + [ par : ()=.c2 Calculer (F) g i et j Fl h 2 En résolvant l inéquation, déterminer le plus petit entier 2 tel que : 625, N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 203/204 2 / 32

22 DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 9/03/204 3 H CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Chacun traite les 4 exercices qui le concernent selon sa spécialité. Exercices I III IV communs à tous les candidats Exercice II : page 2/4 TES spécialité Maths cet exercice sera rendu sur une copie séparée. page 3/4 TES non spécialité Maths EXERCICE I : (5 points) Partie A La courbe (C), donnée ci-contre, est la représentation graphique de la fonction définie sur [;7 par " 098ln. On désigne par la fonction dérivée de la fonction. NOM : Démontrer que, pour tout réel x de ;7 : Étudier le signe de suivant les valeurs de dans l intervalle ;7 3. Dresser le tableau de variations de. 4. a. Montrer que l équation 0 admet une unique solution dans 4 ;7, on la note $. 4. b. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Les résultats seront arrondis à 0 +o près. 6,8 6,9 6,20 6,2 4. c. En déduire un encadrement à 0 +" près de α. 4. d. Placer α sur le graphique ci-contre. Partie B - Application économique Une entreprise doit produire entre 0 et 70 pièces par jour. On admet que si x est la production journalière en dizaines de pièces alors le bénéfice réalisé en milliers d euros est, où f est la fonction étudiée dans la première partie avec ;7.. Déterminer la quantité de pièces fabriquées par jour, à partir de laquelle l entreprise commence à travailler à perte. Donner une valeur approchée de cette valeur à près. 2. Déterminer la quantité de pièces que l entreprise doit fabriquer par jour pour réaliser un bénéfice maximal et préciser ce bénéfice maximal à près. N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 203/ / 32

23 EXERCICE II : (5 points) SPECIALITE Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes. Un lycée d une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d orientation post-bac. Partie A Une des écoles a effectué une étude sur la mobilité des étudiants de la promotion de 2008 en ce qui concerne les choix de carrière. Elle a relevé qu en 2008, à la fin de leurs études, 25 % des diplômés sont partis travailler à l étranger alors que le reste de la promotion a trouvé du travail en France. On a observé ensuite qu à la fin de chaque année, 20 % des personnes ayant opté pour l étranger reviennent sur un poste en France alors que 0 % des personnes travaillant en France trouvent un poste à l étranger. On considère que cette situation perdure. On note ; 3 =F 3 c 3 la matrice correspondant à l état probabiliste en n, avec F 3 la probabilité que la personne travaille à l étranger, c 3 celle qu elle travaille en France. Ainsi, ;, =0,25 0,75.. Proposer le graphe probabiliste associé à cette situation. On désignera par E (étranger) et F (France) les deux sommets. 2. Donner la matrice de transition M associée en prenant les sommets dans l ordre E puis F. 3. Montrer qu en 20, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l étranger est de 30,475%. 4. Déterminer l état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu. Partie B Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d organiser un concert. Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée. Les membres du groupe ont établi le graphe cicontre. Les sommets représentent les différents lycées et les arêtes, les rues reliant les établissements. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.. Existe-t-il un trajet d un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule? Si oui, donner un tel trajet, si non expliquer pourquoi. 2. Arrivé en retard au lycée A, un membre du groupe veut trouver le chemin le plus rapide pour rejoindre ses camarades au lycée F. Quel trajet peut-il prendre? Quelle est alors la durée du parcours? N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 203/ / 32

24 EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE Sujet national septembre 203 Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d un nouveau forfait à sa clientèle, composée à 65% d hommes. Des études préalables ont montré que 30% des hommes contactés écoutent les explications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60% écoutent les explications. On admet que ces proportions restent stables. Partie A On choisit au hasard une personne dans le fichier clients. Chaque personne a la même probabilité d être choisie. On note H l évènement «la personne choisie est un homme», F l évènement «la personne choisie est une femme», E l évènement «la personne choisie écoute les explications du démarcheur» et qr l évènement contraire de E.. Recopier et compléter l arbre de probabilité proposé ci-dessous : q 0,65 s. qr R 0,6. q qr 2. a. Traduire par une phrase l évènement q R et calculer sa probabilité. b. Montrer que la probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est égale à 0,405. c. Le démarcheur s adresse à une personne qui l écoute. Quelle est la probabilité que ce soit un homme? On donnera le résultat arrondi au centième. Partie B Les relevés réalisés au cours de ces premières journées permettent également de constater que 2% des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait. Chaque employé de l opérateur effectue 60 appels par jour. On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Déterminer la probabilité que l employé obtienne 5 souscriptions un jour donné. (On arrondira le résultat au centième). 3. Déterminer la probabilité que l employé obtienne au moins une souscription un jour donné. On donnera une valeur arrondie au dix millième. EXERCICE III : (5 points) Partie A : Calculer les intégrales suivantes. On donnera la valeur exacte. =t 3 " 4+)A " u=t e 3 "fa h Partie B : Cette partie est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, retrouver l affirmation exacte. Sur votre copie, vous recopierez la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte point, une réponse inexacte enlève 0,5 point. L absence de réponse n est pas pénalisée. N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 4/05/ / 32

25 L ensemble de solution de l inéquation 2ln 0 est : (a) b ; F v w b (b) x0 ; Fx (c) ]0 ;+ [ (d) a h ; + a Désormais, on considère la fonction définie sur ]0 ;+ [ par : =.ln 2 La fonction dérivée de est définie sur ]0 ;+ [ par (a) = * (b) = +ln (c) =+ln (d) = ln 3 Une fonction primitive R de est définie sur ]0 ;+ [ par (a) R= " ² ln (b) R= o " 2ln (c) R= * w * EXERCICE IV : (5 points) Nouvelle Calédonie novembre 203 Le premier janvier 204, Monica ouvre un livret d épargne sur lequel elle dépose euros. Elle décide de verser 900 euros sur ce livret chaque premier janvier à partir de 205 jusqu à atteindre le plafond autorisé de 9 25 euros. On suppose dans tout cet exercice que le taux de rémunération du livret reste fixé à 2,25% par an et que les intérêts sont versés sur le livret le premier janvier de chaque année. Première partie. Calculer le montant des intérêts pour l année 204, et montrer que Monica disposera d un montant de euros sur son livret le premier janvier On note y 3 le montant en euros disponible sur le livret le premier janvier de l année On a donc y, =6000 et y =7035. Montrer que pour tout entier naturel n : y 3- =,0225 y Deuxième partie Monica souhaite savoir en quelle année le montant de son livret atteindra le plafond de 9 25 euros.. Première méthode : On considère la suite (z 3 ) définie pour tout entier naturel n, par z 3 =y a. Montrer que la suite (z 3 ) est une suite géométrique de raison, On précisera le premier terme. b. Donner l expression de z 3 en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, y 3 =46 000, c. Déduire de l expression de y 3 obtenue en b. l année à partir de laquelle le plafond de 9 25 euros sera atteint. 2. Deuxième méthode : L algorithme ci-dessous permet de déterminer l année à partir de laquelle le plafond sera atteint. Ligne Variables : Initialisation : Traitement : Sortie : MONTANT est un réel ANNÉE est un entier Affecter à MONTANT la valeur Affecter à ANNÉE la valeur 204 Tant que MONTANT < 925 Affecter à MONTANT la valeur,022 5 MONTANT +900 Affecter à ANNÉE la valeur ANNÉE + Afficher «Le plafond du livret sera atteint en...» Afficher ANNÉE a. Il suffit de modifier deux lignes de cet algorithme pour qu il détermine l année à partir de laquelle le plafond est atteint pour un montant versé initialement de euros et des versements annuels de 000 euros. Indiquez sur votre copie les numéros des lignes et les modifications proposées. N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 4/05/ / 32

26 b. Proposez une modification de la boucle conditionnelle pour que l algorithme affiche également à l écran le montant disponible au premier janvier de chaque année. DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES BLEUE 7/04/204 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : ( 9 points) Dans cet exercice, on appelle «poids de naissance», la masse, exprimée en grammes, d un nouveau-né. Les résultats seront arrondis au centième pour les probabilités et à l entier pour les poids de naissance donnés en grammes. On s intéresse au poids de naissance (exprimé en grammes) des enfants dans une région donnée. On note X la variable aléatoire qui, à un enfant choisi au hasard dans une maternité, associe son poids de naissance. On admet que X suit la loi normale d espérance et d écart type 600. On choisit un enfant au hasard dans cette maternité. Quel est le poids moyen d un enfant à la naissance. 2 Déterminer la probabilité que cet enfant ait un poids de naissance compris entre d et d. 3 Quelle est la probabilité que cet enfant ait un poids de naissance inférieure à 2 00 d? 4 Quelle est la probabilité que cet enfant ait un poids de naissance supérieure à 3000 d? 5 On considère la variable aléatoire { +,, },, a) Montrer l équivalence : 3300~ 3300 ~ + },, { },, b) Déterminer l entier h tel que ;3300~ 3300 ~0,95 EXERCICE II : ( 6 points) On considère les fonctions et R définies sur par.f +*-" et RF +*-" Démontrer que la fonction R est une primitive de la fonction sur. 2 Calculer en valeur exacte l intégrale : o ta " 3 En déduire la valeur moyenne de la fonction sur 2 ;4, on donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0 +" près. EXERCICE III : (5 points) On considère l aire de la partie du plan délimitée par les droites d équation 0 et 2, l axe des abscisses et la courbe représentée. Parmi les encadrements suivants, lequel est le meilleur que l on puisse «lire» sur le graphique Aucune justification n est demandée. Reportez votre choix sur votre copie. 2 Calculer les intégrales suivantes. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,0 près N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 4/05/ / 32

27 =tf "* A, u=te 2 " +2+ fa DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 4/05/204 3 H CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l indiquer clairement sur la copie. Chacun traite les 4 exercices qui le concernent selon sa spécialité. Exercices I III IV communs à tous les candidats Exercice II : page 2/4 TES spécialité Maths cet exercice sera rendu sur une copie séparée. page 3/4 TES non spécialité Maths EXERCICE I : (4 points) Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 0 + près. Les parties A et B sont indépendantes. Dans un cabinet d assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût. Partie A Une enquête affirme que 30% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l année.. Dans le cadre d une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 5 clients. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l année. a. Justifier que la loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,3. b. Calculer ;. 2. Un expert indépendant interroge un échantillon de 00 clients choisis au hasard dans l ensemble des clients du cabinet d assurance. a. Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l année. b. L expert constate que 9 clients ont déclaré un sinistre au cours de l année. Déterminer, en justifiant, si l affirmation du cabinet d assurance : «30% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l année» peut être validée par l expert. Partie B Selon leur gravité, les sinistres sont classés en catégorie. On s intéresse dans cette question au coût des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l année. On note Y la variable aléatoire donnant le coût, en euros, de ces sinistres. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d espérance µ = 200 et d écart-type ƒ=200.. Calculer la probabilité qu un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre 000 et Calculer la probabilité qu un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à 000 N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 4/05/ / 32

28 EXERCICE II : (5 points) SPECIALITE Une entreprise de produits cosmétiques fait réaliser une étude marketing sur une population donnée. Cette étude montre que lors de la sortie d une nouvelle crème hydratante, la probabilité qu une cliente l achète lors de la première vente promotionnelle est de 0,2. De plus, lorsqu une cliente a acheté une crème hydratante lors d une vente promotionnelle, la probabilité qu elle en achète à nouveau lors de la vente promotionnelle suivante est de 0,8. Lorsqu une cliente n a pas acheté de crème hydratante, la probabilité pour qu elle en achète à la vente promotionnelle suivante est de 0,3. 2 étant un entier naturel non nul, on note : 3 la probabilité qu une cliente achète une crème hydratante lors de la n-ième vente promotionnelle. 3 la probabilité qu une cliente n achète pas une crème hydratante lors de la n-ième vente promotionnelle. ; 3 = 3 3 la matrice ligne traduisant l état probabiliste à la n-ième vente promotionnelle.. (a) Déterminer ;.. (b) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets : V quand il y a achat; Vr quand il n y a pas achat. 2. (a) Écrire la matrice M de transition associée à ce graphe. 2.(b) Calculer ; " et ;. D après ces résultats, quel est l effet de ces trois premières ventes promotionnelles? 3. Justifier qu il existe un état stable ;= b pour cette situation. Le déterminer. 4. L étude marketing montre que certains produits ne sont jamais achetés simultanément. On représente les incompatibilités par le graphe suivant, où deux sommets reliés représentent deux produits qui ne sont jamais dans une même commande. Par exemple, les produits A et B, représentés par des sommets reliés, ne sont jamais dans une même commande. L entreprise souhaite répartir les produits dans des lots constitués de produits ne présentant aucune incompatibilité d achat. Combien de lots doit-elle prévoir au minimum? Justifier votre réponse à l aide d un algorithme et proposer une répartition des produits. N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 4/05/ / 32

29 EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE (Les données sont recueillies par l Institut national d études démographiques) Au premier janvier 20, la population de l Allemagne (nombre de personnes résidant sur le territoire allemand) s élevait à habitants. De plus, on sait qu en 20, le nombre de naissances en Allemagne ne compense pas le nombre de décès, et sans tenir compte des flux migratoires, on estime le taux d évolution de la population allemande à 0,22%. On admet que cette évolution reste constante les années suivantes. Les résultats seront arrondis à l unité Partie A On propose l algorithme suivant : Entrée : Saisir le nombre entier naturel non nul S. Traitement : Affecter à U la valeur {initialisation} Affecter à N la valeur 0 {initialisation} Tant que U > S Affecter à U la valeur 0,9978 U Affecter à N la valeur N + Fin tant que Sortie : Afficher N On saisit en entrée le nombre S = Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats à l unité. Quel nombre obtient-on en sortie? % ] 0 Test %> vrai Partie B On note E 3 l effectif de la population de l Allemagne au premier janvier Déterminer E, et E 2. a. Justifier que la suite E 3 est une suite géométrique, de er terme et de raison 0, b. Exprimer E 3 en fonction de Si cette évolution de 0,22% se confirme : 3. a. Quel serait l effectif de la population de l Allemagne au premier janvier 2035? 3. b. En quelle année la population passera-telle au-dessous du seuil de habitants? Partie C Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu en 20, le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif en Allemagne et s élève à personnes. On admet de plus que le taux d évolution de 0,22% ainsi que le solde migratoire restent constants les années suivant 20.. Modéliser cette situation à l aide d une suite (L 3 ) dont on précisera le premier terme L, ainsi qu une relation entre L 3- et L 3 2. Calculer L et L ". Que peut-on conjecturer sur l évolution de la population de l Allemagne? N. Badel, A.Berger, M.Guedj TES Pervenche et Bleue 4/05/ / 32